Fonctions analytiques

CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque point de U. Théorème des zéros isolés : les zéros d'une fonction analytique f sur un domaine U sont isolés ou bien la fonction f est nulle. Théorème du prolongement analytique : deux fonctions analytiques qui coïncident sur un sous-ensemble non discret (suite convergente, segment, voisinage d'un point...) d'un domaine U sont égales sur U. Toute série entière est analytique dans son disque de convergence. Toute fonction analytique sur U est localement la somme de sa série de Taylor.... Disque de convergence... Séries entières, rappels Proposition... soit S (z) = n a nz n une série entière. Il existe un réel ρ S, appelé rayon de convergence de la série, et vériant S est absolument convergente dans le disque D ρs S diverge (non bornée) en dehors du disque fermé D ρs On ne peut rien dire sur le cercle C ρs. Si ρ S >, alors pour tout réel r < ρ s la série entière S converge normalement sur D r. Theorem... (Hadamard) le rayon de convergence d'une série entière S (z) = n a nz n est donné par : = lim sup a n n ρ S n Souvent plus commode, on a la règle de d'alembert : Theorem..3. (d'alembert) Soit une série entière S (z) = n a nz n. Si la limite existe, alors ρ S = lim n a n a n+... Opérations sur les séries entières. soient les séries numériques A = n a n et B = n b n. Le terme général de la série produit est c n = ( p n a pb n p ), et en cas de convergence absolue de A et de convergence simple de B, la série produit converge vers le produit AB et on a : (..) AB = a n b n n n = n p n a p b n p

. FONCTIONS ANALYTIQUES Theorem..4. Soient S et T deux séries entières de rayons de convergence ρ S et ρ T. Alors : la série entière S + T a un rayon de convergence ρ S+T min (ρ S, ρ T ) la série entière S T a un rayon de convergence ρ ST min (ρ S, ρ T ) Si ρ S > et ρ T >, et si T () =, alors la série entière S T existe et a un rayon de convergence ρ S T >. Démonstration. Voir [?], th. 3.3, page 39, th. 3.4, page 4 et th.3.6 page 73 Proposition..5. soit f (z) = n a nz n une série entière de rayon de convergence ρ f. La fonction f est continue sur son disque de convergence. La fonction f est C-dérivable sur D ρf et f est la somme de la série dérivée qui a même rayon de convergence ρ f que f f (z) = n na n z n Corollary..6. La somme d'une série entière est de classe C sur son disque de convergence. Démonstration. La continuité de la somme de la série entière est une conséquence immédiate de sa convergence normale. Le rayon de convergence de la série dérivée est donné par le théorème d'hadamard. Pour la C dérivabilité : soient r < ρ, z D r et ɛ > tel que z + ɛ < r. donc f (z + h) = n = n Soit h D ɛ. Alors a n (z + h) n a n k n C k nh k z n k = a n z n + nhz n + n = f (z) + h n f (z + h) f (z) h k n na n z n + n a n Cnh k k z n k k n C k nh k z n k na n z n = a n P n (z, h) n n

.. FONCTIONS ANALYTIQUES 3 avec P n (z, h) = k n Ck nh k z n k. On a utilisé la convergence absolue des séries pour distribuer les sommations. Majorons habilement P n (z, h) (sortir un h dont on aura besoin plus loin) : P n (z, h) = h Cnh k k z n k k n h Cnɛ k k (r ɛ) n k h ɛ = h ɛ rn k n k n et on obtient nalement : f (z + h) f (z) na n z n h n C k nɛ k (r ɛ) n k h ɛ a n r n n Puisque r < ρ f la série A = n a n r n est convergente et le résultat s'ensuit en faisant tendre h vers (ɛ est xé). Example..7. f (z) = n zn a pour disque de convergence D, on sait que pour tout z D, on a f (z) = z. On en déduit que la série n nzn a pour rayon de convergence ρ = et que sa somme est f (x) = ( z).... dénition, exemples... Fonctions analytiques Definition... Soit U un ouvert de C, z U et une fonction f : U C. f est dite développable en série entière (DSE) ou analytique en z si et seulement si il existe une série entière S (z) = n a nz n, de rayon R > telle que f (z) = S (z z ) sur U (z + D R ) soit encore : f (z) = n a n (z z ) n f est analytique sur U si elle est analytique en chaque point de U. Parfois, on pose z = z + h et l'équation ci dessus devient f (z + h) = n a n h n Example... () tout polynôme est localement la somme de son développement de Taylor : P (z) = n P (n) (z ) (z z ) n

