/46 Clcul Intégrl - Equtions Différentielles M11-1 Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.mth.univ-toulouse.fr/ fournie/
/46 Introduction Tble des mtières 1 Introduction Préliminires, Rppels Vleurs pprochées - Intégrle définie Propriétés Formule de l moyenne Intégrle définie en fonction de s borne supérieure 3 Clcul d une intégrle définie 4 Annexes - Démonstrtions
Rppels Préliminires, Rppels Définition : Intégrle définie Soit f définie continue sur I = [, b] telle que f (x) > 0 3.5 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5.5 x On peut lors délimiter une surfce pr : le grphe de f, l xe Ox, les droites x =, x = b, puis lui ssocier un nombre réel noté S ppelé ire de l surfce /46 (l unité de mesure étnt un cube de coté 1).
/46 Approximtion Vleurs pprochées - Intégrle définie Une vleur pprochée I n de S peut être obtenue en prtgent I en n prties égles : x 0 =,, x k = + k b n,, x n = b et en clculnt l somme des ires des rectngles de bse b n et de huteur f (x 1 ),, f (x n ) : I n = b [f (x 1 ) + + f (x k ) + + f (x n )] n Définition (Propriété dmise): Si f est continue sur I = [, b] lors lim I n = I. n + 3.5 1.5 1 0.5 0 3.5 1.5 1 0.5 0 Subdivision vec n=5 (b-)/n 0.5 1 1.5.5 x b Vleur pprochøe =5.4706865 Vleur excte =5.44366473 0.5 1 1.5.5 x I ser ppelée intégrle définie de l fonction f continue entre les bornes et b Animtion Mple
Propriétés Propriétés Proposition (Linérité): b b Proposition : b b f (x) + g(x)dx = λf (x)dx = λ f (x)dx = 0 f (x)dx + c f (x)dx = b b b f (x)dx f (x)dx = b f (x)dx b f (x)dx + g(x)dx c f (x)dx (Chsles) Démonstrtion /46 Démonstrtion
/46 Moyenne Formule de l moyenne Proposition (Formule de l moyenne): Soit f une fonction continue sur [, b], lors il existe un nombre c [, b] tel que : b 1 f (x)dx = f (c) b }{{} vleur moyenne Démonstrtion Animtion Mple
7/46 Introduction Tble des mtières 1 Introduction Intégrle définie en fonction de s borne supérieure Primitives Quelques primitives de référence 3 Clcul d une intégrle définie 4 Annexes - Démonstrtions
Intégrle définie en fonction de s borne supérieure /46 Définition : On ppelle I(x) = x f (t)dt l intégrle définie en fonction de s borne supérieure. L fonction F : x I(x) détermine une fonction numérique F de l vrible réelle x. Théoréme : Si f est une fonction continue sur [, b] lors l fonction F définie sur [, b] pr x F(x) = f (t)dt est dérivble (et donc continue) sur [, b] et F (x) = f (x). L fonction F est ppelée primitive de l fonction f Démo
/46 Primitives Primitives Définition : Une primitive F de f est une fonction telle que F (x) = f (x) On noter F = f (x)dx une telle primitive générlement ( ) ppelée primitive indéfinie F = f (t)dt = f (s)ds =. Objectif du module: Svoir clculer les primitives de fonctions quelconques en les exprimnt à l ide de fonctions usuelles (simples)
0/46 Primitives Quelques primitives de référence (à compléter) Puissnces y = f (x) A x x m (m 1) 1 x e x f (x)f m (x) f (x)dx Ax x x m+1 m + 1 ln( x ) e x f m+1 (x) (m + 1) Fonctions trigonométriques y = f (x) sin(x) cos(x) 1 cos (x) f (x)dx cos(x) sin(x) tn(x) cos (x) x + sin(x) 4 + CTE
