Cours raieme de Sigal AII Chapire : La rasformée de Laplace Les sigaux déermiises à emps coiu I. Iroducio Le lie ere la représeaio emporelle d'u sigal e sa représeaio fréqueielle es la décomposiio e Série de Fourier (DSF), pour les sigaux périodique ou la rasformée de Fourier (F) pour les sigaux o périodiques. II. Propriéés emporelles II.. Éergie e Puissace des sigaux oue rasmissio d'iformaio es liée à u rasfer d'éergie. Comme mesure o l'éergie d'u sigal? Soi u sigal x( défii sur, e o u iervalle de emps. Éergie de x( : E Puissace moyee de x(: P lim o o o lim o [, ] o o o x ( ) x ( ) Puissace moyee des sigaux périodiques de période : P x ( ) d d d Sodes Abdelmouleh
Cours raieme de Sigal AII II. Focio d auo corrélaio e d ier corrélaio Pour comparer deux sigaux ere eux, ou faire ressorir ue caracérisique d u sigal oyé das le brui, o compare le sigal x( pris à u isa, à u sigal y( pris à u isa «-τ». II.. L'ier corrélaio L'ier corrélaio compare deux sigaux réels x( e y( reardée, elle radui la ressemblace de de + forme ere eux : C ( τ ) x( y ( τ ) d x, y + Pour les sigaux complexes : C ( τ ) x( y * ( τ ) d (avec (*) cojugué) x, y Exemple : Si y( ) es ue versio reardée de de x( ), doc C x,y ( sera maximale pour - ; e examia so emps de pic, o peu esimer le décalage ere x e y (Applicaio e radar) II.. L auo corrélaio L auo corrélaio réalise ue comparaiso ere u sigal x( e ses copies reardées + Pour les sigaux réels : C ( τ ) x( x ( τ ) d II..3 Propriéés de corrélaio x, x C x,x ( es maximale pour. C x,y ( C x,y (- : c'es ue focio paire. C x,y ( x( ) * y( - ) e C x,x ( x( ) * x( - ). III. III.. Produi de Covoluio Défiiio Soi le sysème ci-dessous, aya pour erée ue impulsio de Dirac δ( e de sorie la répose impulsioelle h(. δ( Sysème h( Erée : impulsio de Dirac Sorie : la répose impulsioelle Figure (.):La répose impulsioelle du sysème. U sysème liéaire es modélisé par sa répose impulsioelle. La répose y( d u sysème à ue erée x( es ue superposiio de réposes impulsioelle amplifié par des valeurs isaaées de x( ; cee opéraio appelé : covoluio de x par h ; oé (*). Sodes Abdelmouleh 3
Cours raieme de Sigal AII x( Sysème h( y( x(*h( Equaio géérale de covoluio : Figure (.): La répose du sysème. Y( x( * h( x ( τ ). h( τ ). dτ x( τ ). h( τ ). dτ III.. Propriéés du produi de covoluio Soi les rois sigaux coius : f [], f [] e f 3 []. a- La commuaivié : f [] * f [] f [] * f [] b- La disribuivié c- L associaivié ( f [] + f [] )* f 3 [] (f [] * f 3 []) + (f [] * f 3 []) f [] * f [] * f 3 [] f [] * (f [] * f 3 [] ) (f [] * f []) * f 3 [] d- L éléme eure e- f[] * δ[] f ( τ ). δ ( τ ). dτ f[] Soi le sigal d eré f(, s( es la répose du sysème ell que : f( * δ(- ) s( f( - ) f( δ(- ) f(- ) Figure (.3 ) : La répose du sysème à. Le sigal de sorie d u sysème liéaire causal ivaria das le emps es doé par le produi de covoluio du sigal d erée e d ue focio h( appelée répose impulsioelle. La valeur du sigal de sorie à l isa es aisi obeue par la sommaio des valeurs passées du sigal d exciaio, podérées par la répose du sysème. Sodes Abdelmouleh 4
Cours raieme de Sigal AII III.. Applicaio Exemple : Soi les sigaux coius h( e x(: h ( pour sio h ( & x (.e- pour a- Représeer les deux sigaux. b- Déermier le produi de covoluio y ( x ( * h (. Correcio : a- x( h( Figure (.4 ) : La représeaio emporelle des sigaux x( e h(. b- le produi de covoluio y ( x ( * h ( x ( τ ). h( τ ). dτ h(τ) er cas : pour < x(-τ) τ Figure(. 5 ) : La représeaio des sigaux pour <. Pas d iersecio ere les deux sigaux d où y(. er cas : pour < < h(τ) x(-τ) Figure (. 6) : La représeaio des sigaux pour < <. y ( x ( * h ( x ( τ ). h( τ ). dτ.. () 4.. y( 4. e - - 4.e - pour < < 4. e - [e ] τ 4.. Sodes Abdelmouleh 5
