VUIBERT V. Queffelec MATHS PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* Tout-e-u Tout le cours Fiches de sythèse Coseils méthodologiques Vrai/faux Exercices d applicatio Sujets de cocours Tous les corrigés détaillés CONFORME AU NOUVEAU PROGRAMME
Avat-propos Cet ouvrage vous propose, e u seul volume, toutes les clés écessaires pour réussir votre aée de mathématiques e PC/PC*, PSI/PSI* et PT/PT*. Cours complet Rigoureusemet coforme aux ouveaux programmes, il cotiet tous les outils pour acquérir les coaissaces et les savoir-faire idispesables. Fiches de sythèse et de méthodes Pour ue révisio efficace avat les kholles ou les épreuves, l essetiel du cours est préseté de maière sythétique sous forme de fiches de révisio et complété par de ombreux coseils méthodologiques pour acquérir les bos réflexes. Vrai/faux Première étape vers l etraîemet, des vrais/faux vous permettet de tester rapidemet la compréhesio du cours. Exercices d applicatio Applicatio directe du cours, ces ombreux exercices sot assortis d u corrigé détaillé. Chacu à u iveau de difficulté clairemet idetifié :, ou. Sujets de cocours Pour se mettre e situatio d épreuves, ue sélectio d exercices extraits de sujets de cocours vous est proposée. Tous ces exercices sot itégralemet corrigés. 3
Table des matières Préface......................................................... 7 Chapitre. Espaces vectoriels, edomorphismes et matrices..................... 9. Famille quelcoque de vecteurs 9. Produit et somme d espaces vectoriels 3. Edomorphismes remarquables d u espace vectoriel 4. Détermiat 6 5. Matrices par blocs 34 6. Sous-espaces stables 39 7. Matrices semblables et trace 4 8. Polyôme d u edomorphisme et polyôme d ue matrice 46 9. Formes liéaires et hyperplas 5 Sythèse et méthodes 56 Exercices 58 Corrigés 65 Chapitre. Réductio des edomorphismes et des matrices carrées................ 83. Élémets propres d u edomorphisme 83. Élémets propres e dimesio fiie 87 3. Diagoalisatio e dimesio fiie 95 4. Diagoalisatio et polyôme aulateur 3 5. Trigoalisatio e dimesio fiie 7 Sythèse et méthodes Exercices Corrigés 8 Chapitre 3. Espaces préhilberties....................................... 3. Produit scalaire et orme associée 3. Orthogoalité 36 3. Bases orthoormales d u espace euclidie 4 4. Projectio orthogoale sur u sous-espace de dimesio fiie 45 5. Formes liéaires sur u espace euclidie 5 Sythèse et méthodes 54 Exercices 56 Corrigés 6 Chapitre 4. Edomorphismes des espaces euclidies........................... 75. Isométries vectorielles 75. Matrices orthogoales 78 3. Orietatio d u espace euclidie 8 4. Isométries vectorielles d u pla euclidie 89 5. Isométries d u espace euclidie de dimesio 3 94 6. Edomorphismes symétriques 99 7. Coiques 3 Sythèse et méthodes Exercices Corrigés 8 Chapitre 5. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie....................... 9. Normes et parties d u espace vectoriel ormé 9. Suites d u espace vectoriel ormé de dimesio fiie 4 3. Topologie d u espace vectoriel ormé de dimesio fiie 45 4. Foctios etre espaces vectoriels ormés 53 5. Cotiuité sur ue partie 56 6. Applicatios automatiquemet cotiues e dimesio fiie 6 Sythèse et méthodes 66 Exercices 68 Corrigés 7 Chapitre 6. Foctios vectorielles, arcs paramétrés............................ 83. Dérivabilité 83. Foctios de classe k 88 3. Arcs paramétrés 9 4. Propriétés métriques d ue courbe plae 3 Sythèse et méthodes 38 Exercices 39 Corrigés 33 Chapitre 7. Séries umériques.......................................... 35. Séries absolumet covergetes 35. Développemet décimal d u réel 37 3. Complémet sur les séries à valeurs réelles 39 4. Séries alterées 336 5. Produit de Cauchy 34 Sythèse et méthodes 343 Exercices 345 Corrigés 35 4
Table des matières Chapitre 8. Itégrales gééralisées....................................... 36. Itégrale des foctios cotiues par morceaux 36. Itégrales gééralisées sur [a,+ [ 364 3. Itégrales gééralisées sur u itervalle quelcoque 37 4. Calculs d itégrales gééralisées 378 5. Espaces foctioels et itégrabilité 38 Sythèse et méthodes 384 Exercices 386 Corrigés 389 Chapitre 9. Suites de foctios, covergece domiée......................... 397. Modes de covergece d ue suite de foctios 397. Régularité de la limite d ue suite de foctios 4 3. Covergece domiée 48 Sythèse et méthodes 4 Exercices 4 Corrigés 46 Chapitre. Séries de foctios......................................... 43. Modes de covergece d ue série de foctios 43. Régularité de la somme d ue série de foctios 48 3. Série de foctios itégrables 433 Sythèse et méthodes 437 Exercices 439 Corrigés 445 Chapitre. Séries etières............................................ 46. Gééralités sur les série etières 46. Rayo de covergece 46 3. Opératios sur les séries etières 47 4. Régularité de la somme d ue série etière 473 5. Développemets e séries etières 475 6. Obtetio de développemets e série etière et développemets des foctios usuelles 478 7. Série géométrique et expoetielle d ue variable complexe 484 Sythèse et méthodes 486 Exercices 489 Corrigés 493 Chapitre. Itégrales dépedat d u paramètre réel......................... 55. Cotiuité 55. Dérivatio 58 3. Dérivées d ordre supérieur 5 4. Calculs de limites 53 Sythèse et méthodes 55 Exercices 57 Corrigés 5 Chapitre 3. Probabilités sur u uivers au plus déombrable.................... 