OMIN : Géométrie UTUR : Igor KORTHMSKI NIVU : ébutants STG : Grésillon 2011 ONTNU : xercices xercices de géométrie xercice 1 Soit un triangle. Montrer que l intersection de la bissectrice issue de et de la médiatrice de [] appartient au cercle circonscrit de. xercice 2 Soient et deux triangles tels que =, Â = et Ĉ =. Montrer que =. xercice 3 Soit un triangle. Sur la droite (), on place les deux points et tels que les longueurs,, soient égales et telles que soit du côté de. Montrer qu alors : 1. les droites () et ( ) sont respectivement parallèles à la bissectrice intérieure et à la bissectrice extérieure de l angle Â, 2. le triangle est un triangle rectangle. xercice 4 Soit un triangle aux angles aigus d orthocentre H. Montrer que les symétriques de H par rapport aux côtés du triangle appartiennent à son cercle circonscrit. xercice 5 On considère deux cercles tangents intérieurement en un point et une corde [] du grand cercle tangente au petit cercle en. Montrer que la droite () est la bissectrice de l angle Â. xercice 6 Soient 0,, trois points non alignés du plan. On note 1 le centre du cercle inscrit de 0, 2 celui de 1 et ainsi de suite pour construire les points 2, 3,.... Pour un entier n, calculer le rayon du cercle inscrit de n. xercice 7 Une droite passant par le sommet d un triangle équilatéral coupe le côté [] en Q et le cercle circonscrit au triangle en P. Montrer que 1 P + 1 P = 1 PQ. 1
FIGUR 1 xercice 1 - orrection - Solution de l exercice 1 Notons l intersection de la bissectrice issue de l angle et du cercle circonscrit de (voir figure). Il faut et il suffit de montrer que appartient à la médiatrice de []. omme les angles et sont égaux, ceci implique les longueurs des arcs et sont égales, et donc que appartient à la médiatrice de []. Solution de l exercice 2 Superposons les deux triangles de sorte que = et que les points,, et,, soient respectivement alignés. comme sur la figure 2. Les angles et étant étaux, les droites () et ( ) sont parallèles. On en déduit que le résultat par application du théorème de Thalès. Solution de l exercice 3 Notons 1 et 2 respectivement les bissectrices intérieure et extérieure de l angle Â. Les triangles et sont isocèles, et 1 (resp. 2 ) est perpendiculaire à ( ) (resp. à ()). omme ( 1 ) et 2 sont perpendiculaires, les droites () et ( 1 ), respectivement ( ) et ( 2 ) sont parallèles. Solution de l exercice 4 Notons H le pied de la hauteur issue de et son intersection avec le cercle circonscrit à (voir figure 4). Il suffit de montrer que les angles HH et H sont égaux. n effet, dans ce cas, les triangles rectangles H H et H auraient trois angles identiques 2
1 2 FIGUR 2 xercices 2 et 3 H H FIGUR 3 xercice 4 et un angle en commun et seraient alors égaux. eci implique H = H H et donc que est le symétrique de H par rapport au côté (). Montrons donc que H H = H. Notons α = H H. omme les angles H H et interceptent le même arc, ils sont égaux. On en déduit que = β, puis = 90 β car H est rectangle en H. Mais alors H = 90 = β, ce qu on voulait montrer. On démontre de même que les symétriques de H par rapport aux autres côtés appartiennent au cercle circonscrit. Solution de l exercice 5 - (Première solution) Soit F le point d intersection de la corde () avec la tangente commune. Les triangles F et F sont semblables et F = F. 3
H O F G FIGUR 4 xercice 5. Par suite : = F F = F F = F F F F =, et la droite () est la bissectrice de l angle Â. - (euxième solution, d après des idées d élèves) Notons O le centre du petit cercle et soient G, H les points d intersection de respectivement () et () avec le petit cercle. On introduit le point comme sur la figure 5. On commence par faire une petite chasse aux angles pour montrer que () et (GH) sont parallèles. On a  = = GH. onc () et (GH) sont parallèles. Or (O) et () sont perpendiculaires. onc (O) et (GH) sont perpendiculaires. onc (O) est la médiatrice de [GH]. onc, d après le premier exercice, () est la bissectrice de Â. Solution de l exercice 6 n 1 n r n X n FIGUR 5 xercice 6 Notons r n le rayon cherché et X n le point de tangence entre le cercle inscrit 4
de n et []. Remarquons qu en notant β = et γ = Ĉ, on a n = β/2 n et n = γ/2 n. On en déduit que n = 180 (β + γ)/2 n. après la loi des sinus appliquée dans n : n = sin sin ( γ ( ). 180 β+γ 2 n onc n = sin(γ/2 n )/ sin((β + γ)/2 n ). omme n X n est rectangle, on en déduit que : sin ( ) ( ) γ 2 sin β r n = n 2 ( ) n. sin β+γ 2 n Solution de l exercice 7 L angle P valant 120, on peut prolonger la demidroite (P) jusqu à un point tel que le triangle P soit équilatéral. lors les droites (P) et () sont parallèles, et les triangles et QP sont semblables. On en déduit que : 2 n ) QP = P = 1 + P P. n divisant cette égalité par = P = P, on obtient l égalité demandée. Q P FIGUR 6 xercice 7 5