4. FONCTIONS ANALYTIQUES () f (z) = est analytique sur z C \ {} car pour z, Z = z z, on a, pour Z z < f (z) = Z + z = ( ) Z z z + = ( Z z = n n z ) n ( ) n (z z ) n z n+ avec un rayon de convergence ρ = z Proposition..3. l'ensemble des fonctions analytiques sur un ouvert U C est une algèbre sur C. La composée de deux fonctions analytiques sur U est analytique sur U. Démonstration. Cf exo... Zéros isolés, prolongement analytique. Theorem..4. Principe des zéros isolés. Soit f une fonction analytique, non identiquement nulle sur un domaine U de C. Alors les zéros de f sont des points isolés dans Z (f). Autrement dit, Z (f) est un ensemble discret. Lemma. Si f est analytique sur U, si Z (f) admet un point d'accumulation u U, alors f est nulle au voisinage de u. Démonstration. (du lemme) Soit u Z (f). Supposons que f n'est pas nulle au voisinage de u. Alors f admet un DSE non nul au voisinage de u : il existe r >, tel que pour z u+d r,f (z) = k a k (z u) k. Soit p le plus petit entier tel que a p. Alors f (z) = k p a k (z u) k = (z u) p g (z) où g est continue (somme d'une série entière), et g (u) = a p. Donc il existe un voisinage de u dans lequel g ne s'annule pas, f non plus, donc u est isolé dans Z (f). Démonstration. (du théorème) Supposons maintenant que Z (f) admet un point d'accumulation a, et soit A = {z U, f au voisinage de z} et montrons que A est non vide, ouvert et fermé. Comme U est connexe, A = U et le théorème s'en déduira. A est non vide car a A d'après le lemme. A est ouvert, car si b A alors il existe r > tel que b + D r A. A est fermé : soit u A \ A. Il existe donc une suite (u n ) A qui converge vers u. Comme f est continue, = lim f (u n ) = f (u), donc u Z (f). La fonction f étant analytique en u, le lemme permet de conclure : u A. Corollary..5. Soit f une fonction analytique sur un domaine U. Alors : le développement en série entière de f au voisinage de chaque point de U est unique, si f n'est pas nulle, tout sous ensemble compact de U contient au plus un nombre ni de zéros de f.

.3. DÉRIVATION, ANALYCITÉ DES SÉRIES ENTIÈRES 5 Démonstration. Si f admet deux développements en série au voisinage de z U, alors f (z) = n a n (z z ) n = n b n (z z ) n pour tout z z +D r. Donc n (a n b n ) (z z ) n = pour tout z z + D r, le théorème.3. du paragraphe suivant nous permettra de conclure : a n b n = pour tout n. Si un sous ensemble compact K de U contient un nombre inni de zéros de f, de cet ensemble on peut extraire une suite convergente vers a K et f (a) = par continuité. Donc Z (f) admet un point d'accumulation donc f est nulle sur U. Proposition..6. (prolongement analytique) Soit U un domaine de C et f et g deux fonctions analytiques sur U. Si f et g coïncident sur une partie Ω U et si Ω admet un point d'accumulation dans U, alors f = g dans U. En particulier si f et g coïncident au voisinage d'un point z U alors f = g sur U. Démonstration. On applique le principe des zéros isolés à h = f g dans U. Definition..7. soit U un domaine, V ouvert non vide de U, si f est une fonction analytique sur V, on appelle prolongement analytique de f sur U toute fonction analytique dénie sur U, qui coïncide avec f sur V. Si un tel prolongement existe, il est unique. Remark..8. le théorème du prolongement analytique est vrai pour les fonctions analytiques mais faux pour les fonctions qui sont seulement R C. Par exemple la fonction f (x) = si x, f (x) = e x si x est de classe C sur R mais elle n'est pas analytique. Si c'était le cas, comme R Z (f) (qui admet de nombreux points d'accumulation!), f serait nulle partout, ce qui n'est pas le cas. Le théorème du prolongement analytique peut être interprété comme une extension aux fonctions analytiques, du théorème sur les polynômes : deux polynômes de degré n qui coïncident en n+ points distincts sont égaux. Mais aussi deux polynômes qui coïncident pour un nombre inni de valeurs distinctes sont égaux. Pour les fonctions analytiques, on a besoin d'un nombre inni de valeurs mais contenant en plus un point d'accumulation. Dans la pratique, nous ferons souvent usage du principe du prolongement analytique. Par exemple, pour démontrer que deux expressions (fonctions analytiques de z) sont égales, il sura de prouver l'égalité pour z réel ou bien z [, ]..3. Dérivation, analycité des séries entières Une fonction analytique sur un ouvert U y est de classe C (corollaire de la proposition (..5)) La réciproque est fausse (f (x) = si x et f (x) = e x si x est non nulle, de classe C sur R et admet des zéros non isolés dans Z (f). Donc f ne peut pas être analytique) Proposition.3.. si f et une fonction analytique sur un ouvert U, alors f est C-dérivable sur U (ou, de manière équivalente, f H (U), ou encore, f est holomorphe sur U) et f est analytique (ainsi que ses dérivées successives) Démonstration. C'est une conséquence du théorème (..5). En eet, f étant analytique sur U, au voisinage de tout point a U, f admet un DSE f (z) = n a n (z a) n, que l'on peut dériver. Donc f existe et admet elle aussi un DSE au voisinage de a : f (z) = n (n + ) a n+ (z a) n

