Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré 1 Rappels 1. Carré d une somme : 2. Carré d une différence : 3. Différence de deux carrés : Pour tous réels a et b, a + b) 2 =........ Pour tous réels a et b, a b) 2 =........ Pour tous réels a et b, a b)a + b) =........ 2 Fonctions polynômes et rationnelles Définitions : Soit a 0 et p un entier naturel et une variable réelle x : l expression ax p est appelée monôme de degré p. On appelle polynôme toute expression pouvant s écrire comme somme de monômes. On appelle fraction rationnelle toute fonction pouvant s écrire comme quotient de deux polynômes. Remarques 1. Lorsque p = 0, l expression ax p est en fait constante : elle ne dépend plus de la variable x et vaut :....... 2. On peut écrire des monômes, des polynômes de plusieurs variables x, y, z,... Par exemple : 2x 3 y, 5 + y 4 + 2xz 2. Exercice 1 : Développer et réduire les expressions suivantes. ) Ces fonctions sont-elles des polynômes? a) x 2 Px) = x 2 + 2)x 3) 2x b) Qx) = + x. 3 Théorème [admis] et définitions : Tout polynôme P non nul possède une unique écriture de la forme : Px) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 où n N, a n R {0} et a i R, pour tout i {0,...,n 1}. L entier n est appelé degré de P et se note deg P ou d P. a i est le coefficient du monôme de degré i dans P. Remarques 1. L expression a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 se note plus correctement 2. Une fonction constante est un polynôme de degré... ; une fonction affine est un polynôme de degré.... n a i x i. Exercice 2 : Déterminer le degré, ainsi que les coefficients, des polynômes de l exercice 1. Exercice 3 : On considère la fonction rationnelle f définie sur R {2} par fx) = x2 3x + 1. x 2 Prouver qu il existe trois réels a, b et c tels que pour tout x 2, fx) = ax + b + c x 2. Définition : Soit P un polynôme. On appelle racine de P tout réel a tel que Pa) = 0. i=0 Exercice 4 : Déterminer la valeur de m de sorte que le polynôme x 2 mx + 3 admette 1 pour racine. 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 1/7
3 Trinômes du second degré 3.1 Définitions Définition : On appelle polynôme ou trinôme) du second degré toute expression pouvant s écrire sous la forme ax 2 + bx + c, où a, b et c sont trois nombres réels, a non nul. Ainsi, les expressions x 2 a =..., b =..., c =...), x 2x 2 3x 1 a =..., b =..., c =...), 16 4x 2 a =..., b =..., c =...), x 3) 2 a =..., b =..., c =...) sont des fonctions trinômes du second degré. Définition : Soit ax 2 + bx + c un trinôme du second degré, alors on note, et on appelle discriminant du trinôme, le nombre = b 2 4ac 3.2 Forme canonique Théorème : Soit fx) = ax 2 + bx + c un trinôme du second degré. Alors fx) peut s écrire sous la forme suivante, dite forme canonique du trinôme, fx) = ax α) 2 + β où α = b et β = fα) = 4a Exercice 6 : Si fx) = 2x 2 8x + 11 1. on commence par factoriser a dans les deux premiers termes : fx) = 2x 2 4x) + 11 2. dans la parenthèse, on reconnaît le début du développement d un carré : x 2 4x +... = x...) 2 3. on en déduit une nouvelle façon d écrire l expression entre parenthèses : x 2 4x = x...) 2... 4. on remplace dans l expression de départ : fx) = 2 [ x...) 2... ] + 11 5. on termine en faisant fx) = 2x...) 2... + 11 = 2x...) 2 +... 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 2/7
4 Etude des fonctions trinômes 4.1 Courbe représentative Représentation graphique d une fonction trinôme du second degré : Soit f la fonction trinôme du second degré définie par fx) = ax 2 +bx+c, et soit C f sa courbe représentative. Soit P la parabole d équation y = ax 2 ). On obtient C f en appliquant à P une translation de vecteur b ı 4a j. Ainsi, C f est elle-même une parabole. La droite d équation x = b est axe de symétrie de C f. Exercice 7 : On veut représenter la fonction f définie par fx) = 2x 2 8x + 11 = 2x...) 2 +..., alors il suffit d appliquer une translation de vecteur... ı +... j à la parabole d équation y = 2x 2 ).... 9......... 8 7 6 5 4 3 P 2 1 j 0 2 1 0 ı 1 2 3 4 1 4.2 Variations On peut déduire des tableaux de de la fonction x ax 2 le tableau de de la fonction f ; cela dépend du signe de a : Si a > 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le... de x ax 2 de x fx) Si a < 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le... de x ax 2 de x fx) 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 3/7
