Lois générales de l'électrocinétique

Lois générales de l'élecrocinéique «Paience e longueur de emps Fon plus que force ni que rage.» Jean de La Fonaine in «Fables», le Lion e le Ra. Résumé L élecrocinéique raie de la circulaion des charges élecriques dans les milieux conduceurs appelés réseaux ou circuis. Deux grandeurs essenielles représenées par des foncions dépendanes du emps son uilisées, le couran (débi de charges) e la ension (différence de poeniels enre deux poins d un circui. Ce son des grandeurs algébriques don le signe indique la direcion par rappor à un sens de référence choisi arbirairemen au débu de l éude e désigné comme convenionnel. Les charges élecriques circulen dans des élémens élecriques appelés dipôles. Les élémens de base son décris par des lois de comporemen linéaires enre la ension e le couran : résisances, sources de ension ou de couran, indépendanes ou liées, condensaeurs e inducances. L inerconnexion de ces élémens au sein des réseaux es décrie par les lois de foncionnemen de Kirchhoff qui regroupe la loi des nœuds e la loi des mailles. Les dipôles élecriques e les réseaux peuven aussi êre décris par leur comporemen énergéique. C es pourquoi la puissance e l énergie son définies afin d envisager leur manifesaion au sein des élémens de base. Enfin, sans les éudier, les différens modes d éude des réseaux élecriques son inroduis : le régime ransioire qui sépare deux régimes permanens des grandeurs ensions, couran, énergie e puissance. Sommaire I. Définiions......... I.1. Les grandeurs élecriques... I.1.1. Le couran élecrique... I.1.. La ension... I.. Convenions d écriure... II. Réseaux de Kirchhoff......... 3 II.1. Les élémens de base... 3 II.1.1. La résisance... 3 II.1.. Sources indépendanes... 4 II.1.3. Sources dépendanes... 4 II.1.4. Condensaeur...5 II.1.5. Inducance... 6 II.. Règles de connexion... 6 II.3. Loi des nœuds e loi des mailles... 7 II.3.1. Loi des nœuds...7 II.3.. Loi des mailles... 7 II.4. Méhodologie d éude e exemple... 8 II.4.1. Méhodologie...8 II.4.. Exemple : circui simple à sep élémens... 8 III. Descripion énergéique des circuis élecriques... 10 III.1. Définiions... 10 III.. Remarques... 10 III.3. Expression de la puissance e de l énergie pour les dipôles élémenaires... 10 III.4. Lois de Kirchhoff au sens énergéique... 11 IV. Du réseau à son éude suivan la naure des grandeurs... 1 V. Bibliographie...... 13 YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 1 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

I. Définiions I.1. Les grandeurs élecriques De manière courane, à l échelle macroscopique des circuis (e non à l échelle microscopique des maériaux), deux grandeurs élecriques essenielles inerviennen dans les circuis élecriques : le couran e la ension. I.1.1. Le couran élecrique Le couran élecrique i( insanané dans un conduceur es le débi de charges q( : d q( i( = d C es une grandeur algébrique don le signe marque le sens. Il s exprime en ampères 1 (A). Sur le conduceur, on place une flèche pour marquer le sens convenionnel posiif du couran (Figure 1). Il se rouve que ce sens posiif es conraire au sens de déplacemen des élecrons, mais c es sans influence sur les évaluaions puisque la même convenion de signe es conservée pour ous les courans. I.1.. La ension La ension élecrique u( enre deux poins d un circui es la différence enre les poeniels (noés v) en ces deux poins. C es pour cela que la ension élecrique es aussi dénommée différence de poeniel (ddp). Elle s exprime en vols (V). La ension es indiquée par une flèche placée enre les deux poins du circui (Figure ). La différence es souven définie par rappor à un poeniel nul de référence pour le circui qui es appelé masse (Figure 3). La ension es aussi une grandeur algébrique. v B i( v A v AB = v A - v B v B u( = v B v A = v 0 = 0 Figure 1 : couran. Figure : ension. Figure 3 : masse. I.. Convenions d écriure Dans un circui élecrique, a priori,, on ne connaî ni le signe du couran ni celui de la ension. Des convenions de noaion de ces grandeurs son donc définies : la convenion généraeur (Figure 4) e la convenion récepeur (Figure 5). A B A B I( u( I( u( Figure 4 : convenion généraeur. Figure 5 : convenion récepeur. 1 D après André-Marie Ampère, physicien Français (1775-1836). D après Alessandro Vola, physicien ialien (1745-187). YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