6. FONCTIONS ANALYTIQUES Proposition.3.. Soit f (z) = n a n (z z ) n le DSE d'une fonction analytique en z. Alors n N f (n) (z) = p f (n) (z ) = a n (n + p)! a n+p (z z ) p p! Démonstration. Par récurrence sur n. C'est un corollaire de la proposition (..5) Theorem.3.3. la somme d'une série entière est analytique à l'intérieur de son disque de convergence. et plus précisément : Soit f (z) = n a n z n une série de rayon de convergence ρ >. Soit z D ρ, alors sur le disque ouvert z + D ρ z, f (z) est la somme de sa série de Taylor : f (z) = n f (n) (z ) et cette série a un rayon de convergence r ρ z. (.3.) Démonstration. en plusieurs étapes : (z z ) n () Rayon de convergence de la série T (w) = n tout d'abord (faire z = dans.3.) que f (p) (z) = (p + q)! a p+q z q q! q et donc en posant r = z on a la majoration : f (p) (z ) (p + q)! a p+q r q q! q f (n) (z ) w n : on vérie Soit r tel que r r < ρ. Évaluons le rayon de convergence de T. Pour w D r r T (w) f (p) (z ) (r r ) p p! p p,q (p + q)! p!q! a p+q r q (r r ) p dans cette dernière somme double, les termes sont tous positifs, on peut donc la sommer par paquets, on pose n = p + q : T (w) a n p! (n p)! rn p (r r ) p n p = n = n a n (r + r r ) n a n r n < + car r < ρ Donc pour tout r < ρ, le rayon de convergence de la série T est ρ T r r donc ρ T ρ r = ρ z.

.3. DÉRIVATION, ANALYCITÉ DES SÉRIES ENTIÈRES 7 Fig..3.. rayons Fig..3.. parcours de Z () f (z) est égal à la somme de sa série de Taylor. Pour z z < ρ r, la série T (z z ) est absolument convergente, on peut donc sommer ses termes par paquets en utilisant (.3.) : T (z z ) = p = p,q = n f (p) (z ) p! = a n z n n = f (z) (z z ) p (p + q)! a p+q z q p!q! (z z ) p a n (z + z z ) n

8. FONCTIONS ANALYTIQUES.4. Exemples de fonctions analytiques.4.. Fractions rationnelles. Theorem.4.. soit une fraction rationnelle mise sous forme irréductible f (z) = P (z) Q(z). Soit Z (Q) = {z i, i k}. Alors f est analytique sur Ω = C\Z (Q) et pour tout z Ω, le rayon de convergence de la série de Taylor de f en z est inf { z z j, j k}. Démonstration. utiliser la décomposition en éléments simples de f, puis = z z j z z + z z j ( ) =. z z j + z z z z j puis +t = n ( t)n, si t = z z z z j <. Ce qui donne le rayon de convergence. Example.4.. -Développer f (z) = + au voisinage de (z ) z 3 z =. On ( ) note tout d'abord que = (z ) z et z = n zn (z ) = (n + ) z n, z < n = z 3 3 z 3 = ( z n z < 3 3 3) n -Développer g (z) = z au voisinage de z = + i g (z) = z z + z z i = i i + = i n () n ( z i i ) n = n i n+ (z (i + )) n, z (i + ) <.4.. Exponentielle. Definition.4.3. la fonction exponentielle est dénie par la série Elle a un rayon de convergence inni. exp : C C z n Theorem.4.4. la fonction exponentielle vérie () exp est un morphisme surjectif de (C, +) dans (C, ), en particulier, pour tout couple a, b C on a exp (a + b) = exp (a) exp (b). On adopte la notation exp (z) = e z, z C. z n

