Espaces vectoriels normés de dimension finie

I. Norme sur un espace vectoriel................................ 3 I.1 s...................................... 3 I.2 Normes usuelles sur K n............................... 5 II. Quelques ensembles remarquables.............................. 6 II.1 Boules ouvertes, boules fermées, sphères...................... 6 II.2 Parties convexes................................... 6 II.3 Parties bornées, applications bornées........................ 7 III. Suites à valeurs dans un evn................................. 8 III.1 Convergence, divergence des suites......................... 8 III.2 Opérations sur les suites convergentes....................... 9 III.3 Suites extraites.................................... 10 III.4 Convergence et choix d une norme......................... 11 III.5 Passage à la limite «composante par composante»................ 11 IV. Topologie d un e.v.n. de dimension finie.......................... 11 IV.1 Ouverts........................................ 11 IV.2 Fermés......................................... 13 IV.3 Intérieur, adhérence, frontière............................ 14 V. Limite et continuité en un point............................... 14 V.1 Limite d une application en un point........................ 15 V.2 Passage à la limite «composante par composante»................ 15 V.3 Opérations algébriques sur les limites, composition................ 16 V.4 Continuité en un point................................ 16 VI. Continuité sur une partie.................................. 17 VI.1 Généralités...................................... 17 VI.2 Continuité et topologie................................ 18 VI.3 Continuité sur une partie fermée bornée...................... 18 VI.4 Applications lipschitziennes............................. 19 VI.5 Autres exemples d applications continues..................... 19 2016-2017 1/23

Tester ses connaissances 1. Peut-on mesurer une distance entre deux réels? Entre deux complexes? 2. Dans C, qu est-ce qu un disque? 3. Peut-on mesurer une distance entre deux vecteurs? 4. Quels axiomes communs la valeur absolue et le module satisfont-ils? 5. Comment quantifier qu une suite est convergente? 6. Comment quantifier que f(x) x a l? 7. Qu est-ce qu un produit scalaire? 8. Donner quelques exemples de produits scalaires. 9. Qu est-ce que l inégalité de Cauchy-Schwarz? À quoi correspond le cas d égalité? 10. Quelle est la norme associée à un produit scalaire? 11. Que penser de ò 1 n, 1 ï? n n N 12. Comment écrire ]a, + [ comme une réunion d intervalles ouverts bornés? Comment écrire [0, + [ et ]0, + [ comme une réunion d intervalles fermés bornés? 2/23 2016-2017

En 1ère année, les fonctions avaient pour ensemble de départ une partie de R et prenaient leurs valeurs dans R ou C. Le cours de «spé» va s intéresser à des fonctions partant et/ou prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (fonctions à valeurs matricielles, fonctions prenant leurs valeurs dans L(E), suite d applications d un e.v. dans un autre,...) Pour généraliser la notion de limite, il faut donc généraliser la notion de distance : la distance entre 2 réels (resp. 2 complexes) x et y était la valeur absolue (resp. le module) du nombre x y. De même la distance entre 2 éléments d un espace vectoriel E sera la norme du vecteur x y. Dans tout le chapitre, E désigne un K-espace vectoriel ( K = R ou C) de dimension finie. I. Norme sur un espace vectoriel I.1 s I.1.a Norme sur un espace vectoriel On appelle norme sur E toute application de E vers R, notée N (ou. ), vérifiant les quatre axiomes suivants : x E, N(x) 0 x E, (N(x) = 0 = x = 0 E ) (séparation) x E, λ K, N(λ.x) = λ N(x) (homogénéité) x E, y E, N(x + y) N(x) + N(y) (inégalité triangulaire) Le couple (E, N) est appelé espace vectoriel normé. Remarques. Pour λ = 0, on obtient N(0 E ) = 0. Pour λ = 1, on obtient x E, N( x) = N(x) ( x = x ). Si N est une norme sur E et si k est un réel > 0, alors k.n est aussi une norme sur E. Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors N F est une norme sur F. Conséquence de l inégalité triangulaire. (1) x E, y E, N(x) N(y) N(x y) ( ou ) x y x y. I.1.b Distance associée à une norme On reprend les notations du paragraphe précédent ; la distance associée à N est l application d définie sur E 2 par (x, y) E 2, d(x, y) = N(x y). Remarque. N(x) = d(0 E, x). 2016-2017 3/23

