Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles.................................... 2.3 Méthodes clssiques de recherche de primitives............................ 3 2 Intégrle d une fonction continue 4 2. Intégrle d une fonction entre et b.................................. 4 2.2 Lien entre intégrle et ire........................................ 5 2.3 Propriétés de l intégrle......................................... 6 2.4 Vleur moyenne.............................................. 7 Tble des figures Unité d ire................................................ 5 2 Intégrle d une fonction continue positive............................... 6 3 Vleur moyenne.............................................. 7 Liste des tbleux Primitives des fonctions usuelles...................................... 3 2 Méthodes clssiques de recherche de primitives............................ 3 Ce cours est plcé sous licence Cretive Commons BY-SA http://cretivecommons.org/licenses/by-s/2.0/fr/
PRIMITIVES Primitives. Définition, premières propriétés Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On dit que F est une primitive de f sur l intervlle I si, pour tout x I, F (x) = f (x). Remrque : On dmettr que toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervlle I et F une primitive de f sur I.. Pour tout réel C, l fonction x F (x) + C est ussi une primitive de f sur I. 2. Si G est une primitive de f sur I, il existe un réel C tel que, pour tout x I : G (x) = F (x) + C Démonstrtion : Le. est évident. 2. On note φ (x) = G (x) F (x). On φ (x) = G (x) F (x) = f (x) f (x) = 0 sur l intervlle I, donc l fonction φ est constnte sur I. Il existe donc C R tel que, pour tout x I, φ (x) = 0, c est-à-dire G (x) = F (x) + C. Remrque : Toute fonction continue dmet donc une infinité de primitives. Toutes les primitives d une même fonction ne diffèrent que d une constnte. Conséquence : Soit f une fonction dmettnt des primitives sur un intervlle I. Soit x 0 I et y 0 R. Il existe une et une seule primitive G de f sur l intervlle I telle que G (x 0 ) = y 0. Démonstrtion : Soit F une primitive de f. Toutes les primitives de f sont de l forme G (x) = F (x) + C, vec C R. On veut G (x 0 ) = y 0, c est-à-dire F (x 0 ) + C = y 0 ; d où C = y 0 F (x 0 ). L existence et l unicité de C entrîne l existence et l unicité de l primitive G. Exercices : 4, 6, 7 pge 86 et 23, 26 pge 86 8, 9 pge 86 2 28, 29 pge 87 3 30 pge 87 4 [Déclic].2 Primitives des fonctions usuelles Les résultts du tbleu se retrouvent fcilement pr une lecture «inversée» du tbleu donnnt les dérivées des fonctions usuelles. Remrques :. Si F et G sont des primitives respectives de f et g, lors F + G est une primitive de f + g. 2. Si F est une primitive de f et si λ R, λf est une primitive de λf. 3. Attention! Il n y ps de résultts nlogues sur les produits et les quotients de fonctions (ce n étit déjà ps le cs pour l dérivtion). Exercices : 32 pge 88 5 4, 43 pge 89 6 [Déclic]. Montrer que F est une primitive de f. 2. Primitive vérifint une condition. 3. Détermintion d une primitive. 4. Courbe d une primitive. 5. Vri-Fux. 6. Primitives de sommes. 2
PRIMITIVES.3 Méthodes clssiques de recherche de primitives fonction f primitives F Domine de vlidité f (x) = ( constnte) F (x) = x + C R f (x) = x F (x) = x2 2 + C R f (x) = x n (n entier >0) F (x) = xn+ n + + C R f (x) = F (x) = + C ] ; 0[ ou ]0 ; + [ x 2 x f (x) = F (x) = x 3 2 + C ] ; 0[ ou ]0 ; + [ x2 f (x) = (n entier 2) F (x) = xn n x n + C ] ; 0[ ou ]0 ; + [ f (x) = x F (x) = ln x + C ]0 ; + [ f (x) = e x F (x) = e x + C R Tble Primitives des fonctions usuelles.3 Méthodes clssiques de recherche de primitives Les résultts du tbleu 2 s obtiennent pr lecture «inversée» des résultts concernnt l dérivtion de fonctions composées. Dns ce tbleu, u désigne une fonction dérivble sur un intervlle I. Fonction f de l forme... Une primitive F Commentires u.u n (vec n entier > 0) u n+ n + u u n (vec n entier 2) n u n u (x) 0 sur I u u ln u u (x) > 0 sur I u.e u e u Tble 2 Méthodes clssiques de recherche de primitives Exemples :. f (x) = (2x + ) 5 sur I = R f semble de l forme u.u 5 vec u (x) = 2x + et u (x) = 2. On donc : f (x) = 2 (2x + )5 2 Une primitive de f sur I est donc : F (x) = 2 (2x + )6 6 = (2x + )6 2 3
