LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel h > 0 tel que l on soit dns un des trois cs suivnts : (D f [ h, ]) \ {} = [ h, [ i.e. f est définie dns un voisinge à guche de et éventuellement non définie en ; (D f [, + h]) \ {} =], + h] i.e. f est définie dns un voisinge à droite de et éventuellement non définie en ; (D f [ h, + h]) \ {} = [ h, + h] \ {} i.e. f est définie dns un voisinge de et éventuellement non définie en. Exemple 0.1 x 1 x 1 est définie u voisinge de 1. x 2 x est définie u voisinge de 2. On dir de plus que f est : définie u voisinge de + s il existe A R tel que [A, + [ D f ; définie u voisinge de s il existe A R tel que ], A] D f. Exemple 0.2 x 1 x 3 x 1 est définie u voisinge de + et. Enfin, on dir qu une propriété portnt sur f est vrie u voisinge de R si cette propriété est vrie sur l intersection de D f vec un intervlle du type [ h, + h] vec h > 0 si R ; [A, + [ vec A R si = + ; ], A] vec A R si =. Exemple 0.3 L fonction x x 2 (1 x 2 ) est positive u voisinge de 0 et négtive u voisinge de + et. http://lurentb.grcin.free.fr 1

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 1 Limite d une fonction 1.1 Définition Définition 1.1 Limite d une fonction Soit (, l) R 2. Soit f une fonction définie u voisinge de. On dit que f dmet l pour ite en si : Cs R et l R : ε R +, α R +, x D f, x < α f(x) l < ε Cs R et l = + : A R, α R +, x D f, x < α f(x) > A Cs R et l = : A R, α R +, x D f, x < α f(x) < A Cs = + et l R : ε R +, B R, x D f, x > B f(x) l < ε Cs = + et l = + : A R, B R, x D f, x > B f(x) > A Cs = + et l = : A R, B R, x D f, x > B f(x) < A Cs = et l R : ε R +, B R, x D f, x < B f(x) l < ε Cs = et l = + : A R, B R, x D f, x < B f(x) > A Cs = et l = : A R, B R, x D f, x < B f(x) < A Remrque. Ceci veut dire que quitte à prendre x suffismment proche de, on peut rendre f(x) ussi proche de l que l on veut. Remrque. On obtient des définitions équivlentes en remplçnt les inéglités lrges pr des inéglités strictes. Théorème 1.1 Unicité de l ite Soit f une fonction définie u voisinge de. Si f dmet une ite l en, elle est unique. On note lors f = l ou f(x) = l. x Si f est définie en et dmet une ite en, lors f = f(). http://lurentb.grcin.free.fr 2

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Proposition 1.1 Retour en zéro Soit f une fonction définie u voisinge de R. Soit l R. Alors : Si l R : Si R : f(x) = l f(x) l = 0 x x f(x) = l f( + h) = l x h 0 Proposition 1.2 Limite et «bornitude» Soit f une fonction définie u voisinge de R. Si f dmet une ite finie en, lors f est bornée u voisinge de. Proposition 1.3 Limite et signe Soit f une fonction définie u voisinge de R. Si f dmet une ite l > 0 en, lors f est minorée pr un réel strictement positif u voisinge de. Corollire 1.1 Signe et équivlent Si f g, lors f et g sont de même signe u voisinge de. 1.2 Limite à guche, à droite Définition 1.2 Limite à guche, à droite Soit R et l R. Soit f une fonction définie u voisinge de. On dit que f dmet l pour ite à guche en si l restriction de f à D f ], [ dmet l pour ite en. Dns ce cs, cette ite est unique et on l note f ou f(x) ou encore f(x). x x On dit que f dmet l pour ite à droite en si l restriction de f à D f ], + [ dmet l pour ite en. Dns ce cs, cette ite est unique et on l note f ou f(x) ou encore f(x). + x + x x< x> Proposition 1.4 Lien entre ite simple et ite à guche, à droite Soient R et l R. Soit f une fonction définie u voisinge de. Si f est définie en : Si f n est ps définie en : f = l ( f = + f = l et f() = l ) f = l f = + f = l Attention! Si f est définie en, il ne fut ps oublier l condition f() = l. L fonction f définie pr f(x) = 0 si x 0 et f(0) = 1 dmet 0 pour ite à guche et à droite en 0 mis n dmet ps de ite en 0. Pr contre, f R dmet 0 pour ite en 0. Subtil... http://lurentb.grcin.free.fr 3

