égme ransore Table des maères 1 Crc C sére soms à n échelon de enson 2 1.1 chelon de enson............................. 2 1.2 Charge d n condensaer......................... 2 1.2.1 Condons nales......................... 2 1.2.2 xpresson de () e ()...................... 3 1.2.3 égme ransore-emps de relaxaon.............. 4 1.2.4 Temps de moné.......................... 4 1.2.5 Aspec énergéqe......................... 4 1.3 Décharge d n condensaer - égme lbre................ 5 1.3.1 égme lbre d n crc,c................... 5 1.3.2 Aspec énergéqe......................... 6 2 égme ransore d n crc 6 2.1 éponse d n crc à n échelon de enson............. 6 2.2 égme lbre d crc......................... 8 3 égme lbre d n crc C 9 3.1 Condons nales............................. 9 3.2 qaon dfférenelle - Facer de qalé - Plsaon propre...... 9 3.3 Dvers régmes de varaon......................... 1 3.3.1 égme apérodqe......................... 1 3.3.2 égme crqe........................... 11 3.3.3 égme psedo-pérodqe..................... 11 4 éponse d n crc C sére à n échelon de enson 13 4.1 égme ransore-égme lbre...................... 13 4.2 Aspec énergéqe............................. 13 1 / 14
Dans ce chapre on va s néresser à l effe d ne brsqe varaon de enson sr n sysème lneare. Cee varaon sera modélsée par ne foncon appelée échelon de enson. 1 Crc C sére soms à n échelon de enson 1.1 chelon de enson Il s ag d n sgnal élecrqe prod par ne sorce lbre de enson de la forme : {, () =, < On pe réalser ce échelon de enson par n basclemen de l nerrper K à = () K e () 1.2 Charge d n condensaer 1.2.1 Condons nales k q C () Por < l nerrper k es over e le condensaer es non chargé. q( ) =, ( ) =, ( ) = on ferme l nerrper k à =,la conné de la enson ax bornes d condensaer se rad par ( ) = ( + ) = 2 / 14
de même la conné de la charge q( ) = q( + ) = 1.2.2 xpresson de () e () Por > la lo des malles : = + avec = C d d donc C d d + = On pose = C : consane d emps d crc C d d + = a solon de cee éqaon s écr sos la forme () = 1 () + 2 () 1 : solon générale de l éqaon : éqaon sans séconde membre 2 : solon parcler de l éqaon complèe 2 = ce 2 = donc 1 () = k exp( ) () = k exp( ) + on déermne la consane k par les condons nales à = () = k + = k = fnalemen () = (1 exp( )) () = C d d = exp( ),63, 37 3 / 14
emarqe :on observe : ne conné de la enson () en = Une dsconné d coran () en = 1.2.3 égme ransore-emps de relaxaon Por >> le sysème se rove alors en n régme éabl ndépendan d emps. So n la drée nécessare a sysème por approcher le régme éabl = à 1 n prés (n = 2.3...) ( n ) () = 1 n = ( n) = exp( n ) n = 2, 3n : de l ordre de grander d régme ransore es appelée emps de relaxaon ordre de grander = 1 3 Ω, C =, 1µF = 1 4 s 1.2.4 Temps de moné On appelle le emps de monée d sgnal la drée m nécessare à la enson por passer de 1 / à 9 / de sa valer fnale. (), 9, 1 1 2 m ( 1 ) = (1 exp( 1 )) = 1 / =, 1 exp( 1 ) =, 9 1 =, 1 ( 2 ) = (1 exp( 2 )) = 9 / =, 9 2 = 2, 3 1.2.5 Aspec énergéqe + = en mlplan par = C d d m = 2 1 = 2, 2 d d (1 2 C2 ) + 2 = 4 / 14
: pssance forne par le généraer 2 : pssance lée à l effe jole dans la réssance 1 2 C2 = e : énérge élecrqe emmagasnée dans le condensaer d( 1 2 C2 ) + 2 d = w J = d = Cd = C 2 2 d = C 2 1 2 C2 = 1 2 C2 1.3 Décharge d n condensaer - égme lbre 1.3.1 égme lbre d n crc,c e régme lbre (o propre ) caracérse l évolon d crc C en l absence de la sorce. (1) k (2) C à < k se rove dans la poson (1) q perme la charge d condensaer.aprés qelqes aen la valer de à = k bscle vers la poson (2), le crc C se rove dans le régme lbre la conné de ax bornes de C : ( + ) = ( ) = = = C d e + = d + d d = avec = C la solon de cee éqaon s écr sos la forme () = k exp( ), avec () = = k donc () = exp( ) = C d d = exp( ) 5 / 14
, 37, 37 conné de en = dsconné de en = 1.3.2 Aspec énergéqe n mlplan l éqaon + = par d = Cd Cd + 2 d = d( 1 2 C2 ) + 2 d = l négraon enre = e = (qelqes ) on oben : w J = 2 d = 1 2 C2 e condensaer rese,a cors de la décharge,sos forme d effe Jole l énerge q l ava emmagasnée pendan la charge. 2 égme ransore d n crc 2.1 éponse d n crc à n échelon de enson (1) K (2) Por <,le coran crclan dans le crc es spposé nl. k es placé en poson (1) à = 6 / 14