1/46 Primitives Quelques primitives de référence (suite) Fonctions hyperboliques 1 1 1 1 y = f (x) 1 x 1 + x sh(x) ch(x) ch (x) 1 x f (x)dx Arc sin(x) Arc tn(x) ch(x) sh(x) th(x) Arc cos(x) Fonctions réciproques 1 1 1 y = f (x) x 1 1 + x 1 x ( ) f (x)dx ln( x + x 1 1 ) Arg sh(x) ln 1 + x 1 x = Arg ch(x) = ln(x + x + 1) = Arg th(x) x > 1 x ] 1, 1[
1/46 Tble des mtières 1 Introduction Intégrle définie en fonction de s borne supérieure 3 Clcul d une intégrle définie Clcul u moyen d une primitive - Exemples Méthode de chngement de vrible - Exemples Méthode d intégrtion pr prtie - Exemples Intégrtion de frctions rtionnelles 4 Annexes - Démonstrtions
3/46 Primitive Clcul u moyen d une primitive Théoréme : Soit f une fonction continue sur [, b] lors si G est une primitive de f, toute primitive F de f s exprime sous l forme : F(x) = G(x) + C où C est une constnte. Théoréme : Si G est une primitive de f on Démonstrtion b f (x)dx = [G(x)] b = G(b) G(). Démonstrtion
4/46 Primitive Exemple - Clcul u moyen d une primitive Clculer l ire d un tringle? 1 0 [ x xdx = ] 1 On retrouve bien le résultt ttendu (obtenu sns clcul intégrl) 0 = 1 0 = 1
5/46 Chngement de Vrible Méthode de chngement de vrible Théoréme : { Si l on pose x = ϕ(t) vec ϕ fonction inversible telle que ϕ(α) = ϕ(β) = b lors b f (x)dx = β α f [ϕ(t)] ϕ (t)dt Toute l difficulté réside dns le choix de ϕ Démonstrtion
Chngement de Vrible Les 3 étpes de l méthode de cht de vrible 6/46 b f (x)dx = β α f [ϕ(t)]ϕ (t)dt 1 Eliminer l vrible x dns f (x) vec le cht de vrible si on x = ϕ(t) lors fire un "copier/coller" si on t = ψ(x) lors reconnître ψ(x) dns f (x) ou exprimer x = ψ 1 (t) (fct réciproque) pour fire un "copier/coller" On x dispru : tout s exprime en fonction de t. Exprimer dx en fonction de dt si on x = ϕ(t) lors dx = ϕ (t)dt si on t = ψ(x) lors dt = ψ (t)dx d où dx = 1 ψ (t) dt 3 Tritement des bornes utiliser les reltions écrites dns
7/46 Chngement de Vrible Exemple de chngement de vrible Clculer l ire d un demi-disque de ryon 1? Aire = 1 1 1 x dx On pose x = sin(t) = dx = cos(t)dt, insi Aire = = = π π π π π π 1 sin (t) cos(t)dt π cos (t) cos(t)dt = π cos (t)dt [ 1 + cos(t) t dt = + sin(t) 4 ] π π = π
8/46 Chngement de Vrible Exemple IMPORTANT de cht de vrible Clculer I = dx (x + 1) On pose x = tn(t) d où dx = 1 dt = cos (t) 1 1 I = ( ) sin (t) cos (t) + 1 cos (t) dt = 1 1 1 cos (t) dt cos 4 (t) 1 + cos(t) = cos (t)dt = dt = 1 ( t + sin(t) ) +C = 1 ( Arc tn(x)+ x ) 1 + x + C Appliction - Eléments simples Remrque : sin(x) x 1 + x = cos(x) = sin(x) 1 + sin (x) cos(x) cos (x) = sin(t) cos (x)
9/46 Int. pr prties Méthode d intégrtion pr prtie Méthode bsée sur l formule (uv) = u v + uv Théoréme : b Exemple : Clculer I = On pose : b uv dx = [uv] b u vdx π 0 { u(x) = x u (x) = 1 I = [ x cos(x)] π π 0 cos(x)dx = 0 }{{} x sin(x) dx. }{{} u { v v (x) = sin(x) v(x) = cos(x) π 0 Démonstrtion d où cos(x)dx = [sin(x)] π 0 = 1 Moyen mémo-technique A-L-P-E-S
0/46 Eléments simples Intégrtion de frctions rtionnelles Décomposition en éléments simples Définitions : F est une frction rtionnelle lorsque F est le quotient de polynômes : F(x) = P(x) Q(x) On ppelle zéro de F tout x 0 tel que F(x 0 ) = 0 On ppelle pôle de F tout x 0 tel que Q(x 0 ) = 0 Objectif : Décomposer F en une somme de termes élémentires dits éléments simples. Ainsi le clcul d une primitive se rmène u clcul des primitives de chque élément simple.
