Eo7 Foctios réelles d ue variable réelle dérivables (eclu études de foctios) Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fice sur wwwmats-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Eercice *** Soit f C ([a,b],r) telle que Correctio f (b) f (a) b a = sup{ f (), [a,b]} Motrer que f est affie [005407] Eercice *** Formule de TAYLOR-LAGRANGE Soiet a et b deu réels tels que a < b et u etier aturel Soit f ue foctio élémet de C ([a,b],r) D + (]a,b[,r) Motrer qu il eiste c ]a,b[ tel que f (b) = f (k) (a) k! (b a) k + (b a)+ f (+) (c) ( + )! Idicatio Appliquer le téorème de ROLLE à la foctio g() = f (b) est itelligemmet coisi Correctio f (k) () k! (b ) k A (b )+ (+)! où A [005408] Eercice 3 *** Formule des trapèzes Soit f C ([a,b],r) D 3 (]a,b[,r) Motrer qu il eiste c ]a,b[ tel que f (b) = f (a) + b a ( f (a) + f (b)) f (3) (c) Idicatio Appliquer le téorème de ROLLE à g puis g où g() = f () f (a) a ( f ()+ f (a)) A( a) 3 où A est itelligemmet coisi Que deviet cette formule si o remplace f par F ue primitive d ue foctio f de classe C sur [a,b] et deu fois dérivable sur ]a,b[? Iterprétez géométriquemet Correctio [005409] Eercice 4 ** Soit f ue foctio covee sur u itervalle ouvert I de R Motrer que f est cotiue sur I et même dérivable à droite et à gauce e tout poit de I Correctio [00540] Eercice 5 *** Iégalités de coveité Soiet,,,, réels positifs ou uls et α,, α, réels strictemet positifs tels que α ++α = Motrer que α α α + + α E déduire que ++ Soiet p et q deu réels strictemet positifs tels que p + q = (a) Motrer que, pour tous réels a et b positifs ou uls, ab ap a p = b q p + bq q avec égalité si et seulemet si
(b) Soiet a,, a et b,, b, ombres complees Motrer que : a k b k a k b k ( ) /p ( ) /q a k p b k q (Iégalité de HÖLDER) (c) Motrer que la foctio p est covee et retrouver aisi l iégalité de HÖLDER (d) Trouver ue démostratio directe et simple das le cas p = q = (iégalité de CAUCHY-SCHWARZ) Correctio [0054] Eercice 6 ***I Polyômes de LEGENDRE Pour etier aturel o ul doé, o pose L = ((X ) ) () Détermier le degré et le coefficiet domiat de L E étudiat le polyôme A = (X ), motrer que L admet racies réelles simples et toutes das ] ;[ Correctio [0054] Eercice 7 ** Détermier das cacu des cas suivats la dérivée -ème de la foctio proposée : ) l( + ) ) cos 3 si() 3) + ( ) 3 4) (3 + 7)e Correctio [00543] Eercice 8 ***I Motrer que la foctio défiie sur R par f () = e / si 0 et 0 si = 0 est de classe C sur R Correctio [00544] Eercice 9 ** Motrer que pour tout réel strictemet positif, o a : ( + ) < e < ( + ) + Correctio [00545] Eercice 0 ** Soit f ue foctio dérivable sur R à valeurs das R vérifiat f (0) = f (a) = f (0) = 0 pour u certai a o ul Motrer qu il eiste u poit distict de O de la courbe représetative de f e lequel la tagete passe par l origie Correctio [00546] Eercice **** Toute foctio dérivée vérifie le téorème des valeurs itermédiaires Soit f ue foctio dérivable sur u itervalle ouvert I à valeurs das R Soiet a et b deu poits disticts de I vérifiat f (a) < f (b) et soit efi u réel m tel que f (a) < m < f (b) Motrer qu il eiste > 0 tel que f (a+) f (a) Motrer qu il eiste y das [a,b] tel que m = Correctio < m < f (b+) f (b) f (y+) f (y) puis qu il esite tel que f () = m [00547] Eercice ****
