A retenir : Chapitre 1

A retenir : Chapitre 1 C1 * 1 et * 2 Définition de division euclidienne et vocabulaire Effectuer la DIVISION EUCLIDIENNE de D par d non nul, c est trouver le quotient q et le reste r tel que : D = d. q + r avec r < d D = dividende ; d = diviseur ; et D, d, q, r naturels q = quotient ; r = reste ; Remarque : si le reste vaut 0, alors la division de D par d est exacte. On dit que : D est multiple de d. d est diviseur de D C1 * 3 Définition de PGCD Le PGCD de deux naturels est le plus grand naturel qui divise ces deux nombres C1 * 4 Règle pour calculer le PGCD de naturels. (A lire attentivement!) Pour calculer le PGCD de plusieurs nombres : - on décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers - on effectue le produit de TOUS les facteurs premiers communs. Disposition pratique : 300 2 350 2 150 2 175 5 PGCD (300 ;350) = 75 3 35 5 2. 5. 5 = 50 25 5 7 7 5 5 1 1 C1 * 5 Définition de nombres naturels premiers entre eux Deux nombres naturels sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1 Exemple : 4 et 9 sont premiers entre eux. Contre-exemple : 4 et 8 ne sont pas premiers entre eux, car ils sont divisibles par 1, 2 et 4 C1 * 6 Définition de PPCM Le PPCM de deux naturels est le plus petit naturel non nul multiple de ces deux nombres Théorie page 1

C1 * 7 Règle pour calculer le PPCM de naturels. (A lire attentivement!) Pour calculer le PPCM de plusieurs nombres : - on décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers - on effectue le produit de tous les facteurs premiers différents affectés de leur plus grand exposant Disposition pratique : 300 2 350 2 150 2 175 5 PPCM (300 ;350) = 75 3 35 5 2². 3. 5². 7 = 2100 25 5 7 7 5 5 1 1 2². 3. 5² 2. 5². 7 C1 * 8 Forme générale de différents nombres naturels Un multiple de 3 Un multiple de 5 Un nombre pair 3 n 5 n 2 n Un nombre impair 2 n + 1 Deux naturels consécutifs n et n + 1 Trois naturels consécutifs n, n + 1 et n + 2 Deux nombres pairs consécutifs 2 n et 2 n + 2 Deux nombres impairs consécutifs 2 n + 1 et 2 n + 3 Théorie page 2

A retenir : RAPPEL 1) Règles d addition de deux entiers Pour additionner deux entiers de même signe : a. On additionne les valeurs absolues des deux nombres. b. On donne au résultat le signe commun aux deux nombres. Pour additionner deux entiers de signes contraires : c. On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande. d. On donne au résultat le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. 2) Propriétés de l addition d entiers Propriétés L addition est commutative Généralisation a + b = b + a L addition est associative a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) 0 est l élément neutre de l addition 0 + a = a = a + 0 3) Règle de soustraction de deux entiers Pour soustraire deux nombres relatifs, on additionne le premier nombre et l opposé du deuxième. 4) Règle de multiplication des entiers Pour multiplier deux nombres entiers : a) déterminer le signe du produit par la règle suivante : le produit de deux entiers de même signe est positif. - le produit de deux entiers de signes contraires est négatif. b) multiplier les valeurs absolues. 5) Propriétés de la multiplication d entiers Propriétés Généralisation La multiplication est commutative. a. b = b. a La multiplication est associative. a. b. c = (a. b). c = a. (b. c) 1 est l élément neutre de la multiplication. 1. a = a = a. 1 0 est absorbant pour la multiplication. 0. a = 0 = a. 0 La multiplication est distributive par rapport à l addition. a. ( b + c ) = a. b + a. c 6) Règle d ordre des opérations (règle de priorité des opérations) Dans une suite d opérations, on effectue dans l ordre : 1 ) les calculs entre parenthèses en commençant par les plus intérieures, 2 ) les puissances, 3 ) les multiplications et les divisions de gauche à droite, 4 ) les additions et les soustractions de gauche à droite. Théorie page 3

