3- Lois de distributio discrètes -1 Chapitre 3 : Lois de distributio discrètes 3.1 Loi de Berouilli...1 3. Loi Biomiale...1 3.3 Loi géométrique... 3.4 Loi de Pascal (loi égative biomiale)...3 3.5 Loi hypergéométrique...4 3.6 Loi de Poisso...4 3.1 Loi de Berouilli Ue expériece présete résultats possibles : succès ou échec. La probabilité de succès est «p». O défiit X comme : X=1 si l expériece est u succès X=0 si l expériece est u échec. p( 1) = p p( 0 ) = 1 p E[X]=1*p+0*(1-p)=p X)=E[X ]-p =p-p =p(1-p) Exemple : Ue éprouvette de béto est soumise à u test de goflemet (orme ASTM). L éprouvette peut soit échouer (X=0) soit réussir le test (X=1). La probabilité que l éprouvette réussisse le test est «p». X est ue v.a. Berouilli. 3. Loi Biomiale Soit répétitios idépedates d ue expériece de Berouilli. Soit X la v.a. doat le ombre de succès parmi les répétitios. X suit ue loi biomiale. p x x ( x ) = p ( 1 p ) x = 01,,... x X
3- Lois de distributio discrètes - où = x.! = x!( x)! C x est le ombre de combiaisos possibles de x élémets das u esemble de O a, utilisat le fait qu ue variable biomiale est la somme de v.a. Berouilli (i.e. X=X 1 +X...+X ) où X i est Berouilli: [ X ] E[ X + X +... + X ] p E = = 1 et, comme les variables Berouilli sot idépedates X ) = X + X +... + X ) = X ) = p( 1 p ) 1 Note : o obtiet évidemmet les mêmes résultats e partat directemet de la défiitio de l espérace et de la variace utilisat la foctio de masse. Note : si X 1 est Biomiale( 1,p) et X est Biomiale(,p) alors X 1 +X est Biomiale( 1 +,p) Exemple : o estime qu u béto coforme à ue certaie orme a éamois ue probabilité p=0.01 d échouer u test de coformité. Quelle est la probabilité que sur u lot de 0 éprouvettes, au mois ue soit jugée o-coforme suite au test de coformité? i 0 P(X 1) = 1-P(X=0) = 1- { 0 0.01 0 0.99 0 } = 0.181 3.3 Loi géométrique O répète de faço idépedate ue expériece de Berouilli autat de fois qu il faut pour obteir u succès. Soit X, le ombre d essais requis pour obteir le 1er succès. X suit ue loi géométrique. La foctio de répartitio est : x 1 p X ( x ) = p( 1 p ) x = 1,, 3... E [ X ] = 1/ p X ) = (1 p) / p F x X 3 ( x ) = 1 ( 1 p ) x = 1,,... Exemple : U béto globalemet coforme à ue certaie orme est échatilloé. Chaque éprouvette a ue probabilité 0.9 de réussir le test de coformité. Quelle est la distributio du ombre d éprouvettes devat être testées avat d e observer ue qui e réussit pas le test? (Note : ici le «succès» est «échouer le test» et le p correspodat est 0.1). P(X=1)=0.1
3- Lois de distributio discrètes -3 P(X=)=0.1*0.9=0.09 P(X=3)=0.1*0.9 =0.081... Quel est le ombre moye d éprouvettes que l o devra tester avat d e trouver ue qui échoue le test? 1/p = 1/0.1= 10 Propriété : La loi géométrique est sas mémoire, i.e. P(X>t+c X>c)=P(X>t). Aisi das l exemple précédet, si les 0 premières éprouvettes ot passé le test, le ombre moye d éprouvettes supplémetaires qu il faudra examier avat qu ue échoue le test sera toujours 10. 3.4 Loi de Pascal (loi égative biomiale) O répète de faço idépedate ue expériece de Berouilli autat de fois qu il faut pour obteir u k e succès. Soit X, le ombre d essais requis pour obteir le k e succès. X suit ue loi de Pascal. x 1 k x k p X ( x ) = p ( 1 p ) x = k,k + 1,k +... k 1 E X = k / p [ ] X ) = k(1 p) / p Exemple : Ue voie de circulatio réservée au virage à gauche a ue capacité de 3 véhicules. Six véhicules se présetet à u feu rouge et e moyee 30% des véhicules touret à gauche. Quelle est la probabilité que la capacité de la voie de virage à gauche soit isuffisate? Chaque véhicule toure à gauche avec p=0.3. O aura débordemet si o atteit k=4 véhicules voulat tourer à gauche e X = 4, 5 ou 6 véhicules. Doc la probabilité recherchée est : 0.3 4 4 + 4*0.3 0.7 + 10* 0.3 0.7 4 = 0.07 Note : o aurait pu aussi utiliser la loi biomiale et calculer la probabilité que X=4, 5 ou 6 parmi =6. O aurait alors : 15*0.3 4 0.7 +6*0.3 5 *0.7+0.3 6 =0.07 Exemple : O mesure la précipitatio maximale (pour ue heure) sur ue période d ue aée. Chaque aée est cosidérée idépedate. O effectue le desig d ue digue basé sur la période de retour 50 as de la précipitatio maximale (i.e. p=0.0 de dépasser le seuil de desig à chaque aée). a) Quelle est la probabilité d excéder au mois ue fois la capacité de la digue sur ue période de 30 as? Selo l éocé, X est Biomiale(30, 0.0). P(X 1) = 1-P(X=0) = 1-0.98 30 = 0.45 Si le desig est basé sur ue période de retour de 100 as? X est Biomiale(30, 0.01). P(X 1) = 1-0.99 30 = 0.6
