Cours de mathématiques M.P.S.I. D'après les cours de M. De Granrut Henriet Quentin Ausseil Lucas Perard Arsène Philipp Maxime
1. Espace vectoriel normé R Fonctions de deux variables Soit E un R-ev. On appelle norme sur E toute application N : E R + tel que : 1. x E, N x=0 x=0 E. x E, R, N x= N x 3. x,y E, N xyn xn y. E, N est appelé espace vectoriel normé. Exemple : Dans R, u=u 1,u u =u 1 u est une norme. Une partie A de R est dite bornée si M R tel que u A, u M. Interprétation : A est incluse dans un disque de rayon M. Une partie A de R est dite ouverte si a A, r0 tel que Da,r A et de rayon r ). ( Da,r est le disque de centre a Exemples : [a, b] [ c,d ] est bornée. R, ] a,b[ ]c, d [, le demi-plan a xb yc0, sont des ouverts.. Continuité des fonctions de deux variables.1. Limites Soient U une partie ouverte de R, f : U R, a=a 1,a U, l R. On dit que f tend vers l quand x, y tend vers a si 0, 0 tel que x, y U, x, y a 1, a f x, y l. Propriétés : L'unicité de la limite, les opérations algébriques et le théorème d'encadrement sont vérifiés. Si f a une limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a (disque de centre a de rayon r )... Fonctions continues Définitions : Soient U un ouvert de R, f : U R, a U. On dit que f est continue en a si lim f x, y= f a x,y a On dit que f est continue sur U si f est continue en tout point de U. On note C U,R l'ensemble des fonctions continues à valeurs dans R.
Propriétés : La somme et le produit de deux fonctions continues sur U sont continus sur U. Les fonctions constantes sont continues sur U. C U,R est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de R U. L'inverse d'une fonction continue sur U qui ne s'annule pas est continu sur U. Le quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas est continu sur U. Exemple : Les fonctions polynômiales à deux variables, de la forme f x, y= a i, j x i y j sont continues. 0i, jn Proposition : Soient U un ouvert de R, f : U R, a=a 1, a U, l R. Si f tend vers l quand x, y tend vers a 1,a alors u R : u : V 0 R tend vers l quand t tend vers 0. t f at u Preuve : U est un ouvert, donc R0 tel que Da, R U. t D u si t u R, c'est-à-dire t R u, ( u 0 ), Donc u est au moins définie sur [ R u, R V 0 u ] 0, 0 tel que x, y U, x, y a f x, y l x, y=at u, x, y a = t u = t u On pose ' = u 0 t R, t ' t u u t l = f at u l, Donc lim u t =l. t 0 Remarque : On utilise cette proposition pour montrer que f n'a pas de limite en a en trouvant deux vecteurs u et v tels que lim u lim v. 0 0 On peut définir deux fonctions à une variable, appelées fonctions partielles, en un point a de U : x f x, a y f a 1, y. f est continue en a les fonctions partielles en a sont continues. La réciproque est fausse. Exemple : R f : 0 si x, y=0,0 est continue en 0, 0. x, y x y x y sinon, avec, N, 0 En effet : R x y : f x, y x y = x y : On suppose. 0 0= f 0,0 x, y 0,0 Si 0, f 0, y=0, et x0, f x, x= x x = 1 x 1 Si ==0, f x, y= x y Donc f n'est pas continue en 0,0. si 0 1 si =0
.3. Fonctions à valeurs dans R Soit f : U R x, y f 1 x, y, f x, y On dit que f tend vers l =l 1, l quand x, y tend vers a, b si : 0, 0 tel que x, y U, x, y a, b f x, y l. Proposition : lim f x, y=l { lim x,y a,b lim x, y a,b f 1 x, y=l 1 f x, y=l Corollaire : f est continue sur U f 1 et f sont continues sur U. Si f est continue sur U à valeurs dans V et si g est continue sur V à valeurs dans W, alors g f est continue sur U. U,V et W peuvent indépendamment désigner R ou R. 3. Dérivées partielles 3.1. Dérivée suivant un vecteur Soient U un ouvert de R, f : U R ou R, a U, u R. Soit t : V 0 R t f at u On dit que f possède une dérivée en a suivant le vecteur u si t est dérivable en 0. f at u f a On note alors D u f a= t ' a=lim t 0 t Une fonction f est dite de classe C 1 sur U si elle possède en tout point a U une dérivée suivant tout vecteur, et si celle-ci est continue sur U. Propriétés : La somme et le produit de deux fonctions de classe C 1 sur U sont de classe C 1 sur U. Le quotient de deux fonctions de classe C 1 sur U dont le dénominateur ne s'annule pas est une fonction de classe C 1. 3.. Dérivée partielle On appelles dérivées partielles les dérivées de f suivant les deux vecteurs e 1 =1, 0 et e =0,1 de la base canonique de R. On note D 1 f a=lim t 0 f a 1 t,a f a 1, a = t a, D f a=lim t 0 f a 1,a t f a 1,a = t a.