Une distance vérifie les propriétés suivantes : Théorème.(2) (x, y, z) E 3 : d(x, y) 0 Ä d(x, y) = 0 = x = y ä (propriété de séparation) d(y, x) = d(x, y) (symétrie) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) d(x, z) d(y, z) d(x, y) (conséquence de l inégalité triangulaire) I.1.c Cas particulier : normes euclidiennes Il s agit de normes associées à un produit scalaire. Les espaces euclidiens ont été étudiés en pcsi et seront un peu revus dans des chapitres ultérieurs. 1. Rappel : produit scalaire sur un R-espace vectoriel Soit E un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute application (..) de E E dans R bilinéaire symétrique définie positive, c.à.d. vérifiant les propriétés suivantes : (x, y 1, y 2 ) E 3, λ R, (x y 1 + λy 2 ) = (x y 1 ) + λ(x y 2 ) (linéarité à droite) (x 1, x 2, y) E 3, λ R, (x 1 + λx 2 y) = (x 1 y) + λ(x 2 y) (linéarité à gauche) (x, y) E 2, (y x) = (x y) (symétrie) x E, (x x) R + (positivité) (x x) = 0 = x = 0 E (caractère «défini») Un R-e.v. de dimension finie muni d un produit scalaire est appelé espace euclidien. 2. Un exemple à connaître À deux éléments quelconques x = (x 1,..., x n ) et y = (y 1,..., y n ) de R n, on associe n ( x y) = x i y i i=1 On définit ainsi un produit scalaire, appelé produit scalaire canonique sur R n. 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Soient x, y deux éléments d un espace euclidien E, λ un nombre réel quelconque. On sait qu alors (x + λy x + λy) R + ce qui donne, en développant par bilinéarité et en utilisant la symétrie, λ 2 (y y) + 2λ(x y) + (x x) 0 Si y n est pas nul, on obtient un trinôme du second degré qui garde un signe constant sur R. Son discriminant est donc négatif ou nul, ce qui s écrit (x y) 2 (x x)(y y) 0 4/23 2016-2017

ou encore (x y)»» (x x) (y y). (inégalité encore vérifiée si y = 0, puisque c est alors une égalité) Cette inégalité est appelée inégalité de Cauchy-Schwarz. 4. Norme associée à un produit scalaire De l inégalité de Cauchy-Schwarz, on déduit que, pour tout couple (x, y) d éléments de E, 0 (x + y x + y) = (x x) + (y y) + 2(x y) (x x) + (y y) + 2» (x x)» (y y) (»» ) 2 (x x) + (y y) et finalement :»»»» (x + y x + y)» (x x) + (y y) = (x x) + (y y).» L application x x = (x x) est donc une application de E dans R + vérifiant de plus les propriétés suivantes (pour tous x et y dans E, λ dans R) : λx = λ x x + y x + y x = 0 x = 0 E C est donc une norme sur E. Un espace euclidien est donc muni d une structure d e.v.n., la norme précédente est dite associée au produit scalaire : on parle alors de norme euclidienne. I.2 Normes usuelles sur K n Le cas n = 1. La valeur absolue (resp. le module) est une norme sur R (resp. sur C) et concrètement, c est la seule utilisée à notre niveau sur R (resp. C). -Proposition. (3) On définit, pour x = (x 1,..., x n ) K n, Ã n n N 1 (x) = x i, N 2 (x) = x i 2, N (x) = Max x i 1 i n i=1 i=1 On définit ainsi trois normes sur K n (qui sont égales dans le cas n = 1). Preuve. Pour N 1 et N, ce n est pas compliqué. Pour N 2, on l a vu ci-dessus. Exemple. Sur M n (R) (isomorphe à R n2 ), on définit 3 normes en posant, pour M = (m ij ) 1 i,j n : M 1 = m ij, M 2 = m 2 ij»tr = (M M), M = Max m ij 1 i,j n 1 i,j n 1 i,j n Remarque. Soit E un K-ev de dimension finie n ; ayant choisi une base B = (e 1,..., e n ) de E (on pose n alors x = x i e i ), on peut définir trois normes sur E (qui dépendent du choix de la base B) i=1 x x 1 = Ã n x i x x 2 = n x i 2 x x = Max i=1,...,n x i i=1 i=1 Dans la définition précédente où l ev est K n, on a ainsi choisi la base canonique. 2016-2017 5/23

II. II.1 Quelques ensembles remarquables Boules ouvertes, boules fermées, sphères Soit E un espace vectoriel muni d une norme. ; on note d la distance associée. La boule ouverte de centre x (x E) et de rayon r (r > 0) est B(x, r) = {y E / d(x, y) < r}. La boule fermée de centre x (x E) et de rayon r (r 0) est B f (x, r) = {y E / d(x, y) r}. La sphère de centre x (x E) et de rayon r (r 0) est S(x, r) = {y E / d(x, y) = r}. Exemples. Dans (R,. ), B(a, r) =]a r, a + r[, B f (a, r) = [a r, a + r] et S(a, r) = {a r, a + r}. On peut par exemple dessiner les sphères pour les trois normes usuelles dans R 2. II.2 Parties convexes La partie A de E est dite convexe si et seulement si (a, b) A 2, [a, b] A ou encore ssi (x, y) A 2, t [0, 1], tx + (1 t)y A. y y x convexe x non-convexe Exemple. Les convexes de R sont les intervalles. Remarque. L intersection de deux parties convexes est une partie convexe. 6/23 2016-2017