537. Déombrabilité 537. Espace probabilisé 539 3. Coditioemet 547 4. Idépedace 55 Sythèse et méthodes 554 Exercices 558 Corrigés 564 Chapitre 4. Variables aléatoires discrètes.................................. 57. Variables aléatoires discrètes 57. Couple de variables aléatoires 578 3. Espérace 584 4. Foctios géératrices 597 5. Lois usuelles 599 6. Résultats asymptotiques 63 Sythèse et méthodes 66 Exercices 68 Corrigés 67 Chapitre 5. Équatios différetielles liéaires............................... 639. Systèmes différetiels 639. Équatios différetielles liéaires scalaires d ordre 648 Sythèse et méthodes 66 Exercices 664 Corrigés 669 Chapitre 6. Calcul différetiel.......................................... 679. Cotiuité des foctios de plusieurs variables 679. Foctios de classe 68 3. Dérivatio d ue foctio composée et règle de la chaîe 687 4. Gradiet 69 5. Applicatios géométriques 69 6. Dérivées partielles d ordre deux 73 7. Problèmes d extrema 77 Sythèse et méthodes 76 Exercices 78 Corrigés 74 Idex.......................................................... 735 5
Préface Depuis leur créatio à la fi du XIX e siècle (par Heri Vuibert, alors plus jeue agrégé de mathématiques de Frace) les Éditios Vuibert proposet des mauels scietifiques rédigés par les meilleurs auteurs, tous professeurs passioés par leur disciplie et leur eseigemet. Ce fut doc avec u très grad plaisir que je fus cotacté pour diriger ue ouvelle collectio d ouvrages scietifiques destiés aux étudiats préparatioaires, e adéquatio avec les ouveaux programmes de la retrée 3. Nous avos réui pour cette tâche difficile des auteurs de grad talet, aussi bie pour leur qualificatio discipliaire que pour leur désir de commuiquer leur savoir à u public de plus e plus hétérogèe. Etre 98 et, le ombre d étudiats de CPGE scietifique a plus que doublé, de ouvelles sectios ot vu le jour, des classes ot ouvert das u grad ombre de villes ; pedat cette période, la formatio iitiale scietifique des élèves à la sortie de l eseigemet secodaire a beaucoup évolué, e même temps que s érodait le ombre d heures alloué aux disciplies scietifiques. L écart s est doc creusé etre la termiale et les classes préparatoires aux grades écoles. Il reviet alors aux mauels, comme aux professeurs, de faire preuve de qualités pédagogiques exceptioelles, sas jamais sacrifier la rigueur idispesable qui est ue des forces de l eseigemet supérieur «à la fraçaise». C est das ce but que les livres de la collectio Vuibert Prépas ot été pesés et rédigés. Ils sot destiés au plus grad ombre et viset à ameer ce plus grad ombre au iveau de l excellece. Le rôle d u mauel de classe préparatoire est pas évidet. Les étudiats disposet déjà de leurs otes de cours, et parfois de polycopiés, proveat d eseigats fort compétets. Mais chacu sait qu o observe mieux ue statue et qu o e apprécie mieux la beauté e la regardat sous différets agles ; il e est de même des disciplies scietifiques das lesquelles ue diversité d approches e peut que faciliter la compréhesio et l assimilatio de otios a priori abstraites et difficiles. E ce ses, les ouvrages de la collectio «Vuibert Prépas» costituet ue aide coséquete pour les élèves de CPGE scietifiques. À lire ces ouvrages, que ce soit das les disciplies qui sot les miees, Mathématiques et Iformatique ou das des disciplies qui me sot mois familières comme la Physique, la Chimie ou les Scieces de l Igéieur, je e peux être qu admiratif devat le talet des auteurs de toutes origies qui, das des délais très courts, ot eu à cœur de faire passer leur amour pour la sciece et pour so eseigemet. Je suis certai que le public préparatioaire partagera mo ethousiasme pour cette collectio qui marque le retour des éditios Vuibert au service de ces filières. Deis Moasse 7
COURS 7Chapitre Séries umériques Das ce chapitre, les suites cosidérées sot à valeurs das = ou.. Séries absolumet covergetes Cette partie a déjà été traitée e MPSI et PCSI. Elle est au programme des étudiats de PT et peut costituer u rappel pour les étudiats de PC et PSI. Défiitio 7.. Covergece absolue O dit que la série u coverge absolumet si la série u coverge. Propositio 7.. Ue série u à valeurs complexes coverge absolumet si et seulemet si les deux séries Re(u ) et Im(u ) coverget absolumet. Démostratio Soit u ue série à valeurs complexes. Pour tout, o a, par l iégalité triagulaire : max( Re(u ), Im(u ) ) u Re(u ) + Im(u ) D où le résultat par comparaiso de séries à termes positifs. Théorème 7.. Coditio suffisate de covergece Toute série absolumet covergete est covergete. Autremet dit, pour les séries, la covergece absolue implique la covergece. 35
