La théorie de Cauchy

La théorie de Cauchy Une fonction f de la variable complexe z, définie dans un ouvert G de C est holomorphe au point z 0 G si elle est dérivable par rapport à z au point z 0 f(z) f(z 0 ) Lim z z 0 z z 0 existe La limite se note f (z 0 ) et s appelle la dérivée de f(z). Par exemple les constantes, la fonction z z (application identique) sont holomorphes de dérivées respectives 0 et 1. Par contre la fonction z z (conjugué) n est holomorphe en aucun point de C. Cela s écrit aussi f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + h ε(h), avec ε(h) 0 quand h 0 ce qui est à rapprocher de la définition de la différentiabilité usuelle par rapport aux variables réelles x = Re z et y = Im z f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f x h 1 + f y h 2 + h ε(h), avec ε(h) 0 quand h 0 Toute fonction holomorphe est différentiable au sens des variables réelles, et l on a f x = f (z) = i f y ce que l on appelle les relatons de Cauchy. Inversement, si f est différentiable et satisfait ces relations en z 0, alors f est holomorphe en z 0. Une fonction f est holomorphe dans G si elle est holomorphe en tout point de G. Il est clair que la somme, le produit, la composée de deux fonctions holomorphes est une fonction holomorphe. En partuculier les polynômes, les fonctions rationnelles sont holomorphes (hors de leurs pôles). Considérons la forme différentielle f(z) dz = P dx+q dy où P = f(z), Q = if(z). On constate que Q x P y = if (z) if (z) = 0 de sorte que si f est continue, la formule de Green-Riemann s applique (cf. 1 er cycle). On a donc 1 Théorème : Si f est holomorphe dans un ouvert G, alors pour tout triangle T inclus dans G, on a f(z)dz = 0 T 1

où T est le bord orienté du triangle T. Démonstration : On applique donc la formule de Green-Riemann si f est continue. T f(z)dz = T [Q x P y] dxdy = 0 2 Remarque : En fait ce résultat subsiste même si f n est pas supposée continue, c est l objet du théorème de Goursat. On pourra se reporter à la démonstration (facile mais subtile) donnée dans le livre de Cartan (Hermann) ou encore de Rudin (Masson). Comme on le sait (1 er cycle) la forme différentielle f(z)dz = P dx + Qdy est alors une différentielle exacte, c est à dire la différentielle d une fonction F, soit df = P dx+qdy. Plus précisément c est une différentielle exacte dans tout ouvert étoilé G. Soit 3 Théorème : si f est holomorphe dans un ouvert étoilé G, alors f possède une primitive dans G. Cela signifie qu il existe une fonction F holomorphe dans G, et telle que F = f. Cette primitive est alors déterminée à une constante près. Démonstration : Si G est étoilé par rapport à 0, on peut poser F (z) = z 0 f(u)du où le chemin d intégration est le segment orienté de 0 vers z. On a F (z + h) F (z) hf(z) = z+h z [f(u) f(z)]du = h ε(h) où l intégrale est calculée cette fois sur le segment [z, z +h]. Comme f est continue au point z, on voit que ε(h) tend vers 0 avec h. Ainsi F est holomorphe de dérivée f. Naturellement, si Φ est une autre primitive, Φ F est à dérivée nulle, c est une constante (appliquer le théorème des accroissements finis sue le segment [0, z]). 4 Corollaire : Si f est holomorphe dans un ouvert étoilé G, alors f(z)dz = 0 pour tout chemin fermé γ inclus dans G. (Naturellement γ est supposé de classe C 1 par morceaux). Démonstration : En effet cette intégrale vaut la variation d une primitive F le long de γ, donc 0 puisque le chemin est fermé. γ 2