A retenir : Chapitre 2 C1 * 1 Règle de division d un entier par un entier non nul Pour diviser un entier par un entier non nul, On divise la valeur absolue du dividende par celle du diviseur On détermine le signe du quotient par la règle suivante : - Le quotient de deux nombres de même signe est positif - Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif Exemples : 35 : 5 = 7 35 : ( - 5 ) = - 7-35 : 5 = - 7-35 : ( - 5 ) = 7 Remarque : Le quotient de 0 par un entier non nul vaut 0 Le quotient d un entier non nul par 0 n existe pas C1 * 2 Propriété sur le signe d une fraction : Une fraction est : - positive si son numérateur et son dénominateur sont de même signe - négative si son numérateur et son dénominateur sont de signes contraires Exemples : 9 ; 10 9 ; 10 9 sont des fractions positives 10 9 sont des fractions négatives 10 C1 * 3 Règle des quotients égaux : En français : Un quotient ne change pas si on multiplie (ou divise ) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. En formule : Exemple : a b a. k a : m ( b 0 ; k 0 ; m 0 ) b. k b : m 9 27 3 12 36 4 18 24 C1 * 4 Règle de simplification de fraction (lire) Pour simplifier une fraction à termes entiers, - On détermine le signe de la fraction - On divise les valeurs absolues du numérateur et du dénominateur par leur pgcd C1 * 5 Définition de fraction irréductible Une fraction irréductible est une fraction dont les valeurs absolues du numérateur et du dénominateurs sont premiers entre eux Exemple : 11 est irréductible, mais 12 6 n est pas irréductible. 8 Théorie page 4

C1 * 6 Fractions opposées La fraction opposée de a b est la fraction - a b. Exemple : 4 et 5 54 sont des fractions opposées. C1 * 7 Propriété de deux fractions opposées : La somme de deux fractions opposées vaut 0 a a b b 0 ( b 0 ) C1 * 8 Valeurs approchées par défaut et par excès. A lire! Valeur approchée par défaut = Coupure du nombre à un rang donné (on laisse tomber les chiffres à droite). Valeur approchée par excès = Valeur approchée par défaut à laquelle on ajoute 1 au dernier rang. Exemple : Sachant que 16 11 = 1,454545 la VAPD du nombre 1,454545 au dixième près 1,4 la VAPE du nombre 1,454545 au dixième près 1,5 C1 * 9 Règle de comparaison de fractions : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur Exemples : 3 5 < 8 8 car 3 < 5 Si deux fractions ont le même numérateur, la plus petite est celle qui a le plus grand dénominateur Exemples : 2 7 < 2 5 car 7 > 5 Si deux fractions n ont ni le même dénominateur ni le même numérateur, on réduit les deux fractions au même dénominateur Exemples : 3 4 3 15 4 16 < car et et 15 < 16 4 5 4 20 5 20 Théorie page 5

C1 * 10 Règle d addition de fractions Pour additionner (ou soustraire) des fractions, - On simplifie chaque fraction. - On réduit chaque fraction au même dénominateur (positif et le plus petit possible). - On additionne (ou soustrait) les numérateurs entre eux. - On recopie le dénominateur commun. - On simplifie le résultat, si possible. a d a d ( b 0 ) b b b a d a d ( b 0 ) b b b Exemples : 1) 12 2 3 2 9 8 17 2) 16 3 4 3 12 12 12 2 5 4 5 9 1 9 18 18 18 18 2 C1 * 11 Règle de multiplication de fractions Pour multiplier une fraction par une fraction, - on simplifie au maximum les numérateurs avec les dénominateurs - on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux a c a. c. ( b 0, d 0 ) b d b. d Exemple : 1 3 3 2 4 8. 4 15 21.. - 4.15.21 3 5 15 25 8 35 25.8.35 = - 9 50 5 2 5 C1 * 12 Fraction inverse a b La fraction inverse de est la fraction b a ( a 0, b 0 ) Exemple : 4 5 et sont des fractions inverses. 5 4 C1 * 13 Propriété de fractions inverses : Le produit de deux fractions inverses vaut 1 a b. 1 b a ( a 0 ; b 0) C1 * 14 Règle de division d une fraction par une fraction Pour diviser une fraction par une fraction non nulle, - on multiplie la première fraction par l inverse de la deuxième - on simplifie le résultat, si possible a c a d a. d :. ( b 0, d 0, c 0 ) b d b c b. c Théorie page 6