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* Démostratio D après la propositio précédete, o peut, sas perte de gééralité, démotrer le résultat pour ue série u absolumet covergete à termes réels. Pour, o ote : u + = u si u sio u = u si u sio O a alors les relatios u = u + u et u = u + + u. De plus, les termes u + et u sot positifs. Comme o a, e particulier, u + u et u u, et que la série de terme gééral u est covergete par hypothèse, alors, par comparaiso, les séries de termes gééraux u + et u sot covergetes. Par opératios usuelles sur les suites (ou séries) covergetes, la série de terme gééral u = u + u est covergete. Coseils méthodologiques Pour motrer qu ue série u à termes quelcoques coverge, o peut vérifier, das l ordre : Si so terme gééral (u ) ted vers. Si so terme gééral (u ) est de sige costat. Das ce cas, o lui applique les théorèmes de comparaiso (sauf si (u ) est égative), de domiatio ou d équivalece. Si la série coverge absolumet, das le cas où so terme gééral (u ) est pas de sige costats. Pour cela, o applique les théorèmes précédets à la série u (à termes positifs). Sio, c est plus délicat. O est souvet ameé à employer des techiques plus fies. Exemple 7. La série e i E effet, pour, o a coverge absolumet, doc coverge. e i =. Or, d après l exemple de Riema, la série e i coverge. D où, par défiitio, la covergece absolue de. Propositio 7.3. Si (u ) est ue suite à valeurs complexes et (v ) ue suite à termes positifs, si u = O(v ) et si v est covergete, alors u est absolumet covergete, doc covergete. Démostratio C est ue coséquece du théorème de domiatio, e otat que u = O(v ) u = O(v ). 36
Chapitre 7 Séries umériques COURS Exemple 7. si si La série coverge absolumet, doc coverge. E effet, o a 3/ + cos = O 3/ +cos, 3/ si 3/ +cos car la suite de terme gééral est borée par. 3/ D après l exemple de Riema, la série coverge. 3/ si Par comparaiso (ou domiatio), la série coverge absolumet. 3/ + cos Corollaire 7.4. Si (u ) est ue suite à valeurs complexes et (v ) ue suite à termes positifs, si u = o(v ) et si v est covergete, alors u est absolumet covergete, doc covergete. Démostratio C est ue coséquece du fait que u = o(v ) implique que u = O(v ). Propositio 7.5. Iégalité triagulaire Si u est ue série absolumet covergete, alors, pour tout N, + =N u + =N u. Démostratio Soit N et soit M tels que M N. Soit u ue série absolumet covergete, c està-dire que u coverge. D après le théorème 7., la série u coverge. La covergece de deux séries précédetes implique la covergece des séries u et u. De plus, N N M M o peut écrire l iégalité triagulaire pour les sommes fiies u u. E faisat =N tedre M vers + das l iégalité ci-dessus, o obtiet le résultat. =N. Développemet décimal d u réel Cette partie a déjà été traitée e MPSI et PCSI. Elle est au programme des étudiats de PT et peut costituer u rappel pour les étudiats de PC et PSI. 37
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* Propositio 7.6. Développemet décimal Pour tout x +, il existe ue uique suite d etiers aturels (x ) telle que :, x k k x < x k k + k = k = De plus, la suite (x ) est à valeurs das [[, 9]] pour et e statioe pas sur 9. Vocabulaire 7.3 La suite (x ) est appelée développemet décimal propre de x. Les valeurs x k k et x k k + sot les approximatios décimales à l ordre k = k = de x par défaut et par excès. Propositio 7.7. x Soit x +, de développemet décimal (x ). Alors, la série coverge vers x. O ote sa limite x = x,x x x 3..., qu o appelle écriture décimale illimitée de x. Remarque 7.4 Pour obteir le développemet décimal de x, o se ramèe au développemet décimal de x. Remarque 7.5 Il existe des développemets décimaux impropres : ceux où l o impose pas la coditio de o-statioarité sur 9. Das ces coditios, il y a ambiguïté sur la descriptio d u ombre par so développemet décimal. Par exemple, o a : =,... =, 99999... Défiitio 7.. Les ombres décimaux sot les réels dot la suite des décimales statioe sur. Propositio 7.8. Les ombres ratioels sot les ombres dot le développemet décimal est périodique à partir d u certai rag. 38
Chapitre 7 Séries umériques COURS 3. Complémet sur les séries à valeurs réelles 3.. Règle de d Alembert Lemme 7.9. Soit et soit u ue série de terme gééral strictemet positif. S il existe k ], [ tel que, u + u S il existe k ],+ [ tel que, u + u k, alors u coverge. k, alors u diverge. Démostratio Supposos qu il existe k ], [ tel que, u + k. Par produit dit télescopique d iégalités etre ombres positifs, o peut écrire pour, + : u + = u k = u k + u k u k = k Doc, u = O(k ). Or, o sait que la série géométrique de terme gééral k coverge, car k <. Par comparaiso, la série de terme gééral u coverge. De maière aalogue, s il existe k > tel que, u + k, o motre que k = O(u ). Par comparaiso avec ue série géométrique divergete, la série de terme gééral u diverge ((u ) e ted pas vers ). k = u Théorème 7.. Règle de d Alembert Soit u ue série de terme gééral strictemet positif. u + O suppose, de plus, que lim = l. Alors : + u Si l <, la série u coverge. Si l >, la série u diverge grossièremet. Si l =, o e peut pas coclure. Démostratio u + Supposos que lim = l <. Par défiitio de la limite d ue suite, e preat + u ɛ = l, il existe tel que, u + l ɛ. E particulier, u, u + l + l = +l <. D après le lemme précédet, u u coverge, doc u coverge égalemet. 39