Soit f ue foctio de classe C 3 sur R vérifiat : (,y) R, f ( + y) f ( y) ( f ()) Motrer que R, f () f () ( f ()) (Idicatio Appliquer la formule de TAYLOR-LAPLACE etre et + y puis etre et y) Correctio [00548] Eercice 3 *IT Etudier la dérivabilité à droite e 0 de la foctio f : cos Correctio [00549] Eercice 4 ** Soit P u polyôme réel de degré supèrieur ou égal à Motrer que si P a que des racies simples et réelles, il e est de même de P Motrer que si P est scidé sur R, il e est de même de P Correctio [00540] Eercice 5 ** Gééralisatio du téorème des accroissemets fiis Soiet f et g deu foctios cotiues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[ Soit : [a,b] R f (a) f (b) f () g(a) g(b) g() Motrer que est cotiue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et calculer sa dérivée E déduire qu il eiste c das ]a,b[ tel que (g(b) g(a)) f (c) = ( f (b) f (a))g (c) Correctio [0054] Eercice 6 ** Soit f de classe C sur R + telle que lim + f () = Motrer que lim + f () = + Correctio [0054] Eercice 7 *** Soit f de classe C sur R vérifiat pour tout réel, f f () = + 3 E remarquat que f ( motrer que f est costate puis détermier f Correctio + 3) = f () + 3, [00543] Eercice 8 ***I Soit f de classe C sur R vérifiat lim + ( f ()+ f ()) = 0 Motrer que lim + f () = lim + f () = 0 (Idicatio Cosidérer g() = e f ()) Correctio [00544] Eercice 9 ***I Etudier la suite (u ) das cacu des cas suivats : ) u 0 et N, u + = + u, ) u 0 > et N, u + = l( + u ) 3) u 0 R et N, u + = siu, 4) u 0 R et N, u + = cos(u ), 5) u 0 R et N, u + = si(u ), 6) u 0 R et N, u + = u u + Correctio [00545] Retrouver cette fice et d autres eercices de mats sur eo7ematfr 3
Correctio de l eercice f est cotiue sur le segmet [a,b] et doc est borée sur ce segmet Soit M = sup{ f (), [a,b]}, et soit g la foctio affie qui pred les mêmes valeurs que f e a et b (c est-à-dire [a,b], g() = ( a) + f (a) =) puis = f g O va motrer que = 0 sous l ypotèse M = f (b) f (a) b a f (b) f (a) b a f (b) f (a) b a est dérivable sur [a,b] et, pour [a,b], () = f () = f () M 0 est doc décroissate sur [a,b] Par suite, [a,b], 0 = (b) () (a) = 0 Aisi, [a,b], () = 0, ou ecore f = g f est doc affie sur [a,b] Correctio de l eercice O a déjà g(b) = f (b) f (b) = 0 Puisque a b, o peut coisir A tel que g(a) = 0 (à savoir A = (+)! ( f (b) (b a) + f (k) (a) k! (b a) k ) Avec les ypotèses faites sur f, g est d autre part cotiue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ Le téorème de ROLLE permet alors d affirmer qu il eiste c ]a,b[ tel que g (c) = 0 Pour ]a,b[, o a g () = = = f (k+) () k! f (k+) () k! (b ) k + (b ) k + (b ) (A f (+) ())! f (k) () (k )! (b )k + A (b )! f (k+) () (b ) k (b ) + A k!! = f (+) () (b ) (b ) + A!! Aisi, il eiste c ]a,b[ tel que (b c)! (A f (+) (c)) = 0, et doc, puisque c b, tel que A = f (+) (c) L égalité g(a) = 0 s érit alors pour u certai réel c de ]a,b[ f (b) = f (k) (a) k! (b a) k + (b a)+ f (+) (c), ( + )! Correctio de l eercice 3 Pour [a,b], posos g() = f () f (a) a ( f () + f (a)) A( a) 3 où A est coisi de sorte que g(b) = g(a) = 0 (c est-à-dire A = ( f (b) f (a) b a (b a) 3 ( f (b) + f (a))) f C ([a,b],r) D 3 (]a,b[,r) et doc g C ([a,b],r) D (]a,b[,r) Pour [a,b], o a : puis g () = f () ( f () + f (a)) a f () 3A( a), g () = f () f () a f (3) () 6A( a) = a ( A f (3) ()) g est cotiue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie de plus g(a) = g(b) Doc, d après le téorème de ROLLE, il eiste d ]a,b[ tel que g (d) = 0 De même, g est cotiue sur [a,d] [a,b], dérivable sur ]a,d[( /0) et vérifie de plus g (a) = g (d)(= 0) D après le téorème de ROLLE, il eiste c ]a,d[ ]a,b[ tel que g (c) = 0 ou ecore tel que A = f (3) (c) (puisque c a) E écrivat eplicitemet l égalité g(b) = 0, o a motré que : c ]a,b[/ f (b) = f (a) + b a ( f (b) + f (a)) f (3) (c)(b a) 3 Si f C ([a,b],r) D (]a,b[,r) et si F est ue primitive de f sur [a,b], la formule précédete s écrit : 4