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 2 Propriétés des ites 2.1 Crctéristion séquentielle de l ite Théorème 2.1 Crctéristion séquentielle de l ite Soit f une fonction définie u voisinge de R. Soit l R. Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) f = l. (ii) Pour toute suite (u n ) à vleurs dns D f de ite, (f(u n )) pour ite l. Méthode Montrer qu une fonction n dmet ps de ite Pour montrer qu une fonction f n dmet ps de ite en, il suffit de trouver deux suites (u n ) et (v n ) de même ite telles que (f(u n )) et (f(v n )) possèdent des ites différentes. Exemple 2.1 L fonction x sin 1 x n dmet ps de ite en 0. 2.2 Limite et borne supérieure ou inférieure Dns l proposition suivnte I désigne un intervlle et Ī désigne l intervlle I ugmenté de ses bornes (y compris les bornes infinies). Pr exemple, si I =]0, + [, I = [0, + ] (intervlle de R). Proposition 2.1 Limite et borne supérieure/inférieure Soit f : I R. Soit Ī. Si f est mjorée pr M sur I et si f = M, lors sup I f = M. Si f est minorée pr m sur I et si f = m, lors inf I f = m. Exemple 2.2 1 1 inf x R = 0 cr f est minorée pr 0 sur R et 1 + x2 x + 1 + x 2 = 0. 2.3 Opértions sur les ites Les résultts sur l ite d une somme, d un produit, d un inverse et d un quotient sont les mêmes que pour les suites. Se reporter à ce chpitre. Proposition 2.2 Composition de ites Soient f une fonction définie u voisinge de R et g une fonction définie u voisinge de b R. Soit enfin l R. Si f = b et si b g = l, lors g f = l. http://lurentb.grcin.free.fr 4

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 2.4 Pssge à l ite Proposition 2.3 Pssge à l ite Soient f et g deux fonction définie u voisinge de R. Soit (l, l, m, M) R 4. (i) Si f = l et g = l et si f g u voisinge de, lors l l. (ii) Si f = l et f M u voisinge de, lors l M. (iii) Si f = l et f m u voisinge de, lors l m. 1 Attention! Ceci n est vlble qu vec des inéglités lrges. En effet, > 0 pour tout x > 0 et x 2 mis on n évidemment ps 0 > 0. x + 1 x 2 = 0 3 Théorèmes d existence de ite On retrouve les mêmes grnds théorèmes que pour les suites. Les résultts sur les suites extrites n ont ps d équivlent dns le cdre des ites de fonctions. Il est à noter que ces théorèmes découlent essentiellement de l existence d une reltion d ordre sur R. 3.1 Théorèmes d encdrement, de minortion et de mjortion Théorème 3.1 Théorèmes d encdrement, de minortion et de mjortion Soient R et l R. Soient f,g et h trois fonctions définies u voisinge de. Théorème des gendrmes/d encdrement : Si f = h = l et f g h u voisinge de, lors g dmet une ite en et celle-ci vut l. Théorème de minortion : Si f = + et f g u voisinge de, lors g dmet une ite en et celle-ci vut +. Théorème de mjortion : Si h = et g h u voisinge de, lors g dmet une ite en et celle-ci vut. Remrque. Il existe une version «méliorée» du théorème des gendrmes. Si f g h u voisinge de et si f h, lors f g h. Corollire 3.1 Soient f et ε deux fonctions définies u voisinge de R. Si f ε u voisinge de et si f = 0. ε = 0, lors Corollire 3.2 Soient f et ε deux fonctions définies u voisinge de R. Si f est bornée u voisinge de et si ε = 0, lors fε = 0. Exemple 3.1 x sin 1 x 0 x = 0. http://lurentb.grcin.free.fr 5

