L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 3 : Varables aléatores réelles Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer, Serge Solovev
Sot (, A, P) Ω et X : Ω R ue varable aléatore. I. Varable aléatore réelle Défto : Sot (, A, P) Ω et X : Ω R ue varable aléatore. tervalle de R, { X } A. X est ue varable aléatore réelle s I, Proposto : Cette codto est vérfée dès que { X } A, pour tout de R. Elle etraîe que { X B} A, pour tout boréle B de la trbu borélee B(R) et que la lo de X est défe par P (B) = P({ X B} ), pour tout B de B(R). Focto de répartto O appelle Focto de répartto de la varable aléatore X, la focto F : R [,] défe par : F( ) = P( X ) La focto de répartto caractérse la lo de probablté de la varable X. II. Varable aléatore réelle à desté a. Déftos. Sot f : R R + cotue par morceau avec u ombre f de dscotutés, tégrable et tel que + f()d =. f est ue desté. -. X est dte à desté, de desté f, s R, F() = f(u)du. Proprétés : S X est ue varable aléatore réelle de desté f :. (] a, b] ) = P( ], b] ) P( ],a] ) = F(b) F(a) = P f(u)du,. P(X=) =, 3. E tout pot où f est cotue : F () = f(). Récproque : Sot F la focto de répartto de X. S X est dérvable (sauf e u ombre f de pots) alors X est à desté et f() = F () s la dérvée este et so. b a Représetato P(A) = f(u)du = «Are sous la courbe» A f() P(A) A
b. Los usuelles Lo uforme sur [a, b] (équprobablté) s a b, f() = b a so. s a, F() = b a a du = - a b - a s a b, s b. Focto de base pour la smulato d autres los. F() f() b a a b a b Lo epoetelle de paramètre λ Durée de ve d u phéomèe (sas mémore) Déla etre évéemets mprévsbles (Foctoemet d u ordateur avat ue pae, Emsso de partcules radoactves, Tremblemet de terre) f() = F() = λ e -λ s, so. λe -λu du = -λu [- e ] = e λ F() f() λ = λ = 3
Lo gaussee ou ormale (cetrée rédute) f() = π Itégrale de Gauss : e + e = π doc + f(u)du =. f(u)du? Appromato de la focto de répartto tables umérques. F() f(),4 III. Momets d ue varable aléatore réelle Défto : X : Ω R à desté f et ϕ : R R cotue par morceau. S ϕ () f()d < + alors (X) ϕ est ue varable aléatore tégrable et E( ϕ (X)) ( ) Défto : E(X) est l espérace de X et var(x) = E ( X E( X) ) = ϕ()f()d Remarques :. Avec cette défto, o peut tout fare à la seule codto qu l faut vérfer à chaque fos que les valeurs absolues des foctos soet tégrables.. Il faut terpréter E(ϕ (X)) comme la valeur moyee des valeurs prses par la varable ϕ (X). 3. Toutes les proprétés obteues pour les varables dscrètes déombrables vot as être retrouvées dès que les tégrales coverget (la page suvate devet utle!). Défto : S f()d < +, o dt que X admet u momet d ordre et égal à : ( ) E X = f()d. Proprétés : S X a u momet d ordre, X a des momets d ordre j, j, var(x) = E(X ) E(X) et var(λx+γ) = λ var(x), E(X) E(X ) E(X) = E(X ) P(X=E(X)) =. 4
Ue astuce courate: S ϕ = A la focto dcatrce d u boréle A sur R, c'est-à-dre : ϕ( ) =, s A ϕ( ) =, s A IV. Vecteurs aléatores P ( A) = E( ( X )) = f ( u) du A A Défto : Soet varables aléatores réelles {X, X,,X } défes à partr de (Ω, A, P ), o appelle vecteur aléatore la varable X = (X, X,,X ) S X Ω R, X Ω R. Proposto : s les (X ) sot des varables aléatores réelles, X est u vecteur aléatore réel dot la lo est etèremet caractérsée par : s I = II... I, PX ( I) = P( X ) = P( X, X,..., X ) Focto de répartto : F,,..., ) = P( X, X,, X ) ( Défto : X est u vecteur aléatore réel à desté s l este ue focto f de R das R +, vérfat F P (,,..., ) =... f ( u, u,..., u ) dudu... du f(,,..., )dd...d ( ] ] ] ] ] ] ) X,, =...,... Lo margale de X : s X est u vecteur réel à desté, X est ue va réelle à desté avec pour + + + (, desté f ) =... f ( u, u,..., u, u ) du du... duˆ... du, où dû sgfe que l o tègre pas selo la coordoée. V. Idépedace Défto : varables aléatores réelles{x, X,,X } défes à partr de (Ω, A, P ) sot dtes dépedates s et seulemet s : P( X, X,..., X ) =. P( X = Théorème : Sot X le vecteur de varables aléatores réelles {X, X,,X }, les varables {X, X,,X } sot dépedates s et seulemet s F ( ) 5 F(,,, )= où F et F sot les foctos de répartto de X et X. Proposto : X = (X ) =,, u vecteur aléatore. S X est à desté f et s f se factorse : f(,..., ) = f ( ) avec ue desté f, alors les (X ) sot dépedates. (Récproque vrae) = Théorème : Sot (X ) =,, varables aléatores dépedates à destés, g : R R. tel que g (X ) tégrable, alors E( g ( X )...g ( X )) = E( g ( X )). Récproquemet s cette relato est vrae g alors les (X ) sot dépedats. )
