ESTIMATION Exercices

ESTIMATION Exercices EERCICE : Les variables aléatoires cosidérées das cet exercice sot défiies sur u espace probabilisable, AP, Soit a u réel strictemet positif et ue variable aléatoire de loi uiforme sur 0,a * ) Soit.O cosidère variables aléatoires,..., qui ot toutes la même loi que.o pose M Max espérace et sa variace ) E déduire que U,...,.Détermier la loi de M et calculer so M... l estimateur V? EERCICE : ESC 006) est u estimateur sas biais de E.Est-il préférable à Das cet exercice R désige u réel fixé strictemet positif et o cosidère la foctio f défiie sur f t) 0 si t 0, R par : f t) t si t 0; R R. a) Etudier la cotiuité de f. b) Motrer que f est ue desité de probabilité. O ote das toute la suite ue variable aléatoire réelle de desité f. F désige sa foctio de répartitio.. a) Détermier la valeur F x) lorsque x 0, puis lorsque x R. b) Motrer que pour tout réel x de [0 ; R], F ) x x R 3. a) Motrer que admet ue espérace et que E ) R. 3 b) Motrer que admet ue variace et quev ) R. 8 Das toute la suite désige u etier aturel o ul et,,, des variables aléatoires idépedates et de même loi que. O cherche à estimer le réel R à l'aide de,,,. 4. O ote T 3 k et o cherche à estimer R avect. k Motrer quet est u estimateur sas biais de R et calculer so risque quadratique oté r T ). 5. O ote M la variable aléatoire preat pour valeur le maximum des valeurs prises par les variables,,,

a) Motrer que pour tout réel x, P M x) F x)).e déduire la foctio de répartitio de M, puis motrer que M est ue variable aléatoire à desité b) Motrer qu'ue desité possible de M est la foctio g défiie sur I R par : g g t) t R t) 0 c) Motrer que M admet ue espérace et ue variace, et que : E M R ) Et V M ) R. ) ) d) O cherche à estimer R avec M : Calculer le biais de M oté b M ), et so risque quadratique oté r M ) 6. a) Détermier u équivalet simple lorsque ted vers + de b M ) et r M ). si si t t b) Quels sot les avatages et les icovéiets réciproques des estimateurst et M? EERCICE 3 : EDHEC AST 04 [ 0 ; [ 0 ; R ] R ]

que Z est u estimateur biaisé de N EERCICE 4: ECRICOME S 009) O examie das cet exercice deux méthodes différetes pour tester la cotamiatio par ue bactérie de 400 bouteilles de lait choisies au hasard sur le territoire Das tout l exercice, est u réel fixé, élémet de l itervalle 0, 0 O suppose que pour chaque bouteille, la probabilité de cotamiatio est égale au réel O dispose d u test permettat de maière ifaillible de savoir si l échatillo de lait qu o lui soumet est cotamié ou o quelque que soit le volume de cet échatillo). Das cette questio o adopte ue méthode simple cosistat à tester ue par ue chaque bouteille O ote k la variable de Beroulli valat si la k -ième bouteille testée est cotamiée et 0 si la k -ième bouteille est saie sot mutuellemet O supposera das tout l exercice que les variables k k 400 idépedates 400 a) Justifier que la variable Z k est u estimateur sas biais de 400 k b) Détermier la variace VZ de Z et justifier que VZ 4000 c) Motrer que P Z 0.05 0..Que peut-o e déduire sur l itervalle de cofiace Z0.05; Z 0.05?. Das cette questio o examie ue méthode mois directe : les 400 bouteilles sot regroupées e 40 lots de 0 bouteilles. O remplit alors 40 jerrycas e versat das chacu la quasi-totalité des 0 bouteilles d u lot o garde das chaque bouteille u peu de lait pour u futur deuxième exame évetuel)