Proposition. (4) Une boule, qu elle soit ouverte ou fermée, est une partie convexe. Preuve. On fait la dém. dans le cas d une boule ouverte (sinon remplacer les < par des ). Soient (x, y) B(a, r), t [0, 1] ; alors tx+(1 t)y a = tx+(1 t)y (ta+(1 t)a) t(x a) + (1 t)(y a) = I.T t x a + (1 t) y a < tr + (1 t)r = r. II.3 II.3.a Parties bornées, applications bornées Parties bornées Soit A une partie d un espace vectoriel normé (E,. ). On dit que A est bornée lorsqu il existe M 0 tel que x A, x M. Cela signifie qu il existe une boule (de centre O E ) qui contient A. Remarque. Pour montrer qu une partie A de R est bornée, on a le choix entre (la seconde méthode est préférable en général) montrer qu il existe deux réels a et b tels que x A, a x b ou montrer qu il existe un réel M (qui sera nécessairement positif) tel que x A, x M Proposition. (5) Toute intersection de parties bornées est bornée. Toute union finie de parties bornées est bornée (en particulier l union de deux bornés est un borné). [0, n] = R + : c est donc faux pour une union infinie! n 1 II.3.b Suites bornées Une suite (u n ) n N d éléments de E est dite bornée si et seulement si l ensemble U = {u n / n N} est une partie bornée de E. Remarque. Ça signifie qu il existe M 0 tel que : n N, u n M Proposition. (6) L ensemble des suites bornées de E est un espace vectoriel, sous-espace vectoriel de E N. Proposition. (7) Une partie A de E est non bornée si et seulement si il existe une suite d éléments de A qui n est pas bornée i.e. ssi n, u n A/ u n n. Exemple. Y a-t-il des sous-espaces vectoriels de E qui sont bornés? 2016-2017 7/23

II.3.c Applications bornées Soit X un ensemble (non vide), soit (E,. ) un espace vectoriel normé. On dit qu une application f : X E est bornée lorsqu il existe M tel que x X, f(x) M ce qui revient à dire que l ensemble des valeurs prises par f ( i.e. {f(x) / x X}) est borné. Vocabulaire : Soit Y une partie de X. Si la restriction de f à Y est bornée, on dit que f est bornée sur Y. Proposition. (8) Soit X un ensemble (non vide), soit (E,. ) un K-espace vectoriel normé. L ensemble des applications bornées de X dans E, noté B(X, E), est un espace vectoriel, sous-espace vectoriel de E X. On peut munir cet espace vectoriel d une norme en posant : N (f) = Sup{ f(x), x X} = Sup f(x) x X (B(X, E), N ) est un K-espace vectoriel normé (de dimension infinie, mais au programme). Savoir démontrer proprement que N est une norme sur B(X, E), surtout l inégalité triangulaire! En particulier, il est interdit de manipuler directement des sup et des inégalités ; il faut, pour obtenir des inégalités entre deux bornes supérieures, toujours commencer par obtenir une majoration avec une borne supérieure, puis invoquer le fait que la borne supérieure est le plus petit des majorants. III. Suites à valeurs dans un evn Soit u une application de N vers E. On dit que u est une suite à valeurs dans E. On la note (u n ) n N ou (u n ) ou u et on écrit u E N. Il est vivement conseillé de bien distinguer, au niveau des notations : u n : élément de E (u n ) n N ou (u n ) ou u : suite d éléments de E Remarque. Dans la pratique, une suite pourra n être définie qu à partir d un certain rang n 0 (et donc pas forcément à partir du rang 0). III.1 III.1.a Convergence, divergence des suites s 8/23 2016-2017

Soit (u n ) n N une suite d éléments d un K-espace vectoriel normé (E,. ). On dit que la suite (u n ) n N a pour limite l( E) si et seulement si la suite (de réels) ( u n l ) n N converge vers 0, ou encore lorsque la suite (de réels) (d(u n, l)) n N converge vers 0. Remarque. Si une suite a une limite, elle n en a qu une (autrement dit : la limite, si elle existe, est unique). On dit que la suite converge (ou est convergente). En cas d existence, l est appelé la limite de la suite u et on privilégiera la notation u n l (et non n + lim u n = l). n + Une suite divergente est une suite qui n a pas de limite, autrement dit une suite qui ne converge pas. Dans un e.v.n. autre que R, ça n aurait pas de sens de vouloir définir une limite infinie. III.1.b Écriture avec quantificateurs (u n ) n N a pour limite l équivaut à ε > 0, N N / n N, n N = u n l ε III.1.c Remarques Interprétation géométrique «(u n ) n N a pour limite l» équivaut à «Pour toute boule centrée en l de rayon non nul, il existe un rang n 0 à partir duquel tous les termes de la suite (u n ) n n0 restent dans cette boule» (que la boule soit ouverte ou fermée n importe pas) ; ou encore toute boule de centre l «piège» tous les u n à partir d un certain rang, i.e. «piège» tous les u n sauf un nombre fini d entre eux. u tend vers l dans (E,. ) u l tend vers 0 E dans (E,. ) (car u n l = (u n l) 0 E ) : cette remarque donne une méthode concrète pour montrer que u n l, à savoir majorer u n l n + par une quantité qui tend vers 0. Théorème.(9) Toute suite convergente est bornée. Preuve. Prendre par exemple ε = 1 dans la définition. III.1.d Exemples Une suite (z n ) de complexes est convergente ssi les deux suites de réels (Re(z n )) et (Im(z n )) sont convergentes. Å ã a b On munit M 2 (R) de la norme. 1 (définie par M =, M c d 1 = a + b + c + d ). (( 1 )) e 2 n La suite n converge vers I 2. e n n sin 1 n III.2 Opérations sur les suites convergentes Dans un espace vectoriel quelconque, il n y a pas en général de produit, de quotient... On a donc un peu moins de propriétés opératoires sur les suites à valeurs dans un e.v.n. que sur les suites réelles. On se contentera donc de : 2016-2017 9/23