1/46 Eléments simples Première étpe lorsque deg(p) deg(q) pour P Q Fire division Euclidienne de P pr Q selon les puissnces croissntes de x pour trouver l prtie polynomile notée E(x) P(x) R(x) = E(x) + où deg(r) < deg(q). Q(x) Q(x) Exemple : Considérons F(x) = P(x) Q(x) = x 3 x 4 lors x 3 x 4 x 3 4x x = x 3 = (x 4)x + 4x = F(x) = x + 4x 4x x 4 Svoir intégrer P(x) Q(x) (deg(p) deg(q)) Svoir intégrer R(x) Q(x) (deg(r) < deg(q))
/46 Eléments simples Deuxiéme étpe lorsque deg(p)< deg(q) pour P Q Pour fciliter l présenttion, pr l suite Q(x) est supposé unitire (son coefficient du terme de plus hut degré = 1) 1- On identifie les zéros de Q(x) Q(x) des zéros réels i, i = 1,, I vec pour ordre de multiplicité α i Q(x) des zéros complexes conjugués z j = b j ± ic j, j =1,, J vec pour ordre de multiplicité β j - On ssocie à Q(x) les éléments simples Les éléments simples de première espèce : A ki (x i ) k, i = 1,, I et 1 k i α i vec A ki R i Les éléments simples de deuxième espèce : B lj x + C lj [ (x bj ) + c ], j = 1,, J et 1 l l j β j, B lj, C lj R j j
3/46 Eléments simples Théoréme de décomposition Théoréme : P(x) se décompose (de fçon unique) comme l somme des Q(x) tous ses éléments simples possibles (première et deuxième espèces) : P(x) Q(x) = E(x) + I α i i=1 k i =1 A i k i (x i ) k i + β J j j=1 l j =1 B j l j x + C j l j [(x b j ) + c j ] l j
4/46 Eléments simples Autre écriture du théoréme Comme z j = b j + ic j, on (x z j )(x z j ) = ((x b j ) ic j )((x b j ) + ic j ) = (x b j ) + cj Si on note p j et q j les quntités définies pr (x z j )(x z j ) = x + p j x + q j, on obtient }{{} [ poly où <0 ] P(x) A 1 1 = E(x) + Q(x) (x 1 ) + + A 1 α 1 (x 1 ) α 1 + + [ B 1 1 x + C1 1 (x + p 1 x + q 1 ) + + B 1 β 1 x + C 1 β 1 (x + p 1 x + q 1 ) β 1 3- Il reste ensuite à définir les constntes A, B, C, Pr identifiction Autres règles prtiques (voir exemples et TD) ] +
5/46 Eléments simples Exemple 1 : Décomposer en éléments simples Décomposer en éléments simples F 1 (x) = x 3 x 4 Premiére étpe : division euclidienne: x 3 x 4 = x + 4x x 4 Deuxiéme étpe : Décomposition en éléments simples: 4x x 4 = A x + B x + Troisiéme étpe : Identifiction de A et B : A x + B x+ = x(a+b)+(a B) (x )(x+) = { A + B = 4 A B = 0 = { A = B = Conclusion : F 1 (x) = x 3 x 4 = x + x + x +.