A retenir : Chapitre 3 C1 * 1 Définition de la puissance d un entier. En français : Soit n un naturel non nul et a un entier non nul, la n ème puissance de a est le produit de n facteurs égaux à a. En langage mathématique : a n = a. a. a.. a n facteurs a : base n : exposant Exemples : 4 5 = 4. 4. 4. 4. 4 ( - 3 ) 4 = ( - 3 ). ( - 3 ). ( - 3 ). ( - 3 ) C1 * 2 Cas particuliers : a 0 = 1 0 n = 0 1 n = 1 a 1 = a C1 * 3 Règle des signes d une puissance. La puissance d un nombre positif est toujours positive. La puissance d un nombre négatif est positive si l exposant est pair. - négative si l exposant est impair. Exemples : 2 5 = 32 2 4 = 16 ( - 2 ) 4 = 16 mais 2 4 = - ( 2. 2. 2. 2) = - 16 ( - 2 ) 5 = - 32 Théorie page 7

C1 * 4 Propriétés des puissances a et b sont des nombres entiers non nuls m et p sont des nombres naturels non nuls Propriétés (Formules en langage mathématique) Exemples a m. a p = a m + p 2 5. 2 3 = 2 5+3 = 2 8 ( a m ) p = a m. p ( 3 4 ) ² = 3 4. 2 = 3 8 a m = a m p 7 3 p 5 = 3 7-5 = 3 2 a 3 ( a. b ) m = a m. b m ( 2. a ) ³ = 2 ³. a ³ = 8 a³ m b = a b a m m 2 5 3 = 2³ 5³ ( 4 + 3 ) ² 4 ² + 3 ² C1 * 5 Définition de 10 n et 10 n Si n désigne un naturel non nul : 10 n = 10. 10.. 10 = 1 00 00 Exemple : 10 5 = 100000 n facteurs n zéros derrière le 1 10 n = 1 n 10 = 1 100... 0 = 0, 00 1 Exemple : 10-4 = 0,0001 n zéros n chiffres après la virgule C1 * 6 Ecriture d un nombre en notation scientifique Lire méthode p. 219 Entier relatif a. 10 x 1 < a < 10 Théorie page 8

A retenir : Chapitre 4 C1* 1 & * 2 Définition de l image d un point par une rotation et éléments caractéristiques. X est l image de X par la rotation de centre O et d amplitude, O si OX ' = OX X O ˆX ' = avec + - Sens de rotation X X C1 * 3 Invariants des isométries. INVARIANTS SIGNIFICATION Les isométries conservent l'alignement des points. Les images de trois points alignés par une isométrie sont trois points alignés. la longueur des segments. (et donc le périmètre et l aire) L image d un segment par une isométrie est un segment de même longueur. le parallélisme des droites. Les images de deux droites parallèles par une isométrie sont deux droites parallèles. l'amplitude des angles. (et donc la perpendicularité) L image d un angle par une isométrie est un angle de même amplitude. L image d une droite par une symétrie centrale et par une translation est une droite parallèle. Théorie page 9