Proposition. (10) (un ) n N et (v n ) n N convergent dans l espace vectoriel normé (E, N) respectivement vers l et l Si α et β sont deux éléments de K alors la suite (αu n + βv n ) converge vers αl + βl. Donc toute combinaison linéaire de suites convergentes est une suite convergente, et la limite est la combinaison linéaire des limites. Remarque. L ensemble des suites convergentes forme donc un K-espace vectoriel. Proposition. (11) Si u n l, alors u n n + n + l. Preuve. Il s agit d une conséquence de l inégalité triangulaire et du th. d encadrement : 0 u n l u n l n + 0. Remarque. La réciproque est fausse en général, sauf dans le cas l = 0 E : u n n + 0 E u n n + 0. III.3 III.3.a Suites extraites d une suite extraite Soit (u n ) n N une suite. La suite (v n ) n N est une suite extraite de la suite (u n ) n N s il existe une application ϕ : N N, strictement croissante telle que : n N, v n = u ϕ(n). Remarque. Pour toute application ϕ : N N strictement croissante, on a : n N, ϕ(n) n Exemple. (u 2n ) n N, (u 3n+1 ) n N, (u n 2) n N sont des suites extraites de la suite (u n ) n N. Théorème.(12) Si la suite (u n ) n N converge vers l dans (E,. ), alors toute suite extraite de (u n ) n N converge vers l dans (E,. ). Preuve. cf celle de sup dans (R,. ) en remplaçant. par.. Conséquences pratiques. On a donc S il existe une suite extraite de u divergente pour., alors la suite u est divergente pour.. S il existe deux suites extraites de (u n ) n N convergentes vers des limites différentes dans (E,. ), alors (u n ) n N est divergente dans (E,. ). ( ( Exemple. La suite cos n π )) est divergente. 2 n N Théorème.(13) Si les suites (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N convergent vers la même limite l dans (E,. ), alors la suite (u n ) n N converge vers l dans (E,. ). Preuve. cf celle de sup dans (R,. ) en remplaçant. par.. 10/23 2016-2017

III.4 Convergence et choix d une norme Théorème.(14) En dimension finie, la convergence d une suite et la valeur de sa limite ne dépendent pas du choix de la norme. Preuve. Résultat admis par le programme. Un exemple pour «voir» que ce th. est vrai. On considère les 3 normes usuelles sur K p ; on remarque alors que N N 2 pn et N N 1 pn. Donc si une suite (u n ) de K p converge vers un vecteur l pour la norme N, alors on a u n l n + 0 et donc on conclut par th. d encadrement (puisque 0 u n l 2 p u n l n + 0) que (u n) converge vers l pour la norme N 2. On peut bien sûr interchanger les trois normes. En pratique. On choisira la norme qui est le mieux adapter au problème (ce sera surtout le cas pour l étude des limites de fonctions de deux variables). III.5 Passage à la limite «composante par composante» On suppose ici E evn de dimension finie p non nulle. Soit B = (e 1,, e p ) une base de E. On étudie une suite u d éléments de E. p On note n N, u n = u (i) n e i (décomposition du vecteur u n dans la base B) i=1 On définit ainsi p suites (les Ä ä u (i) n pour 1 i p) d éléments de K. n N Proposition. (15) Pour que la suite u soit convergente dans E, il est nécessaire et suffisant que les p suites Ä ä u (i) n (pour n N 1 i p) soient convergentes dans K. p ï ò Et alors, lim u n = lim n + n + u(i) n e i. i=1 Exemple. Cette proposition s applique en particulier aux suites de matrices. Ü Å 1 1 ã n Å 1 1 ã n 2ê Soit n N, A n = n n Å 1 1 ã n Å 1 + 1 ã n. n n Montrer que cette suite de matrices converge, et calculer sa limite. IV. Topologie d un e.v.n. de dimension finie Soit (E, N) un e.v.n. de dimension finie p ; on admet que l étude topologique de E se ramène à celle de K p muni d une des trois normes usuelles. IV.1 IV.1.a Ouverts Point intérieur à une partie Soit A une partie non vide de E. 2016-2017 11/23

Un élément a de E est dit intérieur à la partie A ssi r > 0/ B(a, r) A L ensemble des points intérieurs à A est appelé l intérieur de A, noté Å. b r a A Remarque. On a Å A, mais la réciproque est fausse en général (cf par ex. a = 1 et A =]0, 1]). IV.1.b Partie ouverte Une partie Ω de E est un ouvert de E (ou une partie ouverte de E) ssi x Ω, r x > 0/ B(x, r x ) Ω autrement dit ssi tout point de Ω est intérieur à Ω ou encore ssi Ω Ω (et comme on a Ω Ω, on a finalement égalité Ω = Ω). r x x x r x Ω IV.1.c Exemples et contre-exemples de référence Exemples. et E sont des ouverts. Les boules fermées, les sphères ne sont pas des ouverts. ]0, 1] n est pas un ouvert. Proposition. (16) Les boules ouvertes sont des ouverts. Application : les intervalles ouverts bornés de R sont des ouverts. Exemple. Un sous-espace vectoriel d un e.v.n. peut-il être ouvert? 12/23 2016-2017