II. Réseaux de Kirchhoff 3 Les réseaux élecriques son consiués par l inerconnexion d élémens appelés dipôles. Ceuxci son définis en expriman la relaion lian la ension à leurs bornes au couran les raversan. On disingue une caégorie d élémens fondamenaux régis par des relaions linéaires. Ces dipôles linéaires son décris dans cee parie. Pour d aures, le couran e la ension son aachés par une relaion non linéaire (faisan inervenir des foncions mahémaiques plus pour moins complexes). Les évaluaions son délicaes à effecuer par les lois de base classiques de l élecrocinéique. Il fau en effe avoir recours à des méhodes numériques sur calculaeur, ce qui les écare de nore éude. II.1. Les élémens de base Les élémens disposen d un nombre fini de bornes desinées à éablir les connexions : bornes pour un dipôle, 4 bornes pour un quadripôle e n bornes pour un mulipôle. Chacune des bornes es soumise à un poeniel andis qu elle véhicule un couran (enran ou soran. Ces deux grandeurs élecriques son des foncions réelles du emps (voir I.1.1e I.1. pour les noaions e définiions). Dans un mulipôle, la conservaion de la charge élecrique impose que la somme des courans enrans es égale à la somme des courans sorans. Les ensions e les courans on un sens choisi convenionnellemen au débu de l éude e invarian par la suie. Le plus généralemen, on choisi la convenion récepeur, mais la convenion inverse es communémen uilisée pour les sources de ension (Figure 6). A i( u( B Dans le cas de ce dipôle, le couran i es posiif s il circule réellemen de A vers B, andis que la flèche représenan la ension es noée dans le sens conraire du couran afin de représener v A > v B. Figure 6 : dipôle en convenion récepeur. II.1.1. La résisance Définiions e noaions Le symbole e les noaions associées en convenion récepeur son indiquées sur la Figure 7. i( R u( Figure 7 : symbole de la résisance e noaions en convenion récepeur. Loi de foncionnemen (loi d Ohm 4 ) : u( = R i( Dans cee relaion, R es la résisance élecrique en ohms (Ω), u e i son exprimés respecivemen en vols (V) e en ampères (A), En échangean la ension e le couran, on obien la relaion : i( = G u(. Relaion dans laquelle la grandeur G ( G = 1 ) es la conducance exprimée en siemens 5 (S). R 3 D après Gusav Kirchhoff, physicien allemand (184-1887). 4 D après Georg Ohm, physicien allemand (1789-1854). 5 D après Werner Von Siemens, ingénieur e indusriel allemand (1816-189) e/ou son frère Wilhelm Von Siemens, ingénieur e indusriel briannique d origine allemande (183-1883). YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 3 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

Propriéés Si R es consane, on di que la résisance es linéaire. Dans le cas conraire, la résisance es non linéaire. La représenaion graphique i = f(u) es la caracérisique ension-couran de la résisance. La loi d Ohm es aisémen illusrée par l homohéie des racés emporels indiqués sur la Figure 8. Dans la praique ceci peu êre observé sur l écran d un oscilloscope. 1 ma i( 10 V u( Figure 8 : illusraion praique de la loi d'ohm. II.1..Sources indépendanes u( i( u( es indépendane de i( : u es imposée. Figure 9 : généraeur de ension ; symbole, schéma e noaions. i( es indépendan de u( : i es imposé. Figure 10 : généraeur de couran ; symbole, schéma e noaions. Remarques (pour se souvenir des symboles) : généraeur de ension, résisance inerne faible, le rai raverse (conduceur R nulle). généraeur de couran, résisance inerne élevée, rai inerrompu (circui ouver. u La ension u es consane quelque soi le couran i. i Le couran i es consan quelque soi la ension u i u Figure 11 : généraeur de ension consane. Figure 1 : généraeur de couran consan. On di que le généraeur de ension es éein lorsqu il es rédui à une ension ideniquemen nulle (équivalen à un conduceur). Pour le généraeur de couran, il es éein si le couran es ideniquemen nul (circui ouver. II.1.3. Sources dépendanes Sources de ension (Figure 13) La ension délivrée u( es dépendane de la ension ou du couran d un aure élémen du réseau : u em ( = α u' ( ou ( = β i'( u em α u ( α u ( β i ( u em ( u em ( Figure 13 : sources de ension dépendanes. u em ( La relaion de dépendance es noée à coé du symbole de la source. YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 4 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