A retenir : Chapitre 5 C1 * 1 Définition de l axe de symétrie d une figure. Un axe de symétrie d une figure est une droite d telle que : l image de cette figure par la symétrie orthogonale d axe d est la figure elle-même. C1 * 2 Définition du centre de symétrie d une figure. Le centre de symétrie d une figure est le point M tel que : l image de cette figure par la symétrie centrale de centre M est la figure elle-même. C1 * 3 Propriétés du triangle isocèle. Si je suis un triangle isocèle, alors j ai deux côtés de même longueur. Si je suis un triangle isocèle, alors mes deux angles à la base sont de même amplitude. Si je suis un triangle isocèle, alors j ai un axe de symétrie. PROPRIETES RECIPROQUES Si je suis un triangle ayant deux côtés de même longueur, alors je suis isocèle. Si je suis un triangle ayant deux angles de même amplitude, alors je suis isocèle. Si je suis un triangle ayant un axe de symétrie, alors je suis isocèle. Si un triangle est isocèle, alors son axe de symétrie est à la fois la bissectrice de l angle principal, ainsi que la médiane, la hauteur et la médiatrice relatives à la base. C1 * 4 Propriétés du triangle équilatéral. Si je suis un triangle équilatéral, alors mes trois côtés sont de même longueur. Si je suis un triangle équilatéral, alors mes trois angles sont de même amplitude. Si je suis un triangle équilatéral, alors j ai trois axes de symétrie. PROPRIETES RECIPROQUES Si je suis un triangle ayant trois côtés de même longueur, alors je suis équilatéral. Si je suis un triangle ayant trois angles de même amplitude, alors je suis équilatéral. Si je suis un triangle ayant trois axes de symétrie, alors je suis équilatéral. C1 * 5 Propriétés du parallélogramme. Si je suis un parallélogramme, alors mes côtés opposés sont parallèles. Si je suis un parallélogramme, alors mes côtés opposés sont de même longueur. Si je suis un parallélogramme, alors mes angles opposés sont de même amplitude. Si je suis un parallélogramme, alors mes diagonales se coupent en leur milieu. Si je suis un parallélogramme, alors j ai un centre de symétrie. PROPRIETES RECIPROQUES Si je suis un quadrilatère ayant mes côtés opposés parallèles, alors je suis un parallélogramme. Si je suis un quadrilatère ayant mes côtés opposés de même longueur, alors je suis un parallélogramme. Si je suis un quadrilatère ayant mes angles opposés de même amplitude, alors je suis un parallélogramme. Si je suis un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, alors je suis un parallélogramme. Si je suis un quadrilatère ayant un centre de symétrie, alors je suis un parallélogramme. Théorie page 10

C1 * 6 Propriétés du rectangle. Si je suis un rectangle, alors j ai quatre angles droits. Si je suis un rectangle, alors mes diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. Si je suis un rectangle, alors mes médianes sont axes de symétrie. PROPRIETES RECIPROQUES Si je suis un quadrilatère ayant quatre angles droits, alors je suis un rectangle. Si je suis un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur, alors je suis un rectangle. Si je suis un quadrilatère dont les médianes sont axes de symétrie, alors je suis un rectangle. C1 * 7 Propriétés du losange. Si je suis un losange, alors mes quatre côtés sont de même longueur. Si je suis un losange, alors mes diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Si je suis un losange, alors mes diagonales sont axes de symétrie. PROPRIETES RECIPROQUES Si je suis un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur, alors je suis un losange. Si je suis un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, alors je suis un losange. Si je suis un quadrilatère dont les diagonales sont axes de symétrie, alors je suis un losange. C1 * 8 Propriétés du carré. Si je suis un carré, alors j ai quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Si je suis un carré, alors mes diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de même longueur. Si je suis un carré, alors mes diagonales et mes médianes sont axes de symétrie. PROPRIETES RECIPROQUES Si je suis un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur et quatre angles droits, alors je suis un carré. Si je suis un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de même longueur, alors je suis un carré. Si je suis un quadrilatère dont les diagonales et les médianes sont axes de symétrie, alors je suis un carré. Théorie page 11