.4. EXEMPLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES 9 () exp = exp (3) exp R est à valeurs dans R +, strictement croissante et lim exp = + et lim exp = + (4) il existe un réel strictement positif, noté π, tel que exp ( i π ) = i et e z = z iπz (5) exp est iπ périodique. (6) t e it est un morphisme surjectif de (R, +) sur (U, ), de noyau πz Démonstration. Les séries z n et z n convergent donc les séries exp sont absolument convergentes et la série produit converge et on a (voir [..]) : exp (z) exp (z ) = z p z n p p! (n p)! n p n = p! (n p)! zp z n p n p n = n (z + z ) n = exp (z + z ) Autre démonstration : en dérivant la série dénissant exp et on obtient exp = exp. Ainsi, n N, exp (n) = exp Pour z C, quelconque, développons exp au voisinage de z. Il vient : z C exp (z) = n exp (n) (z ) (z z ) n = exp (z ) (z z ) n n = exp (z ) (z z ) n n = exp (z ) exp (z z ) La fonction exp est surjective car G = exp (C) C est un ouvert car localement, exp est un diéomorphisme donc une application ouverte. Donc pour chaque point z de C, (pour r assez petit) l'image de la boule ouverte z + D r par exp est un ouvert B z,r de C et G = z C B z,r est une réunion d'ouverts, c'est donc un ouvert. De plus, G est un sous groupe de (C, ) donc C \ G = a C \GaG. On en déduit que C \ G est un ouvert de C. Or G est connexe car c'est l'image continue du connexe C, donc C \ G est vide. On fait l'hypothèse que G = exp (C) C, ce qui n'est pas évident à démontrer, sauf à supposer connue l'exponentielle et la trigonométrie réelles. Mais dans ce cas, pour démontrer la surjectivité, on résoud simplement exp (x + iy) = a + ib C

. FONCTIONS ANALYTIQUES Fig..4.. fonction z cos (z) 8 6 4 - -4-6 -8-6 -4 - x fonction z --> cos(z) 4 6-6 -4 - Re(cos(z)) Im(cos(z)) 4 6 y.4.3. Trigonométrie complexe. On a dénit les fonctions sin et cos sur R. Par prolongement analytique, (puisque R admet un certain nombre de points d'accumulation), on peut les prolonger en fonctions analytiques, de manière unique, à C tout entier puisque les séries suivantes sont convergentes pour z C : cos (z) = n sin (z) = n ( ) n z n (n)! ( ) n z n+ (n + )!

.4. EXEMPLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES De manière analogue on dénit les fonctions hyperboliques par leurs séries, convergentes sur C tout entier : cosh (z) = n z n (n)! sinh (z) = z n+ (n + )! n La plupart des égalités trigonométriques établies sur R s'étendent à C par prolongement analytique. Par exemple, la fonction f (x) = cos x + sin x est analytique sur R donc elle admet un unique prolongement analytique, donné par son développement en série entière, qui ici est particulièrement simple, puisqu'il s'agit de la série constante. Donc De même, on a z C, cos z + sin z = z C, cosh iz sinh iz = z C cos z = cosh iz i sin z = sinh iz ainsi que les formules d'euler, de Moivre... Les propriétés de type inégalité valables dans R, par contre, ne se conservent pas en passant à C. Par exemple pour t R, cos it = cosh (t) >.4.4. Logarithme complexe. Si l'on cherche, comme dans R, à inverser la fonction exp, on est amené à résoudre exp (u) = e x+iy = z : on trouve x = log z et y arg (z) soit exp (u) = z u log z + iarg (z) Il n'y a pas d'unicité de la solution puisque arg z est un ensemble de la forme α + πz. Soit α R et B α = {z C, α I (z) < α + π} la bande horizontale de largeur π. On vérie sans diculté que exp f Bα est une bijection de B α sur C. Malheureusement la bijection réciproque que nous notons provisoirement ϕ α n'est pas continue : on a d'une part ϕ α (exp (iα)) = iα et d'autre part, pour ɛ assez petit, et puisque ϕ α (exp (i (α ɛ))) B α arg (i (α ɛ)), on a : donc ϕ α (exp (i (α ɛ))) = i (α ɛ + π) lim ϕ α (exp (it)) = i (α + π) ϕ α (exp (iα)) t α Ainsi, pour obtenir une fonction inverse de exp qui soit continue, on est amené à s'interdire les valeurs z telles que Iz = α et à dénir la bande ouverte B α = {z C, α < I (z) < α + π} exp Bα est alors une bijection bi-continue de B α sur C \ α où la demi-droite α = { ρe iα, ρ } est appelée une coupure du plan complexe. La bijection réciproque est continue, et appelée une détermination du logarithme associée au plan coupé C \ α.