Formules de Cauchy Soient D un disque D de rayon R, et a un point de D. Soit γ un cercle concentrique à D, de rayon r tel que a < r < R. Soit aussi γ ε un cercle centré en a, de rayon ε < r a. Soit f une fonction holomorphe dans D. Alors f(z)/(z a) est holomorphe dans D {a}. L ouvert D {a} n est pas étoilé, mais c est la réunion de deux ouverts étoilés convenables (voir dessin p.5). Il existe donc deux chemins fermés γ i (i = 1, 2) pour chacun desquels γ i f(z)dz = 0. On en déduit (cf. dessin p.5) la formule γ f(z) z a dz = γ ε f(z) z a dz On paramètre γ ε par la formule z = a + ε e iθ pour θ [0, 2π], d où γ f(z) 2π z a dz = f(a + ε e iθ ) idθ 2iπf(a) 0 ε 0 5 Théorème (formule de Cauchy) : Soit a un point d un disque ouvert D. Soit f une fonction holomorphe sur D et continue sur l adhérence D. On a f(a) = 1 f(z)dz 2iπ z a D où D est le bord de D, orienté positivement. Démonstration : On remplace la fonction f(z) par la fonction f(λz) où λ < 1, on est ramené au paragraphe précédent. On obtient le résultat en faisant λ 1. 6 Corollaire : La fonction f est indéfiniment dérivable (indéfiniment holomorphe) dans D, et c est la somme de sa série de Taylor de centre 0 (si D est de centre 0), cette dernière ayant un rayon de convergence au moins égal au rayon R de D. Démonstration : Le second membre de la formule de Cauchy est évidemment dérivable par rapport à a, donc le premier membre aussi, et f (a) = 1 f(z)dz 2iπ (z a) 2 puis par récurrence f (n) (a) n! D = 1 2iπ D f(z)dz (z a) n+1 ce qui prouve que f est indéfiniment holomorphe dans D. Ensuite on écrit 1 z a = n 0 3 a n z n+1

La converge uniforme par rapport à z = R > a entraîne f(a) = n 0 c n a n, où c n = 1 f(z)dz 2iπ D z n+1 Cette série entière converge pour tout a < R, donc son rayon est au moins R. Enfin on constate que c n = f n (0) n! Inégalités de Cauchy Posons M(r) = Sup z =r f(z). Appliquant la formule donnant c n au cercle de rayon r R, on obtient c n = 1 2π D r f(z) M(r) dz z n+1 r n Récapitulation Une fonction f holomorphe a les propriétés suivantes a) f(z)dz = 0 pour tout triangle T inclus dans l ouvert d holomorphie T b) f a une primitive dans tout ouvert étoilé où elle est holomorphe c) la formule de Cauchy a lieu dans tout disque d holomorphie d) f est indéfiniment holomorphe e) f est développable en série entière (série de Taylor) dans tout disque d holomorphie. Inversement, chacune de ces propriétés caractérise les fonctions holomorphes. En effet, si f est continue, on a les implications c) d) holomorphie e) a) b) holomorphie. 7 Remarque : L implication a) holomorphie s appelle le théorème de Morera. 4

Le théorème de Liouville Si f est une fonction entière (c est-à-dire holomorphe dans tout le plan), On a f(z) = n 0 a nz n pour tout z C, de sorte que les inégalités de Cauchy s écrivent a n M(r) r n pour tout r > 0. Supposons que f soit bornée, on a alors M(r) M pour tout r > 0, soit a n M/r n. En faisant tendre r vers +, on trouve a n = 0 pour tout n 1. D où 1 Théorème : Une fonction entière bornée est constante. 2 Corollaire (théorème de d Alembert) : tout polynôme non constant s annule au moins une fois dans C. Démonstration : sinon, la fonction f(z) = 1/P (z) serait une fonction entière bornée, donc constante, ce qui n est pas le cas puisque P est supposé non constant. 3 Remarque (Amélioration de Weïerstrass) : L image f( C) d une fonction entière non constante est partout dense. En effet, si f évitait un disque D(a, ε), la fonction g(z) = 1/(f(z) a) serait entière et bornée, donc une constante non nulle, et f serait constante. 4 Remarque (Amélioration de Picard) : L image f( C) d une fonction entière non constante évite au plus deux points. C est plus difficile à démontrer. On remarquera cependant que la fonction exponentielle évite un point puique e z 0, de sorte que le résultat de Picard est le meilleur possible. Exemples 1 o. On montre que les fonctions f(z) = π cotg πz 1 z n 1 g(z) = π sin πz 1 z n 1 2z z 2 n 2 2( 1) n z z 2 n 2 qui ont a priori des singularités isolées aux entiers, sont prolongeables en fonctions entières bornées. Elles sont donc constantes. Comme ce sont des fonctions impaires, les constantes sont nulles. Ces deux développements sont dûs à Euler. 2 o. On montre de même les deux formules (encore Euler!) Γ(z)Γ(1 z) = π sin πz = 1 z n 1(1 z 2 /n 2 ) 6