Uté de cours Probabltés - Eercces Chaptre 3 : Varables aléatores dscrètes Eercce * (Aales décembre 9) Sot X ue varable aléatore de desté f () égale à : s < ; / quad ; ½ quad 3/ ; 5/ quad 3/ ; quad >.. Quel est le graphe de desté?. Quel est le graphe de la focto de répartto F(X)? 3. Trouver la valeur de tel que P(X < ) = ¾ (cette valeur s appelle «quatle de ¾»). 4. Calculer l epresso de l espérace de X. Eercce * O suppose que la talle moyee d'u homme de 5 as est ue varable aléatore réelle T à desté ormale de moyee 75 et d'écart-type 6. O veut estmer le pourcetage d'hommes de 5 as ayat ue talle supéreure à 85, e utlsat la table de la lo ormale cetrée rédute.. (valable quelque sot la varable X, à compter du momet où la moyee et la varace de cette varable este!) Quels sot la moyee et l'écart-type d'ue varable Y = α X + β où α et β sot deu réels quelcoques, e focto de la moyee et l'écart-type de la varable X (lorsqu ls estet)?. Sot X = T. Quelles valeurs faut-l predre pour α et β pour que Y suve ue lo ormale cetrée rédute? 3. Eprmer P( T 85) e focto d'ue probablté sur Y. La table de la lo ormale cetrée rédute doe F( u) = P( Y u) pour des réels u p 3 (vor Aee). Il faut doc eprmer les probabltés qu'o veut calculer sur Y e focto de F(u) pour certas u p 3. 4. Eprmer, pour α quelcoque, P ( Y α) e focto d'u certa F(u). 5. E utlsat la table de la lo ormale cetrée rédute, doer la valeur de P ( T 85). 6. Quel pourcetage d'hommes de 5 as ot ue talle comprse etre 6 et 9? O veut mateat trouver u réel ε tel que P ( 75 ε T 75 + ε ) 9%. 7. Eprmer P( 75 ε T 75 + ε ) e focto de F, pus calculer ε. Eercce 3* (vecteurs aléatores et somme de varables aléatores) Prélmare : Sot le couple de varables aléatores réelles (X,Y) de lo uforme sur [a,b][a,b]. a) Calculer la desté f. b) a= et b=. Sot Z = X + Y. Calculer la focto de répartto de Z. La desté de probabltés d u couple de varables aléatores réelles (X,Y) est doée par :. Calculer la costate c.. Calculer P(<X<,<Y<3). 3. Calculer les los margales de X et Y au travers de leur desté. 4. Détermer la focto de répartto F de (X,Y), FX de X et FY de Y. Coclure sur l dépedace des varables. 5. Calculer P(X+Y < 3). 6
Eercce «maso» O a observé que la durée moyee d'ue coversato téléphoque est d'evro mutes. O veut modélser la durée d'ue telle coversato par ue varable aléatore cotue D de lo epoetelle.. Quel dot être le paramètre de cette lo?. O arrve à ue cabe téléphoque juste après ue autre persoe qu vet d'arrver. Quelle est la probablté d'avor à attedre au mos mutes? 3. O atted mutes, et la persoe e sort toujours pas. Quelle est la probablté d'avor à attedre ecore au mos mutes? 4. Qu'est-ce qu peut justfer le cho d'ue lo epoetelle pour modélser D? Eercce «maso» Ue etreprse fabrque u certa type d apparels électroques costtués de composats etrêmemet fables. O supposera que les composats e tombet jamas e pae, sauf deu composats C et C dot les durées de ve V et V suvet des los ormales de durées moyees respectves 5 heures et 8 heures, et d écart-types respectfs 5h et h : E(V ) = 5, σ (V ) = 5, E(V ) = 8, σ (V ) =. Sot V la varable aléatore doat la durée de ve d'u de ces apparels.. Eprmer P( V t) e focto de probabltés sur V et V. Quelle hypothèse faut-l fare?. Tracer la courbe des P( V t) pour les valeurs de t allat de à de e. 3. Quelle est la probablté qu'o at du chager u élémet et u seul au bout de 6 heures? 4. Quelle est la probablté qu'o at du chager au mos u composat au bout de $ 6 heures? 7
Aee : 8