Optique Prisme (*) [d après CCP 006, MP http ://ccp.scei-cocours.fr] U prisme, titué par u matériau trasparet, homogèe, isotrope, d idice 1 (λ D ) > 1 pour la radiatio λ D = 589, 3 m (valeur moyee du doublet jaue du sodium), se trouve plogé das l air dot l idice sera pris égal à 1. 1. Formules du prisme Sur la figure ci-cotre, les orietatios des agles sot choisies pour que les valeurs des agles i, i, r, r et D soiet positives. a) Exprimer les lois de Sell-Descartes e foctio de i, i, r, r et, traduisat les réfractios à l etrée I et à la sortie I du prisme, lors du passage d u rayo lumieux moochromatique das le pla de sectio pricipale. b) Détermier les relatios géométriques liat les agles, r et r d ue part et l agle de déviatio D aux agles, i et i d autre part.. Miimum de déviatio Expérimetalemet, e lumière moochromatique, o met e évidece l existece d u miimum de déviatio, oté D m quad l agle d icidece i varie. Le tracé du rayo lumieux est alors symétrique par rapport au pla bissecteur de l agle du prisme. Préciser das le cas de cette déviatio miimale : a) les relatios etre les agles i et i d ue part, puis r et r d autre part ; b) expliciter la relatio doat l idice e foctio de l agle du prisme et de la déviatio miimale D m. c) Lorsque les mesures des agles et D m s effectuet avec les icertitudes absolues Δ et ΔD m, détermier l expressio de l icertitude relative Δ 3. Mesure de l idice du prisme sur l idice du prisme. L idice du prisme peut-être calculé e mesurat l agle du prisme et l agle de déviatio miimale D m (pour la radiatio λ D ) à l aide d u goiomètre. Le prisme est diposé sur la plate-forme du goiomètre, plate-forme qui compred u collimateur (C) et ue luette de visée (L v ). Le collimateur est titué par ue fete (F ) placée au foyer objet d ue letille (L) et éclairée par la radiatio moochromatique. La luette (L v ), muie d u réticule, est réglée sur l ifii et permet doc d observer l image de la fete. Le cetre du réticule de la luette doit coïcider avec l image de la fete pour effectuer la lecture sur le cercle, gradué au demi-degré (de 0 à 359, 5 ), du goiomètre. U verier au 1/30 e est utilisé das le repérage des positios agulaires de la luette de visée, depuis ue directio arbitraire de référece (D 0 ). a) Mesure de Le prisme, fixé sur la plate-forme, est éclairé par le collimateur (C). Les images de la fete (F ) formées par les rayos qui se réfléchisset sur les deux faces de l agle du prisme sot repérées par la luette (L v ) (cf. figure).
Optique géométrique Prisme (1) [CCP 006, MP] 010-011 Les repérages des deux positios doet : R 1 = 45 10 et R = 15 18 E déduire la valeur de l agle du prisme. Doer la valeur Δ (e miute d arc) sachat que chaque lecture de positio est défiie à deux graduatios près du verier. b) Mesure de D m Pour mesurer la déviatio miimale D m, o observe à la luette l image de la fete quad la radiatio a traversé le prisme e positio 1 (cf. ci-cotre). Cette positio correspod au miimum de déviatio pour le rayoemet moochromatique. O recommece la même expériece das ue positio du prisme. Les lectures correspodat aux deux positios de la luette sot alors : R 3 = 33 58 et R 4 = 136 14 E déduire la valeur de la déviatio miimale D m. c) Détermiatio de Calculer, à partir des valeurs de et de D m, l idice pour la radiatio de logueur d ode λ D. Das le cas où Δ = ΔD m = ε, motrer que l icertitude relative sur, défiie précédemmet, deviet : Δ = k 3.