Singularités isolées Une fonction f présente une singularité isolée en un point z 0 si elle est holomorphe dans D {z 0 }. 5 Théorème de la fausse singularité : Si f a une singularité isolée en z 0, et si f est bornée dans D {z 0 }, alors f a un prolongement holomorphe dans D tout entier. Démonstration : On peut supposer que z 0 = 0. Considérons la fonction définie par g(z) = z 2 f(z) et g(0) = 0. On constate que g est holomorphe dans D tout entier. Par suite g(z) = n 0 a nz n pour z D. Il est clair que a 0 = 0, donc f(z) = a 1 /z+a 2 +a 3 z+. Comme f est bornée, on voit que a 1 = 0, et finalement f(z) = a 2 + a 3 z + de sorte qu en prolongeant f par la valeur f(0) = a 2, on obtient une fonction holomorphe dans D. Supposons maintenant que f ait une singularité isolée en z 0 et que f(z) tende vers (ce qui signifie que f(z) tend vers + ) lorsque z tend vers z 0. Alors c est la fonction 1/f(z) qui est bornée autour de z 0 et donc prolongeable en fonction holomorphe g(z) = a 0 + a 1 (z z 0 ) + au voisinage de z 0. Evidemment a 0 = 0. comme g n est pas identiquement nulle, il existe un premier coefficient a k 0. On a alors g(z) = a k (z z 0 ) k [1 + b 1 (z z 0 ) + ], donc f(z) = 1 g(z) = c k (z z 0 ) k + c k+1 (z z 0 ) k 1 + + c 0 + c 1 (z z 0 ) + On dit alors que z 0 est un pôle multiple d ordre k de f, et que f est méromorphe au point z 0. 6 Remarque : Là aussi, on peut faire les améliorations de Weïerstrass et Picard : pour que z 0 soit une fausse singularité ou un pôle de f, il suffit que f(d {z 0 }) ne soit pas partout dense (facile), et même que f(d {z 0 }) évite deux valeurs (difficile). Dans le cas contraire, on dit que z 0 est une singularité isolée essentielle. Par exemple la fonction e 1/z a une singularité essentielle en 0, en effet, e 1/x + si x > 0 tend vers 0, c est donc une vraie singularité, mais ce n est pas un pôle car e 1/x 0 si x < 0 tend vers 0. D ailleurs e 1/z prend toutes les valeurs sauf 0 dans tout disque épointé de centre 0. 7