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* O motre de même que, si lim + u + u = l >, alors u diverge. Exemple 7.6 Pour illustrer le cas où l = das la règle de d Alembert, o peut cosidérer les exemples (séries de Riema) suivats : u + Pour u = /( + ), o a lim = et u diverge. Pour u = /( + ), o a + lim + u u + u = et u coverge. Coseils méthodologiques La règle de d Alembert est particulièremet adaptée aux cas où le terme gééral u est formé de produits, quotiets, puissaces ou factorielles. Exemple 7.7 Cosidéros la série. Pour, o a u = >. De plus : u + ( + ) = u + = D après la règle de d Alembert, la série + u coverge. + Remarque 7.8 La règle de d Alembert s adapte à la otio de covergece absolue. Si (u ) est ue suite e s aulat pas à partir d u certai rag, telle que u + u l < alors, la série u coverge absolumet, doc coverge. De même, si u + u l >, alors ( u ) e ted pas vers et (u ) o plus. 3.. Comparaiso etre série et itégrale Théorème 7.. Théorème de comparaiso etre ue série et ue itégrale Soit f : [,+ [ ue foctio cotiue par morceaux, positive et décroissate. Alors : La série de terme gééral w = f (t )d t f () coverge. La série f () coverge si et seulemet si f est itégrable sur [,+ [.... 33
Chapitre 7 Séries umériques COURS Das ce cas, o a : + = w = + + f (t )dt f () = Démostratio Soit f vérifiat les hypothèses de l éocé. E utilisat le fait que [, ] est de logueur, o a, pour : w = f (t )dt f ()dt = (f (t ) f ())dt Puisque f est décroissate, t [, ], f (t ) f (). Par positivité de l itégrale, w ; la série w est à termes positifs. La décroissace de f implique aussi t [, ], f ( ) f (t ), d où : w Pour N, o peut écrire, par télescopage : = (f ( ) f ())dt = f ( ) f () N N S N = w (f ( ) f ()) = f () f (N ) = Or, f est décroissate et miorée (car positive) ; elle est doc borée par f (). O e déduit que la suite (S N ) N est borée. Comme so terme gééral w est positif, la série w est covergete. Il suffit d écrire, pour N : N f (t )d t = N = f (t )dt = N w + = f ()dt = S N + N f () Comme la suite (S N ) est covergete, les suites suivates sot de même ature : N N f (t )d t N et = f () N Pour termier, comme f est positive, elle est itégrable si et seulemet si lim x + existe. C est équivalet à l existece de la limite suivate f (t )d t, car o dispose de l ecadremet suivat : x f (t )d t x f (t )d t x + lim N + N f (t )d t N = x + x f (t )d t 33
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* Iterprétatio graphique La preuve de ce théorème est basée sur la techique d ecadremet dite «des rectagles», qu illustre la figure suivate. y f() f(+) + x Figure 7.. L aire sous la courbe etre et + est comprise etre les aires des rectagles du premier pla et de l arrière-pla. Ue simple lecture graphique doe : + f ( + ) f (t )dt f () et + f (t )dt f () f (t )dt Remarque 7.9 O peut faire des calculs aalogues pour ue foctio f croissate. Propositio 7.. Estimatios du reste ou de la somme partielle (Hors programme) Soit f : [,+ [ + cotiue et décroissate. O pose I = + f (t )dt {+ }. O ote S (resp. R ) la somme partielle (resp. le reste) d ordre de la série de terme gééral f () Si I, alors I Si I = +, alors S + + f (t )dt R I f (t )dt. f (t )dt. Démostratio Supposos que I < + (i.e. I ). Alors, la série f () coverge. Pour et p, o obtiet, par la méthode des rectagles : ++p + f (t )dt +p k =+ f (k ) +p f (t )dt 33
Chapitre 7 Séries umériques COURS E faisat tedre p vers +, ce qui est licite, et d après la relatio de Chasles : L + f (t )dt f (k ) = R L k = f (t )dt Supposos que L = +. Alors, d après le théorème 7., il existe a + tel que S f (t )dt = a +o(). Par coséquet : S f (t )dt = + a +o() f (t )dt + Exemple 7. (de Bertrad) Pour a et b réels, o cosidère la série de terme gééral : u = a l b Motros que la série u coverge si et seulemet si (a > ) ou (a = et b > ). Commeços par remarquer que, u. O pourra doc utiliser tous les théorèmes de comparaiso appliquables aux séries à termes positifs.. Supposos que a >. Alors, o a c = +a >. De plus : Or, a a l b = (+a )/ a l b = (a )/ l b c u >, doc lim =, quel que soit b, par croissaces comparées. O e + c déduit que u = o c, avec c >. Par comparaiso avec ue série de Riema, la série u coverge.. Supposos a <. Alors, o a c = +a Or, a c c a l b <. De plus : = a l b = lb (+a )/ ( a )/ >, doc lim =, quel que soit b, par croissaces comparées. O e + u déduit que = o(u c ), avec c <. Par comparaiso avec ue série de Riema, la série u diverge. 3. O suppose maiteat que a =. Si b, o a = O (u ), par croissaces comparées. Par comparaiso avec ue série de Riema (la série harmoique), la série u diverge. Doréavat, o suppose b >. O défiit sur I =],+ [ la foctio f par f (t ) =. Cette foctio est, d après les t l b t 333
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* théorèmes usuels, de classe sur I, et o a : t, f (t ) = lb t + b l b t t (l b t ) Doc la foctio f est décroissate sur [,+ [. O e déduit que, pour, et t [, + ], o a f (t ) f (). Par croissace de l itégrale : + f (t )dt f ()dt = f () = u f (t )dt E sommat pour allat de 3 à N 3 et d après la relatio de Chasles : N =3 + f (t )dt = N + 3 N N f (t )dt u =3 = f (t )dt = N f (t )dt (7.) Étudios l itégrale de droite : dès qu elle admet ue limite fiie quad N +, alors la série u coverge, car ses sommes partielles sot majorées par cette limite. Par le chagemet de variable de classe u = l t, o a, si b : N f (t )dt = l N l du u = b b [u b ] l N l = l b (N ) l b () Cette expressio admet ue limite fiie quad N + si et seulemet si b > (o a déjà exclu le cas b = ). Supposos maiteat b =. Le chagemet de variable précédet doe : N + 3 l(n +) f (t )dt = [l u ] l 3 = l(l(n + )) l(l 3) qui ted vers + lorsque N ted vers +. Comme la série est à termes positifs, pour motrer qu elle diverge, il suffit de motrer, d après l iégalité de gauche de la relatio (7.), que la limite précédete vaut +. E coclusio, das le cas où a =, la série coverge si et seulemet si b >. 3.3. Formule de Stirlig Lemme 7.3. Itégrales de Wallis Pour, o pose I = I + I I + = + + I ( + )I + I = π I = ()! π (!) π si t dt. O a alors : 334