b a f (t) dt = F(b) F(a) = b a (F (b)+f (a)) F(3) (c)(b a) 3 = b a ( f (b)+ f (a)) f (c)(b a) 3 Doc, si f C ([a,b],r) D (]a,b[,r), Iterprétatio géométrique Si f est positive, A = b c ]a,b[/ b ( b a a ( f (b) + f (a)) est l aire du trapèze 0 eiste das R, o a : a f (t) dt = b a ( f (b) + f (a)) f (c)(b a) 3 a f (t) dt est l aire du )( domaie )( D = {M(,y) )( R / ) a b et 0 y f ()} et A = b b a Si M 0 f (b) f (a) = sup{ f (), [a,b]} (b a) 3 A A M Correctio de l eercice 4 Supposos que f est covee sur u itervalle ouvert I =]a,b[ (a et b réels ou ifiis) Soit 0 I O sait que la foctio pete e 0 est croissate Pour 0, posos g() = f () f ( 0) 0 Soit u élémet de ] 0,b[ ]a, 0 [, o a g() < g( ), ce qui motre que g est majorée au voisiage de 0 à gauce Etat croissate, g admet ue limite réelle quad ted vers 0 f () f ( par valeurs iférieures ou ecore, lim 0 ) 0, < 0 0 eiste das R f est doc dérivable à gauce e 0 O motre de même que f est dérivable à droite e 0 Fialemet, f est dérivable à droite et à gauce e tout poit de ]a,b[ E particulier, f est cotiue à droite et à gauce e tout poit de ]a,b[ et doc cotiue sur ]a,b[ Correctio de l eercice 5 La foctio f : l est deu fois dérivable sur ]0,+ [ et, pour > 0, f () = < 0 Par suite, f est cocave sur ]0,+ [ O e déduit que : N, (,, ) (]0,+ [), (α,,α ) (]0,[), ( et doc par croissace de f sur ]0,+ [, α k k 5 α k k α k = l( α k k ) α k l( k ),
Si l u des k est ul, l iégalité précédete est immédiate E coisissat e particulier α = = α =, de sorte que (α,,α ) (]0,[) et que α k =, o obtiet N, (,, ) ([0,+ [), ( + + ) (a) Soiet p et q deu réels strictemet positifs vérifiat p + q = (de sorte que l o a même p < p + q = et doc p > et aussi q > ) Si a = 0 ou b = 0, l iégalité proposée est immédiate Soit alors a u réel strictemet positif puis, pour 0, f () = ap p + q q a f est dérivable sur [0,+ [ (car q > ) et pour 0, f () = q a q état u réel strictemet plus grad que, q est strictemet positif et doc, la foctio q est strictemet croissate sur [0,+ [ Par suite, f () > 0 q > a > a /(q ) f est doc strictemet décroissate sur [0,a /(q ) ] et strictemet croissate sur [a /(q ),+ [ Aisi, Maiteat, p + q = fourit q = 0, f () f (a /(q ) ) = p ap + q aq/(q ) aa /(q ) p p puis q = q p Par suite, q = p Il e résulte que p ap + q aq/(q ) aa /(q ) = ( p + q )ap = 0 f est doc positive sur [0,+ [, ce qui fourit f (b) 0 De plus, f (b) = 0 b = a /(q ) b q = a q/(q ) b q = a p (b) Soiet A = a k p et B = b k q Si A = 0, alors k {,,}, a k = 0 et l iégalité est immédiate De même, si B = 0 Si A > 0 et B > 0, motros que a k b k A /p B /q D après a), ce qu il fallait démotrer a k b k A /p B /q ( a k p p A + b k q q B ) = pa A + B =, qb (c) Pour p >, la foctio p est deu fois dérivable sur ]0,+ [ et ( p ) = p(p ) p > 0 Doc, la foctio p est strictemet covee sur ]0,+ [ et doc sur [0,+ [ par cotiuité e 0 Doc, ( (,, ) (]0,+ [), (λ,,λ ) ([0,+ [) ) \ {(0,,0)}, λ k p k λ λ k p k k λ, k et doc λ k k ( λ k ) p ( λ k p k ) p O applique alors ce qui précède à λ k = b k q puis k = λ /p k a k (de sorte que λ k k = a k b k ) et o obtiet l iégalité désirée (d) Pour p = q =, c est l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ démotrée das ue place précédete 6
Correctio de l eercice 6 (X ) est de degré et doc, L est de degré = Puis, dom(l ) = dom((x ) () ) = ()!! et sot racies d ordre de A et doc racies d ordre k de A (k), pour tout k élémet de {0,,} Motros par récurrece sur k que k {0,,}, A (k) s aule e au mois k valeurs deu à deu distictes de l itervalle ],[ Pour k =, A est cotiu sur [,] et dérivable sur ],[ De plus, A (0) = A () = 0 et d après le téorème de ROLLE, A s aule au mois ue fois das l itervalle ],[ Soit k élémet de {,, } Supposos que A (k) s aule e au mois k valeurs de ],[ A (k) s aule de plus e et car k et doc s aule e k + valeurs au mois de l itervalle [,] D après le téorème de ROLLE, A (k+) s aule e au mois k + poits de ],[ (au mois ue fois par itervalle ouvert) O a motré que k {0,,}, A (k) s aule e au mois k valeurs de ],[ E particulier, A () = L s aule e au mois réels deu à deu disticts de ],[ Puisque L est de degré, o a trouvé toutes