O teste esuite chacu des 40 jerrycas : Si u jerryca est cotamié, o teste ue à ue les 0 bouteilles icrimiées Si u jerryca est pas cotamié, o cosidère les 0 bouteilles dot il est rempli comme saies O ote Y la variable de Beroulli valat si le ième jerryca dot il est rempli est cotamié et 0 sio Efi o ote T la variable aléatoire égale au ombre total de tests effectués das cette méthode a) Motrer que pour tout etier,40, EY b) Justifier que T 40 0Y 0 Y... 0Y 40 ET 440 400 c) E déduire que cette méthode est préférable à la première si et seulemet si e l0 0 et que 0 l0 0 0.79.Est-ce le cas ici? o doe e ) EERCICE 5 : ESSEC 005) Ue etreprise souhaite acquérir ue machie qui fabrique u certai type d'objets et qui, e foctioemet ormal, produit ue proportio p d'objets défectueux, 0 < p <. Le directeur veut coaître la valeur de p. Pour cela il teste la machie et prélève u échatillo de objets, >, qu'il aalyse. Pour tout i ; soit i la variable aléatoire de Beroulli défiie par i = si le ième objet prélevé est défectueux i = 0 sio O suppose que das les coditios de prélèvemet, les variables aléatoires ;... ; sot idépedates. O ote S = i. i S ) Motrer que F est u estimateur sas biais de p ) Calculer le risque quadratique r E F p.détermier lim Soit u réel de 0,. O souhaite détermier das cette questio u itervalle de cofiace du paramètre p icou, au iveau de cofiace, à partir de l'échatillo ;... ; ) F p 3) Quelle est la limite e loi de la suite? p p * 4) Soit t le réel défii par t = où désige la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée, réduite. Motrer qu'u itervalle de cofiace de p au iveau est doé par U; V tel que t t P U p V ) où U = F et V = F +. r.

EERCICE 6 : extrait de HEC S 007) Pour p *, o cosidère u échatillo de p variables aléatoires T, T,..., Tp idépedates suivat toutes la même loi de Poisso de paramètre 0 icou. O veut estimer. O pose T p p p i TP Ti et Up p ) Motrer que Tp est u estimateur sas biais de ) Quelle est la limite e loi de la suite de variables aléatoires p p U? 3) O veut costruire, pour p assez grad, u itervalle de cofiace du paramètre au risque doé. Soit u le réel strictemet positif tel que PU u où U est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite. Justifier que, pour p assez grad, o peut écrire itervalle de cofiace Ip, Jp pour au risque. EERCICE 7 : P U u et détermier alors u O cherche à évaluer le ombre N de poissos das u étag. O prélève das l étag u échatillo de m poissos.o les marque et o les remet das l étag. O propose d estimer N. Soit *, m.o prélève des poissos das l étag, au hasard et avec remise. O ote la variable aléatoire égale au ombre de poissos qu il a été écessaire de pêcher pour obteir poissos marqués. Pour tout etier i tel que i, o pose Di i i.o pose de plus D et o suppose que les D sot des variables aléatoires idépedates. i ) a) Détermier, pour tout i,, la loi de D i, so espérace et sa variace.e déduire l espérace et la variace de. m b) O pose A.Motrer que A est u estimateur sas biais de N. ) a) Pour assez grad, par quelle loi peut-o approcher la loi de la variable aléatoire? m m b) O pose l écart type de A.Démotrer que.65 ;.65 est u.65 0.95 où est itervalle de cofiace pour N au seuil de cofiace 0.9 o doe la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée et réduite). O a pu prouver par ailleurs que 00.O a marqué 00 poissos, puis effectué 450 prélèvemets pour obteir 50 poissos marqués. Doer u itervalle de cofiace réalisé pour N au seuil de cofiace 0.9. p

EERCICE 8 : extrait de HEC II S 0 Soit u etier aturel o ul A. O cosidère la foctio F défiie sur par : F x si x x 0 si x ) Tracer la courbe représetative de F e précisat la demi-tagete au poit d abscisse ) Motrer que la foctio F est la foctio de répartitio d ue certaie variable aléatoire à desité dot o précisera ue desité otée f 3) Motrer que admet aucu momet d ordre B. O cosidère variables aléatoires,,..., idépedates de même loi que et sup,,..., soit Z ) Détermier la foctio de répartitio otée G de la variable aléatoire Z O défiit sur la foctio H h par : H x exp ) si x 0 x 0 si x 0 ) Motrer que la foctio H est la foctio de répartitio d ue certaie variable aléatoire à desité Y dot o précisera ue desité otée h 3) Motrer que la suite de variables aléatoires Z * coverge e loi vers Y C. Das cette partie, suit la loi ormale d espérace icoue et de variace égale à... O ote la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite et O a toujours,,..., variables aléatoires idépedates de même loi que... ) Motrer que est u estimateur sas biais de ) Détermier u itervalle de cofiace du paramètre au risque dot le milieu est de demi-logueur le réel positif.vérifier que