Proposition. (17) La réunion d une famille quelconque d ouverts est un ouvert. L intersection d une famille finie d ouverts est un ouvert. Corollaire. (18) Les intervalles ouverts non bornés de R (du type ]a, + [ et ], a[) sont des ouverts. IV.2 IV.2.a Fermés Point adhérent à une partie Soient A une partie non vide de E et a E. a est adhérent à A ssi toute boule ouverte de centre a (de rayon non nul) rencontre A : r > 0, B(a, r) A ou encore a est adhérent à A ssi dans toute boule de centre a, on trouve des éléments de A. L ensemble des points adhérents à A est appelé adhérence de A, noté Ā. a b c A Exemples. Si A est une partie non vide et bornée de R, alors Inf A et Sup A sont adhérents à A. Tout point de A est adhérent à A i.e A Ā. La réciproque est fausse en général (cf par ex. a = 0 et ]0, 1]). Th. Caractérisation séquentielle des points adhérents.(19) Soient A une partie non vide d un e.v.n. E et x E ; x est adhérent à A x est limite d une suite d éléments de A i.e x Ā u AN / x = lim(u n ) IV.2.b Partie fermée Une partie A de E est un fermé de E ssi elle contient tous ses points adhérents i.e ssi Ā A (et donc finalement Ā = A). Théorème.(20) 2016-2017 13/23

A est fermée si et seulement si son complémentaire E A est ouvert. Exemple. Les intervalles fermés non bornés sont des fermés. Contrairement au langage courant,«fermé» n est pas le contraire d «ouvert». Une partie de E peut-être à la fois ouverte et fermée (ex E), ou n être ni ouverte ni fermée (ex ]0, 1] dans E = R). IV.2.c Exemples et contre-exemples de référence Exemples. et E sont des fermés : en effet, on montre que =, ainsi que Ē = E. Les boules ouvertes ne sont pas des fermés. ]0, 1] n est pas un fermé. Proposition. (21) Les boules fermées sont des fermés. Application : les segments de R sont des fermés ; en particulier les singletons sont des fermés. Les sphères sont des fermés. Proposition. (22) L intersection d une famille quelconque de fermés est un fermé. La réunion d une famille finie de fermés est un fermé. Exemple. Que penser de A = n N ï 1 + 1 n, 1 1 n ò? Et de B = [a, a + n]? n N IV.3 Intérieur, adhérence, frontière Soit A une partie de E. L intérieur Å de A est l ensemble de ses points intérieurs. L extérieur Ā de A est l ensemble de ses points adhérents. La frontière de A est la différence entre son adhérence et son intérieur : Fr(A) = Ā Å. Fr(A) A Å Ā Intérieur Adhérence Frontière Exemples. L intérieur d une boule, ouverte ou fermée, est la boule ouverte correspondante. L adhérence d une boule, ouverte ou fermée, est la boule fermée correspondante. La frontière d une boule, ouverte ou fermée, est la sphère correspondante. V. Limite et continuité en un point Dans ce paragraphe, (E,. E ) et (F,. F ) désignent deux espaces vectoriels normés de dimension finie. L objectif de ce paragraphe est de généraliser aux fonctions d un e.v.n. dans un e.v.n., les notions de limite et de continuité vues en sup pour les fonctions réelles d une variable réelle. 14/23 2016-2017

V.1 Limite d une application en un point V.1.a s Soit f : A E F, soit a Ā. Soit l un élément de F. On dit que f a pour limite l en a ssi ε > 0, η > 0 / x A, x a E η = f(x) l F ε. Signalons le lemme utile : Lemme.(23) Si une application a une limite (finie) en un point, elle est bornée au voisinage de ce point. Remarques. (unicité de la limite) : s il y a une limite, elle est unique. f(x) x a l si et seulement si f(x) l 0 : méthode concrète, pour montrer que f(x) l, on x a cherche donc à majorer f(x) l. En dimension finie, on admet que la définition ne dépend pas du choix des normes sur E et sur F ; dans la pratique, on choisit les normes qui nous «arrangent» le plus. Exemple. Existence d une limite en (0, 0) pour f : (x, y) xy2 x 2 + y 2. V.1.b Caractérisation par les suites Proposition. (24) Soit f : A E F, soit a Ā. Soit l un élément de F. f a pour limite l en a ssi, pour toute suite u d éléments de A qui converge vers a, la suite (f(u n )) n N converge vers l. Ce résultat est très utile : il permet d abord de déduire des résultats sur les limites de fonctions en utilisant des résultats connus sur les limites de suites. Il intervient aussi dans l étude des suites u n+1 = f(u n). Et surtout : En pratique. Pour montrer que f n a pas de limite au point a, on pourra soit exhiber deux suites u et v d éléments de A qui convergent vers a et qui ont des suites images par f qui convergent vers des valeurs distinctes ( lim f(u n) lim f(v n)) n + n + soit exhiber une suite u d éléments de A qui converge vers a et telle que (f(u n )) ne converge pas. Exemple. L application f : x ]0, 1] sin ( ) 1 n a pas de limite en 0. x V.2 Passage à la limite «composante par composante» Soit B = (e 1,, e p ) une base de F. Étant donnée une application f : A F, il existe de manière unique p applications f 1,, f p de A dans K, telles que : p x A, f(x) = f i (x)e i Ces applications sont appelées «applications composantes de f dans la base B». Comme pour les suites, on retrouve le principe du «passage à la limite composante par composante», via la i=1 2016-2017 15/23