ε.cota où k 3 est u facteur umérique que l o détermiera. Calculer alors Δ. Exprimer le résultat de la mesure de l idice du prisme sous la forme ±Δ. Spectrographe à Prisme (**) Rq : suite du problème précédet. Iutile de vous fixer sur les calculs de la questio 7) (iveau MP), mais essayer de regarder les questio 4) et 5) au mois. U spectrographe à prisme est titué : - d u collimateur composé d ue fete (F ), éclairée par ue source (S) et placée da sle pla focal objet d ue letille mice achromatique (L) ; - d u prisme e verre dot l idice varie avec la logueur d ode suivat la loi empirique de Cauchy qui s écrit das le domaie du visible : = α + β λ avec α = 1, 5973 et β = 0, 0106 μm - d u objectif achromatique assimilé à ue letille mice (L ), qui doe sur ue plaque photographique, située das le pla focal image de (L ), le spectre de la lumière émise par la source (S). Les distaces focales images des letilles covergetes (L) et (L ) sot respectivemet f = 0 cm et f = 100 cm. 4. Tracé de rayos lumieux La figure précédete représete la marche, à travers le prisme et l objectif, d u rayo lumieux icidet (OI) pour la logueur d ode λ 1. Reproduire la figure du prisme et tracer la marche d u rayo icidet (OI) de logueur d ode λ légèremet supérieure à λ 1. http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. PTSI
010-011 Prisme (1) [CCP 006, MP] Optique géométrique 5. Variatio de la déviatio miimale D m Le prisme est réglé au miimum de déviatio pour ue logueur d ode λ doée. a) Motrer que la variatio de D m avec l idice du prisme s exprime par : dd m = + D m b) E déduire le pouvoir dispersif agulaire dispersio du verre. e foctio des agles, D m et de la 6. Doublet jaue du sodium La lumière émise par la source (S) est composée des deux seules radiatios jaues du sodium de logueurs d ode voies λ 1 et λ = λ 1 + Δλ. a) Le passage d ue radiatio de logueur d ode λ à λ+δλ etraîe, au miimum de déviatio, ue variatio ΔD m de la déviatio. Exprimer ΔD m e foctio de, D m, β, λ et Δλ. b) Détermier, sur la plaque photographique, la distace d p séparat des images F 1 et F de la fete (F ) éclairée par les deux radiatios jaue du sodium. c) Calculer d p umériquemet sachat que, pour le doublet jaue du sodium : λ 1 = 589, 0 m et λ = 589, 6 m. 7. Pouvoir de résolutio Le prisme est éclairé, sous ue icidece i fixée, das les coditios du miimum de déviatio (pour ue radiatio de logueur d ode λ doée), de sa base de largeur b jusqu à so arête. Le faisceau, émergeat sous l agle i, a ue largeur l das le pla de sectio pricipale du prisme. a) Exprimer le pouvoir dispersif agulaire aisi que d p e foctio de b, l, f, et Δλ. b) La fete (F ), de largeur a, est assez large pour égliger tout phéomèe de diffractio quad elle est uiformémet éclairée e lumière moochromatique. So image géométrique, sur la plaque photographique, a ue largeur a. O ote Δi et Δi (cf. figure) les variatios des agles d icidece et d émergece correspodat aux bords de a et de a. Détermier a e foctio de a, f, et f. c) Quelle est la coditio sur d p et a pour que deux images de la fete source, correspodates aux logueurs d ode λ et λ + Δλ soiet séparées? E déduire la limite de résolutio, otée (Δλ), du spectrographe imposée par la largeur de la fete source et l exprimer e foctio de a, b, l, f et. Si l o désire séparer, à l aide de ce prisme, des raies très voies e logueurs d ode, quels sot les réglages à apporter? Préciser leurs limites. d) O doe : a = 40 μm et b = 3, 5 cm. Calculer les valeurs de (Δλ) et du pouvoir de résolutio P R = λ pour la logueur d ode (Δλ) λ D = 589, 3 m (valeur moyee du doublet jaue du sodium). Comparer Δλ = λ λ 1 (largeur de la double raie jaue du sodium) et (Δλ). Coclure. Qadri J.-Ph. PTSI http ://atelierprepa.over-blog.com/ 3