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Corollire 3.3 Soient f et g deux fonctions définies u voisinge de R. Si f est minorée u voisinge de et si g = +, lors f + g = +. Si f est mjorée u voisinge de et si g =, lors f + g =. 3.2 Théorème de l ite monotone Dns le théorème suivnt I désigne un intervlle et o I désigne l intervlle I privé de ses bornes. Pr exemple, si I = [π, + [, o I =]π, + [. Théorème 3.2 Théorème de l ite monotone Soit f une fonction monotone sur un intervlle I. On pose m = inf I et M = sup I (vec éventuellement m = et M = + ). Si f est croissnte : (i) f dmet une ite finie à guche et à droite en tout point o I. De plus, f = sup ; I ],[ f = inf ; + I ],+ [ f f() f. + + (ii) f dmet une ite en m +. Si f est minorée sur I, cette ite est finie et vut inf I. f, sinon elle vut (iii) f dmet une ite en M. Si f est mjorée sur I, cette ite est finie et vut sup f, sinon elle vut +. Si f est décroissnte : (i) f dmet une ite finie à guche et à droite en tout point o I. De plus, f = inf f ; I ],[ f = sup f ; + I ],+ [ f f() f. + + (ii) f dmet une ite en m +. Si f est mjorée sur I, cette ite est finie et vut sup f, sinon elle vut +. (iii) f dmet une ite en M. Si f est minorée sur I, cette ite est finie et vut inf f, sinon elle vut I. I I Exercice 3.1 Soit f : R R une fonction décroissnte telle que f(x) + f(x + 1) 1. Étudier l ite de f en +. 2. Donner un équivlent de f u voisinge de +. 1 x. x + http://lurentb.grcin.free.fr 6

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 4 Continuité ponctuelle 4.1 Définition Définition 4.1 Continuité en un point Soit f une fonction définie u voisinge de R et définie en. On dit que f est continue en si f dmet une ite finie en. Dns ce cs, f = f(). Donc f est continue en si : ε R +, α R +, x D f, x < α f(x) f() < ε Remrque. Cette définition peut ussi se formuler en termes de développement ité. Se reporter à ce chpitre. Remrque. A nouveu, on obtient une définition équivlente en remplçnt les inéglités strictes pr des inéglités lrges. Méthode Continuité en prtique Pour montrer qu une fonction f est continue en, il suffit de montrer que f(x) = f(). x x Exemple 4.1 L fonction f définie pr f(x) = e 1 x 2 si x 0 et f(0) = 0 est continue en 0. 4.2 Continuité à guche, à droite Définition 4.2 Continuité à droite, à guche Soit f une fonction définie u voisinge de et définie en. On dit que f est continue à guche en si s restriction à D f ], ] est continue en i.e. si f = f(). On dit que f est continue à droite en si s restriction à D f [, + [ est continue en i.e. si + f = f(). Exemple 4.2 Soit n Z. L fonction prtie entière est continue à droite en n mis ps à guche. Proposition 4.1 Soit f une fonction définie u voisinge de et définie en. Alors f est continue en si et seulement si elle est continue à guche et à droite en. Méthode Continuité en prtique (bis) Pour montrer qu une fonction f est continue en, il suffit de montrer que f = + f = f(). http://lurentb.grcin.free.fr 7