2 INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE 2. f (x) = sur I = ] [ ; ( 2x) 2 2 f semble de l forme u u vec u (x) = 2x et u (x) = 2. 2 On donc : f (x) = 2 2 ( 2x) 2 Une primitive de f sur I est donc : F (x) = ( 2 ) 2x 3. f (x) = x x 2 sur I = ] ; + [ f semble de l forme u u vec u (x) = x2 et u (x) = 2x. De plus, si x I, u (x) = x 2 > 0. On donc : Une primitive de f sur I est donc : f (x) = 2 2x x 2 = 2x F (x) = 2 ln ( x 2 ) = ln x 2 Exercices : 33 pge 88 7 34, 36 pge 88 8 37, 39, 40 pge 88 9 42, 43 pge 89 0 45, 46 pge 89 48, 5, 52 pge 89 2 [Déclic] 2 Intégrle d une fonction continue 2. Intégrle d une fonction entre et b Définition : Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Soit F une primitive quelconque de f sur I. Si, b I lors, on note : f (t) dt = F (b) F () ce qui se lit : somme (ou intégrle) de à b de. Remrques :. Il fut tout de même vérifier que cette définition est indépendnte de l primitive de f choisie. Si G est une utre primitive de f, lors, d près le., il existe un réel C tel que, pour tout x I, G (x) = F (x) + C. On donc : G (b) G () = (F (b) + C) (F () + C) = F (b) + C F () C = F (b) F () 2. On dit que l vrible x est muette. On peut insi noter indifféremment : = 3. on écrir ce résultt sous l forme suivnte : f (t) dt = f (u) du 7. QCM. 8. Primitives de produits. 9. Primitives de quotients. 0. Primitives de sommes.. Trnsformtions d écriture. 2. Applictions économiques. f (t) dt = [F (t)] b = F (b) F () 4
2 INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE 2.2 Lien entre intégrle et ire Exemple : 3 ( t 3 + 2t ) [ t 4 dt = 4 + t2 t Propriétés : Soit f une fonction continue sur un intervlle I et, b I. On : ] 3 = b ( ) ( ) 8 4 + 9 3 4 + = 8 4 + 6 4 = 80 4 + 6 = 26 = 0 = De plus, si f est positive sur [ ; b] (vec < b), est un nombre positif. Démonstrtion : Soit F une primitive de f sur l intervlle I. = [F (x)] = F () F () = 0 b = [F (x)] b = F () F (b) = (F (b) F ()) = Si f est positive sur I, F est croissnte sur I. Comme < b, on lors F () F (b), c est-à-dire F (b) F () 0. On obtient donc : 0. Remrque : On peut utiliser l clcultrice pour déterminer l vleur pprochée d une intégrle. Voir rbts de couverture du [Déclic]. Exercices : 54 pge 90 3 57, 58, 59 pge 90 et 64, 65 pge 9 4 [Déclic] 2.2 Lien entre intégrle et ire Dns toute cette sous-section, (O ; ı ; j) désigne un repère orthogonl. C f désigne l courbe représenttive d une fonction f dns le repère (O ; ı ; j). Définition : On ppelle unité d ire du repère (O ; ı ; j) l mesure des ires, notée u.., telle que : u.. = ı j Il s git de l ire du rectngle unité OIKJ (voir figure ). 3. QCM. 4. Clculs d intégrles. Figure Unité d ire 5
2.3 Propriétés de l intégrle 2 INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE Théorème (dmis) : Lien entre intégrle et ire Soit f une fonction continue et positive sur l intervlle [ ; b]. L ire A du domine compris entre l xe des bscisses, l courbe C f et les droites d éqution x = et x = b (voir figure 2) est égle à l intégrle, exprimée en unités d ire. On donc : A = en u.. Figure 2 Intégrle d une fonction continue positive Exercices : 60, 6 pge 90 et 68, 70 pge 9 5 [Déclic] 2.3 Propriétés de l intégrle Théorème : Reltion de Chsles (dmis) Soit f une fonction continue sur un intervlle I et, b, c I. On : + c b = c Théorème 2 : Linérité (dmis) Soit f une fonction continue sur un intervlle I,, b I et λ R. On : λ = λ (f (x) + g (x)) dx = + g (x) dx Théorème 3 : Comprison d intégrles Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I et, b I vec b. Si, pour tout x [ ; b], f (x) g (x) lors g (x) dx. Démonstrtion : 5. Clculs d ires. 6
RÉFÉRENCES 2.4 Vleur moyenne On note φ = g f. Pour tout x [, b], φ (x) 0 donc, d près le 2., φ (x) dx 0, soit (g (x) f (x)) dx 0. g (x) dx. En utilisnt l linérité de l intégrle, on obtient g (x) dx 0 puis Remrques :. Attention! L hypothèse b est essentielle cr, si > b, =. b 2. Ce théorème permet d encdrer une intégrle lorsque l on connît l courbe représentnt l fonction f. Exercices : 7, 72 pge 92 6 73 pge 92 ; 76, 80 pge 93 et 82, 83 pge 94 7 77, 79 pge 93 8 [Déclic] 2.4 Vleur moyenne Définition : Soit f une fonction continue sur un intervlle [ ; b]. On ppelle vleur moyenne de f entre et b le réel : µ = b Remrque : Si f est positive sur [ ; b], µ correspond à l huteur du rectngle construit sur [ ; b], dont l ire, exprimée en u.. est égle à (voir figure 3). Figure 3 Vleur moyenne Exercices : 85, 86 pge 95 9 87, 88 pge 95 et 92, 95 pge 96 20 97, 98 pge 97 et 99 pge 98 2 [Déclic] Exercices de synthèse : 00, 0 pge 98 ; 03 pge 99 et 07, 08 pge 20 22 [Déclic] Références [Déclic] Déclic Term ES, Hchette éduction (édition 2006) 2, 4, 5, 6, 7 6. Vri-Fux. QCM. 7. Lectures grphiques. 8. Reltion de Chsles. 9. Vri-Fux. QCM. 20. Vleur moyenne. 2. Applictions économiques. 22. Type BAC. 7