la conné d coran dans la bobne se rad par ( ) = ( + ) = por : = + = + d d + d d = avec = emps de relaxaon la solon de cee éqaon s écr sos la forme () = + k exp( ) () = k = () = (1 exp( )) () = d d = exp( ) M =, 63 M conné de () en = dsconné de () en = Aspec énergéqe n mlplan = + d par d d d = 2 d + d( 1 2 2 ) d = 2 d + d( 1 2 2 ) w g = w J + 1 2 2 M avec : M = w g : l énerge forne par le généraer w J : l énerge dsspée par effe Jole dans la réssance 7 / 14
2.2 égme lbre d crc (1) (2) à < k es dans la poson (1),on aend l éablssemen d coran M = dans le crc. à = on bascle l nerrper k vers la poson (2), le crc se rove à dans le régme lbre. a conné d coran en : ( ) = ( + ) = M. + = d d + = d d + =, = () = k exp( ) avec () = M = k () = M exp( ) = d d = M exp( ) M M Blan énergéqe Mlplons d d + = par d on oben d(1 2 2 ) + 2 d = par négraon enre = e 1 >> : w J = 1 2 2 M énerge élecromagnéqe nale dans la bobne es oalemen dsspée par effe Jole dans la réssance. 8 / 14
3 égme lbre d n crc C 3.1 Condons nales Por résodre les éqaons d n crc C l es nécessare d lser les condons nales e les dex condons svanes : a conné d coran (crclan dans la bobne) a conné de la enson ax bornes d condensaer 3.2 qaon dfférenelle - Facer de qalé - Plsaon propre C q c d + + = ; = cd d d d 2 d + d 2 d + 1 c = λ = : Coeffcen d amorssemen 2 ω = 1 : plsaon propre c d 2 d 2 + 2λd d + ω2 = On défn le facer de qalé d crc C par de même l éqaon en charge q : q = c Q = ω = 1 = 1 cω c d 2 d + ω d 2 Q d + ω2 = d 2 q d + ω dq 2 Q d + ω2 q = 9 / 14
3.3 Dvers régmes de varaon l éqaon caracérsqe de l éqaon dfférenelle r 2 + 2λr + ω 2 = avec λ = ω 2Q = λ 2 ω 2 = ω 2 ( 1 4Q 2 1) 3.3.1 égme apérodqe Por n amorssemen élevé > λ > ω Q < 1 2 > 2 c r 1,2 = λ ± λ 2 ω 2 donc () = exp( λ)(a exp( λ 2 ω) 2 + b exp( λ 2 ω)) 2 Porra de phase C es la représenaon de d en foncon de (). d Por n sgnal snsodal le porra de phase es n éllpse d d () Q 1 > Q 2 > Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 es rajecores de phase monren n reor sans oscllaon vers le pon aracer à l orgne. 1 / 14
Ordre de grander de la drée d régme lbre Por sffsamen élevé : () a exp( (λ λ 2 ω)) 2 = a exp( ) = 1 λ λ 2 ω 2 = λ + λ 2 ω 2 ω 2 a drée d régme lbre es de qelqes vare avec le facer de qalé Q. 3.3.2 égme crqe =, λ c = ω, Q c = 1 2, c = 2 c () = (a + b) exp( ω ) Ordre de grander d régme lbre c = 1 ω d d Q c = 1 2 Q c = 1 2 Porra de phase e sysème ene encore à conorner l orgne dans le sens horare mas ne pe y parvenr : l échoe rapdemen a pon o. 3.3.3 égme psedo-pérodqe Por n amorssemen fable : < ; λ < ω ; Q > 1 2 ; < 2 c r 1,2 = λ ± ω 2 λ 2 = λ ± Ω 11 / 14
Ω : psedo-plsaon la solon es : a; ϕ son des consanes d négraon λ = ω 2Q Psedo-pérode T la pérode propre T = 2π ω la psedo-pérode : Ω = ω 2 λ 2 () = a exp( λ) cos(ω + ϕ) Ω = ω 1 1 4Q 2 < ω T = 2π Ω = T 1 1 4Q 2 > T Décrémen logarhmqe ( + T ) = exp( λt )() δ = λt = ω 2Q T 1 1 4Q 2 = 2π 4Q2 1 la drée d régme psedo-pérodqe Porra de phase () δ = ln[ ( + T ) ] = 1 λ = 2Q ω 12 / 14
4 éponse d n crc C sére à n échelon de enson 4.1 égme ransore-égme lbre l éqaon dfférenelle : d 2 d + ω d 2 Q d + ω2 = ω 2 la solon de cee éqaon s écr sos la forme : avec : () = 1 () + : solon parclère 1 () : solon générale 1 () correspond a régme lbre (apérodqe-crqe-psedo-pérodqe). Pendan la drée de l exsence d régme lbre le crc C se rove en régme ransore,cependan a bo de qelqes on parven à n régme éabl ndépendan d emps 1 = ; =. e régme éabl ne dépend pas des condons nales (, ) car 1 () lorsqe. 4.2 Aspec énergéqe n mlplan l éqaon = d + + par d = cd d d = d( 1 2 2 + 1 2 c2 ) + 2 d = d + δw J l négraon enre = e = 13 / 14
q( ) q() dq = 1 2 (2 2 ()) + 1 2 c(2 ( ) 2 ()) + 2 d avec : q() = () = () = e q( ) = c ;( ) = ; ( ) = c 2 = 1 2 c2 + w J w J = 1 2 c2 a bobne n nerven pas dans le blan énergéqe globale de la charge d condensaer. énerge forne par le généraer se répar à égalé enre la réssance (effe Jole) e le condensaer. 14 / 14