Cours de 1ère S/ Géométrie plne Eric Dostl Aout 015
Tble des mtières Vecteurs et repérge dns le pln.1 Rppels.......................................... Bses, Repères et Coordonnées............................. Equtions de droites.................................. 5 1
Chpitre Vecteurs et repérge dns le pln.1 Rppels Définition 1 Soit A et B deux points distincts du pln, le vecteur AB est prfitement déterminé pr : s direction : celle de l droite (AB son sens : de A vers B s longueur : AB Dns ce cs, on dit que AB est un vecteur directeur de l droite (AB. Proposition 1 AB = CD si et seulement si ABDC est un prllélogrmme (éventuellement plti. Cette proposition, justifie de donner un nom à un vecteur indépendnt de points qui sont fixes, pr exemple : AB = u Pr convention, pour un point A, on ppelle le vecteur AA vecteur nul que l on note 0. On définit l somme de deux vecteurs u+ v insi que le produit d un vecteur pr un réel k. u. Exemple : Soit un tringle ABC. Construire les points M, N et P tels que AM = BC + AB CN + AC = CB AP + BP + CP = 0 Définition vecteur. Soit un vecteur u. On ppelle norme de u, notée u, l longueur de ce Propriétés : 0 = 0 k. u = k. u
E. Dostl - 015 CHAPITRE. VECTEURS ET REPÉRAGE DANS LE PLAN Attention! u + v n est ps toujours égl à u + v. En fit, c est l inéglité tringulire : u + v u + v vec églité ssi u et v sont colinéires. Définition l un de ces vecteurs est nul u et v sont colinéires ssi ou on peut écrire v = k. u vec k 0 Définition 4 u et v deux vecteurs non nuls sont othogonux ssi leurs directions sont perpendiculires. On note lors u v. Si k est positif les deux vecteurs ont le même sens, et si k est négtif, ils sont de sens contrire. Remrque : Toutes ces propriétés sont vries dns le pln mis ussi dns l espce. (On verr l nnée prochine l utilistion de vecteurs dns l espce. Appliction On considère un prllélogrmme ABCD. Sur ce prllélogrmme, on plce les points I et J définis pr les reltions : BI = 1 AB et JC = BC. Montrer que D, I et J sont lignés. Méthode 1 Pour montrer que deux droites sont prllèles ou que trois points sont lignés, on montre que deux vecteurs sont colinéires pr exemple en montrnt qu ils sont proportionnels.. Bses, Repères et Coordonnées Définition 5 On ppelle bse ( i, j du pln, l donnée de deux vecteurs i et j non colinéires. On ppelle repère (O; i, j du pln, l donnée d un point origine O et d une bse ( i, j. Un repère (O; i, j est orthogonl si i et j sont orthogonux. Un repère (O; i, j est orthonorml si i et j sont orthogonux et tous deux de norme 1. Définition 6 A tout point M du pln, on ssocie les coordonnées : M(x; y dns le repère (O; i, j ssi OM = x. i + y. j. A tout vecteur u du pln on ssocie les coordonnées : u(x; y dns l bse ( i, j ssi u = x. i + y. j. Propriété : Soient deux vecteurs u et v de coordonnées respectives (x; y et (x ; y dns l bse ( i, j.