5 Factorisation d un trinôme du second degré On se donne le trinôme du second degré Tx) = ax 2 + bx + c = 0. La forme canonique du trinôme T est donnée par Tx) = a x + b ) 2 4a où = b 2 4ac est le discriminant du trinôme. On peut l écrire également sous la forme suivante en factorisant le coefficient dominant a) : [ Tx) = a x + b ) ] 2 4a 2 Il est alors, dans certains cas, possible de factoriser l expression entre crochets : si le discriminant est négatif, alors l expression entre crochets n est pas factorisable. si le discriminant est nul, alors le trinôme T est déjà factorisé, puisqu il s écrit Tx) = a x + b ) 2 si le discriminant est positif, alors l expression entre crochets est du type A 2 B 2, avec A = ) x + b et B =. On a alors la factorisation suivante de la forme A B)A + B)) : Tx) = a x + b ) + x + b ) Pour résumer : si Tx) = ax 2 + bx + c, de discriminant = b 2 4ac Si < 0 Si = 0 Si > 0 pas de Tx) = a x α) 2 Tx) = ax x 1 )x x 2 ) Factorisation de T : factorisation où α = b possible où x 1 = b et x 2 = b+ Exercice 8 : Factoriser si possibles les expressions suivantes : Tx) = 2x 2 5x + 7 : =...... Tx) = 3x 2 + 18x 27 : =...... Tx) = 5x 2 x 4 : =...... 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 4/7
6 Résolution algébrique des équations du second degré Grâce aux résultats précédents, on établit une procédure de résolution des équations du type ax 2 +bx+c = 0 : nous savons que cette équation peut s écrire sous la forme [ a x + b ) ] 2 4a 2 = 0 si le discriminant est négatif alors l expression entre crochets est égale à un carré 2) x + ) b auquel on ajoute un nombre strictement positif 4a ). 2 Cette expression entre crochets ne pourra donc jamais être égale à 0 ; autrement dit, l équation ax 2 +bx+c = 0 n a pas de solution dans R. si le discriminant est nul alors l équation peut s écrire a x + b ) 2 = 0 ce qui nous permet d affirmer que l équation ax 2 + bx + c = 0 n a qu une seule et unique solution dans R, qui est : b. si le discriminant est positif alors le trinôme ax 2 + bx + c peut se factoriser, et l équation devient a x + b ) + x + b ) = 0 ce qui nous donne deux solutions distinctes dans R, qui sont : b et b+ Pour résumer : si Tx) = ax 2 + bx + c, de discriminant = b 2 4ac, et que l on veut résoudre l équation Tx) = 0 : Si < 0 Si = 0 Si > 0 Résolution de Tx) = 0 : solution α = b pas de Une seule solution : Deux solutions distinctes : dans R x 1 = b x 2 = b + Exercice 9 : Résoudre dans R les équations suivantes 2x 2 5x + 2 = 0 : =...... 3x 2 + x 1 = 0 : =...... 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 5/7
7 Signe du trinôme Résolution algébrique des inéquations du second degré On utilise à nouveau les résultats acquis dans le paragraphe 4 pour déterminer le signe du trinôme Tx) = ax 2 + bx + c selon les valeurs de x : si le discriminant est négatif alors Tx) = a [ x + b ) ] 2 4a 2 et l expression entre crochets est égale à un carré 2) x + ) b auquel on ajoute un nombre strictement positif 4a ). Cette expression entre crochets est donc strictement positive ; autrement dit, le trinôme 2 Tx) est du même signe que son coefficient dominant a. Signe de Tx) si le discriminant est nul alors le trinôme peut s écrire Tx) = a x + b ) 2 Cette expression, on l a vu, est nulle pour x = α = b. Mais pour les autres valeurs du nombre x, cette expression est un carré 2) x + ) b multiplié par un nombre réel a ; on peut en déduire que ce trinôme sera alors du même signe que son coefficient dominant a. x α + Signe de x α) 2 Signe de Tx) = ax α) 2 si le discriminant est positif alors le trinôme ax 2 +bx+c peut se factoriser, et le trinôme peut s écrire Tx) = a x + b ) + x + b ) Il est alors possible de compléter un tableau de signes : les valeurs frontières sont les racines x 1 = b et x 2 = b+, et on a en supposant que x 1 < x 2, sinon il n y a quà inverser) : x x 1 x 2 + Signe de x x 1 Signe de x x 2 Signe de Tx) = ax x 1 )x x 2 ) 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 6/7
Exercice 11 : Résoudre dans R les inéquations suivantes : 3x 2 5x + 2 > 0 =... On a donc... racines) :... Tableau de signes du trinôme Tx) = 3x 2 5x + 2 : Signe de Tx) L ensemble des solutions de cette inéquation est donc donné par... x 2 + x 2 0 =... On a donc... racine. Tableau de signes du trinôme Tx) = x 2 + x 2 : Signe de Tx) L ensemble des solutions de cette inéquation est donc donné par... 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 7/7