SYNTHÈSE Sythèse et méthodes Séries umériques Produit de Cauchy Le produit de Cauchy w de deux séries umériques u et v est la série de terme gééral : w = u p v q = u k v k p+q= k = Si les séries u et v sot absolumet covergetes, alors w l est aussi et o a : + + w = v = = u + = Règle de d Alembert Soit (u ) ue suite umérique. O suppose qu il existe u rag à partir duquel (u ) e s aule pas et que, de plus : u + l + {+ } u Si l <, la série u coverge absolumet. Si l >, la série u diverge grossièremet. Si l =, o e peut coclure directemet. Comparaiso série/itégrale Si f est ue foctio positive cotiue et décroissate sur [,+ [, alors, + f (t )dt f () f (t )dt La série f () coverge si et seulemet si f est itégrable sur [,+ [. Les deux ecadrés suivats e figuret pas au programme des étudiats de PT. Séries alterées Ue série u est dite alterée si la suite (( ) u ) est de sige costat. Théorème spécial : Si u est alterée et que la suite ( u ) ted vers e décroissat, alors u coverge.... 343
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* Majoratio du reste : Si u est alterée relevat du théorème spécial, alors : R = + k =+ R u +. u k est du sige de u +. Formule de Stirlig! π e Les faits suivats sot ouveaux pour les étudiats de PT et peuvet costituer u rappel pour les étudiats de PC et PSI. Covergece absolue Ue série u est dite absolumet covergete si u est covergete. Si u coverge absolumet : La série u coverge. + + O a l iégalité triagulaire suivate : N, u u. Si v est le terme gééral positif d ue série covergete et si u = O(v ), alors u coverge absolumet. =N =N Rappel : exemples de référece Pour α, coverge si et seulemet si α >. α Pour q, q coverge si et seulemet si q <. Preuves de covergece Pour motrer qu ue série u coverge, o peut : Motrer que u = O(v ), où v est le terme gééral d ue série à termes positifs covergete. Appliquer la règle de d Alembert à u. Remarquer qu il s agit d u produit de Cauchy de séries absolumet covergetes. La comparer à ue itégrale. Motrer qu elle relève du théorème spécial des séries alterées. Effectuer u développemet asymptotique de so terme gééral, e examiat la covergece des séries dot les termes gééraux sot les élémets de ce développemet. 344
Exercices Séries umériques Vrai ou faux? a) Si u diverge, alors u diverge. b) Ue série à termes positifs coverge si et seulemet si elle coverge absolumet. c) cos La série coverge absolumet, doc coverge. + + si t d) Comme dt coverge, o peut dire, par comparaiso t si etre série et itégrale, que coverge. e) O a! e π. f) ( ) La série coverge si et seulemet si α >. α g) D après le théorème spécial, si u est ue série alterée telle que u ted vers, alors elle coverge. h) Si u coverge, alors u coverge. i) Si u + l <, alors, d après la règle de d Alembert, u u coverge. Vrai Faux Exercices Exercice (45 mi.) Soit a. Détermier das chacu des cas suivats, la ature de la série de terme gééral u :. u =!. u = + ( ) 3. u = e + 4. u = 3.6.9...(3) 5. u = a 6. u +a = (l ) l 7. u = l( 3 + ) 3 l( + ) 8. u = si π 9. u = 345 + t +t dt EXERCICES
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* Exercice ( mi.) O admet que = gééral u : Exercice 3 (5 mi.) = π. Das chacu des cas suivats, calculer la somme S de la série de terme 6. u = (+). u = (+)(+) 3. u = l + (+3) E écrivat so terme gééral comme ue itégrale, motrer que : ( ) + = l Exercice 4 ( mi.) = Détermier (sas la calculer) ue approximatio à 3 près des sommes suivates : Exercice 5 (5 mi.) S = + = ( ) et S = + = + Détermier la ature de la série de terme gééral u défii par u et :, u + = cos(u ) Exercice 6 Comparaiso logarithmique ( mi.) Soit u et v deux séries à termes strictemet positifs et. O suppose que, ) Motrer que : Si v coverge, alors u coverge. Si u diverge, alors v diverge. ) E déduire ue ouvelle démostratio de la règle de d Alembert. u + u v + v. Sujets de cocours Sujet A Oral Mies-Pots PC ( mi.) Nature de u où : u = Arccos( ) Arccos( ) + Sujet B Oral Mies-Pots PC et PSI ( mi.) Soit a +. Nature de la série de terme gééral u = a + ( ) a + ( ), pour. + 346
Chapitre 7 Séries umériques Sujet C Oral Mies-Pots PC ( mi.) Nature de la série de terme gééral u = cos π + + /3, pour. Sujet D Oral Cetrale PC (5 mi.) Si, soit s () le ombre de chiffres de l écriture e base de. Covergece et valeur de : Sujet E Oral X-ESPCI PC ( mi.) Soit, pour : H = k. k = + = s () ( + ) ) Motrer que la suite de terme gééral u = H l coverge. O ote γ sa limite. ) Si (p, ) ( ), motrer que γ H + H p H p. Sujet F Oral X-ESPCI et TPE PC (5 mi.) + Calculer 4 + + 4 + 3. + = Sujet G Oral Mies-Pots PSI ( mi.) l k ) Trouver u équivalet de u = k. k = ) Motrer qu il existe C tel que u = (l ) + C +o(). 3) O admet que = l + γ +o(), quad ted vers +. Motrer que : k k = E déduire la valeur de + k = k = ( ) k l k k = l k ( ) k l k. k k = k =+ l k k Sujet H Oral CCP PSI (5 mi.) Pour, o ote R = + k =+ k!. ) Justifier l existece de R. Quelle est la limite de la suite (R )? ) Motrer que lim ( + )!R =. + 3) E déduire la ature de la série si(πe (!)). 347 EXERCICES