les racies de L, toutes réelles, simples et das ],[ Correctio de l eercice 7 Pour, o a d après la formule de LEIBNIZ : ( l( + )) () = = = ( ) ( ) (k) (l( + )) ( k) k ( ) ( ) (k) (l( + )) ( k) (car ( ) () ) = 0) k ( ) ( )! k ( k)! k k ( k)! ( ) ( + ) k (car (l( + )) ( k) = ( + )( k ) ) Puis, pour = 0, ( l( + )) () (0) = ( )! =!, et pour 0, ( l( + )) () () = = ( )! ( )! ( ) ( k + ) k = ( + ) ( + ) ( )! (( + ) ) O sait dériver facilemet des sommes ou plus gééralemet des combiaisos liéaires Doc, o liéarise : cos 3 si() = 8 (ei + e i ) 3 ( 4 )(ei e i ) = 3 (e3i + 3e i + 3e i + e 3i )(e i + e i ) Puis, pour aturel doé : = 3 (e5i + e 3i e i e i + e 3i + e 5i ) = (cos(5) + cos(3) cos()) 6 (cos 3 si) () = 6 (5 cos(5 + π ) + 3 cos(3 + π ) cos( + π )), epressio que l o peut détailler suivat la cogruece de modulo 4 7
3 O sait dériver des objets simples et doc o décompose e élémets simples : X + (X ) 3 = X X + + X + (X ) 3 = X + (X ) + (X ) 3 Puis, pour etier aturel doé, ( X ) () + (X ) 3 = ( )! (X ) + + ( + )! ( ) (X ) + + ( ) ( + )! (X ) +3 = ( )! (X ) +3 ((X ) + ( + )(X ) + ( + )( + )) = ( )!(X + X + + + ) (X ) +3 4 La foctio proposée est de classe C sur R e vertu de téorèmes géérau La formule de LEIBNIZ fourit pour 3 : (( 3 + 7)e ) () = ( ) k ( 3 + 7) (k) (e ) ( k) = 3 ( ) ( 3 + 7) (k) (e ) ( k) k = (( 3 + 7) + (3 ( ) ( )( ) + ) + (6) + 6)e 6 = ( 3 + 3 + (3 3 + ) + 3 3 + 4 7)e Correctio de l eercice 8 f est de classe sur R e vertu de téorèmes géérau Motros par récurrece que N, P R[X]/ R, f () () = P () e 3 / C est vrai pour = 0 avec P 0 = Soit 0 Supposos que P R[X]/ R, f () () = P () e 3 / Alors, pour R, f (+) () = ( P () 3 3 + (P () 3 3P () 3+ )e / = P +() 3 3(+) e /, où P + = P + X 3 P 3X P est u polyôme O a motré que N, P R[X]/ R, f () () = P () 3 e / Motros alors par récurrece que pour tout etier aturel, f est de classe C sur R et que f () (0) = 0 Pour = 0, f est cotiue sur R et de plus, lim 0, 0 f () = 0 = f (0) Doc, f est cotiue sur R Soit 0 Supposos que f est de classe C sur R et que f () (0) = 0 Alors, d ue part f est de classe C sur R et C + sur R et de plus, d après les téorèmes de croissaces comparées, f (+) () = P +() e 3+3 / ted vers 0 quad ted vers 0, 0 D après u téorème classique d aalyse, f est de classe C + sur R et e particulier, f (+) (0) = lim 0, 0 f (+) () = 0 O a motré par récurrece que N, f est de classe C sur R et que f () (0) = 0 f est doc de classe C sur R Correctio de l eercice 9 Motros que ( > 0, ( + ) < e < ( + ) + Soit > 0 ( + ) ( < e < + ) + l( + ) < < ( + )l( + ) (l( + ) l) < < ( + )(l( + ) l) + < l( + ) l < 8
Soit u réel strictemet positif fié Pour t [, + ], posos f (t) = lt f est cotiue sur [, + ] et dérivable sur ], + [ Doc, d après le téorème des accroissemets fiis, il eiste u réel c das ], + [ tel que f ( + ) f () = ( + ) f (c) ou ecore c ], + [/ l( + ) l = c, ce qui motre que > 0, + < l( + ) l <, et doc que > 0, ( + ) < e < ( + ) + Correctio de l eercice 0 Soit 0 u réel o ul Ue équatio de la tagete (T 0 ) à la courbe représetative de f au poit d abscisse 0 est y = f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) (T 0 ) passe par l origie si et seulemet si 0 f ( 0 ) f ( 0 ) = 0 { f () Pour réel, o pose g() = si 0 (g est «la foctio pete à l origie») 0 si = 0 Puisque f est cotiue et dérivable sur R, g est déjà cotiue et dérivable sur R Puisque f est dérivable e 0 et que f (0) = f (0) = 0, g est de plus cotiue e 0 Fialemet, g est cotiue sur [0,a], dérivable sur ]0,a[ et vérifie g(0) = g(a)(= 0) D après le téorème de ROLLE, il eiste u réel 0 das ]0,a[ tel que g ( 0 ) = 0 Puisque 0 est pas ul, o a g ( 0 ) = 0 f ( 0 ) f ( 0 ) 0 L égalité g ( 0 ) = 0 s écrit 0 f ( 0 ) f ( 0 ) = 0 et, d après le début de l eercice, la tagete à la courbe représetative