6/46 Eléments simples Exemple : Décomposer en éléments simples F (x) = 1 x(x + 1) = A x + Bx + C x + 1 + B x + C (x + 1) Pr identifiction: A = 1, B = 1, C = 0, B = 1, C = 0 Conclusion: F (x) = 1 x x x + 1 x (x + 1) Complément (utre méthode): On multiplie tout pr x puis on prend x = 0 = A = 1 On multiplie tout pr (x + 1) et on prend x = i = 1 i = B i + C = 1 = B + ic = C = 0, B = 1, x = 1 = 1 4 = 1 + B+C 1 4 = 1 = B + C, x = 1 = 1 C B 4 = 1 + + 1 4 = 1 = C B, Remrque : Des fois on prend x, x = vleur prticulière,
7/46 Eléments simples Primitive d élément simple de premiére espéce Si α 1 Sinon A α (x ) α dx =A α A 1 (x ) dx = A 1 (x ) α dx = A α α + 1 (x ) α+1 + C dx x = A 1 ln( x ) + C Clculer : I 1 (x) = F 1 (x) = x 3 x 4 dx Etnt donné que F 1 = x + x + x+ I 1 = x + x + x+ dx = x Clculer : I 1 (x) = F (x) = 1 Etnt donné que F (x) = 1 x I (x) = ln( x ) 1 ln(x + 1) + + ln( x ) + ln( x + ) + C dx x(x +1) x x +1 x (x +1) 1 (x + 1) + C
8/46 Eléments simples Primitive d élément simple de deuxiéme espéce Tout se rméne u clcul d une primitive d une fonction de l forme : Bx + C (x + px + q) β Idée de l méthode On récrit (x + px + q) sous l forme C te (1 + ( }{{} T puis on effectue un chngement de vrible T ="termes dns l prenthése" ce qui permet de tout exprimer en fonction de deux types d intégrles dx ( x + 1 ) β et xdx ( x + 1 ) β ) )
9/46 Eléments simples Justifiction théorique (complément de cours - pour ller plus loin) x +px +q ynt des zéros complexes ( = p 4q <0) = x + px + q = ( x + p ) + (4q p )/4 }{{} >0 = on peut poser 4q p 4 = w (Constnte) = x + px + q = ( [ ( x + p ) + w x+ p ) ] = 1+ w w On effectue lors le cht de vrible t = x+ p w x = tw p = dx = wdt et x + px + q = w (t + 1). Ainsi Bx+C = B(tw p (x +px+q) β )+C wdt = Bt dt+ B p w β (t +1) β w β (t +1) β +C wdt w β 1 (t +1) β dx Conclusion: Tout dépend de ( x + 1 ) β et xdx ( x + 1 ) β
0/46 Eléments simples Primitive d élément simple (suite) Pour l premiére forme: il n y ps de méthode générle de résolution!!!! dx x = Arc tn(x) + C, (primitive usuelle), + 1 dx ( x + 1 ) = 1 ( Arc tn(x) + x ) 1 + x + C (cht.vr. x =tn(t) : cf exemple) Pour l deuxiéme forme : xdx ( x + 1 ) β = 1 1 ( β + 1) (x + C si β 1, + 1) β 1 xdx x + 1 = 1 ln(x + 1) + C si β = 1.