Principe des zéros isolés Soit f holomorphe dans un disque D de centre 0. On a donc f(z) = n a nz n. Si f n est pas identiquement nulle, il existe un premier coefficient a k 0, donc f(z) = a k z k ϕ(z) où ϕ est holomorphe et ϕ(0) = 1. Par suite ϕ(z) 0 pour z assez petit. Finalement il existe δ > 0 tel que f(z) 0 pour 0 < z < δ. En d autres termes, 0 est un zéro isolé de la fonction f. En localisant cela, on obtient 7 Théorème : Si f est holomorphe dans un ouvert connexe G alors les zéros de f sont isolés ou bien f est identiquement nulle. Démonstration : Rappelons qu un ouvert est connexe si on ne peut le couper en deux ouverts disjoints non vides. Supposons donc qu un zéro a de f ne soit pas isolé, et soit G 0 l ensemble de ces points-là. Evidemment f est identiquement nulle sur G 0 et G 0 est ouvert d après ce que l on a dit. Soit b G G 0, c est un point d accumulation de zéros, donc un zéro non isolé, de sorte que b G 0, ce qui est absurde. Ainsi G G 0 G 0, ce qui signifie que G 0 est à la fois ouvert et fermé relativement à G. Comme G est connexe et que G 0 est supposé non vide, on a nécessairement G 0 = G. Ainsi f est identiquement nulle sur G. 8 Remarque : L ensemble Z(f) des zéros de f est évidemment fermé (relativement à G). On peut donc résumer en disant que Z(f) est fermé discret dans G ou bien Z(f) = G. Noter que fermé discret dans G signifie qui n a pas de point d accumulation dans G. Par exemple, la fonction sin(1/z) holomorphe dans C {0} admet pour zéros les points ±1/nπ : ils n ont pas de point d accumulation dans C {0}. Exemple Considérons l ouvert étoilé G obtenu en supprimant de C les deux demidroites imaginaires [i, i [ et [ i, i [. Soit F (z) la primitive de 1/(1 + z 2 ) telle que F (0) = 0, soit z du F (z) = 1 + u 2 0 le chemin d intégration étant le segment orienté allant de 0 à z. Alors on a identiquement tg F (z) = z. Comme la fonction tangente n est pas définie partout (elle est méromorphe), il vaut mieux démontrer la relation sin F (z) = z cos F (z) pour tout z G. Or, si z = x réel, on a F (x) = Arctg x, donc sin F (x) = x cos F (x). La fonction holomorphe sin F (z) z cos F (z) a donc comme zéros tous les points de l axe réel. Ces points ne sont pas isolés de sorte que la fonction est identiquement nulle dans G. On dit que F (z) est une détermination holomorphe de Arctg dans l ouvert G. (Remarquer que cela prouve aussi que F (z) ne prend aucune des valeurs π/2 + nπ). 8

Calcul des résidus Soit f holomorphe dans un ouvert G épointé en a qui est donc une singularité isolée de f. On appelle résidu de f en a le nombre Res(f, a) = 1 f(z)dz 2iπ γ où γ est un petit cercle de centre a parcouru une fois dans le sens positif. Par exemple, le résidu de 1/z à l origine est 1. Si a est un pôle d ordre k, soit f(z) = c k (z a) k + + c 1 (z a) + h(z) où h est holomorphe au voisinage de a, on trouve Res(f, a) = c 1. En effet, tous les autres termes ont des primitives dans C {a}, donc des intégrales nulles. Le cas d une singularité essentielle est plus délicat, mais on n aura à traiter que des fonctions du genre e 1/z ou sin 1/z qui s écrivent f(z) = + c n (z a) n c est-à-dire qui ont un développement de Laurent (en fait elles ont toutes un tel développement, voir Cartan ou Rudin). En ce cas, le résidu est c 1 comme pour les pôles. Le cas des pôles simples est particulièrement facile à traiter puisque l on a alors c 1 = lim z a (z a)f(z). La fonction f(z) se présente souvent sous la forme f(z) = u(z)/v(z) où a est un zéro simple de v. On a alors Res(f, a) = c 1 = Lim z a u(z)z a v(z) = u(a) v (a) Par exemple, la fonction f(z) = e πz /(z 2 + 1) a deux pôles simples ±i de résidus respectifs Res(f, i) = e iπ /2i = i/2 et Res(f, i) = e iπ /( 2i) = i/2. On a alors le théorème suivant dû à Cauchy 9