. FONCTIONS ANALYTIQUES Fig..4.. Coupure Definition.4.5. on appelle détermination du logarithme dans un domaine U C toute fonction f continue sur U vériant exp f = Id U Theorem.4.6. Diverses déterminations du logarithme Pour α R soit α = { ρe iα, ρ } la coupure correspondante. Alors la fonction log α : C \ α B α = {z C, α < I (z) < α + π} z log α (z) = ln ( z ) + i arg α (z) où α < arg α (z) < α + π

.4. EXEMPLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES 3 est une détermination du logarithme. Pour α = π on parle de la détermination principale du logarithme qui est également dénie par log : C \ π B π = {z C, π < I (z) < π} arctan y x si x > π z = x + iy ln z + i arctan x y si y > π arctan x y si y < Démonstration. Remarquons tout d'abord que log α = T log R est la composée d'une translation T : z z + i (π + α), de la fonction log et de la rotation R : z ze i(π+α). Pour établir que log α, (qui est la bijection réciproque de exp Bα ) est continue sur B α, il sut donc de montrer que la fonction, log est continue sur B α et est bien la bijection réciproque de exp B π. Ce qui résulte très simplement des deux propriétés élémentaires de la fonction arctan : w R, π < arctan w < π et w R, arctan w + arctan w = π. On peut établir de manière rigoureuse ce qui nous est apparu intuitivement en introduction de ce paragraphe : Proposition.4.7. si f est une détermination du logarithme sur un domaine U C, alors les autres déterminations du logarithme dans ce même ouvert sont f + ikπ, k Z. Il n'existe pas de détermination (continue) du logarithme sur C. Démonstration. Le point est une conséquence immédiate de la dénition : si f et g sont deux déterminations (continues) du logarithme sur U alors h = f g iπ est continue de U connexe, à valeurs dans Z, discret, donc h est constante. Soit f une détermination (continue) du logarithme sur C. La fonction u = I (f) est alors une détermination continue de l'argument sur C. Donc v : θ R v (θ) = u ( e iθ) R est continue et π périodique. De plus v (θ) arg ( e iθ) = θ + πz. Donc v (θ) = θ + πn (θ). Or la fonction n est continue sur R connexe, à valeur dans Z, discret, donc elle est constante, n (θ) = n. Donc v (θ) = θ + πn. Mais v est également périodique : v (θ) = θ + πn = v (θ + π) = θ + π (n + ) ce qui est impossible. Proposition.4.8. La somme de la série f (z) = n> ( ) n (z ) n est une détermination du logarithme sur le disque + D. Démonstration. Le rayon de convergence de S (w) = f (w + ) est. Donc la série f converge pour z <. On a f () = et f (z) = n n ( ) n (z ) n = z donc f (t) = ln t sur ], [. Donc exp f est analytique sur + D (la composée de deux fonctions analytiques est analytique) et coïncide avec l'identité sur ], [ donc sur + D (théorème du prolongement analytique).