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Exemple 4.3 L fonction f définie pr f(x) = e 1 x si x > 0, f(x) = e 1 x si x > 0 et f(0) = 0 est continue en 0. 4.3 Prolongement pr continuité Définition 4.3 Prolongement pr continuité Soit f une fonction définie u voisinge de mis non définie en. On dit que f est prolongeble pr continuité en si f dmet une ite finie en. Le prolongement f de f obtenu en posnt f() = f est lors continu en. C est l unique prolongement continu de f en. Exemple 4.4 On peut prolonger l fonction f : x sin x x définie sur R pr continuité en 0 en posnt f(0) = 1. On peut prolonger l fonction f : x e 1 x définie sur R + pr continuité en 0 en posnt f(0) = 0. Pr contre, l même fonction définie sur R n est ps prolongeble pr continuité en 0. 4.4 Crctéristion séquentielle de l continuité Théorème 4.1 Crctéristion séquentielle de l continuité Soit f une fonction définie u voisinge de R et définie en. Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) f est continue en. (ii) Pour toute suite (u n ) à vleurs dns D f de ite, (f(u n )) pour ite f(). Exemple 4.5 R R{ L fonction indictrice de Q x si 1 Q x 0 sinon n est continue en ucun point. Exemple 4.6 R R{ L fonction x si x Q x 0 sinon est continue en 0 mis nulle prt illeurs. Remrque. Cet exemple illustre le fit qu une fonction continue en un point n est ps forcément continue u voisinge de ce point. Exercice 4.1 Montrer que les endomorphismes de groupe de (R, +) continus sont les homothéties i.e. les pplictions x λx vec λ R. http://lurentb.grcin.free.fr 8

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 4.5 Opértion sur les fonctions continues en un point L somme et le produit de deux fonctions continues en un point sont continus en ce point. L inverse d une fonction continue en un point non nulle en ce point est continu en ce point. On en déduit le résultt sur un quotient de fonctions continues en un point. On les mêmes résultts pour l continuité à guche et à droite. Proposition 4.2 Continuité ponctuelle et composition Soit f une fonction définie u voisinge de et continue en. Soit g une fonction définie u voisinge de f() et continue en f(). Alors g f est continue en. 5 Continuité sur un intervlle 5.1 Définition Dns ce prgrphe, I désigne un intervlle. Définition 5.1 Continuité sur un intervlle Soit f : I R. On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. On note C(I, R) ou C 0 (I, R) l ensemble des fonctions continues sur I à vleurs dns R. 5.2 Opértions sur les fonctions continues sur un intervlle L somme et le produit de deux fonctions continues sur I sont continus sur I. L inverse d une fonction continue sur I et ne s nnulnt ps sur I est continue sur I. On en déduit le résultt sur un quotient de fonctions continues sur I. Remrque. On en déduit que C 0 (I, R) est un R-espce vectoriel. Proposition 5.1 Continuité sur un intervlle et composition Soit f : I R et g : J R. On suppose f(i) J. Si f est continue sur I et g est continue sur J lors g f est continue sur I. Exemple 5.1 L fonction x î ln Ä äó x 2 + e 1 2 x est continue sur R. En effet, x 1 x est continue sur R à vleurs dns R et x e x est continue sur R donc x e 1 x est continue sur R ; x x 2 est continue sur R donc sur R ; pr somme x x 2 + e 1 x est continue sur R ; x 2 + e 1 x est continue sur R à vleurs dns R + et x ln x est continue sur R + donc x ln Ä ä x 2 + e 1 x est continue sur R ; enfin, x ln Ä ä x 2 + e 1 x est continue sur R à vleurs dns R et x x 2 est continue sur R donc x î ln Ä äó x 2 + e 1 2 x est continue sur R. 5.3 Théorèmes liés à l reltion d ordre sur R Les théorèmes suivnt sont intrinsèquement liés à l reltion d ordre sur R. http://lurentb.grcin.free.fr 9