Sources de couran (Figure 14) Le couran délivré i( es dépendan de la ension ou du couran d un aure élémen du réseau : i em ( = δ i' ( ou ( = ε u'( i em i em ( δ i ( i em ( ε u ( Figure 14 : sources de couran dépendanes. II.1.4. Condensaeur Définiions e noaions Le symbole e les noaions associées en convenion récepeur son indiquées sur la Figure 15. i( C u( Figure 15 : symbole d un condensaeur e noaions en convenion récepeur. d u( Loi de foncionnemen : i( = C. d Dans cee relaion, C es la capacié du condensaeur en farads 6 (F), indépendane du emps. Remarque : démonsraion d q( d u( q( = C u( (élecrosaique) e i( = (définiion) en éliminan q : i( = C. d d Propriéé essenielle En expriman la ension aux bornes du condensaeur 1 u( = u(0) + i( x)d x, C 0 on remarque que la ension es définie par une inégrale foncion de la borne supérieure (. C es un résula de mahémaique qui perme de conclure que la ension u( es une foncion coninue du emps. On n observe jamais de disconinuié de ension aux bornes d un condensaeur. u( i( Figure 16 : illusraion de la coninuié de la ension aux bornes d'un condensaeur. 6 D après Mickael Faraday, physicien anglais (1791-1867). YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 5 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

II.1.5. Inducance Définiions e noaions Le symbole e les noaions associées en convenion récepeur son indiquées sur la Figure 15. i( L u( Figure 17 : symbole d une inducance e noaions en convenion récepeur. d i( Loi de foncionnemen : u( = L. d Dans cee relaion, L es l inducance du dipôle inducance exprimée en henrys 7 (H), indépendane du emps. Propriéé essenielle En expriman le couran dans l inducance 1 i( = i(0) + u( x) d x, L 0 on remarque que l expression, définie elle aussi par une inégrale foncion de la borne supérieure, perme de conclure que le couran dans l inducance i( es une foncion coninue du emps. On n observe jamais de disconinuié du couran raversan une inducance. i( u( Figure 18 : illusraion de la coninuié du couran raversan une inducance. II.. Règles de connexion Après les avoir définis, les différens élémens son assemblés au sein de réseaux. Ils son composés de branches orienées relian deux poins appelés nœuds. Si les branches son adjacenes (à la queue leu leu), on es en présence d un chemin. Si deux chemins disjoins de mêmes exrémiés son reliés, on obien une maille (ou cycle). Toues ces définiions son illusrées dans l exemple de la Figure 19. 7 D après Joseph Henry, ingénieur e physicien américain (1797-1878). YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 6 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

C 4 1 B A 3 5 E 6 9 7 F 8 10 D Figure 19 : exemple de réseau. Le réseau de la Figure 19 es un graphe dans lequel on disingue : 6 noeuds, de A, B, C, D, E e F ; 10 branches, numéroées de 1 à 10 ; (4,, 3) es un chemin délimié par C e D. (8, 6, 5, 1, 3) es une maille. Dans la praique les branches abrien un assemblage d élémens décris au II.1. II.3. Loi des nœuds e loi des mailles Pour mere en équaion le réseau défini précédemmen afin de rechercher les grandeurs élecriques inconnues parmi ous les courans e les ensions, il fau rechercher les relaions aachées à l inerconnexion des élémens. Pour y parvenir, on radui la conservaion des charges élecriques lorsqu un nœud es aein, c es la loi des nœuds relaive aux courans dans les branches. Pour les ensions, il fau raduire que le poeniel nul en un nœud annule la somme des ensions prise sur une maille passan par ce nœud, c es la loi des mailles pour les ensions. II.3.1. Loi des nœuds La somme algébrique des courans circulans dans les branches adjacenes à un nœud es nulle. On peu dire aussi que la somme algébrique des k courans enrans dans un nœud es égale à la somme des l courans sorans (ceci signifie que oues les charges apporées son exraies). i = k i l k l II.3..Loi des mailles La somme algébrique des ensions renconrées en parcouran une maille dans un sens prédéfini es nulle. ( ± ) v k v = 0 v k k es compée posiivemen si elle es dans le sens de parcours de la maille. es compée négaivemen si elle es dans le sens conraire du parcours de la maille. YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 7 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