9 Théorème des résidus : Si f est holomorphe dans un ouvert G sauf en des singularités en nombre fini. Soit K un compact inclus dans G. On suppose que le bord de K est un contour simple, ne rencontrant aucune singularité de f. Dans ces conditions on a f(z)dz = 2iπ Res(f, a i ) K a i K où les a i sont les singularités isolées de f contenues dans K, et où K est parcouru une fois dans le sens positif. Démonstration : On se contentera de déchiffrer un exemple suffisamment explicite pour faire comprendre le cas général. Prenons la fonction f(z) = 1/(z 2 +z +1) qui a deux pôles simples : les points j et j 2. Soit K R le compact dont le bord K R est constitué du segment réel [ R, R] et du demi-cercle de diamètre R situé du côté y 0. Pour R > 1 les conditions sont remplies, de sorte que Res(f, j) = 1/(2j + 1). Par suite K R dz z 2 + z + 1 = 2iπ 2j + 1 = 2π 3 En effet, si D est un petit disque centré en j et d adhérence D contenue dans l intérieur de K R, on peut couper K R D en deux compacts sur le bord de chacun desquels l intégrale de f(z)dz sera nulle a cause de l existance de primitives (ouverts étoilés). Ainsi (raisonnement déjà fait pour l intégrale de Cauchy), on aura K R f(z)dz = f(z)dz = 2iπ Res(f, j). D 10 Corollaire : On a + Démonstration : On a 2π = 3 K R γ R dz R z 2 + z + 1 = R dz z 2 + z + 1 quand R +, d où le résultat. dx x 2 + x + 1 = 2π 3 dx x 2 + x + 1 + γ R 2πR Sup z =R 1/ z 2 + z + 1 2π R dz z 2 + z + 1 11 Remarque : On a mis un grand demi-cercle, on aurait pu mettre un grand triangle ou un grand carré, la méthode se serait aussi bien appliquée. Il faut choisir la figure géométrique donnant lieu aux calculs les plus simples. Autre chose : rien n empêchait ici de prendre un demi-cercle dans le demi-plan inférieur, il aurait fallu considérer le pôle j 2 au lieu de j. 10

Convergence de fonctions holomorphes Il y a beaucoup de résultats importants. Le plus simple est le suivant : 12 Proposition : Si une suite f n de fonctions holomorphes converge uniformément sur tout compact d un ouvert G, alors la limite f est holomorphe, et les dérivées f n convergent uniformément sur tout compact de G vers la dérivée f. Démonstration : On peut localiser et se borner à un disque de centre 0. D abord f est continue, et pour tout triagle T G, on a f(z)dz = Lim f n (z)dz = 0 n T de sorte que f est holomorphe dans G selon le théorème de Morera. On obtient f grâce à la formule de Cauchy f (z) f n(z) = 1 2iπ T D ρ f(ζ) f n (ζ) (z ζ) 2 dζ pour z D r D ρ D ρ G. On a pour les normes uniformes f f n Dr ρ (ρ r) 2 f n f m Dρ Ainsi f n converge uniformément vers f sur tout disque compact inclus dans G, et finalement sur tout compact inclus dans G. Evidemment le même résultat s obtient pour les dérivées d ordre quelconque. Mais il y a mieux : soit f n une suite de fonctions holomorphes dans un disque D qu on peut supposer centré en 0. On a d après la formule de Cauchy f n (b) f n (a) = 1 [ 1 2iπ γ z b 1 ] f n (z)dz = b a f n (z)dz z a 2iπ γ (z a)(z b) pour a, b r < ρ < R, où ρ est le rayon du cercle γ. On a donc où M n (ρ) est un majorant de f n sur γ. f n (b) f n (a) b a ρ M n(ρ) (ρ r) 2 Si la suite f n est uniformément bornée sur le disque D par une constante M, on constate que la suite f n est équilipschitzienne sur tout disque compact inclus dans D. On a donc 11

13 Proposition : Soit f n une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert G. On suppose qu elle est uniformément bornée sur tout compact de G. Alors elle est équilipschitzienne sur tout disque compact de G. C est le moment d appliquer le théorème d Ascoli : si de plus la suite f n converge simplement dans G, alors elle converge uniformément sur tout compact K G. En fait le théorème d Ascoli dit mieux que ça : même si f n ne converge pas, elle a quand même une suite extraite qui converge uniformément sur tout compact. 14 Théorème : Si une suite f n de fonctions holomorphes est uniformément bornée sur tout compact d un ouvert G, elle a une suite extraite qui converge uniformément sur tout compact de G. On exprime cela en disant que dans l espace des fonctions holomorphes, les ensembles fermés bornés sont compacts (comme dans IR n! Attention, ce n est justement pas vrai dans l espace des fonctions qui sont seulement continues). 12