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Théorème 5.1 Théorème des vleurs intermédiires Soit f une fonction continue sur intervlle [, b]. Pour tout réel y compris entre f() et f(b), il existe x [, b] tel que y = f(x). Si de plus, f est strictement monotone sur [, b], ce réel x est unique. Remrque. Il est fcile de montrer que l on peut se rmener u cs où f() < 0 et f(b) > 0 et où l on cherche un zéro de f. On déjà vu comme illustrtion des suites djcentes comment déterminer deux suites djcentes tendnt vers un zéro d une fonction f sur un intervlle [, b] qund f() < 0 et f(b) > 0. On vit supposé l existence d un zéro de f en dmettnt le TVI. Mis nous vions ussi prouvé en fit l existence d un zéro de f. Le TVI étit déjà qusiment prouvé. Remrque. On une version du théorème des vleurs intermédiires vec des ites. Si f est continue sur ], b[ (vec et b éventuellement infinis) et si f dmet des ites (éventuellement infinies) l 1 et l 2 respectivement en + et b, lors pour tout réel y strictement compris entre l 1 et l 2, il existe un réel x ], b[ tel que y = f(x). A nouveu, si f est strictement monotone sur ], b[, lors ce réel x est unique. Exercice 5.1 Un cycliste prcourt 20km en une heure. Montrer qu il existe un intervlle de temps d une demie-heure pendnt lequel il prcourt exctement 10km. Remrque. Il existe un corollire utile du théorème des vleurs intermédiires à svoir qu une fonction continue sur un intervlle et ne s nnulnt ps sur cet intervlle est de signe constnt sur cet intervlle. Le fit que l on considère un intervlle est primordil : en effet, l fonction x 1 x est continue sur R, ne s nnule ps sur R mis n est évidemment ps de signe constnt sur R. On en fit une version plus «théorique» du TVI. Il fit intervenir l définition des intervlles de R pr convexité qui est ussi intrinséquement liée à l reltion d ordre. Rppel Intervlles de R On ppelle intervlle de R toute prtie I de R vérifint l propriété suivnte : (x, y) I 2, t R, x t y t I Corollire 5.1 Imge continue d un intervlle L imge d un intervlle pr une ppliction continue est un intervlle. Attention! L imge d un intervlle ouvert (resp. semi-ouvert) n est ps forcément un intervlle ouvert (resp. semi-ouvert). Pr exemple, l imge de l intervlle semi-ouvert [0, 2π[ pr l fonction sin est l intervlle fermé [ 1, 1]. Nous verrons cependnt que l imge d un intervlle fermé est un intervlle fermé. On est mintennt à même de prouver une version complète du théorème de l bijection monotone. http://lurentb.grcin.free.fr 10

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Corollire 5.2 Théorème de l bijection monotone Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervlle I. Alors f rélise une bijection de I sur l intervlle J = f(i). De plus, si I = [, b], on si f est croissnte, f(i) = [f(), f(b)] ; si f est décroissnte, f(i) = [f(b), f()]. On des résultts nlogues si I est un intervlle ouvert ou semi ouvert ( et b pouvnt être égux respectivement à et + ) vec éventuellement des ites. Pr exemple, si f est une ppliction continue et strictement croissnte sur I =], b], f rélise une bijection de I sur f(i) =] f, f(b)]. + Remrque. Dns le cs d une ppliction continue et strictement monotone, l imge d un intervlle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert) est bien un intervlle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert). Mis, j insiste, si vous n vez ps l stricte monotonie, vous ne pouvez rien dire sur l intervlle imge (si ce n est que c est bien un intervlle). Exemple 5.2 L fonction cos est continue et strictement décroissnte sur [0, π]. Elle induit donc une bijection de [0, π] sur [ 1, 1] de bijection réciproque l fonction rccos : [ 1, 1] [0, π], qui est elle ussi continue et strictement décroissnte. Proposition 5.2 Continuité de l bijection réciproque Soit f une ppliction continue et strictement monotone sur un intervlle I. On sit que f induit une bijection réciproque de I sur J = f(i). L ppliction réciproque f 1 : J I est une bijection continue et strictement monotone sur J de même sens de vrition que f. Remrque. L nottion f 1 est busive. En effet, f n est ps bijective ; elle induit une bijection de I sur f(i). Dns le théorème de l bijection monotone, on utilise le fit qusi-évident qu une fonction strictement monotone est injective, qu elle soit continue ou non. On en fit une réciproque qui peut servir de temps à utre. Proposition 5.3 Soit une fonction continue et injective sur un intervlle I. Alors f est strictement monotone sur I. 5.4 Théorèmes liés à l compcité Définition 5.2 Segment On ppelle segment de R tout intervlle non vide, fermé et borné i.e. tout intervlle du type [, b] vec (, b) R 2 et b. Théorème 5.2 Théorème des bornes tteintes Toute ppliction continue sur un segment est bornée et tteint ses bornes. Attention! Il est essentiel que l intervlle considéré soit un segment. Pr exemple, x 1 x est continue et minorée sur R + mis elle n y tteint ps s borne inférieure, à svoir 0. De même, cos est continue sur ]0, π[ mis elle n tteint ni s borne inférieur i.e. 1, ni s borne supérieure i.e. 1 sur cet intervlle. http://lurentb.grcin.free.fr 11