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* Sujet I Oral CCP PC ( mi.) O défiit ue suite (a ) par a = t t d t. ) Calculer a et a. ) a) Motrer que (a ) est décroissate. b) Motrer que a + = + + 4 a. c) E déduire qu au voisiage de +, o a a a +. 3) a) Motrer que la suite de terme gééral ( + )( + )a a est costate. b) E déduire u équivalet de a au voisiage de + et la ature de la série a. Sujet J Oral Cetrale et CCP PC (5 mi.)! Pour α +, o pose U (α) = k = (α + k ). ) a) Motrer que (U (α)) est mootoe et covergete vers l (α). b) Motrer que U (α) U (α) coverge. α.l (α) c) E supposat l (α), motrer que U (α) U (α). E déduire l (α) =. ) O suppose das cette questio que α [, ]. Motrer que U (α). Coclure sur la + α ature de U (α). 3) Soit I (α) = + e αt ( e t ) dt. a) Motrer que l itégrale coverge, et calculer I (α) et I (α). b) Trouver ue relatio etre I (α) et I (α). c) E déduire que U (α) = I (α) pour tout. Sujet K Oral X-ESPCI PC ( mi.) Soit (u ) la suite défiie par u ], [ et, u + = u u. Détermier la ature de la série de terme gééral u. Sujet L Oral Cetrale PC et PSI (5 mi.) Soit (u ) ue suite à valeurs positives. Pour, o pose : v = u et w = u + u + u. Les séries de termes gééraux u et v sot-elles de même ature?. Les séries de termes gééraux u et w sot-elles de même ature? Sujet M Oral Mies-Pots et CCP PC ( mi.) Soit a et u ue série à termes strictemet positifs telle que : u + u = a +o( ) 348
Chapitre 7 Séries umériques. O suppose que a > et o pose b = +a et v = b. Motrer qu il existe N tel que N, v + u +. E déduire que u coverge. v u. O suppose que a < et o pose b = +a et v = b. Motrer qu il existe N tel que N, v + u +. E déduire que u diverge. v u 3. Motrer que, das le cas où a =, o e peut coclure. 4. Nature des séries de termes gééraux : Sujet N Oral ICNA PSI ( mi.) u =!e et v = Soit (u ) ue suite décroissate qui coverge vers. Comparer la ature des séries u et (u u + ). k + k = k + 3 349 EXERCICES
Corrigés Séries umériques Corrigés des Vrai/Faux a) Faux. Cosidérer, par exemple, u = ( ). b) Vrai. c) Vrai. + si t d) Faux. Il est vrai que dt coverge. Mais la comparaiso etre série et itégrale e t s applique pas ici, car la foctio t si t est pas positive (i même de sige costat). t e) Faux. La formule de Stirlig doe! e π. f) Vrai. Si α, la série diverge grossièremet. Sio, elle relève du théorème spécial. g) Faux. Il maque l hypothèse de décroissace de la suite ( u ). h) Faux. Cosidérer, par exemple, u = ( ). i) Faux. La règle de d Alembert e s applique qu aux séries à termes de sige costat. Corrigés des exercices Exercice. La suite (u ) est à termes strictemet positifs et o a u + u de d Alembert, la série coverge.. E effectuat u développemet asymptotique, o obtiet u = = ( + ) <. D après la règle e + ( ) 8 +O( 3/ ) = ( ) + v 8, avec v = O( ). La série ( ) 3/ relève du critère spécial, doc coverge. La série est ue série de Riema divergete. La série v 8 coverge absolumet. Par somme, la série u diverge. 3. O a u = e exp( l( + ) = e exp( +O( )) = +O( ). u est doc la somme du terme gééral d ue série divergete et du terme gééral d ue série absolumet covergete. La série est doc divergete. 4. La suite (u ) est à termes strictemet positifs et o a u + = 3( u + ) 3 >. D après la règle e de d Alembert, la série diverge. 5. Si a <, u a et la série (géométrique) coverge absolumet, doc coverge. Si a >, u a, et la série (géométrique) coverge absolumet, doc coverge. Si a = ±, la série diverge grossièremet. 6. O a u = exp( (l ). l(l )) = l(l ). Comme l(l ) +, il existe u rag à partir 35
Chapitre 7 Séries umériques duquel,, l(l ) et doc u. Par comparaiso, la série coverge. 7. Par u développemet asymptotique, u = 6 l + l( + ) 6 l + l( + ) = O( ). Par 3 comparaiso, la série coverge. 8. O a u = si π((+) (+)+) = si π( + ) π + π + + = ( ) + si π +. La série est doc alterée relevat du théorème spécial et coverge doc. 9. La suite (u ) est à termes strictemet positifs par croissace de l itégrale. Toujours par croissace de l itégrale, o a u t dt =. Par mioratio par ue série divergete, la série diverge. Exercice. Pour, o obtiet par ue décompositio e élémets simples que u = + + + (+). Pour N, otos S N la somme partielle d ordre N de la série. O a, par chagemet d idice et télescopage : N + S N = = N + = N + = + = = N + N + + = (N + ) Par passage à la limite sur N, la somme cherchée est S = π 3. 3. Pour, o obtiet, par ue décompositio e élémets simples, que u = + +. (+) + Pour N, otos S N la somme partielle d ordre N de la série. O a, par chagemet d idice et télescopage : S N = N = N + = + +3+ (+3) N + =3 Par passage à la limite sur N, la somme cherchée est S =. 3. Pour, o a u = l = l = + N + + N + + N + (+)(+) (+3) = l( + ) + l( + ) l l( + 3). Pour N, otos S N la somme partielle d ordre N de la série. O a, par chagemet d idice et télescopage : N + N + u = l + l = =3 N N +3 N + l l = l 3 + l N + 3 = =4 Par passage à la limite sur N, la somme cherchée est S = l 3. Exercice 3 La série coverge comme série alterée relevat du théorème spécial. Pour, o peut écrire u = ( )+ = ( ) t dt. Pour N, la somme partielle S N d ordre N de la série est, par liéarité de l itégrale : N N S = ( t ) dt = ( t ) ( t ) N dt dt = dt = + t + t + t N ( )N + t dt = = 35 CORRIGÉS