E. Dostl - 015 CHAPITRE. VECTEURS ET REPÉRAGE DANS LE PLAN 1. u = 0 ssi x = y = 0 { x=x. u = v ssi y=y. u + v (x + x ; y + y 4. k. u (kx; ky Propriété : Soient deux points A et B de coordonnées respectives (x A ; y A et (x B ; y B dns le repère (O; i, j. Soit I le milieu de [AB]. 1. AB (x B x A ; y B y A. I ( x A+x B ; y A+y B Proposition ( Critère de colinérité ( x x (O; i; j vec u et v y y lors : u et v sont colinéires ssi xy x y = 0 (déterminnt nul Proposition Critère d orthogonlité dns un R.O.N. ( x Si le pln est muni d un repère orthonormé (O; i; j vec u y ( x et v y lors : u v ssi xx + yy = 0 ( ( -51 Exemple : u et v dns une bse ( i, j. -4 On clcule leur déterminnt (produit en croix : ( 4 ( 51 = 10 ( 10 = 10 + 10 = 0. donc u et v sont colinéires. Théorème 4 Théorème de Thlès Soient deux droites distinctes (AA et (BB sécntes en O lors : { OA (AB // (A B ssi = k. OA OB = k. (même coef de proportiopnnlité OB De plus dns ces conditions on : A B = k. AB. Preuve : Si (AB // (A B lors cel signifie que les vecteurs A B et AB sont colinéires donc proportionnels. Il existe donc un coefficient k de proportionnlité tel que A B = k. AB. Or A, A et O sont lignés donc il existe un coef de proportionnlité tel que OA = α. OA. De même B, B et O sont lignés donc il existe un coef de proportionnlité tel que OB = β. OB. Dns le repère (O; OA, OB (qui est bien un repère cr les droites étnt distinctes et sécntes, les vecteurs de bse ne sont ps colinéires, on : A(1; 0 et B(0; 1 mis ussi A (α; 0 et B (0; β. Donc on en déduit que ( -1 AB et que ( α A 1 B β 4
E. Dostl - 015 CHAPITRE. VECTEURS ET REPÉRAGE DANS LE PLAN L églité vectorielle A B = k. AB implique lors que α = k et β = k. (pr identifiction des coordonnées (Propriété Si OA = k. OA et OB = k. OB lors pr propriété de Chsles, A B = ( A O + OB = k. AO + k. OB = k.( AO + OB = k. AB. Exercice : Soient un prllélogrmme ABCD et I et J tels que DJ = 1 1 BC. Déterminer, si elles existent, les coordonnées de 1. I dns le repère (A; AB, AD ;. C dns le repère (D; DJ, DC ;. B dns le repère (D; DJ, IC. DC et BI = Proposition 5 Norme dns un R.O.N. Si le pln est muni d un repère orthonormé (O; i; j et u de coordonnées u = x + y ( x y lors : Exercice : Le pln est muni d un repère orthonormé. On considère les points suivnts : A( ; 1, B( 4; 4 et C(1;. Quelle est l nture du tringle ABC?. Equtions de droites Définition 7 Le pln est muni d un repère. Toute droite D non verticle (non prllèle à l xe des ordonnées du pln dmet une éqution réduite de l forme y = mx + p. Toute droite D verticle du pln dmet une éqution réduite de l forme x = k. Dns le premier cs, on dit que m est le coefficient directeur (ou pente et p est l ordonnée à l origine. Mis on préfère une condition d pprtennce qui corresponde à toutes les droites du pln : Définition 8 Le pln est muni d un repère. Toute droite D du pln dmet une éqution crtésienne de l forme x + by + c = 0. C est une condition d pprtennce à l droite : M(x; y D ssi x + by + c = 0. Ceci est en fit un théorème-définition. Nous llons dmettre que toutes les droites dmettent effectivement une éqution de cette forme. Nous verrons dns l recherche des ces équtions crtésiennes, l rison de leur existence. 5
E. Dostl - 015 CHAPITRE. VECTEURS ET REPÉRAGE DANS LE PLAN Remrque : Une droite dmet en fit une infinité d équtions de ce type, toutes égles à un coefficient multiplicteur près. ( 5 Exemple : Dns un repère, on considère A(1;, B( ; 1 et u. Determiner une éqution crtésienne de D = (AB et de D, l droite pssnt pr A et de vecteur directeur u. Indiction : rédiger pr condition d pprtennce en terme de colinérité de vecteurs. M(x; y D ssi... Proposition 6 Le pln est muni d un repère orthonormé. D d éqution crtésienne x + by + c = 0. ( b Un vecteur directeur de D est u. Un ( vecteur norml à D (i.e. un vecteur directeur d une droite perpendiculire à D est v. b ( 5 Appliction : Dns un R.O.N., A( 1; et v 7 Déterminer une éqution de l droite (d pssnt pr A tel que v soit norml à cette droite.. Théorème 7 Dns un repère, on considère D et D d équtions respectives : x + by + c = 0 et x + b y + c = 0. D et D sont prllèles ssi b b = 0. (ou encore, même coef directeur s il existe Si c est un R.O.N., D et D sont perpendiculires ssi + bb = 0. ( b Preuve : 1 D dmet pour vecteur directeur u D//D ssi u // u u et v sont colinéires le determinnt de u b ( b = 0 b b = 0 ( b et u ( b et D : u ( b est nul D D ssi ( u u ( b b u et u b( b + = 0 + bb = 0 sont orthogonux 6