de f au poit d abscisse 0 passe par l origie Correctio de l eercice Soit m u élémet de ] f (a), f f (a+) f (a) (b)[ Puisque lim 0 = f f (b+) f (b) (a) et que lim 0 = f (b), o a (e preat par eemple ε = Mi{m f (a), f (b) m} > 0) > 0/ ]0, [, (a + I > 0/ ]0, [ (b + I f (a+) f (a) < m et f (b+) f (b) > m L esemble E = { ]0,Mi{, }[/ a+ et b+ sot das I} est pas vide (car I est ouvert) et pour f (a+) f (a) f (b+) f (b) tous les de E, o a : < m < > 0 est aisi doréavat fié f (+) f () La foctio f est cotiue sur I et doc, la foctio g : est cotiue sur [a,b] D après le téorème des valeurs itermédiaires, comme g(a) < m < g(b), y [a, b]/ g(y) = m ou ecore y f (y+) f (y) [a,b]/ = m Maiteat, d après le téorème des accroissemets fiis, ]y,y + [ I/ m = = f () f (y+) f (y) Doc ue foctio dérivée est pas écessairemet cotiue mais vérifie tout de même le téorème des valeurs itermédiaires (Téorème de DARBOUX) 9
Correctio de l eercice Soit (,y) R R Puisque f est de classe C 3 sur R, la formule de TAYLOR-LAPLACE à l ordre permet d écrire Doc, f ( + y) = f () + y f () + y f () + +y f ( y) = f () y f () + y f () y (+y t) f (3) (t) dt et ( y t) f (3) (t) dt ( f () ) f ( + y) f ( y) +y = ( f () + y f () + y f ( + y t) () + f (3) (t) dt) ( f () y f () + y y f ( y t) () + f (3) (t) dt) = ( f ()) + y ( f () f () ( f ()) ) + ( f () y f () + y f ()) + ( f () + y f () + y f ()) +y y ( + y t) f (3) (t) dt ( y t) f (3) (t) dt ( ) Maiteat, pour y [,], ( f (3) état cotiue sur R et doc cotiue sur le segmet [,]), +y ( + y t) f (3) (t) dt y y Ma{ f (3) (t), t [, + ]}, et doc, +y ( + y t) y f (3) (t) dt y Ma{ f (3) (t), t [, + ]} Cette derière epressio ted vers 0 quad y ted vers 0 O e déduit que +y (+y t) y f (3) (t) dt ted vers 0 quad y ted vers 0 De même, y ( y t) y f (3) (t) dt ted vers 0 quad y ted vers 0 O simplifie alors ( f () das les deu membres de ( ) O divise les deu ouveau membres par y pour y 0 puis o fait tedre y vers 0 à fié O obtiet 0 f () f () ( f ()), qui est l iégalité demadée Correctio de l eercice 3 Quad ted vers 0 par valeurs supérieures, cos( ) = cos( ) ( ) / f est doc dérivable à droite e 0 et f d (0) = Autre solutio f est cotiue sur R et de classe C sur R e vertu de téorèmes géérau Pour 0, f () = si( ) Quad ted vers 0, f ted vers E résumé, f est cotiue sur R, de classe C sur R et f a ue limite réelle quad ted vers 0 à savoir 0 O e déduit que f est de classe C sur R et e particulier, f est dérivable e 0 et f (0) = Correctio de l eercice 4 Soit le degré de P 0
Si P admet racies réelles simples, le téorème de ROLLE fourit au mois racies réelles deu à deu distictes pour P Mais, puisque P est de degré, ce sot toutes les racies de P, écessairemet toutes réelles et simples (Le résultat tombe e défaut si les racies de P e sot pas toutes réelles Par eemple, P = X 3 est à racies simples das C mais P = 3X admet ue racie double) Séparos les racies simples et les racies multiples de P Posos P = (X a )(X a k )(X b ) α (X b l ) α l où les a i et les b j sot k + l ombres réels deu à deu disticts et les α j des etiers supérieurs ou égau à (évetuellemet k = 0 ou l = 0 et das ce cas le produit vide vaut covetioellemet ) P s aule déjà e k + l ombres réels deu à deu disticts et le téorème de ROLLE fourit k + l racies réelles deu à deu distictes et distictes des a i et des b j D autre part, les b j sot racies d ordre α j de P et doc d ordre α j de P O a doc trouvé u ombre de racies (comptées e ombre de fois égal à leur ordre de multiplicité) égal à k+l + l j= (α j ) = k+ l j= α j = racies réelles et c est fii Correctio de l eercice 5 E pesat à l epressio développée de, o voit que est cotiue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie (a) = (b)(= 0) (u détermiat ayat deu coloes idetiques est ul) Doc, d