II.4. Méhodologie d éude e exemple II.4.1. Méhodologie De manière appliquée, pour effecuer la mise en équaion puis la résoluion d un circui élecrique, on peu uiliser la démarche suivane : dans un premier emps, numéroer les nœuds e les branches ; dans chaque branche du circui, noer les courans (flèche pour le sens convenionnel e nom) ; pour chaque élémen, noer la ension à ses bornes (flèche e nom) ; mere en équaion en uilisan deux groupes de relaions : un pour les aspecs opologiques (organisaion du réseau) : (n-1) lois des noeuds son nécessaires pour n noeuds recensés e (m-1) lois de mailles son nécessaires pour m mailles indépendanes recensées (une maille es indépendane si elle n es pas une combinaison des aures), un second pour les relaions aachées à chaque élémen uilisé. poser les hypohèses simplificarices (courans ou ensions ideniques, conraines imposées par les élémens, ec.) ; simplifier les relaions en enan compe des hypohèses à ce sade on dispose d un sysème d équaions ; résoudre le sysème pour en exraire les grandeurs inconnues. Remarque : Cee méhode apparaî rès fasidieuse, mais elle offre l avanage de donner les moyens de mere en équaion e résoudre un réseau élecrique. Elle ne consiue qu une éape ransioire qui s effacera avec l expérience. Peu à peu, un ensemble de echniques permean de franchir les éapes plus rapidemen se développe au poin de s affranchir des aspecs lourds e fasidieux. Pour mere en œuvre cee démarche, inéressons-nous à l exemple du II.4.. II.4.. Exemple : circui simple à sep élémens Dans le circui de la Figure 0, oues grandeurs élecriques son permanenes, c'es-à-dire qu elles ne son pas modifiées au cours du emps. On les noe alors en leres majuscules. Les élémens (résisances e sources) son complèemen connus. I 1 R 1 R R 3 I E 1 I I 3 R E I 3 Figure 0 On cherche à évaluer l expression du couran I dans la dernière résisance R. Idenificaion des différenes grandeurs (ensions e courans) Courans : I 1 (, I (, I 3 ( e I( invarians, on peu donc écrire I 1, I, I 3 e I. Tensions : E 1, E, U, U 1, U, U 3 (noés sans la variable car invarianes), Idenificaion de la opologie du réseau Quare branches : celles de E 1, E, I 3 e U. Trois mailles indépendanes : (E 1, R 1, R), (E, R, R) e (I 3, R 3, R). Deux nœuds donc une seule loi des nœuds (aenion au piège du dédoublemen d un nœud). YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 8 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

Mise en équaion 1 loi des nœuds : I I + I = I 1 + 3 ; 3 lois des mailles : U = E1 R1 I1 ; U = E R I ; U = E3 R3 I 3 (E 3 libre). Résoluion Exprimer le couran dans chaque branche à l aide des rois lois des mailles puis remplacer dans la loi des nœuds pour exraire le couran dans la résisance R : E1R + ER1 + R1R I 3 I = R R + RR + RR 1 1 YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 9 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

III. Descripion énergéique des circuis élecriques III.1. Définiions Un dipôle es raversé par un couran i( e soumis à la ension u( noés en convenion récepeur. Puissance La puissance élecrique insananée absorbée par ce dipôle s exprime par : p( = u( i( La puissance s exprime en was 8, W Energie L énergie présene dans le dipôle à l insan s exprime par : w( = w(0) + p( x) dx où w(0) es l énergie iniiale (e sous réserve que p( soi inégrable). L énergie s exprime en joules 9, J 0 III.. Remarques De par sa définiion sous une forme inégrale, l énergie es une foncion coninue du emps. On n observe jamais de disconinuié d énergie élecrique dans un dipôle. Cee remarque es valable pour ous les phénomènes physiques de l univers. La puissance peu aussi s exprimer comme la dérivée de l énergie : d w( p( = d Une puissance posiive signifie que le dipôle «reçoi» de l énergie car elle augmene (dérivée >0). En respecan la convenion de signe éablie : l élémen es passif si w( es posiive ou nulle (dissipaion énergéique), l élémen es acif sinon (l énergie provien de sources inernes au dipôle). III.3. Expression de la puissance e de l énergie pour les dipôles élémenaires Puissance Energie Résisance p R ( = u( i( = R i ( 0 w R ( = R i ( x)d x 0 Condensaeur Inducance p C p L d u( 1 d u ( 1 ( = C u( = C w C ( = C u ( ) 0 d d d i( 1 d i ( 1 ( = L i( = L w L ( = L i ( ) 0 d d Pour ces élémens, on remarque que l énergie es oujours posiive. Cee propriéé es caracérisique des élémens passifs. La résisance ien une place pariculière car sa puissance es oujours posiive, elle ne peu la resiuer, on di que c es un élémen dissipaif (c es le phénomène irréversible appelé effe Joule). 8 D après James Wa, ingénieur écossais (1736-1819). 9 D après James Joule, physicien anglais (1818-1889). YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 10 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