A retenir : Chapitre 6 C1 * 1 Définition de deux angles opposés par le sommet. Deux angles opposés par le sommet sont des angles qui ont le même sommet et dont les côtés sont dans le prolongement l un de l autre. C1 * 2 Propriété des angles opposés par le sommet. Deux angles opposés par le sommet ont même amplitude. C1 * 3 Définition de deux angles correspondants Deux angles correspondant sont : - deux angles non adjacents ; - situés du même côtés de la sécante s ; - l un à l intérieur et l autre à l extérieur des deux droites d et d. C1 * 4 Définition de deux angles alternes-internes Deux angles alternes-internes sont : - deux angles non adjacents ; - situés de part et d autre de la sécante s ; - à l intérieur des deux droites d et d. C1 * 5 Définition de deux angles alternes-externes Deux angles alternes-externes sont : - deux angles non adjacents ; - situés de part et d autre de la sécante s ; - à l extérieur des deux droites d et d. C1 * 6 Propriétés des angles formés par deux parallèles et une sécante. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, Alors elles déterminent des angles correspondants de même amplitude. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, Alors elles déterminent des angles alternes-internes de même amplitude. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, Alors elles déterminent des angles alternes-externes de même amplitude. Théorie page 12 PROPRIETES RECIPROQUES Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles correspondants de même amplitude, Alors ces deux droites sont parallèles. Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes-internes de même amplitude, Alors ces deux droites sont parallèles. Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes-externes de même amplitude, Alors ces deux droites sont parallèles.

C1 * 7 Somme des amplitudes des angles d un triangle. La somme des amplitudes des angles d un triangle vaut 180. C1 * 8 Cas du triangle équilatéral. Dans un triangle équilatéral, chaque angle a une amplitude de 60. Si un triangle a deux angles dont l amplitude vaut 60, alors il est équilatéral. C1 * 9 Cas du triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires. Si un triangle a deux angles aigus complémentaires, alors il est rectangle. C1 * 10 Cas du triangle isocèle. Dans un triangle rectangle isocèle, les angles aigus ont chacun une amplitude de 45. Si un triangle rectangle a un angle aigu dont l amplitude vaut 45, alors il est isocèle. C1 * 11 Propriétés de la somme des amplitudes des angles d un polygone. La somme des amplitudes des angles d un polygone à n côtés vaut (n 2). 180 L amplitude d un angle d un polygone régulier à n côtés vaut ( n 2). 180 n Théorie page 13

A retenir : Chapitre 7 C1 * 1 Définition de termes semblables Des termes semblables sont des termes qui ont la même partie littérale, c est-à-dire qui comportent les mêmes lettres avec les mêmes exposants. Exemple : Termes semblables : 7 a et 3 a Termes non semblables : 5 ab et 5 ac 7 ab et 5 ab 2 a² et 2 b² 2 a² et 5 a² 3 a² et 3 a 4 x²y³ et 2 x²y³ 4 x³y² et 2 x²y³ C1 * 2 Règle pour supprimer des parenthèses Parenthèses précédées du signe + Parenthèses précédées du signe - a + ( b + c ) = a + b + c a + ( b - c ) = a + b - c a + ( - b + c ) = a - b + c a - ( b + c ) = a - b - c a - ( b - c ) = a - b + c a - ( - b + c ) = a + b - c C1 * 3 Règle pour réduire une somme algébrique : Pour réduire une somme algébrique, on additionne les termes semblables c est-à-dire : - on recopie leur partie littérale, - on additionne leurs coefficients. Exemples : 5 c + 7 c = 12 c 6 xy + 5 xy = 11 xy 4 b² + 3 b² = 7 b² 8 a² + 2 a + 6 a² + 5 + 3 a = 14 a ² + 5 a + 5 2 xy 5 y³ + 4 xy 7 x²y + 2 y³ - 5 x²y = 6 xy 3 y³ - 12 x²y Règle pour réduire un produit algébrique : Pour réduire un produit algébrique, on multiplie : - les coefficients entre eux, - les parties littérales entre elles, en notant les lettres dans l ordre alphabétique et en utilisant les propriétés des puissances. Exemples : 4 a. 2 c = 8 a c 2 ab. 5 c = 10 a b c 2 a²b. 7 a³y = 14 a 5 by - 3 x 4 y³. ( - 4 x² b 5 ). 2 y 6 = 24 b 5 x 6 y 9 Théorie page 14