Théorème : Soient U un ouvert de R, f : U R, a=a 1,a U. Si f admet des dérivées partielles continues en a, alors f admet un développement limité d'ordre 1 en a : h=h 1, h, f ah= f ah 1 ah ao h. h0 Corollaire : Si f admet des dérivées partielles continues en a, alors f admet des dérivées suivant tout vecteur u en a et celles-ci sont continues : D u f a=u 1 au a. Preuve du corollaire : Notons h=t u. On peut alors appliquer le théorème : f at u f a t 0, = f a h f a = h t t t a h t a o h =u t 1 au ao u t 0 u1 au a Donc f admet une dérivée suivant le vecteur u, et a u 1 au comme somme de fonctions continues. a est continue en a Corollaire : Soit f : U R. f est de classe C 1 sur U f admet des dérivées partielles continues. 3.3. Différentielle en a Soient U un ouvert de R, a U, f : U R admettant des dérivées partielles continues en a. On appelle différentielle de f en a : df a : R R u D u f a=u 1 au a. Cette fonction est continue et linéaire. 3.4. Gradient Note : Voir chapitre 8 pour cette proposition : Dans un espace euclidien, pour toute forme linéaire il existe un unique vecteur a tel que =x a x. Il existe un unique vecteur g=g 1, g tel que : df a=u g u=u g 1 u 1 g u, Or df au=u 1 au a Donc g= a, a = ae 1 ae Ce vecteur s'appelle gradient de f au point a, on le note grad f a.
3.5. Extremum Soient U un ouvert de R, a U, f : U R. On dit que f possède un maximum local en a si r0 tel que x U Da, r, On dit que f possède un minimum local en a si r0 tel que x U Da,r, f x f a. f x f a. Théorème : condition nécessaire d'extremum : f : U R, de classe C 1 sur U. Si f possède un extremum en a U, alors grad f a=0 a est appelé point critique. { a=0 Preuve : U est un ouvert, donc 0 tel que Da, U. Soit =min,r 0 r Si f possède un maximum local en a : [,] R U Posons g : t f at e 1 f est de classe C 1 g dérivable f admet un maximum local en a g admet un maximum local en 0 ],[ g' 0=0, et g' 0= a=0 De même pour a avec h : [,] R t f at e a 3.6. Dérivée partielle d'une fonction composée La composée de deux fonctions de classe C 1 est de classe C 1. Soient f = f 1, f : R R, g : R R. g f x, y f 1 x, y, f x, y 1 x, y g f 1x, y, f x, y g g f x, y f 1 x, y, f x, y 1 x, y g f 1x, y, f x, y g C'est-à-dire : g f 1 g Soient f = f 1, f : R R, g : R R. et g f g f ' t = f 1 ' t g f 1t, f t f 't g f 1t, f t 1 g x, y x, y
4. Dérivées partielles d'ordre On note : f =, =, =, =. f : U R est dit de classe C sur U si f possède en tout point de U quatre dérivées partielles d'ordre continues. Théorème de Schwarz : Si f est de classe C sur U, alors f =. 5. Utilisation des coordonnées polaires Soit O,i, j un repère orthonormé direct. u=cosi sin j v= sini cosj =u' On peut repérer un point M par ses coordonnées cartésiennes x, y ou par ses coordonnées polaires, (non uniques). OM=x i yj=u On se limite à 0 et On obtient les relations suivantes : { x=cos y=sin et {= x y =arctan cos Ainsi que tan = cos = sin y x x y sin cos (sauf si y=0 et x0) v sin = 1cos = sin cos = y x y x j u i * * * * * Mis à jour le 05.08.10