Proposition. (25) Soit B une base de F, et f 1,, f p les applications composantes dans la base B de l application f : A F. Alors f a une limite au point a si et seulement si chacune des applications f j a une limite au point a. Et alors, lim x a f(x) = p i=1 [ lim x a f i(x) ] e i V.3 Opérations algébriques sur les limites, composition V.3.a Combinaison linéaire Proposition. (26) Soient f, g deux applications d une partie A d un espace vectoriel normé E dans un espace vectoriel normé F, et soit a un élément de E adhérent à A. On suppose que f a pour limite l en a et que g a pour limite l en a ; alors, si λ est un élément de K (corps de base des espaces vectoriels E et F ), λf + g a pour limite λl + l en a. V.3.b Produit par une fonction à valeurs scalaires Soient λ, f deux applications d une partie A d un espace vectoriel normé E à valeurs respectivement dans le corps K et dans un espace vectoriel normé F, et soit a un élément de E adhérent à A. On suppose que λ a pour limite α en a et que f a pour limite l en a. Alors λf a pour limite αl en a. Si f a une limite nulle en a et si λ est bornée, ou l inverse, alors λf a une limite nulle en a. V.3.c Produit, quotient Ces règles n ont un sens que pour des applications à valeurs dans R ou C, et sont celles vues en sup. V.3.d Limite d une composée Proposition. (27) Soient f : A E F, a Ā, et g : B F G, où E, F, G sont trois e.v.n. On suppose f(a) B. Si f a pour limite b en a, alors b est adhérent à B. Si de plus g a pour limite c en b, alors g f a pour limite c en a. V.4 Continuité en un point V.4.a Soit f : A E F, soit a un point de A. On dit que f est continue en a ssi f a une limite en a (cette limite ne peut alors être autre que f(a)). 16/23 2016-2017

Remarque. La continuité est une propriété locale : si deux applications coïncident au voisinage d un point, la continuité de l une en ce point équivaut à celle de l autre. Remarque. La continuité est donc un cas particulier de limite. Donc tous les théorèmes précédents sur les limites se transposent en terme de continuité, en particulier : V.4.b Caractérisation de la continuité par les suites Proposition. (28) f est continue en a ssi, pour toute suite (a n ) n N d éléments de A qui converge vers a, la suite (f(a n )) n N converge (vers f(a)). Remarque. Comme précédemment, cette proposition servira souvent dans la pratique à établir qu une fonction n est pas continue en un point. V.4.c Opérations sur les fonctions continues Proposition. (29) Une combinaison linéaire, un produit (d une fonction à valeurs dans K par une fonction à valeurs dans F ) d applications continues en un point est continue en ce point. Proposition. (30) Si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g f est continue en a. V.4.d Continuité et applications composantes Proposition. (31) Soit B = (e 1,, e p ) une base de F. Soit f : A E F, soit a A. On définit les applications f i : A E K comme dans V.2. Alors f est continue en a si et seulement si chaque f i l est. VI. VI.1 VI.1.a Continuité sur une partie Généralités On dit que f, fonction définie sur la partie A, est continue sur A ssi f est continue en tout point de A i.e. ssi a A, ε > 0, α > 0 / x A, x a E α = f(x) f(a) F ε Notation : l ensemble des applications continues sur une partie A de E à valeurs dans F est noté C 0 (A, F ) ou plus simplement C(A, F ). Proposition. (32) Soit B = (e 1,, e p ) une base de F. Soit f : A E F. On définit les applications f i : A E K comme dans V.2. Alors f est continue sur A si et seulement si chaque f i l est. 2016-2017 17/23

VI.1.b «Théorèmes généraux» On retrouve bien sûr les théorèmes, souvent qualifiés de th. généraux, d opérations sur les limites : Théorème.(33) Soit f une application continue sur une partie A de E. 1. Si B A, alors la restriction de f à B est continue sur B. 2. Soient E, F, G trois e.v.n. ; soient A une partie non vide de E, B une partie non vide de F, f une application de A dans F, g une application de B dans G. f est continue sur A Si f(a) B alors g f est continue sur A. g est continue sur B 3. C (A, F ) est un K-espace vectoriel (toute comb.lin. d applications continues sur A est encore une application continue). 4. Si u est une fonction à valeurs dans K continue sur A, alors uf est continue sur A. De plus, si u ne s annule pas, alors 1 f est continue sur A. u VI.2 Continuité et topologie Proposition. (34) Soit f : A E R une application continue sur A. Alors {x A/ f(x) 0} = f 1 ([0, + [) est un fermé de A. {x A/ f(x) = 0} = f 1 ({0}) est un fermé de A. {x A/ f(x) > 0} = f 1 (]0, + [) est un ouvert de A. Il n y a pas de résultat concernant les images directes par f des ouverts ou des fermés de E. Exemple : E = A = F = R et f = fonction puissance 2. Alors f(] 1, 1[) = [0, 1[ ni ouvert, ni fermé. Remarque. C est souvent cette proposition que l on utilisera pour prouver qu un ensemble est ouvert ou fermé. Exemples. La partie D = {(x, y) R 2 / (x 2 +y 2 ) 2 +x 2 y 2 = 1} est un fermé de R 2. Pourquoi? Le groupe linéaire GL n (K), ensemble des matrices carrées inversibles d ordre n, est un ouvert de M n (K). Pourquoi? VI.3 Continuité sur une partie fermée bornée Théorème.(35) Soit f : A E R, continue sur A, partie fermée et bornée de E. Alors f est bornée et elle atteint ses bornes. Cas particulier : toute fonction d une variable réelle à valeurs réelles, continue sur le segment [a, b], est bornée et atteint ses bornes, i.e. (α, β) [a, b] 2 / x [a, b], f(α) f(x) f(β) ; combiné au th. des valeurs intermédiaires, ce th. permet de dire que l image directe d un segment de R par une application réelle continue, est un segment de R. Preuve. Th. admis par le programme. 18/23 2016-2017