31/46 Eléments simples Exemple I = t 1 t + t + 1 dt On pôles complexes conjuguées 1 1 ± 3 [ ( = 3 < 0) [ (t t ) + t + 1 = + 1 ] ( ) ] + 3 4 = 3 4 1 + = Cht de vrible s = t + 1 3 t+ 1 3 = ds = 1 dt 3 3 I = s 3 3 3 4 [1+s ] ds = s 3 [1+s ] ds = 1 ln(s + 1) Arc tn(s) + C 3 ( ) = 1 t + 1 ln + 1 Arc tn 3 3 1 [1+s ] ds ( ) t + 1 + C 3
/46 Eléments simples Appliction u clcul de primitives (complément de cours - pour ller plus loin) Cette prtie de cours ser vue en TD sur des exemples. On donne ci-dessous ( () (f) )quelques ficelles pour svoir quel chngement de vrible fire. ) Intégrtion qui se rméne ux frctions rtionnelles : x 1 Clculer I(x) = dx - intégrle vec "rcine crrée" x + 1 x 1 On effectue le chngement de vrible t = x + 1 x = t + 1 t dx = 4tdt 1 (1 t ) Ce qui nous rmené à intégrer une frction rtionnelle
3/46 Eléments simples Autre exemple e x 1 Clculer I(x) = e x dx - intégrle vec "exponentielle" + 1 On effectue le chngement de vrible t = e x = dt = e x dx = dx = dt t On décompose en éléments simples (sns oublier de tout exprimer en fonction de x) t 1 t(t + 1) = 1 t + t + 1 Ainsi I(x) = ln(e x + 1) x + C.
4/46 Eléments simples Exemple 3 (plus générl) Clculer x + b H( )dx où cx + d On effectue le chngement de vrible s = { d bc 0, H = fct quelconque x + b cx + d C est insi pr exemple qu on clcule I = ( ) 3 1 x dx 1 + x
Eléments simples Appliction à d utres intégrles b) Intégrles H (sin(x), cos(x)) dx, H=fct quelconque - "trigo" Essyer les chts de vribles s = sin(x) ou s = cos(x) S ils ne sont ps efficces utiliser le chngement de vrible clssique: ( x ) s = tn, x ] π,π[ = x = Arc tn(s), s R et 5/46 sin(x) = s 1 s s, cos(x) = + 1 s + 1, dx = s + 1 ds cos(x) Exemple : Clculer + sin (x) dx on préfère le chngement de vrible s = sin(x) dx Exemple : Clculer I(x) = sin(x) ( x ) on effectue le cht de vrible s = tn, x ] π,π[
6/46 Eléments simples Complément : Quelques régles prtiques Si H est invrinte pr l trnsformtion x x poser s = cos(x). Si H est invrinte pr l trnsformtion x π x poser s = sin(x). Si H est invrinte pr l trnsformtion x π + x poser s = tn(x). Exemples : dx I = sin(x), s = cos(x) dx I = cos(x), s = sin(x) dx I = 1 + tn(x), s = tn(x)
7/46 Eléments simples Appliction à d utres intégrles c) Intégrles H(sh(x), ch(x), e x )dx, H=fct quelconque Essyer les chngements de vribles s = sh(x) ou s = ch(x) S ils ne sont ps efficces on utilise le chngement de vrible (clssique) e x = s où x R = sh(x) = ex e x = s 1 s et ch(x) = ex + e x Remrque: Même cht de vrible si H dépend de th(x) dx Exemple : Clculer I(x) = fire s = ex ch(x) sh(w) Exemple : Clculer dx fire s = ch(x). ch(w) = s + 1 s
Eléments simples Appliction à d utres intégrles 8/46 d) Intégrles H( (x b) ± c )dx, H=fct quelconque Avec le signe poser ch(s) = x b c Avec le signe + poser sh(s) = x b c Exemple : I = dx x+1 on pose sh(s) = x +x+1 3 e) Intégrles H( c (x b) )dx, H=fct quelconque Poser sin(s) = x b c. f) Intégrles H( x + bx + c)dx, H=fct quelconque On se rméne à l une des formes suivntes : 1 + s, 1 s, s 1 à l ide des chts de vribles : s = sh(x), s = sin(x), s = ch(x) (Voir TD)