Cours raieme de Sigal AII 3 eme cas : pour > y ( x ( * h ( x ( τ ). h( τ ). dτ 4. () 4.. 4.. 4. e - [e ] d où y( 4. e - - 4.e - pour > Exemple : Soi u sysème «S», caracérisé par sa répose impulsioelle h(. Si o excie ce sysème par u sigal x (, o aura ue répose y (. Soie les deux sigaux coius x ( e h ( elle que : x ( pour 4 sio x ( & h ( pour - sio h ( a - Déermier le produi de covoluio y ( x ( * h (. b - Représeer le produi de covoluio y (. Répose : a - h( x( - 4 Figure (. 7): La représeaio emporelle des sigaux x( e h(. Le produi de covoluio y ( x ( * h ( x ( τ ). h( τ ). dτ er cas : pour < Pas d iersecio ere les deux sigaux d où y(. h( - τ) x(τ) - 4 4 Figure (. 8) : La représeaio de x(τ) e h(- τ) pour <. ème cas : pour < < 4 h( - τ) x(τ) - 4 4 Figure (. 9) : La représeaio de x(τ) e h(- τ) pour le ème cas. Sodes Abdelmouleh 6
Cours raieme de Sigal AII y ( x ( * h ( x ( τ ). h( τ ). dτ y( pour < < 4 3 ème cas : pour >4 e -4<4 d où 4 < <8 x(τ) h( - τ) - 4 4 Figure (. ) : La représeaio de x(τ) e h(- τ) pour le 3 ème cas. y ( x ( τ ). h( τ ). dτ 4 + 4 - + 8 y( - + 8 pour 4< <8 4 ème cas : pour -4>4 d où >8 x(τ) h( - τ) 4 Figure (. ) : La représeaio de x(τ) e h(- τ) pour le 4 ème cas. Pas d iersecio ere les deux sigaux d où y(. - 4 b- y( 4 4 8 Figure (. ) : La représeaio emporelle du produi de covoluio. Sodes Abdelmouleh 7
Cours raieme de Sigal AII IV. Propriéés fréqueielles IV.. rasformaio de Fourier des focios périodiques : Série de Fourier L iroducio de la rasformée e de la Série de Fourier perme de doer ue aure représeaio des sigaux rès iéressae pour la héorie de l iformaio e du sigal.cee décomposiio expoeielle ou rigoomérique perme d exprimer le sigal e focio de ses harmoiques. IV... Décomposiio sous ue forme rigoomérique U sigal périodique s( de période, coiu par morceaux e vérifia les codiio de Dirichle, peu êre décomposé e Série de Fourier selo la Décomposiio rigoomérique suivae : Pour ou sigal s( réel où s( s ( + ), o peu écrire : Avec A A B s s( d ( A + [ A cos( F + B si( πf ] s(.cos( πf d pour s(.si( πf d pour π () A es la valeur moyee de s(. Remarque : Si s( es paire > B pour ϵ N* Si s( es impaire > A pour ϵ N (A ). L expressio () peu s écrire : s( a + C.cos( π F + ϕ ) () avec : + b e ϕ Arga ( ) a Sodes Abdelmouleh 8
Cours raieme de Sigal AII IV... Specre du sigal périodique Le specre e fréquece d u sigal périodique es cosiuer de la composae coiue avec à la fréquece ulle d ampliude A, du fodameal à la fréquece F d ampliude C e des différes harmoiques siués aux fréqueces f F d ampliude respecives C. Le specre d ue focio périodique, de période avec /F, es discoiue e composé de raies do l écar miimum es, sur l axe des fréqueces, F. Représeaio specrale uilaéral A parir de l expressio (), o peu cosruire la représeaio specrale du sigal das u pla ampliude fréquece. C es la successio de pics ou raies d ampliude C e posiioés aux fréqueces F. C C C3 C A f F F 3F F IV... Décomposiio sous ue forme expoeielle Figure (.3) : Représeaio specrale du sigal s(. U sigal périodique s( de période, coiu par morceaux, peu êre décomposé e Série de Fourier selo la Décomposiio expoeielle suivae : L expressio () peu se mere sous la forme complexe suivae : j π F s ( ) S ( F ) e jπf Avec S( F ) ( a jb) s( e d pour e S() a Les valeurs égaives de so iroduies das u bu de simplificaio, s( éa réel d où ous avos : a - a e b - - b S(F ) représee les composaes du specre e fréquece de s(,gradeur e gééral complexe, qui a pour : module : S(f ) + phase : ᵩ ( F ) Arca(- b / a ) Sodes Abdelmouleh 9
