Licece Mathématiques 204 205 Algèbre et Arithmétique Feuille o 3 : combiatoire. Exercices à savoir faire.. Réuio, itersectio, artitio. Exercice Au mois de javier, Aatole a ris ses reas de midi au Restau U. Il y a magé 7 fois de la viade et 25 fois des légumes. Motrer qu il a magé de la viade et des légumes au cours d u des reas. 2 Das ue classe de 35 élèves, chaque étudiat doit aredre au mois ue des deux lagues, aglais ou allemad. 25 étudiet l aglais et 20 areet les deux lagues. Combie d élèves étudiet l allemad? 3 Hier soir, sur 00 fraçais, 95 ot regardé le joural télévisé, 85 ot regardé jusqu à 22h30 le film qui suivait et 70 se sot couchés vers 23h. Combie de fraçais (au mois) se sot couchés vers 23h arès avoir regardé le joural et le film? Exercice 2 Motrer que das u esemble de cardial 0, deux sous-esembles de cardial 7 ot ue itersectio o vide. 2 Motrer que das u esemble de cardial 0, trois sous-esembles de cardial 7 ot ue itersectio o vide. 3 Dessier (si ossible) deux esembles A et B avec ciq élémets chacu et dot la réuio a euf élémets. 4 Dessier (si ossible) trois esembles A, B et C avec ciq élémets chacu et dot la réuio a euf élémets et l itersectio A B C aucu. Exercice 3 O cosidère deux esembles A et B et ue alicatio f : A B. Motrer que les sous-esembles f ({b}) formet ue artitio de A quad b arcourt B. 2 Soit u etier aturel o ul. O suose que A est u esemble fii et que chaque élémet de B a exactemet atécédets. Motrer que B est de cardial fii et détermier le cardial de A e foctio de celui de B. 3 Soit u etier aturel o ul. O suose que A est u esemble fii et que chaque élémet de B a exactemet atécédets sauf l élémet β qui a que deux atécédets. Détermier le cardial de A.
2 4 Doer l exemle d ue alicatio f : A B où B est u esemble fii sas que A le soit..2. Nombre de combiaisos, coefficiets biômiaux. Exercice 4 De combie de faços distictes eut-o diviser ue classe de 8 élèves e 2 groues de 4 élèves chacu? 2 U esemble fii S a 364 sous-esembles de 3 élémets. Quel est le ombre d élémets de S? Exercice 5 Démotrer la relatio = + our > e utilisat la formule qui calcule à l aide de factorielles. 2 Iversemet, à l aide de cette idetité, démotrer ar récurrece la formule qui calcule. Exercice 6 Démotrer de deux faços la formule = our. 2 Démotrer de deux faços que =. Exercice 7 Écrire le triagle de Pascal jusqu à sa dixième lige. Exercice 8 À l aide de la formule du biôme, démotrer que + + + + 0 = 2. Doer ue iterrétatio combiatoire de cette formule. 2 Calculer de même ( ). Doer ue iterrétatio combiatoire de cette formule. =0
3 Calculer et ( ). E déduire la valeur de 2. = =2 = 4 Retrouver la questio récédete e dérivat (ue uis deux fois) la formule du biôme our ( + x). 3 Exercice 9 2 E déveloat ( + x) 2 = ( + x) ( + x), motrer que = 2 Doer ue iterrétatio combiatoire de la formule récédete. =0 ( ) 2..3. Autres déombremets. Exercice 0 Pour etier aturel, o ote () le ombre de arties d u esemble à élémets. Le ombre de arties du roduit cartésie A B d u esemble A à 5 élémets avec u esemble B à 4 élémets est-il le roduit (5) (6)? (Sio que rerésete le ombre (5) (6)?) Exercice Soit X et Y deux esembles fiis. Combie y a-t-il d alicatios ijectives de X das Y? (La même questio avec «surjectives» est aturelle, mais lus difficile.) 2 Estimer le ombre d alicatios ijectives de {,..., 30} das {,..., 365}. Sur ue classe de 30 élèves, quelle est la robabilité que deux élèves soiet és le même jour? (Paradoxe des aiversaires) Exercice 2 2. Exercices à chercher Soit E u esemble mui d ue relatio d ordre. Motrer que la roriété (dite «de bo ordre») : toute artie o vide de E ossède u lus etit élémet. imlique que l ordre est total : deux élémets quelcoques sot comarables, ou e d autres termes : (x, y) E 2 x y ou y x. Exercice 3 U réciiet cotiet dm 3 de riz, chaque grai faisat mm 3. O disose u grai de riz sur la remière case d u échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la suivate,