3- Lois de distributio discrètes -4 b) Toujours avec p=0.01, quelle est la probabilité que la capacité de la digue e soit dépassée qu après 10 as (i.e. >10 as)? Le ombre d aées écessaires pour le premier «succès» suit ue loi géométrique. O cherche doc P(X>10)=1-P(X 10) =1 F X (10) = 1-(1-0.99 10 )=0.99 10 = 0.90 Note : Ue somme de «k» v.a. idépedates distribuées suivat ue loi géométrique de paramètre «p» suit ue loi de Pascal de paramètres p et k. Si deux v.a. idépedates suivet respectivemet des lois de Pascal de paramètres p et k 1 et p et k, alors leur somme suit ue loi de Pascal de paramètres p et k=k 1 +k. 3.5 Loi hypergéométrique Supposos que l o a D objets parmi N d u certai type. O prélève u échatillo de objets (sas remise). La loi hypergéométrique doe la probabilité que «x» objets parmi les soiet du type D. D N D x x p ( x) X = x = max(0, ( N D)),...mi(, D) N E [ X ] = D / N X ) = D N D N 1 N N 1 Note : La loi hypergéométrique apparaît aturellemet das des problèmes d échatilloage de particules e vrac pour détermier la teeur d u mierai par exemple. Toutefois, des adaptatios sot écessaires pour teir compte que les particules, das ce cas, ot pas toutes la même taille, la même masse volumique i la même teeur idividuellemet. C est le propos de la théorie d échatilloage des matières e vrac de Pierre Gy. Note : Cette loi a été vue au chapitre 1 das la sectio sur le déombremet Note : Lorsque N et D sot grads, le fait qu il y ait remise ou o importe peu sur les probabilités calculées et la loi hypergéométrique fourit alors des valeurs très proches de la loi biomiale avec p=d/n. 3.6 Loi de Poisso Il s agit d ue loi très utile ayat de ombreuses applicatios. Elle découle du processus de Poisso. U processus de Poisso est u processus où les évéemets (ex. accidets d automobile, émissio d ue particule radioactive, tremblemets de terre) ou objets (ex. fractures sur ue carotte de forage, itrusifs
3- Lois de distributio discrètes -5 graitiques, gisemets), arrivet de faço etièremet aléatoire das le temps, le log d ue lige, sur ue surface, das u volume. Aisi, i. si l o cosidère deux itervalles disjoits, les ombres d occurreces sot idépedats ; ii. pour u itervalle suffisammet petit, la probabilité d occurrece est proportioelle à la logueur de l itervalle; iii. pour u itervalle suffisammet petit, la probabilité d observer plus d ue occurrece est ulle. La loi de Poisso décrit le ombre d évéemets ou d objets que l o s atted à recotrer das u domaie doé et/ou durat ue période de temps doée. p x λ X λ e ( x ) = x! E [ X ] X = λ x = 0, 1,... ) = λ Le paramètre λ de la distributio est doc le ombre moye d évéemets ou d objets attedu. Note : Si X est Poisso( λ ) ou X désige le ombre «d objets» observé par uité de temps «t» (ou d espace), alors la v.a. Y doat le ombre d objets observé durat ue période kt, est Poisso(k λ ). Note : La loi de Poisso peut-être vue comme le cas limite pour ue loi biomiale avec p= λ / et très grad (et doc p petit). Note : La loi de Poisso est souvet l hypothèse de base que l o cherche à tester avec os doées. Si l o accepte la loi de Poisso alors o e peut rejeter l iterprétatio que les évéemets observés das le temps (ou das l espace) survieet de faço etièremet aléatoire. Aisi, l iformatio sur ue période précédete est d aucue utilité pour prédire la valeur de X pour la période actuelle. Propriété : Si X 1, X...X sot des v.a. idépedates chacue distribuée suivat ue loi de Poisso de paramètre λ 1, λ,..., λ, alors Y = X 1 +X +...X est distribuée suivat ue loi de Poisso de paramètres λ = λ + λ +... + λ 1 Note : Lorsqu ue variable suit ue loi de Poisso, par exemple le ombre d automobiles passat sur ue route durat ue miute, alors l itervalle de temps etre deux «objets» suit ue loi expoetielle (loi cotiue). De même das u forage, si le ombre de joits par mètre suit ue loi de Poisso, alors la distace séparat des joits cosécutifs suit ue loi expoetielle. Ces deux lois (Poisso et expoetielle) sot doc très itimemet liées. Exemple : O observe e moyee 0.5 tremblemet de terre par aée de magitude supérieure à 7 à proximité des côtes du Chili. Quelle est la probabilité d observer deux tremblemets de terre ou plus ayat ue magitude supérieure à 7, a) au cours d ue même aée? O a λ =0.5 P(X ) = 1-P(X=0)-P(X=1) = 1- e -0.5 (1 + 0.5 1 /1!) = 0.09
b) au cours des 3 prochaies aées? O a λ =3*0.5=1.5 P(X ) = 1-P(X=0)-P(X=1) = 1- e -1.5 (1 + 1.5 1 /1!) = 0.44 3- Lois de distributio discrètes -6