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* car o recoaît ue somme de série géométrique. D ue part, D autre part, dt +t = l. Aisi : + = ( ) + = lim N + S N = l t N +t dt t N dt = N N +. Exercice 4 O otera, das chacu des cas, S N (resp. R N ) la somme partielle (resp. le reste) d ordre N de la série.. La première série coverge, car elle est alterée relevat du théorème spécial. O cherche N tel que S S N = R N 3. Il suffit pour cela d obteir N tel que = u (N +) N + 3, e vertu du fait que l o dispose, pour les séries alterées relevat du théorème spécial, de la majoratio 3 ( ) R N [ u N +. O peut, par exemple, predre N = 3 et est alors ue approximatio coveable. Numériquemet, S = π /, 85 et S 3, 83.. Pour évaluer l approximatio de S, o va comparer la série associée avec ue itégrale. La foctio t est cotiue, positive et décroissate sur +t + et itégrable. Pour, o a doc f () obtiet l ecadremet : f (t )dt. E sommat cette relatio pour variat de p à q (q p ), o q f () =p q p f (t )dt q p = dt t = p q Comme la série coverge, o peut faire tedre q vers + pour obteir R p S = + est ue approximatio de S à 3 près. = p. Aisi, Exercice 5 Si u = k π (k ), o motre par ue récurrece immédiate que, u =. La série est alors ulle et coverge. Supposos maiteat que u π. O a alors < cos(u ) = u, puis < cos u = u cos() < π. O motre alors par ue récurrece immédiate que, < u < π. La foctio f : x x + cosx est croissate et positive sur [,π]. O e déduit que, u + = cos(u ) u. La suite (u ) est doc décroissate à partir du rag et miorée par. Elle coverge doc vers ue limite l [, π ]. Par cotiuité de la foctio cosius, o a l = cos l dot l uique solutio sur [, π ] est (car f est strictemet croissate et e s aule doc qu e ). De l iégalité x [, π ] six x, o déduit que u + = si u u. Par récurrece, o motre alors que, u u. Comme u <, u = O( u ) et la série coverge. 35
Chapitre 7 Séries umériques Exercice 6 ) Par produit télescopique > : u u k + = u u k = k v k + v k = k = v v O a doc u = O(v ). O e déduit le résultat, par comparaiso (d après le théorème de domiatio pour les séries). ) Soit (u ) ue série à termes strictemet positifs telle que lim u = l +. O traite seulemet les cas où l est fii. Le cas l = + s y ramèe. Si l <, e appliquat la défiitio de la limite avec ɛ = l, o obtiet qu il existe tel que, u + +l. E otat v u = +l et, d autre part,, u + pour, o a, d ue part, v coverge v+. O e déduit par comparaiso logarithmique que u u v coverge. Si l >, e appliquat la défiitio de la limite avec ɛ = l, o obtiet qu il existe tel que, u + +l. E otat v u = +l pour, o a, d ue part, v diverge et, d autre part,, v+ u +. O e déduit par comparaiso logarithmique que u v u coverge. Corrigés des sujets de cocours Sujet A Pour ( ), la foctio x Arccos(/ x ) est de classe sur [, + ], doc cotiue sur [, + ] et dérivable sur ], + [. Sa dérivée état doée par : x x x x / = x x x x D après le théorème des accroissemets fiis, il existe c [, + ] tel que : Arccos( ) Arccos( ) c + = c c ( + ) c + = O( 3/ ) Par comparaiso avec ue série de Riema, la série u coverge. U télescopage permet égalemet de coclure. Sujet B E effectuat u développemet asymptotique, o obtiet : a u = + ( ) = a + ( ) + a + ( ) +O( ) = a 3/ 353 + ( ) + v CORRIGÉS
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* La série de terme gééral ( ) relève du théorème spécial, doc coverge. La série de terme gééral v coverge absolumet par comparaiso à ue série de Riema. Comme la série harmoique diverge, la série u coverge si et seulemet si a =. Sujet C Pour coclure, il suffit d obteir u développemet asymptotique du terme gééral, par compositio. O a : + + /3 = + + / = + 5/3 + 5/3 8 +O( ) 8/3 O a doc : u = cos π + π + π π /3 8 +O( ) 5/3 π = ( ) + si π /3 8 +O( ) = ( ) + π + π 5/3 ( ) /3 8 +O( ) 5/3 = ( ) + π + π ( ) /3 8 + v Les séries de termes gééraux ( ) + π et ( ) π sot alterées relevat du théorème spécial, /3 8 doc coverget. La série de terme gééral v coverge par comparaiso avec ue série de Riema. Par somme, la série de terme gééral u coverge. Sujet D Pour, o a s () l +. O a doc u l l = O( ). Comme l = O( / ), o (+) a u = O( ). La série de terme gééral u 3/ coverge doc par comparaiso avec ue série de Riema. Pour calculer la somme S de cette série, commeços par costater que, pour : s () + si = p, avec p s ( + ) = s () sio O a doc, e employat u télescopage et e faisat la somme des termes d ue suite géométrique, pour q : q+ s () q+ s () q s () ( + ) = s ( + ) + = = = q = s () q+ s () s ( + ) = + + + = p q s () s ( + ) + + = s () s (q ) q + q = q + 9 p= p q+ q+ p= = p Comme la série est covergete, o sait que la limite, lorsque q ted vers +, de la quatité précédete existe et vaut S. O e déduit que S = + 9 = 9. 354
Chapitre 7 Séries umériques Sujet E Rappelos qu o dispose de l iégalité de cocavité suivate : x ], + [, l( + x ) x. O peut la démotrer e étudiat la foctio x x l( + x) sur ],+ [. ) Soit. O a u + u = + l( ) d après l iégalité précédete. La suite + + (u ) est doc décroissate. Par comparaiso etre série et itégrale pour la foctio f : t /t cotiue, positive et décroissate sur [,+ [, o obtiet : l( + ) l + = + f (t )dt k k = f (t )dt = l + O e déduit que l + l( + ) l u. La suite (u ) est doc miorée. D après le théorème de la limite mootoe, elle coverge vers ue limite γ apparteat à l itervalle [ l, ], doc positive. ) Soit (, p) ( ). Par la même méthode, o obtiet : H p H = p k =+ k p dt t = l p O e déduit que H p + H H p H p l p = u p γ, car la suite (u ) est décroissate, doc miorée par sa limite γ. D autre part, e majorat les termes de chacue des sommes sur l idice i par ue même valeur (idépedate de i ) : H p H = p k =+ k = p (j +) j = i=j + D où la secode iégalité : H + H p H p. }{{} i (j +) p j = (j + ) = H p Sujet F O va employer le développemet asymptotique H = l + γ + o(), vu das le sujet 5 et compeser les termes de déomiateurs impairs par des termes de déomiateurs pairs. Aisi, pour N : N N u = ( 4 + + 4 + 3 + 4 + + N 4 + 4 ) + + N 4 + 4 + 4 = = = }{{} =}{{}}{{} =H = = 4N +4 + + = H 4N +4 3 N + + + N + + = = }{{}}{{} =H N + =H N + = l(4n + 4) + γ 3 l(n + ) 3 γ + l(n + ) + γ +o() = l 4 3 (N + ) 3/ l + l +o() (N + ) 3/ 355 CORRIGÉS
