P a g e 1 TS Chme Détermnaton de la vscosté d une hule moteur Exercce résolu Enoncé Dans les moteurs à combuston, on mnmse les frottements entre les pèces mécanques en utlsant des hules afn d'obtenr un frottement vsqueux : plus une hule est épasse, plus sa vscosté est élevée. On souhate détermner expérmentalement la vscosté d'une hule moteur. Pour cela on flme la chute vertcale d'une balle dans cette hule moteur avec une caméra numérque. L'explotaton du flm avec un ordnateur permet de détermner les valeurs de la vtesse du centre d nerte G de la balle en foncton du temps : on obtent le graphe donné en annexe n 1. A. Premère parte : valdté de la modélsaton de la force de frottement Pour étuder le mouvement de la balle, on se place dans le référentel, supposé galléen, du laboratore. On travallera dans un repère (O, ) sur un axe vertcal (Oz) orenté vers le bas. Les caractérstques de la balle sont : masse m = 35,0 g ; rayon R = 2,00 cm ; volume V = 33,5 cm 3. La masse volumque de l'hule est ρ = 0,910 g.cm -3. On suppose que la force de frottement s'exprme sous la forme f k.v avec v vecteur vtesse du centre d'nerte de la balle. On appellera v z la composante de v dans le repère (O, ). 1. a) Fare l'nventare des forces extéreures applquées à la balle en chute vertcale dans l'hule, pus les représenter, au ponts G et sans souc d échelle, sur le schéma en annexe n 2. b) Comment nomme-t-on le modèle chos pour la force de frottement? 2. a) En applquant la deuxème lo de Newton, établr l'équaton dfférentelle du mouvement de la balle dans le référentel du laboratore. b) Montrer que cette équaton peut se mettre sous la forme : dv = A B.v avec A et B des constantes dont on donnera les expressons lttérales. c) Vérfer que la constante A est égale à 1,27 S.I. en précsant, sans justfer, son unté (valeur du vecteur champ de pesanteur : g = 9,81 m.s -2 ). 3. Le mouvement de chute de la balle présente deux régmes vsbles sur le graphe donné en annexe n 1. a) Sur ce graphe, séparer par un axe vertcal les domanes des deux régmes (on précsera le domane du régme permanent et le domane du régme transtore du mouvement de la balle). b) Relever la valeur de la vtesse lmte v lm. c) Que vaut la valeur du vecteur l'accélératon a du centre d nerte de la balle quand celle-c attent la vtesse lmte?
P a g e 2 4. La méthode d'euler permet d'estmer, par le calcul, la valeur de la vtesse du centre d nerte dv(t ) de la balle en foncton du temps en utlsant les deux relatons : = A B.v(t ) et v(t +1 ) = v(t ) dv(t ) + Δt (avec Δt le pas d'tératon et la constante B égale à 7,5 s -1 ). On obtent le tableau de valeurs suvant : t (s) 0 0,080 0,16 0,24 0,32 0,40 0,48 0,56 dv (m.s-? 0,51 0,20? 0,030 0,020 0,00 0,00 2 ) v (m.s -1 ) 0 0,102 0,143? 0,165 0,167 0,169 0,169 a) Quel est le pas d'tératon de la méthode d'euler proposée? b) Que vaut l'accélératon à l'nstant t = 0 s? En utlsant la méthode d Euler : c) Calculer la valeur du vecteur vtesse à la date t = 0,24 s. d) En dédure la valeur du vecteur accélératon à la même date. 5. a) Placer, sur le graphe en annexe n 1, les valeurs des vtesses obtenues par la méthode d'euler. b) En comparant les ponts obtenus par la méthode d'euler et les ponts expérmentaux, dre s le modèle chos pour la force de frottement de l'hule sur la balle est valde? c) Sur quel paramètre peut-on agr pour amélorer la résoluton de l'équaton dfférentelle par la méthode d'euler? B. Deuxème parte : détermnaton de la vscosté de l hule moteur Pour des vtesses fables, la formule de Stokes permet de modélser la force de frottement flude f agssant sur un corps sphérque en foncton du coeffcent de vscosté η de l'hule, du rayon R de la balle et du vecteur vtesse v du centre d nerte de la balle : f = 6.π.η.R. v (avec η en Pa.s, R en m et v en m.s -1 ). 1. Exprmer la vscosté η en foncton de B, m et R. 2. À l'ade des valeurs de vscosté données c-dessous, dentfer l'hule moteur étudée. Hule moteur à 20 C SAE10 SAE30 SAE50 0,088 Pa.s 0,290 Pa.s 0,700 Pa.s