Cours raieme de Sigal AII L expressio du specre S(f) es : S(f) &'( &( (!" ).#($%!" ) avec S(F ) S(F ). e j ᵩ( F ) S(f) S(-F ) S(-3F ) S(-F ) S(-F ) S(F ) S(F ) S(3F ) S(F ) S() f - F -3F -F -F F F 3F F IV..3. Propriéés Figure (.4) : Représeaio bilaérale du specre d u sigal périodique. Si s( es paire > B e S S - Si s( es impaire > A e S -S - IV..4. Applicaio Décomposer e série de Fourier le sigal représeée sur la figure suivae: f( 3 Figure (. 5) : Représeaio emporelle du sigal périodique f(. Correcio : La période es : s ; La pulsaio es : ω π π ; f es ue focio paire : B. La valeur moyee es : D où : A v( d v( d + v( d [, ] v( a + b v( 3 + 3 3 (3 + 3) d + 3 3 4 e [,] v( 3 + c v( 3 + 3 Sodes Abdelmouleh
Cours raieme de Sigal AII 3 ( 3 + 3) d + 3 3 4 A 3/4+3/43/ A 3/ A s(.cos( πf d A f ( cos( π d A ( 3 + 3) cos( π d + ( 3 + 3) cos( π d E iégra par parie, o rouve A [ ( ) ] + [ ( ) ] 3 ( π ) 6 ( π ) D où A [ ( ) ] 3 ( π ) IV.. rasformaio de Fourier des focios La rasformée de Fourier perme d obeir ue représeaio e fréquece (représeaio specrale) des sigaux déermiise, coius e o périodique. Elle exprime la répariio fréqueielle de l ampliude, de la phase e de l éergie (ou de la puissace) des sigaux cosidérés. IV.. Défiiio Soi x( u sigal déermiise o périodique, sa rasformée de Fourier es : x(.f X(f) X(f) F{x(} X ( f ) x(. e j πf d X(f) idique quelle "quaié" de fréquece f es présee das le sigal x( sur l'iervalle ], [ X(f) es ue focio de f, gééraleme complexe : X(f) R{X(f)} + j.i{x(f)} X(f).e jφ(f) X(f) cos(φ(f)) + j X(f).si(φ(f)) Sodes Abdelmouleh
Cours raieme de Sigal AII -le module es l ampliude du specre : X(f) R [ X ( f)] + I[ X ( f)] I[ X( f)] -L argume φ(f) arg (x(f)) Arcg( ) R[ X( f)] La rasformaio iverse es doée par : X(f).F - x( x( F - { X(f) } e j π f. x ( X(f). d IV.. Applicaio:. Calculer la rasformée de Fourier de x( rec ( ;. Représeer le specre de x(. x( -/ / Correcio : Figure (. 6) : Représeaio emporelle d u sigal recagulaire. jπf. X(f) F{x(} rec (. e. d j π f. e. d or si α D où X(f) - j [e -jπf - e jπf ] πf [ e αj e -jα si( πα ) ] e sic α j πα.si(πf). πf π.si(πf).sic(f) f D où X(f).sic(f) Sodes Abdelmouleh
Cours raieme de Sigal AII. représeaio de X(f) : X(f) f -/ -/ / / Figure (.7) : Représeaio specrale d u sigal recagulaire. IV..3. Propriéés de la F Soi les deux sigaux aalogiques s( e r( Sodes Abdelmouleh 3
Cours raieme de Sigal AII IV..4. Cas pariculier : rasformée de Fourier de Dirac Le sigal : s ( rasformée de Fourier Du sigal : S ( f ) δ( δ( τ) j πfτ e jπf e ( f + f ) δ IV..5. Applicaio : Calculer e représeer la rasformée de Fourier d u sigal siusoïdale s( d ampliude S e de fréquece f elle que : s( S.cos( π f Correcio : S( f ) or S jπf jπf s( e d S. cos(πf e d j πf j πf e + e cos(πf jπf jπf e + e jπf S jπf jπf f ) S. e d e. e d + e jπf (. e jπf d S j π ( f f ) jπ ( f + f ) e d + e d S j π ( f f ) jπ ( f + f ) e d + e d S S ( f ) [ δ ( f f ) + δ ( f + f] S F ( + [ S. cos(π f ] [ δ ( f f ) + δ f f ] Figure (.8) : représeaio emporelle e fréqueielle du sigal cosius. Sodes Abdelmouleh 4
Cours raieme de Sigal AII Remarque : La rasformée de Fourier d ue focio cosius de fréquece f e d ampliude S, es la somme de deux impulsios de Dirac cerée sur les fréqueces f e +f ; e d ampliude la moiié de celle du sigal :S /. La rasformée de Fourier d ue focio sius de fréquece f e d ampliude S, es la somme de deux impulsios de Dirac cerée sur les fréqueces f avec ue ampliude S/ e sur +f avec ue ampliude -S /. IV.3. rasformée de Fourier du produi de covoluio [ a( * b( ] A( f ). B( f ) F Remarque : [ h( * δ ( ] F[ h( ]. F[ δ ( ] F[ h( ] H ( f ) F Sodes Abdelmouleh 5