VI.4 VI.4.a Applications lipschitziennes Généralités Soit f une application définie sur une partie A d un evn (E, N), à valeurs dans un evn (F,. ). On dira que f est k-lipschitzienne (k R + ) sur A lorsque : (x, y) A 2, f(x) f(y) kn(x y) Exemples. La norme : Proposition. (36) Soit (E, N) un K-evn. Alors l application N : E R + est 1-lipschitzienne. L inégalité des accroissements finis permet de justifier qu une fonction C 1 sur un segment (ou qu une fonction numérique de classe C 1 sur R dont la dérivée est bornée sur R) est lipschitzienne. La composée d une application k-lipschitzienne et d une application k -lipschitzienne est kk - lipschitzienne. Proposition. (37) Toute application k-lipschitzienne sur A est continue sur A. Exemple. La norme N, en tant qu application 1-lipschitzienne, est continue sur E. La fonction x x est continue sur R +, et n y est pourtant pas lipschitzienne (par contre elle est lipschitzienne sur tout [a, + [, a > 0) VI.4.b Continuité des applications linéaires Théorème.(38) Soient (E,. E ) et (F,. F ) deux espaces vectoriels normés de dimension finie. Soit u L(E, F ). Alors u est lipschitzienne sur E (i.e. k R + / (x, y) E 2, u(x) u(y) F k x y E ). Donc toute application linéaire en dimension finie est en particulier continue. Exemple. En particulier, M n (K) M n (K) A A est continue ; M n (K) K A tr(a) est continue. VI.5 Autres exemples d applications continues E étant de dimension finie, muni d une base B = (e 1,..., e n ), l application ième coordonnée (x x i ) est continue sur E (puisqu il s agit d une application linéaire en dim. finie). On en déduit (par produit et combinaisons linéaires) que 2016-2017 19/23

Proposition. (39) Toute application polynomiale (à plusieurs indéterminées) à coefficients dans K est continue. n Rq : On entend par là, des fonctions du genre x = x i e i 3x 2 1x 2 x 7 n 8x 1 x 2... x n + x 6 2x 3. Conséquence : Théorème.(40) Toute application bilinéaire (ou plus généralement multilinéaire) en dimension finie est continue. i=1 Exemple. (M n (K)) 2 M n (K) est continue ; (A, B) AB M n (K) K est continue ; A det(a) dans E espace euclidien, le produit scalaire est continu. f : R 3 R (x, y, z) x 2 + xyz + xy 3 z 2 + xz + y est continue. 20/23 2016-2017

2016-2017 21/23 Même si dans le programme officiel, on se place sur des e.v. de dimension finie, la notion de norme reste valable sur des e.v. de dimension quelconque (ça a été vu et ce sera utilisé dans des chapitres ultérieurs pour la norme infinie sur B(X, E)) ; voilà pourquoi certains exos se placent dans le cadre de la dimension infinie. Applications directes du cours Exo 1 On considère l espace vectoriel normé R. On note A = Z et B = n 1 2n, n N. Montrer que A est un fermé, par deux méthodes. Montrer que B est fermé. Exo 2 (1) Soit F un sev de R d qui contient une boule non vide. Montrer que F = R d. (2) Trouver une suite d ouverts tels que leur intersection soit un fermé. Exo 3 On définit, sur E = C 1 ([a, b], R), f = f(a) + Sup f (x) x [a,b] (1) Montrer que. est une norme. (2) Montrer que f E, Sup f(x) Max(1, b a) f. x [a,b] (3) En considérant les fonctions f n : t [0, 1] t n, montrer qu il n existe pas de constante k telle que f E, f k Sup f(x). x [0,1] Exo 4 Soit E = R[X]. (1) Montrer que l on définit deux normes sur E, en posant (pour p P = a i X i ) i=0 1 p P = P (t) dt P 1 = a i. 0 i=0 (2) Montrer qu il existe α > 0 tel que P R n [X], P α P 1. (3) Existe-t-il β > 0 tel que P R n [X], P 1 β P. Exo 5 On note E l espace vectoriel des applications continues de [0, 1] dans R. On pose, pour tout f de E, p (f) = f(x) et p 1 (f) = 1 0 f(t) dt. (1) Démontrer que p 1 et p sont deux normes sur E. (2) Démontrer que k > 0/ f E, p 1 (f) kp (f). Sup x [0,1] (3) Existe-t-il k > 0 tel que, pour tout f de E, p (f) k p 1 (f)? Exo 6 Soit T : P R[X] P (0)( R) ; on munit R[X] des deux normes suivantes : P R[X], N 1 (P ) = Sup t [ 1,1] P (t) et N 2 (P ) = Sup P (t). t [1,2] T est-elle lipschitzienne pour N 1? pour N 2? Exo 7 Montrer que l image directe (respectivement l image réciproque) d un convexe A par une application linéaire est un convexe. Application : montrer que {M M n (R)/tr(M) = 0} est un convexe de M n (R) (Rappel : la trace d une matrice est la somme de ses éléments diagonaux.) Exo 8 2017