Optique géométrique Prisme (1) [CCP 006, MP] 010-011 Solutio Prisme et mesure d idice 1.a) Les lois de Sell-Descartes e I et I doet : i = r et r = i 1.b) O complète la figure comme ci-cotre. Das le triagle II, la somme des agles de ce triagle est : ( π ) ( π + r + r ) = π O e déduit : = r + r E I, le rayo subit ue déviatio de i r, et e I, il subit ue ouvelle déviatio de i r. La déviatio totale du rayo à travers le prisme est doc : D = i r + i r D = i + i (r + r ) D = i + i.a) Les rayos icidets et émergets état symétriques par rapport au pla bissecteur de, o a doc i = i et par applicatio des lois de Sell-Descartes e I et I, o obtiet que r = r..b) O a alors = r, soit r = d ue part et D m = i d autre part. De cette derière expressio, il viet : i = + D m. Lorsqu o remplace ( i et r par) leurs expressios ( ) e foctio de et D m das la loi de la réfractio + Dm e I, il viet : =. ( ) + Dm D où : = ( ).c) O cherche à évaluer, erreur relative sur la mesure. O utilise pour cela la différetielle logarithmique de tel qu o viet de l exprimer e.b) (: ( )) ( ( )) + Dm [ ( )] [ ( )] + Dm l = l l d d = ( ) ( ) + Dm ( ) ( ) ( ) ( ) + Dm + Dm. d. d = ( ) ( ) + Dm ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) + Dm Dm = cota. d + d cota. d [ ( ) + Dm = cota cota ] ( ) ( ) ( ) + Dm Dm. d + cota. d E passat aux valeurs absolues, o obtiet ue majoratio des erreurs possibles. Δ C est l icertitude relative : = cota + D m cota Δ + cota + D m ΔD m Rq : Comme vu e cours ( Cf Cours ICP), il faut bie peser à regrouper les termes e d d ue part et ceux e d autre part avat de passer aux valeurs absolues. 4 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. PTSI
010-011 Prisme (1) [CCP 006, MP] Optique géométrique 3.a) O utilise le schéma ci-cotre qu o complète e appliquat les propriétés des agles opposés par u sommet aisi que la loi de la réflexio. Il apparaît que R 1 = π + α et que R = π β. Par ailleurs, = α + β. O e déduit : = R 1 R, soit = 59 56. Comme ue graduatio du verier correspod au tretième d ue demi-miute, elle représete ue miute d agle. Comme R 1 et R sot mesurés chacu à deux graduatios du veriers près, o a ΔR 1 = ΔR =. Puisque Δ = ΔR 1 maximale possible). ΔR, o a Δ = (icertitude absolue sur la mesure de = erreur 3.b) Le schéma de l éocé motre que D m = R 3 R 4, doc : D m = R 3 R 4 = 48 5. ( ) + Dm 3.c) O a D m = 48 5 et = 59 56. lors : = ( ) = 1, 678 Lorsqu o a la même icertitude Δ = ΔD m = ε sur et D m, l expressio de l icertitude relative Δ s écrit : ( ( ) ( ) ( ) ) Δ + = Dm cota cota + + cota Dm ε ( ) + Dm les valeurs de et D m permettet de vérifier que 0 < cota < cota ( ) ( ) ( ) ( ) + cota Dm + Dm cota = cota cota, ( ) ( ) tadis que + cota Dm + Dm = cota. D où : Δ = ε ( ).cota = 1, 009.10 3 ( ), doc : Comme = 1, 678, o e déduit Δ = 1, 6.10 3 1, 7.10 3 (puisque a été calculé à 4 décimales). L idice du prisme est doc : = 1, 678 ± 0, 0017. Spectrographe à prisme 4) Cf. schéma ci-cotre. Comme λ est légèremet supérieure à λ 1, la formule de Cauchy impose = (λ ) < 1 = (λ 1 ). La loi de la réflexio e I ( i = r) implique alors, pour deux rayos de même agle d icidece i, que r > r 1. Ue des propriétés du prisme ( = r + r ) implique r < r 1. La loi de la réflexio au iveau de la face de sortie du prisme r = i et 1 r 1 = i 1 implique alors : i < i 1. La secode propriété du prisme (D = i + i ) permet de coclure : D = D(λ ) < D 1 = D(λ 1 ) Qadri J.-Ph. PTSI http ://atelierprepa.over-blog.com/ 5