La puissance dans le condensaeur e l inducance peu êre posiive ou négaive : ces deux élémens peuven emmagasiner e resiuer de l énergie. On di que ces élémens son réacifs (ils peuven resiuer l énergie emmagasinée). III.4. Lois de Kirchhoff au sens énergéique Loi des nœuds En expriman la loi des nœuds sous forme énergéique, le poeniel du nœud ne varian pas, alors la puissance pénéran par un nœud es idenique à celle en soran. Loi des mailles La somme des puissances observées en parcouran une maille es nulle. Il en résule que la somme des puissances absorbées par oues les branches d un réseau es ideniquemen nulle. D aure par, l énergie fournie par les sources du réseau n es dissipée que par les élémens passifs. YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 11 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

IV. Du réseau à son éude suivan la naure des grandeurs Nous venons de décrire les réseaux de Kirchhoff e proposer en ensemble de méhodes offran des ouils de mise en équaion des circuis pour exprimer les grandeurs inconnues. Ce aspec esseniel nous garani les fondemens sur lesquels nous allons analyser les circuis en se référan, d une par, à la naure des signaux issus des généraeurs, mais aussi en enan compe de leur évoluion depuis leur naissance jusqu à un emps où ous son éablis. Nous allons mere en évidence ces aspecs sur un exemple élémenaire de circui indiqué à la Figure 1. K R i( e( u e ( C u s ( Figure 1 : circui RC série. Ce circui RC série peu êre mis sous ension à l insan = 0 par fermeure de l inerrupeur K. Suivan la naure du signal délivré par le généraeur de ension, commen la ension u S ( aux bornes du condensaeur va--elle évoluer? Cee quesion à l apparene simplicié va rouver ses réponses au ravers de différenes éudes. Le condensaeur es iniialemen déchargé (q(0) = 0), donc la ension u S (0) es nulle. K éan ouver, le couran i es nul. Le circui es alors au repos, c es un éa permanen. Si la source délivre une ension coninue (permanene), dès la fermeure de K, le couran peu exiser e le condensaeur absorber des charges. La ension u S ( se me à croîre. Dans ces condiions, la différence enre les deux ensions diminue e u S ( se sabilise à la ension de la source. Pendan une période après l insan iniial, on observe un régime ransioire. Une fois la sabilisaion effecive, un nouveau régime s es éabli, c es le régime permanen (Figure ). Régime ransioire Régime permanen Valeur iniiale Valeur E ension u e ( u s ( Valeur finale 0 τ Fermeure de k Figure : réponse emporelle du circui RC. Si le généraeur délivre une ension sinusoïdale, il exise aussi un régime ransioire qui fini par laisser place au régime permanen. Bien enendu la forme des ensions n es plus la même que dans le cas précéden. Dès lors que l on connaî la opologie du circui, nous disposons des moyens pour le mere en équaion. Si la naure des signaux délivrés par les généraeurs es connue, la mise en équaions va nous conduire à un ensemble d équaions différenielles don la résoluion aboui aux résulas évoqués un peu plus hau. La résoluion de l équaion sans second membre fourni une soluion générale (SGESSM) décrivan le régime di libre, c es à dire le comporemen (ou régime) ransioire. La soluion pariculière YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 1 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique

de l équaion avec second membre (SPEASM) nous décri les signaux lorsque le généraeur aura réussi à s imposer, à forcer, son régime, c es le comporemen (ou régime) permanen. La suie du cours suivra donc le cheminemen suivan : connaîre les caracérisiques des signaux e en pariculiers des signaux usuels ; caracériser le comporemen ransioire de cerains réseaux ; s inéresser aux élémens soumis aux signaux sinusoïdaux de fréquence fixe ; s aacher au régime permanen pour des signaux sinusoïdaux de fréquence fixe ; généraliser l éude des réseaux soumis à des signaux sinusoïdaux de fréquence variable. V. Bibliographie! [1] Boie R. e Neirynck J.. Théorie des réseaux de Kirchhoff. Traié d élecricié, d élecronique e d élecroechnique. Dunod. 1983. YC EC1AV-Généraliés EC aoû 0 V 3.40 13 / 13 Lois générales de l'élecrocinéique