39/46 Tble des mtières 1 Introduction Intégrle définie en fonction de s borne supérieure 3 Clcul d une intégrle définie 4 Annexes - Démonstrtions
0/46 ANNEXES DEMONSTRATIONS
1/46 Démonstrtion (Linérité): p.5 D prés l définition de I : I = b b lim n + n b f (x) + g(x)dx = f (x)dx + n f (x k )+ k=1 b lim n + lim n + b n b n n f (x k ) + g(x k ) = k=1 n g(x k ) = k=1 g(x)dx, même démo. pour l iéme propriété Retour u cours Démonstrtion : p.5 1 - Si b = lors I n = n k=1 b n f (x k) = 0 donc s limite est nulle. - Evident si l on interpréte l intégrle comme étnt une ire. 3 - On utilise l propriété précédente en remplçnt c pr. On peut églement remplcer dns l définition (b )/n pr ( b)/n ce qui ur pour conséquence de chnger le signe. Retour u cours
/46 Démonstrtion (Formule de l moyenne): p.6 Si f est continue sur [, b] lors f tteint ses bornes (f dmet un min. et un mx.) voir le théo. des vleurs intermédiires. m f (x) M = b b mdx }{{ } m(b ) m 1 b b f (x)dx Mdx d où }{{} M(b ) f (x)dx M. b Ainsi l vleur moyenne est comprise entre le minimum et le mximum de f qui est continue sur [, b], d prés le théoréme des vleurs intermédiires, elle est donc tteinte pour une vleur c [, b]. Retour u cours
3/46 Démonstrtion (Dérivbilité de F ) On étude l dérivbilité de l fonction F u point x 0 en clculnt : F (x 0 + h) F(x 0 ) = x 0 +h f (t)dt x 0 f (t)dt = x 0 +h x 0 f (t)dt. D prés l formule de l moyenne, cette quntité est égle à hf (c) où c [x 0, x 0 + h]. Ainsi F(x 0 + h) F (x 0 ) = hf (c). Comme f est continue, qund h tend vers 0, c tend vers x 0. Ainsi F est dérivble en x 0 et s dérivée en ce point vut f (x 0 ) Retour u cours
4/46 Démonstrtion (Lien entre deux primitives): p.13 Si l on considére l fonction H(x) = F(x) G(x), H (x) = F (x) G (x) = 0 ce qui permet de conclure que l fonction H est constnte sur l intervle [, b] i.e. H(x) = C d où le résultt. Retour u cours Démonstrtion (Clcul d une intégrle définie) : En utilisnt le théoréme précédent et du fit que l fonction F (x) = x f (t)dt soit une primitive de f (voir théo déjà démontré) : f (t)dt = G(x) + C. x Pour x = = C = G() d où x = b on retrouver le résultt. x f (t)dt = G(x) G() puis vec Retour u cours
5/46 Démonstrtion (Chngement de vrible) : p.15 Idée de l preuve: Chercher une primitive de f (ϕ(t))ϕ(t). Schnt que I = b f (x)dx = F(b) F () et s il existe une fonction ϕ(t) telle ϕ(α) = et ϕ(β) = b (de clsse C 1 ) lors nous pouvons définir l fonction composée G pr F (x) = F(ϕ(t)) = G(t). Ainsi, G (t) = F (x)ϕ (t) = f (x)ϕ (t) = f [ϕ(t)]ϕ (t). G(t) est donc une primitive de f [ϕ(t)]ϕ (t) et s vleur entre les bornes t = α et t = β est égle à β α f [ϕ(t)]ϕ (t)dt = G(β) G(α) = F (ϕ(β)) F (ϕ(α)) = F(b) F() = I Retour u cours
46/46 Démonstrtion (Intégrtion pr prtie) : p.15 Il suffit d utiliser l formule de dérivtion b (uv) dx = b u vdx + b uv dx et remrquer que l fonction uv est une primitive de (uv) ce qui entrîne : b (uv) dx = [uv] b. Démonstrtion de l utre écriture : Provient des églités suivntes : du = u dx et dv = v dx. Retour u cours