P a g e 3 Annexe Annexe n 1
P a g e 4 Annexe n 2 O G z
P a g e 5 Corrgé A. Premère parte : valdté de la modélsaton de la force de frottement 1. a) Fare l'nventare des forces extéreures applquées à la balle en chute vertcale dans l'hule, pus les représenter, au ponts G et sans souc d échelle, sur le schéma en annexe n 2. Les 3 forces extéreures qu s exercent sur la balle sont (vor schéma en fn de corrgé) : - son pods P - la poussée d Archmède F - la force de frottement f b) Comment nomme-t-on le modèle chos pour la force de frottement? Il s agt d un frottement lamnare. 2. a) En applquant la deuxème lo de Newton, établr l'équaton dfférentelle du mouvement de la balle dans le référentel du laboratore. F ext = P + F + f = m. a (avec a : vecteur accélératon du centre d nerte de la balle) dv z Projecton dans le repère (O, ) : P z + F z + f z = m.a z = m. => P F f = m. dvz Or : P = m.g ; F = m.g = ρ.v.g (avec m : masse du lqude déplacé par la balle) ; f = k.v => m.g - ρ.v.g k.v = m. dv (car v z = v) => dv = g.(1.v ) - k m m.v b) Montrer que cette équaton peut se mettre sous la forme : dv = A B.v avec A et B des constantes dont on donnera les expressons lttérales. On a donc : dv = A B.v avec A = g.(1.v ) et B = k m m c) Vérfer que la constante A est égale à 1,27 S.I. en précsant, sans justfer, son unté (valeur du vecteur champ de pesanteur : g = 9,81 m.s -2 ). 0, 910 33,5 A = 9,81 x (1 - ) = 1,27 m.s -2 35, 0 3. a) Sur ce graphe en annexe n 1, séparer par un axe vertcal les domanes des deux régmes (on précsera le domane du régme permanent et le domane du régme transtore du mouvement de la balle). Vor graphe en fn de corrgé. b) Relever la valeur de la vtesse lmte v lm. V lm = 17 cm.s -1 c) Que vaut la valeur du vecteur l'accélératon a du centre d nerte de la balle quand celle-c attent la vtesse lmte? v = v lm = Cte => dv = 0 et a = 0 4. a) Quel est le pas d'tératon de la méthode d'euler proposée? Δt = 8,0 x 10-2 s b) Que vaut l'accélératon à l'nstant t = 0 s? A t = 0, v 0 = 0 => dv = A sot : a 0 = 1,27 m.s -2 0 c) Calculer la valeur du vecteur vtesse à la date t = 0,24 s. v(0,24) = v(0,16) + dv(0,16). Δt sot : v(0,24) = 0,143 + (0,20 x 0,080) = 1,6 x 10-1 m.s -1
P a g e 6 d) En dédure la valeur du vecteur accélératon à la même date. a(0,24) = dv(0,24) = A B.v(0,24) sot : a(0,24) = 1,27 (7,5 x 1,6 x 10-1 ) = 7,0 x 10-2 m.s -2 5. a) Placer, sur le graphe en annexe n 1, les valeurs des vtesses obtenues par la méthode d'euler. Vor graphe en fn de corrgé. b) En comparant les ponts obtenus par la méthode d'euler et les ponts expérmentaux, dre s le modèle chos pour la force de frottement de l'hule sur la balle est valde? La courbe obtenue par la méthode d'euler est suffsamment proche des ponts expérmentaux pour valder le modèle lamnare. c) Sur quel paramètre peut-on agr pour amélorer la résoluton de l'équaton dfférentelle par la méthode d'euler? On peut dmnuer le pas d tératon. B. Deuxème parte : détermnaton de la vscosté de l hule moteur 1. Exprmer la vscosté η en foncton de B, m et R. f k.v et f = 6.π.η.R. v => k = 6.π.η.R Or : B = k m 6...R => B = m => 2. Identfer l'hule moteur étudée. -3 7,5 35,0 10 = 6 3,14 2, 00 10 2 B.m 6..R = 7,0 x 10-1 : l s agt de l hule SAE50
P a g e 7 Régme permanent Régme transtore Annexe n 2 O f F G P z