C1 * 4 et * 6 Propriété de distributivité. Développer (Formules) Produit Somme ou différence c. ( a + b ) = c. a + c. b c. ( a b ) = c. a c. b Produit Somme ou différence Factoriser C1 * 5 Interprétation géométrique de la distributivité. a b c ac bc c. ( a + b ) = ac + bc C1 * 7 Propriété de la double distributivité. (Formule) (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples : (a + b) (c d) = ac ad + bc bd (2x + 3) (x + 7) = 2x² + 14x + 3x + 21 = 2x² + 17x + 21 (a b) (c d) = ac ad bc + bd (-3x + 4) (x + 1) = - 3x² - 3x + 4x + 4= - 3x² + x + 4 C1 * 8 Interprétation géométrique de la double distributivité. a b c ac bc (a + b). (c + d) = ac + ad + bc + bd d ad bd C1 * 9 Identités remarquables (Carré d une somme ou d une différence de deux termes) (a + b )² = a² + b² + 2ab (a b )² = a² + b² - 2ab C1 * 10 et C1 * 11 Identités remarquables (Produit de deux binômes conjugués) (a + b). (a b) = a² - b² * Un binôme est la somme de deux termes. * Deux binômes conjugués sont deux binômes qui ne diffèrent que par le signe d un des termes. Théorie page 15

C1 * 1 Définition d une équation. A retenir : Chapitre 8 Une équation à une inconnue est une égalité comprenant des nombres et une lettre (appelée inconnue). Exemple : 3x - 4 = x + 8 équation 1er membre 2ème membre C1 * 2 Définition de la solution d une équation. La solution d une équation est la valeur de l inconnue pour laquelle l égalité est vérifiée. Exemple : La solution de l équation ci-dessus est x = 6 car : 3. 6 4 = 6 + 8 14 14 C1 * 3 Propriétés de l égalité. 1 ) * Ajouter un même nombre aux deux membres d une égalité conserve l égalité. Formule : a = b a + c = b + c * Soustraire un même nombre aux deux membres d une égalité conserve l égalité. Formule : a = b a - c = b - c 2 ) * Multiplier les deux membres d une égalité par un même nombre, conserve l égalité. Formule : a = b a. c = b. c * Diviser les deux membres d une égalité par un même nombre NON NUL, conserve l égalité. Formule : a = b a c = b c Exemples : x + 3 = 4 x 5 = 7 4 x = 9 x + 3 3 = 4-3 x 5 + 5 = 7 + 5 4x 4 = 9 4 x = 1 x = 12 x = 9 4 x 6 = 5 x 6. 6 = 5. 6 x = 30 Théorie page 16

A retenir : Chapitre 9 C1 * 1 Notion de grandeurs proportionnelles. Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut multiplier toutes les valeurs de la première grandeur (x) par un même nombre pour obtenir les valeurs correspondantes de la seconde grandeur (y). Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité, souvent noté k. Exemple : Consommation d essence d une voiture en fonction du nombre de km parcourus Distance ( x ) Consommation ( y ) 100 15 150 22,5 200 30 x 0,15 Le coefficient de proportionnalité est k = 0,15 Contre exemple : x 10 X 4 15 40 y 40 60 180 X 4 Les grandeurs x et y ne sont pas proportionnelles. Propriétés : Distance ( x ) Consommation ( y ) + 100 15 150 22,5 250 37,5 + Distance ( x ) Consommation ( y ) X 2 100 15 150 22,5 200 30 X 2 Théorie page 17

C1 * 2 Caractéristiques du graphique et formule. Le graphique de deux grandeurs proportionnelles est une droite passant par l origine. La relation entre ces deux grandeurs x et y s écrit : y = k. x ( k étant le coefficient de proportionnalité ) C1 * 3 Vocabulaire lié aux proportions. Un rapport entre deux grandeurs est une fraction qui compare deux valeurs de ces grandeurs. Une proportion est l égalité entre deux rapports. 1 er terme 3 ème terme a c = est une proportion. b d 2 ème terme 4 ème terme a et d sont les extrêmes. B et c sont les moyens. C1 * 4 Propriété fondamentale des proportions. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. a Formule : a, b, c, d étant des nombres non nuls : b = c ad = bc d Cette propriété permet de compléter facilement des proportions et de chercher la "quatrième proportionnelle", c est-à-dire le quatrième terme d une proportion. Exemple : 3 15 5 = donc x 3. x = 5. 15 3x = 75 x = 75 3 x = 25 Théorie page 18