4. FONCTIONS ANALYTIQUES Proposition.4.9. Sur tout disque ne contenant pas l'origine, il existe une détermination du logarithme. Plus précisément : soit z C et θ arg (z ). Alors la série suivante g (z) = ln z + iθ + ( ) n ( ) n z z n z n dénit une détermination du logarithme sur le disque z + D z. ( ) n n ( z z Démonstration. La série ) n n z converge, pour z z z <, ( ) ( ) z vers f z (proposition précédente). Donc exp g (z) = z z exp (iθ ) exp f z = z z z = z Note.4.. Attention : l'égalité, ln xy = ln x + ln y, usuelle dans R + ne peut plus être appliquée dans C. Par exemple, pour z = e i π 3, on a z = e 4i π 3 = e i π 3. Si l'on choisit la détermination principale du logarithme, alors log z = i π et 3 log z = i π 3 log z Proposition.4.. si f est une détermination du logarithme dans un domaine U, alors z U, f (z) = z Démonstration. soient z et z dans U. Posons Z = f (z) et Z = f (z ), et compte tenu de exp f = Id U, on a exp Z = z et exp Z = z. Le rapport t (z, z) = f(z) f(z) Z z z s'écrit t (z, z) = Z exp Z exp Z et connaissant la dérivée de l'exponentielle, lim z z t (z, z) = exp Z = z Example.4.. calculer les diverses valeurs possibles de log ( ), log (i), log ( + i) et log (( + i) ) {log ( )} = ln + iπ (Z + ) {log (i)} = iπ ( ) Z + {log ( + i)} = ln + iπ ( ) Z + 4 { log ( + i) } = ln + iπ ( ) Z +.4.5. Fonctions puissance. Pour α dans R et x dans R + on dénit la fonction puissance-α par x >, x α = exp (α log x). On étend cette dénition à C : Definition.4.3. soit α C et U un domaine ne contenant pas l'origine. Pour chaque détermination du logarithme dans U, on peut dénir une fonction puissance-α associée par φ : U C z z α = exp (α log z) Proposition.4.4. une détermination du logarithme étant choisie sur U, la fonction puissance associée est continue et dérivable sur U avec z U, (z α ) = αz α Démonstration. Élémentaire, la fonction puissance étant la composée de fonctions continues et C dérivables.

4 3 x x.4. EXEMPLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES 5 Fig..4.3. Fonction z log z : image des droites x =, y = et de la demi droite y = x + > y y.5 -.5 -.5 - -.5.5.5 - -.5.5.5.5 3 x (a) Image de la droite x=.5.5 3 3.5 ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) - 3 4 x ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) 4 (b) Image de la droite y= y 4 3.5 3.5.5.5 -.5-3 4 x ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) (c) Image de la demi-droite y=x+> y y ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) - -4-4 -35-3 -5 - -5 - -5 5.5 ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t).5.5 -.5 - - - 3 4 (d) images du cercle z--i = (e) images du cercle z- =

4 3 5 y x 3 x y 6. FONCTIONS ANALYTIQUES Fig..4.4. Fonction z log z : la surface paramétrée f (r, t) = (r cos t, r sin t, t) pour t [ π, 4π] et r [.,.3] - - -3-4 -3-5 -.3 - -. - -....3 -.3 r*cos(t), r*sin(t), ImLog(t) -3 - - r.exp(it),t -. -..3.. Example.4.5. Pour la détermination principale du logarithme, la fonction z z i est dénie par z C \ R et z i = exp (i log z) ainsi, on calcule par exemple i i = e π = exp (i ln z arg z) = exp (i ln z ) exp ( arg z) Remark.4.6. comme pour le logarithme, il faut être extrêmement vigilant avant d'utiliser des formules comme z α+β = z β z α ou (zz ) α = z α z α etc... Exercices Exercise.5. Trouver les rayons de convergence de la série a n z n dans les cas suivants : () a n est la somme des carrés des diviseurs de n. () a n = si n est premier, a n = sinon. Exercise.6. Calcul d'un développement en série entière : méthode de l'équation diérentielle. cf [?], pp. 67-673 Exercise.7. Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert connexe U de C. () Si f est identiquement nulle sur U, que peut-on dire de f? () Si pour tout z U, f (z) f (z) =, que peut-on dire de f?

EXERCICES 7 Exercise.8. Soit U un ouvert de C et A (U) l'ensemble des fonctions analytiques sur C. Etablir que A (U) muni de l'addition des fonctions (+), la multiplication par un complexe (λ.), et le produit des fonctions ( ) est une algèbre sur C c'est à dire : () (A (U), +, λ.) est un espace vectoriel, () (A (U), +, ) a une structure d'anneau, (3) pour tout λ C, et pour tout couple (f, g) A (U), λ. (f g) = (λ.f) g = f (λ.g). (4) Etablir de plus que la composée de deux fonctions analytiques est analytique. Donner auparavent un énoncé précis de cette propriété. Exercise.9. Soit U un ouvert de R. On appelle laplacien de f l'application f : U C dénie par f = f x + f y () Montrer que f H (U)si et seulement si f = et (zf) = Exercise.. La fonction exponentielle est surjective de C sur C : () Soit G = exp (C). Montrer que G est un sous groupe multiplicatif de (C, ). () Montrer que exp est un diéomorphisme local, c'est à dire, que pour tout point z C, il existe un voisinage de z sur lequel exp est un diéomorphisme. En déduire que G est un ouvert. (3) Montrer que C \ G = a C \GaG et en déduire que C \ G est ouvert. (4) Utiliser un argument de connexité pour déduire de ce qui précède que C \ G est vide.