22/23 2016-2017 (1) Montrer que A = {(x, y) R 2 / y > x} est un ouvert de R 2. (2) Montrer que B = {(x, y) R 2 / y x} est un fermé de R 2. Exo 9 Soit E = (C([0, 1], R),. ) et soit F = Montrer que F est un ouvert de E. Exo 10 f E / 1 0 f(x)dx > 0 Les ensembles suivants sont-ils bornés? A = {x sin x / x R} B = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 + xy = 1} C = {(x, y) R 2 / x 2 y 2 = 1} Exo 11 Théorème de Césaro, exercice classique Soit (u n ) n N une suite d éléments d un e.v.n. (E,. ). (1) On suppose que cette suite converge, on appelle l sa limite. On définit la suite de terme général v n = 1 n (u 1 + u 2 + + u n ) Démontrer que cette suite converge aussi vers l. (2) La réciproque est-elle vraie? (3) On suppose la suite (u n ) à valeurs réelles, divergeant vers +. Que peut-on dire de la suite (v n )? Exo 12 Étudier la suite définie par u 0 > 0 et, pour tout n, u n+1 = ln(3 + u n ) Exo 13 Irrationalité de e. On définit la suite de terme général u n = 1 + 1 1! + 1 2! + + 1 n!. En introduisant la suite de terme général v n = u n + 1/(n n!), démontrer que la suite (u n ) converge, vers une limite irrationnelle (il est très rare que l on puisse montrer aussi facilement l irrationnalité d un nombre réel ; pour e, on peut le faire car on dispose d une suite qui cv très rapidement vers e). Exo 14 Soit u une suite de l evn E. On suppose que les quatre suites extraites (u 3n ), (u 3n+1 ), (u 3n+2 ) et (u 7n+1 ) sont convergentes. Démontrer que u est convergente. Exo 15 (1) g : (x, y) (0, 0) x3 y 3 x 2 admet-elle une limite en (0, 0)? + y2 (2) Même question avec f : (x, y) R R x4 + y 2? xy Exo 16 Soit f une application continue de [a, b] dans [a, b]. Démontrer qu elle admet au moins un point fixe. Un peu de réflexion Exo 17 (1) Montrer qu une réunion quelconque d ouverts de E est un ouvert de E. (2) Montrer qu une intersection finie d ouverts de E est un ouvert de E. (3) Montrer qu une intersection quelconque de fermés de E est un fermé de E. 2017

2016-2017 23/23 Exo 18 Vérifier que N(x, y) = Max t [0,1] x + ty définit une norme sur R2. On pourra étudier la fonction t x + ty. Construire la sphère unité relative à cette norme. Exo 19 Soit E = C([0, 1], R), muni de f 1 = 1/2 0 f 1 1/2 f( R). Montrer que ϕ est linéaire lipschitzienne. Exo 20 1 0 f et ϕ : f E Soit E = C([a, b], R) muni des normes 1,2 et ( f 1 = f(x) dx, a b f 2 = f(x) 2 dx et f = Sup f(x) ). a x [a,b] Montrer que pour chacune de ces normes, l application φ : f E φ(f) = Exo 21 b a f(t)dt est lipschitzienne. Résolution typique d une équation fonctionnelle, pgm sup On cherche les applications continues sur R, à valeurs dans C, qui vérifient (x, y) R 2, f(x) + f(y) = f(x + y) ; dans la suite, f désigne une telle fonction. b (1) Démontrer que f(0) = 0, et que f est impaire. (2) Démontrer que, n N x R, f(nx) = nf(x). (3) Démontrer que, n Z x R, f(nx) = nf(x). (4) Démontrer que, r Q x R, f(rx) = rf(x). (5) Démontrer α C/ x R, f(x) = αx. Conclure. Exo 22 Soit (E, N) un e.v.n. de dimension finie, soit f une application k- lipschitzienne de (E, N) dans (E, N), a un vecteur de E tel que f(a) = a et (u n ) une suite de vecteurs de E définie par u 0 E et pour tout n, u n+1 = f(u n ). (1) Montrer que n, N(u n a) k n N(u 0 a). (2) Que peut-on en déduire dans le cas 0 k < 1? Exo 23 Montrer que S n (K), sev des matrices symétriques, est un fermé de M n (K). Exo 24 Pour les 5/2 (1) Montrer que E = {M M n (C)/ M diagonalisable} n est ni ouvert, ni fermé, mais qu il est dense dans M n (C). (2) Montrer que l ensemble GL n (K) des matrices carrées inversibles d ordre n est un ouvert de M n (K). 2017