A retenir : Chapitre 11 C1 * 1 Inégalité triangulaire. Dans un triangle, la longueur de chaque côté est : - plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés ; - plus grande que la différence positive des deux autres côtés. AC BC < AB < AC BC AB BC < AC < AB BC A B AB AC < BC < AB AC C C1 * 2 Définition de la médiatrice d un segment. La médiatrice d un segment est la droite passant par le milieu de ce segment et perpendiculaire à ce segment. C est un axe de symétrie de ce segment. C1 * 3 Propriété de la médiatrice d un segment. Si un point est à égale distance des extrémités d un segment, Alors il appartient à la médiatrice de ce segment. PROPRIETES RECIPROQUES Si un point appartient à la médiatrice d un segment, Alors il est à égale distance des extrémités de ce segment. C1 * 4 Propriété des médiatrices des côtés d un triangle. Les trois médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes en un seul point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. C1 * 5 Définition du cercle circonscrit. Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets du triangle et dont le centre est le point de concours des médiatrices des côtés de ce triangle. C1 * 6 Triangle rectangle et cercle circonscrit Théorèmes + conséquences. Théorème DIRECT Si un triangle est rectangle, Alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Théorie page 19 Théorème RECIPROQUE Si un triangle a comme côté un diamètre de son cercle circonscrit, Alors ce triangle est rectangle. Conséquence : Conséquence : Si un triangle est rectangle, Alors la médiane relative à l hypoténuse vaut la moitié de celle-ci Si une médiane d un triangle vaut la moitié du côté correspondant, Alors ce triangle est rectangle.

C1 * 7 Définition de la bissectrice d un angle. La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même amplitude. C1 * 8 Propriété de la bissectrice d un angle. Si un point est à égale distance des côtés d un angle, Alors il appartient à la bissectrice de cet angle. PROPRIETES RECIPROQUES Si un point appartient à la bissectrice d un angle, Alors il est à égale distance des côtés de cet angle. C1 * 9 Propriété des bissectrices des angles d un triangle. Les trois bissectrices des angles d un triangle sont concourantes en un seul point qui est le centre du cercle inscrit à ce triangle. C1 * 10 Définition du cercle inscrit. Le cercle inscrit à un triangle est le cercle tangent aux trois côtés du triangle et dont le centre est le point de concours des bissectrices des angles de ce triangle. C1 * 11 Positions de deux cercles. C 1 C 2 C 1 C 2 Les cercles C 1 et C 2 sont DISJOINTS EXTERIEUREMENT (0 intersection) Les cercles C 1 et C 2 sont DISJOINTS INTERIEUREMENT (0 intersection) C 1 C 2 C 1 C 2 Les cercles C 1 et C 2 sont TANGENTS EXTERIEUREMENT (1 intersection) Les cercles C 1 et C 2 sont TANGENTS INTERIEUREMENT (1 intersection) C 1 C 2 C 1 C 2 Les cercles C 1 et C 2 sont SECANTS (2 intersections) Les cercles C 1 et C 2 sont CONCENTRIQUES (0 intersection) Théorie page 20

C1 * 12 Positions d un cercle et d une droite. C 1 d C 1 d Le cercle C 1 et la droite d sont DISJOINTS (0 intersection) Le cercle C 1 et la droite d sont TANGENTS (1 intersection) d C 1 Le cercle C 1 et la droite d sont SECANTS (2 intersections) C1 * 13 Propriété de la tangente à un cercle. La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon en son point de contact C 1 Point de contact tangente Théorie page 21