après le téorème de ROLLE, c ]a,b[/ (c) = 0 Mais, pour ]a,b[, () = f ()(g(a) g(b)) g ()( f (a) f (b)) (dérivée d u détermiat) L égalité (c) = 0 s écrit : f (c)(g(b) g(a)) = g (c)( f (b) f (a)) ce qu il fallait démotrer (Remarque Ce résultat gééralise le téorème des accroissemets fiis (g = Id «est» le téorème des accroissemets fiis)) Correctio de l eercice 6 Puisque lim + f () =, A > 0/ > 0, ( A f () ) Soit u réel fié supérieur ou égal à A t [A,], f (t) et doc, par croissace de l itégrale, A f (t) dt dt ce qui fourit : A t et motre que lim + f () = + A, f () f (A) + (l la), Correctio de l eercice 7 R f ( + 3) = f ( f f ()) = f f ( f ()) = f () + 3 Puisque f est dérivable sur R, o obtiet e dérivat R, f ( + 3) = f (), et doc R, f ( + 3) = f () Soit alors u réel doé et u la suite défiie par u 0 = et N, u + = u + 3 D après ce qui précède, N, f () = f (u ) Maiteat, u est ue suite aritmético-géométrique et o sait que N, u 6 = (u 0 6) ce qui motre que la suite u coverge vers 6 La suite ( f (u )) 0 est costate, de valeur f () f état cotiue sur R, o e déduit que R, f () = lim + f (u ) = f ( lim + u ) = f (6), ce qui motre que la foctio f est costate sur R et doc que f est affie
Réciproquemet, pour réel, posos f () = a + b f solutio R, a(a + b) + b = + 3 R, (a ) + ab + b 3 = 0 a = et (a + )b = 3 (a = et b = 3( )) ou (a = et b = 3( + )) O trouve deu foctios solutios, les foctios f et f défiies par : R, f () = + 3( ) et f () = + 3( + ) Correctio de l eercice 8 Motros que lim + f () = 0 Pour réel, posos g() = e f () g est dérivable sur R et R, g () = e ( f () + f ()) Il s agit doc maiteat de motrer que si lim + e g () = 0 alors lim + e g() = 0 Soit ε u réel strictemet positif A > 0/ R, ( A ε < e g () < ε ε e g () ε e ) Pour réel doé supérieur ou égal à A, o obtiet e itégrat sur [A,] : et doc ε (e e A ) = ε A et dt g (t) dt = g() g(a) ε A (e e A ), A, g(a)e ε ( ea ) e g() g(a)e + ε ( ea ) Maiteat, g(a)e ε ( ea ) et g(a)e + ε ( ea ) tedet respectivemet vers ε et ε quad ted vers + Doc, B A/ R, ( B g(a)e ε ( ea ) > ε et < g(a)e ε ( ea ) < ε Pour B, o a doc ε < e g() < ε O a motré que ε > 0, B > 0/ R, ( B e g() < ε) et doc lim + e g() = 0 ce qu il fallait démotrer Correctio de l eercice 9 Pour, posos f () = + et g() = f () Soit u 0 I = [,+ [ f est défiie sur I et de plus f (I) = [0,+ [ [,+ [ O e déduit, par ue démostratio par récurrece, que la suite u est défiie Si la suite u coverge, puisque N, u, sa limite l vérifie l Puisque f est cotiue sur [,+ [ et doc e l, et l est u poit fie de f Or, pour, l = lim + u + = lim + f (u ) = f ( lim + u ) = f (ell) + = + = et 0 ( = 5 5 + = ou = + 5 ) et 0
Aisi, si la suite (u ) coverge, c est vers le ombre α = 5+ Pour, sg( f () α) = sg( + + α) = sg(( + ) ( + α)) = sg( α) (par croissace de sur [0,+ [) Aisi, les itervalles [,α[ et ]α,+ [ sot stables par f Doc, si u 0 < α, alors par récurrece N, u < α et si u 0 > α, alors par récurrece, N, u > α Soit Si [,0], + 0 et si 0, sg(g()) = sg( + ) = sg(( + ) ) (par croissace de sur [0,+ [) 5 = sg( + )( + + 5 ) = sg(α ) (car ici 0) O e déduit que, si [,α[, f () >, et si ]α,+ [, f () < Mais alors, si u 0 < α, puisque N, u < α, pour etier aturel doé, o a u + = f (u ) > u La suite u est doc strictemet croissate, majorée par α et doc covergete O sait de plus que sa limite est écessairemet α Si u 0 > α, puisque N, u > α, pour etier aturel doé, o a u + = f (u ) < u La suite u est doc strictemet décroissate, miorée par α et doc covergete O sait de plus que sa limite est écessairemet α Efi, si u 0 = α, la suite u est costate E résumé, si u 0 [, 5+ [, la suite u est strictemet croissate, covergete de limite 5+ [, si u 0 ] 5+ 5+,+ [, la suite u est strictemet décroissate, covergete de limite si u 0 = 5+ [, la suite u est costate et e particulier covergete de limite Aisi, das tous les cas, la suite u est covergete et lim + u = + 5 5+ [, 3 y = y = + u 0 u 0 α 3 4 Si u 0 > 0, alors puisque f est défiie sur l itervalle I =]0,+ [ et que I est stable par f ( > 0, l( + ) > l = 0), la suite u est défiie et est strictemet positive Si la suite u coverge, sa limite l est u réel positif ou ul Par cotiuité de f sur [0,+ [ et doc e l, l = lim + u + = lim + f (u ) = f ( lim + u ) = f (l) Pour >, posos g() = l( + ) g est défiie et dérivable sur ],+ [ et pour >, 3