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot On là ussi une version plus «théorique» de ce résultt. On sit déjà que l imge d un intervlle est un intervlle. Le résultt suivnt précise les choses qund l intervlle est un segment. Théorème 5.3 Imge continue d un segment L imge d un segment pr une ppliction continue est un segment. Exercice 5.2 Soit f continue sur R telle que f(x) + et f(x) +. Montrer que f est minorée et tteint s borne x + x inférieure. 6 Continuité uniforme 6.1 Définition Définition 6.1 Continuité uniforme Soit f : I R une ppliction. On dit que f est uniformément continue sur I si ε R +, α R +, (x, y) I 2, x y < α f(x) f(y) < ε Remrque. L définition de l continuité uniforme sur I ressemble à s y méprendre à l continuité simple sur I. Dire que f est continue sur I veut dire que f est continue en tout point y de I, c est-à-dire formellement : y I, ε > 0, α > 0, x I, x y < α f(x) f(y) < ε L plce du y I n est ps l même dns l définition de l continuité sur I et dns l définition de l continuité uniforme sur I et cel fit toute l différence. Dns l continuité simple, le α dépend de y et de ε. Dns l continuité uniforme, le α ne dépend que de ε : si ε est fixé, le α correspondnt est vlble pour tout y I, d où le terme «uniforme». Remrque. On obtient une définition équivlente en remplçnt les inéglités strictes pr des inéglités lrges. Proposition 6.1 Continuité uniforme implique continuité simple Une ppliction uniformément continue sur I est continue sur I. Attention! L réciproque est fusse. L fonction x x 2 est continue sur R mis n est ps uniformément continue sur R. On nénmoins une réciproque si I est un segment. Théorème 6.1 Théorème de Heine Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment. Remrque. Ce théorème essentiel, ssez peu utilisé en première nnée, trouver de nombreuses pplictions en deuxième nnée. Exercice 6.1 Montrer qu une ppliction continue sur R et périodique est uniformément continue sur R. http://lurentb.grcin.free.fr 12

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 6.2 Fonctions lipschitziennes Les fonctions uniformément continues pr excellence sont les fonctions lipschitziennes. Définition 6.2 Fonction lipschitzienne Soient f : I R une ppliction et K R +. On dit que f est lipschitzienne de rpport K ou plus simplement K-lipschitzienne si : (x, y) I 2, f(x) f(y) K x y Une ppliction est dite lipschitzienne sur I si elle est K-lipschitzienne pour un certin K R +. Exemple 6.1 Toute fonction ffine est lipschitzienne. Proposition 6.2 Lipschitz implique uniforme continuité Soit f : I R une ppliction. Si f est lipschitzienne sur I lors f est uniformément continue sur I. Attention! Une nouvelle fois l réciproque est fusse. En effet, x x est uniformément continue sur R + mis n est ps lipschitzienne sur R +. 7 Limite et continuité des fonctions à vleurs complexes On prle dns ce chpitre de fonctions de R dns C et non de fonctions de C dns C. Les seules différences vec le cs réel viennent du fit qu il n y plus de reltion d ordre sur C. 7.1 Limite d une fonction à vleurs complexes Définition 7.1 Fonction bornée Soit f : I C une ppliction. On dit que f est bornée (sur I), s il existe K R + tel que x I, f(x) K Définition 7.2 Limite d une fonction à vleurs complexes Soit f : I C une fonction définie u voisinge de R. Soit l C. On dit que f dmet pour ite l en si f(x) l = 0. On note lors f = l ou f(x) = l. x x Exemple 7.1 x + e ix 1 + x 2 = 0. Attention! Une fonction à vleurs complexes ne tend jmis vers ±. Les nottions + et n ont plus ucun sens dns C. Au mieux, on peut dire que le module d une fonction à vleurs dns C tend vers +. En effet, si f est une fonction à vleurs dns C, f est une fonction à vleurs dns R (et même dns R + ). Nénmoins le point en lequel on considère l ite peut très bien être égl à±. http://lurentb.grcin.free.fr 13