Maths PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* O e déduit que la somme recherchée est la limite, lorsque N ted vers +, de la quatité ci-dessus, qui vaut l. Sujet G ) Il suffit de lire la questio qui suit pour savoir ce qu o atted! Prouvos doc que u (l ). Soit f : t f (t ), défiie et de classe sur t +, dot la dérivée est doée par f (t ) = l t. t La foctio f est égative sur [e,+ [. O e déduit que f est décroissate (et positive) sur [3,+ [. Par comparaiso avec ue itégrale, 4, o a : + f (t )dt f () E sommat pour variat de 4 à N 4, o obtiet que : N + f (t )dt u N l l 3 3 Itégros f par parties : 4 b a b f (t )dt = (l t ) ba a f (t )dt N 3 f (t )dt f (t )dt O a doc : (l N ) (l(n + )) (l 4) u N l l 3 3 (l N ) (l 3) (l N ) D où le résultat, par le théorème d ecadremet. ) D après le théorème de comparaiso etre série et itégrale, la série de terme gééral f (t )dt f () (où 4) est covergete. Or, la somme partielle d ordre N 4 de cette série s écrit : S N = N 3 f (t )dt N =4 f () = (l N ) u + l 3 3 + l 3 3 + (l 3) O e déduit, par somme, que la suite ( (l ) u ) coverge vers ue limite otée C ), doc que (l ) u = C +o(). 3) E examiat les termes d idices pairs et impairs, et e exploitat le fait que l(ab) = l a + lb, o obtiet : ( ) k l k k = k = l(p) p p= k = l k k = k = l k + l k k C est le résultat attedu, que ous coserveros sous cette forme. E employat les développemets asymptotiques admis et obteus précédemmet, et e écrivat que (l()) = (l ) + (l )(l ) + (l ), o a doc : ( ) k l k k = (l )(l + γ) + (l ) + C (l()) C +o() = γ(l ) (l ) +o() k = + Aisi, k = ( ) k l k = γ(l ) k (l ). k = k = l k k 356
Chapitre 7 Séries umériques Sujet H ) Pour, otos u = u +. O a. D après la règle de d Alembert, la série! + u coverge. D où l existece de so reste d ordre R. E tat que suite de restes de série u = covergete, la suite (R ) coverge vers. Au passage, remarquos que la somme de la série u vaut e. ) Pour, o a, e utilisat la somme d ue série géométrique : ( + )!R = + + k =+ ( + )! k! + + k = ( + ) = + k + O e déduit, par ecadremet, que ( + )!R. 3) Pour, otos S la somme partielle d ordre de la série u. Pour k [[, ]],! est k! u etier aturel. Par somme,!s est u etier aturel. Aisi, : π si(!πe) = si(π!(s + R )) = si(π!r ) = si + (( + )!R )) Comme ( +)!R, o a π (( +)!R + ). Par coséquet, si(!πe) π, qui est le terme + gééral d ue série divergete. Par équivalece, la série de terme gééral si(!πe) diverge. Sujet I ) Par le chagemet de variable t = si u, o obtiet : a = π/ cos u du = π/ ( + cos u )du = π 4 O a aussi : a = ( t ) 3/ 3 = 3 ) a) Pour t [,] et, o a t + t t t. Par croissace de l itégrale, o a doc a + a. Doc (a ) est décroissate. b) Soit. Par itégratio par parties et liéarité de l itégrale : a + = t + ( t ) 3/ 3 + + 3 t ( t ) 3/ + dt = }{{} 3 a + + + 3 a =( t ) t D où ( + 4)a + = ( + )a. c) Comme (a ) est croissate, o a, pour, + a +4 = a + a + a. O coclut e divisat par a o ul et e ivoquat le théorème d ecadremet. 3) a), o a a = +3 a +, d où u = ( + )( + )a a = ( + 3)( + )( + )a a + = u +. O motre alors par ue récurrece immédiate que (u ) est costate. b) Pour, o a doc ( + )( + )a a = 6a a = π. Comme (a ) est positive et a a, o e déduit que a série a coverge (car coverge). 3/ π, puis a (+)(+) π. Par théorème d équivalece, la 3 357 CORRIGÉS
MATHS PC/PC* PSI/PSI* PT/PT* VUIBERT, des ouvrages pour faire la différece : Des cours complets pour acquérir les coaissaces idispesables Des fi ches de sythèse et de méthodes pour réviser l essetiel et acquérir les bos réfl exes De ombreux exercices itégralemet corrigés pour s etraîer : Vrai/faux et exercices d applicatio Des sujets de cocours corrigés pour se mettre e situatio d épreuve SOMMAIRE. Espaces vectoriels, edomorphismes et matrices. Réductio des edomorphismes et des matrices carrées 3. Espaces préhilberties 4. Edomorphismes des espaces euclidies 5. Espaces vectoriels ormés de dimesio fi ie 6. Foctios vectorielles, arcs paramétrés 7. Séries umériques 8. Itégrales gééralisées 9. Suites de foctios, covergece domiée. Séries de foctios. Séries etières. Itégrales dépedat d u paramètre réel 3. Probabilités sur u uivers au plus déombrable 4. Variables aléatoires discrètes 5. Équatios différetielles liéaires 6. Calcul différetiel Les auteurs : Vicet Queffelec est professeur e classe préparatoire scietifi que au lycée Saite-Ae à Brest. Il est auteur des chapitres d algèbre, d aalyse et de géométrie. Hélèe Cerf-Dao et Véroique Lods sot professeures e classe préparatoires au lycée Louis-le-Grad à Paris. Elles sot auteurs des chapitres de probabilité. ISBN : 978--3-47-4 www..fr