g () = + = + g est strictemet positive sur ],0[ et strictemet égative sur ]0,+ [ g est doc strictemet croissate sur ],0] et strictemet décroissate sur [0,+ [ Par suite, si ],0[ ]0,+ [, g() < 0 E particulier, pour ],0[ ]0,+ [, f () Puisque f (0) = 0, f admet das ],+ [ u et u seul poit fie à savoir 0 E résumé, si u 0 > 0, la suite u est défiie, strictemet positive, et de plus, si la suite u coverge, alors lim + u = 0 Mais, pour etier aturel doé, u + u = l( + u ) u < 0 Par suite, la suite u est strictemet décroissate, miorée par 0 et doc, d après ce qui précède, coverge vers 0 Si u 0 = 0, la suite u est costate Il reste doc à étudier le cas où u 0 ],0[ Motros par l absurde qu il eiste u rag 0 tel que u 0 Das le cas cotraire, N, u > Comme précédemmet, par récurrece, la suite u est à valeurs das ],0[ et strictemet décroissate Etat miorée par, la suite u coverge vers u certai réel l Puisque N, < u u 0 < 0, o a l u 0 < 0 Doc, ou bie l =, ou bie f est cotiue e l et l est u poit fie de f élémet de ],0[ O a vu que f admet pas de poit fie das ],0[ et doc ce derier cas est eclu Esuite, si l =, il eiste u rag N tel que u N 09 Mais alors, u N+ = l( 0,9 + ) =,3 < ce qui costitue de ouveau ue cotradictio Doc, il eiste u rag 0 tel que u 0 et la suite u est pas défiie à partir d u certai rag E résumé, si u 0 ]0,+ [, la suite u est strictemet décroissate, covergete et lim + u = 0, si u 0 = 0, la suite u est costate, et si u 0 ],0[, la suite u est pas défiie à partir d u certai rag 3 y = y = l( + ) u 0 u 0 3 4 3 4 3 Pour tout coi de u 0, u [,] O supposera doréavat que u 0 [,] Si u 0 = 0, la suite u est costate Si u 0 [,0[, cosidéros la suite u défiie par u 0 = u 0 et N, u + = si(u ) La foctio si, il est clair par récurrece que N, u = u O supposera doréavat que u 0 ]0,] 4
Puisque ]0,] ]0, π ], o a si]0,] ]0,] et l itervalle I =]0,] est stable par f Aisi, si u 0 ]0,], alors, N, u ]0,] Pour [0,], posos g() = si g est dérivable sur [0,] et pour [0,], g () = cos g est strictemet égative sur ]0,] et doc strictemet décroissate sur [0,] O e déduit que pour ]0,], g() < g(0) = 0 Mais alors, pour etier aturel doé, u + = si(u ) < u La suite u est aisi strictemet décroissate, miorée par 0 et doc coverge vers l [0,] La foctio si est cotiue sur [0,] et doc, l est u poit fie de f L étude de g motre que f a u et u seul poit fie das [0,] à savoir 0 La suite u est doc covergete et lim + u = 0 L étude prélimiaire motre la suite u coverge vers 0 pour tout coi de u 0 y = u 0 3 4 5 y = si 4 Si u 0 est u réel quelcoque, u [,] [ π, π ] puis u [0,] O supposera doréavat que u 0 [0,] O a cos([0,]) = [cos,cos0] = [0,504,] [0,] Doc, la foctio cos laisse stable l itervalle I = [0,] O e déduit que N, u [0,] Pour [0,], o pose g() = cos g est somme de deu foctios strictemet décroissates sur [0,] et est doc strictemet décroissate sur [0,] De plus, g est cotiue sur [0,] et vérifie g(0) = cos0 > 0 et g() = cos < 0 g s aule doc ue et ue seule fois sur [0,] e u certai réel α Aisi, f admet sur [0,] u uique poit fie, à savoir α Puisque f est cotiue sur le segmet [0,], o sait que si la suite u coverge, c est vers α La foctio f : cos est dérivable sur [0, ] et pour [0, ], f () = si si < L iégalité des accroissemets fiis