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Une fonction à vleurs complexes dmettnt une ite en un point est encore bornée u voisinge de ce point. L crctéristion séquentielle de l ite est encore vlble. Proposition 7.1 Soit f : I C une fonction définie u voisinge de R. Soit l C. f = l f = l Corollire 7.1 Soit f : I C une fonction définie u voisinge de R. Soit l C. Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) f = l ; (ii) Re(f) = Re(l) et Im(f) = Im(l). Exemple 7.2 ln x + ix x + 1 + x 2 = 0. Les opértions lgébriques sur les ites sont identiques dns le cs complexe à prt celles fisnt intervenir des ites égles à ± (encore une fois, ces symboles n ont ucun sens dns C). Les théorèmes de pssge à l ite et d existence de ite vus dns ce chpitre n ont plus de sens dns le cs complexe vu qu ils font intervenir l reltion d ordre. 7.2 Continuité d une fonction à vleurs complexes Les définitions vus dns ce chpitre restent les mêmes dns le cs complexe notmment l définition de l continuité en un point. L seule différence est que. désigne le module est non l vleur bsolue. Définition 7.3 Continuité d une fonction à vleurs complexes Soit f : I C une fonction définie u voisinge de R et définie en. On dit que f est continue en si f dmet une ite en. Dns ce cs, f = f(). Donc f est continue en si : ε R +, α R +, x D f, x < α f(x) f() < ε Remrque. A nouveu, on obtient une définition équivlente en remplçnt les inéglités strictes pr des inéglités lrges. L ensemble des fonctions à vleurs complexes continues sur un intervlle I se note C 0 (I, C) ou C(I, C). L crctéristion séquentielle de l continuité est encore vlble. Proposition 7.2 Soient f : I C et I. (i) f est continue en si et seulement si f est continue en. (ii) f est continue sur I si et seulement si f est continue sur I. http://lurentb.grcin.free.fr 14

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Corollire 7.2 Soient f : I C et I. Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) f est continue en ; (ii) Re(f) et Im(f) sont continues en. De même, les ssertions : (i) f est continue sur I ; (ii) Re(f) et Im(f) sont continues sur I. Les opértions lgébriques sur les fonctions continues sont identiques dns le cs complexe. Les théorèmes liés à l continuité sur un intervlle n ont plus de sens cr l imge d un intervlle de R n est ps un intervlle de C. Qu est-ce un intervlle de C d illeurs? On peut nénmoins ffirmer conserver le résultt ffirmnt qu une fonction sur un segment est bornée. Proposition 7.3 Toute fonction à vleurs complexes continue sur un segment est bornée. Remrque. On peut même préciser qu une telle fonction «tteint s borne». En effet, si f est continue sur un segment [, b], f est églement continue sur ce segment et à vleurs réelles. En notnt M = sup [,b] f, le théorème de continuité sur un segment ppliqué ux fonctions à vleurs réelles grntit qu il existe c [, b] tel que f(c) = M. http://lurentb.grcin.free.fr 15