4 et aisi de suite, e doublat à chaque fois le ombre de grais. Combie de cases de l échiquier serot remlies lorsque le ot de riz e cotiedra lus assez de grais? Combie e reste-t-il das le ot? Exercice 4 O cosidère objets de différetes couleurs. Si a est u etier tel que a, motrer que l o eut trouver ou bie a + objets de la même couleur, ou bie a + objets de couleurs toutes différetes. Exercice 5 Das u groue de 6 ersoes, deux ersoes quelcoques ou bie s aimet, ou bie se détestet. Motrer que l o eut e trouver 3 qui sot amis, ou 3 qui sot mutuellemet eemis. (Fixer ue ersoe Aatole ; armi ses 5 relatios, Aatole a (au mois) 3 amis, ou 3 eemis. Si Aatole a trois amis et que deux d etre eux sot amis, le résultat est obteu. Sio...) Exercice 6 3. Exercices our aller lus loi Soit E u esemble fii o vide. O se roose de motrer que E ossède autat de arties de cardial air que de arties de cardial imair. O suose das cette questio que E est de cardial imair. Motrer que l alicatio A C E A est ue bijectio de l esemble des arties de E de cardial air sur l esemble des arties de E cardial imair et coclure. 2 Das cette questio, E est u esemble fii o vide quelcoque. Soit x u élémet de E. Démotrer le résultat cherché e utilisat l alicatio qui à ue artie A de E associe A {x} si x A et A {x} si x / A. 3 Pour( tout ) etier aturel o ul, déduire de la questio récédete la formule ( ) = 0 (trouvée ar ue autre méthode à l exercice.2). =0 Exercice 7 Soit (x ) ue suite de réels das ]0, [. O ose S = x + + x. Motrer l iégalité S ( x )( x 2 )... ( x ). + S Exercice 8 Si est u etier et x u réel das [0, ], motrer l iégalité x ( x) x + ( )x.
5 Exercice 9 Motrer que, our tout etier, o a Exercice 20 (4k 2) = k= ( + k). Si x et y sot deux ombres réels ositifs, motrer que xy (x + y)/2. 2 Motrer ar récurrece sur que si x,..., x 2 sot des ombres réels ositifs, k= (x x 2 ) /2 (x + + x 2 )/2. 3 Soit N 2 et soit x,..., x N des ombres réels ositifs. Démotrer que (x x N ) /N (x + + x N )/N (iégalité etre moyee arithmétique et moyee géométrique). Pour cela, choisir u etier tel que N 2 ; oser, our N k 2, x k = (x + + x N )/N ; aliquer la questio récédete. Exercice 2 Peut-o aver u échiquier rivé de deux cases diagoalemet oosées ar des domios (chacu recouvrat exactemet deux cases)? 2 Démotrer que l o eut aver u échiquier 8 8 ar des triomios e forme de L (recouvrat trois cases) de sorte à laisser vide ue case quelcoque rescrite à l avace. (Remlacer 8 ar 2, et faire ue récurrece...) 3 Quels rectagles sot avables ar des triomios e forme de L? (La réose géérale est semble-t-il as coue...) Exercice 22 Démotrer la commutativité de la multilicatio das l esemble des ombres etiers aturels, à l aide des formules de défiitio de cette multilicatio. Exercice 23 Soit D,k le ombre de ermutatios de {,..., } qui ot exactemet k oits fixes (déragemets). Motrer que D,0 + + D, =!. 2 Motrer que D,k = ( k) D k,0 3 E déduire que! D,0 =! + 2! + + ( )!.