motre alors que (,y) [0,], cos cosy si y Pour etier aturel doé, o a alors et doc, pour tout etier aturel, u + α = f (u ) f (α) si u α, u α (si) u 0 α (si) Comme 0 si <, la suite (si) coverge vers 0, et doc la suite (u ) N coverge vers α O peut oter que puisque la foctio cos est strictemet décroissate sur [0,], les deu suites (u ) N et (u + ) N sot strictemet mootoes, de ses de variatios cotraires (das le cas où u 0 [0,] O peut oter égalemet que si > l(0 ) l(si) = 6,6, alors (si) < 0 Par suite, u 7 est ue valeur approcée de α à 0 près La macie fourit α = 0,73 (et même α = 0,73908704) 5
y = u 0 α 3 4 y = cos 5 Si u 0 est u réel quelcoque, alors N, u [,] O supposera sas perte de gééralité que u 0 [,] Si u 0 = 0, la suite u est costate et d autre part, l étude du cas u 0 [,0[ se ramème, comme e 3), à l étude du cas u 0 ]0,] O supposera doréavat que u 0 ]0,] Si ]0,], alors ]0,] ]0,π[ et doc si() ]0,] L itervalle I =]0,] est doc stable par la foctio f : si() O e déduit que N, u ]0,] Pour [0,], posos g() = si() g est dérivable sur [0,] et pour [0,], g () = cos() g est doc strictemet croissate sur [0, π 4 ] et strictemet décroissate sur [ π 4,] O e déduit que si ]0, π 4 ], g() > g(0) = 0 D autre part, g est cotiue et strictemet décroissate sur [ π 4,] et vérifie g( π 4 ) = π 4 > 0 et g() = si < 0 g s aule doc ue et ue seule fois e u certai réel α ] π 4,[ E résumé, g s aule ue et ue seule fois sur ]0,] e u certai réel α ] π 4,[, g est strictemet positive sur ]0,α[ et strictemet égative sur ]α,] Supposos que u 0 ]0, π 4 [ et motros par l absurde que 0 N/ u 0 [ π 4,] Das le cas cotraire, tous les u sot das ]0, π 4 [ Mais alors, pour tout etier aturel, u + u = f (u ) u = g(u ) > 0 La suite u est doc strictemet croissate Etat majorée par π 4, la suite u coverge Comme g est cotiue sur [u 0, π 4 ] et que N, u [u 0, π 4 ], o sait que la limite de u est u poit fie de f élémet de [u 0, π 4 ] Mais l étude de g a motré que f admet pas de poit fie das cet itervalle (u 0 état strictemet positif) O aboutit à ue cotradictio Doc, ou bie u 0 [ π 4,], ou bie u 0 ]0, π 4 [ et das ce cas, 0 N/ u 0 [ π 4,] Das tous les cas, 0 N/ u 0 [ π 4,] Mais alors, puisque f ([ π 4,]) = [si,si π ] [ π 4,] (car si = 0,909 > 0,785 = π 4 ), pour tout etier 0, u [ π 4,] Pour [ π 4,], g () = cos() cos L iégalité des accroissemets fiis motre alors que 0, u + α cos u α, puis que 0, u α cos 0 u 0 α Comme cos = 0,83 <, o e déduit que la suite u coverge vers α La macie doe par ailleurs α = 0,947 6
y = y = si() α α u 0 3 u 0 4 6 Pour R, + = 3 + = 0 ( )( ) = 0 = ou = Doc, si la suite u coverge, ce e peut être que vers ou Pour N, u + u = (u u + ) u = (u )(u ) u + = u u + = (u ) (II) u + = u u = u (u ) (III) er cas Si u 0 = ou u 0 =, la suite u est costate ème cas Si u 0 ],[, (II) et (III) permettet de motrer par récurrece que N, u ],[ (I) motre alors que la suite u est strictemet décroissate Etat miorée par, elle coverge vers u réel l [,u 0 ] [,[ Das ce cas, la suite (u ) coverge vers 3ème cas Si u 0 ],+ [, (III) permet de motrer par récurrece que N, u > Mais alors, (I) motre que la suite u est strictemet croissate Si u coverge, c est vers u réel l [u 0,+ [ ], + [ f ayat pas de poit fie das cet itervalle, la suite u diverge et, u état strictemet croissate, o a lim + u = + 4ème cas Si u 0 ]0,[, alors u = (u 0 ) + ],[ ce qui ramèe au deuième cas La suite u coverge vers 5ème cas Si u 0 = 0, alors u = et la suite u est costate à partir du rag Das ce cas, la suite u coverge vers 6ème cas Si u 0 < 0, alors u = u u + >, ce qui ramèe au troisième cas La suite u ted vers + E résumé, si u 0 ]0,[, la suite u coverge vers, si u 0 {0,}, la suite u coverge vers et si u 0 ],0[ ],+ [, la suite u ted vers + (I) 7
y = + y = 3 u 0 u 0 u 0 u 0 3 4 8