Optique géométrique Prisme (1) [CCP 006, MP] 010-011 5.a) ( = cte) : Soit : Pour exprimer, o différetie la relatio qui relie D m et pour u prisme doé. ( ) = + D m ( ) = ( ) + Dm 5.b) Pouvoir dispersif agulaire : ( ) Doc : = ( ) + Dm ( ( )) ( ( )) + Dm d. = d ( ) ( ) ( ) + Dm + Dm. = d ( ) ( ) + Dm ddm. = = 6.a) Pour aller plus loi, o doit exprimer. Il suffit de dériver la loi de Cauchy : = α + β ( ) λ soit : = 4 β ( ), λ 3 + Dm = β λ 3, et doc, lorsque ΔD m et Δλ : ΔD m == 4 β λ 3 + D Δλ m 6.b) À la sortie du prisme, le faisceau parallèle icidet de lumière est scidé e deux faisceaux parallèle, l u correspodat à la logueur d ode λ 1 et l autre à la logueur d ode λ, qui émerget pour former deux images de la fete source à l ifii. E iterposat ue letille (L ), ces deux images sot rameées das le pla focal image de cette letille. Les deux faisceaux parallèles correspodat aux deux raies jaues du doublet jaue du sodium arrivet sur la letille fot u agle ΔD m etre eux. Sur la plaque photographique placée au pla focal image de la letille, les deux images F 1 et F correspodates sot séparée par la distace d p = f ta, soit, pour les petits agles : d p = f ΔD m. 6.c) Comme λ 1 = 589, 0 m et λ = 589, 6 m, Δλ = 0, 6 m. De plus, = 59 56 (cf. 3.a)) et D m = 48 5 (cf. 3.b)). vec β = 0, 0106 μm, o trouve (e utilisat correctemet sa calculatrice!) : d p = 1, 06.10 4 m. 7.a) O cherche à exprimer les agles et D m e foctio des caractéristiques géométriques du prisme. Sur la figure ci-cotre, ( e) appelat h la largeur d ue face du prisme, o a = b h. De plus, lorsqu o est au miimum de déviatio, o a i = i = + D m ; ( ) + Dm o peut doc écrire : = i = l h. 6 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. PTSI
010-011 Prisme (1) [CCP 006, MP] Optique géométrique L expressio du pouvoir dispersif agulaire deviet : ( ) = ( ) = + Dm. b h.h l soit : =.b ΔD m l Δλ. lors, sur la plaque photographique, les deux raies de logueurs d ode séparées de Δλ sot séparées par la distace d p avec : d p = f ΔD m =.b l.f.δλ 7.b) Comme D = i + i, par différetiatio, o a di = di, ce qui doe, e passat aux valeurs absolues, l égalité etre les variatios des agles d icidece et d émergece : Δi = Δi. Puisque, la fete source a ue largeur a et qu elle est placée das le pla focal objet de la letille (L), l agle Δi d ouverture du faisceau icidet est tel que, das les coditios de Gauss, ta Δi = a f Δi. U faisceau émerget, puisque so image est das le pla focal image de (L ), aura ue ouverture agulaire Δi tel que : ta Δi = a f Δi. Les trois relatios précédetes doet : a = f f a 7.c) Pour que les deux images de la fete source soiet séparées sur la plaque photographique, il faut que leur cetre F 1 et F soiet éloigés l u de l autre d ue distace d p supérieure à la largeur a de chaque fete image : d p > a. Soit, e utilisat les expressios précédemmet obteues de d p (7.a)) et a (7.b)) : d p > a b l.f.δλ > f a.l.a Δλ > f f.b. 1 La limite de résolutio (Δλ) état la valeur miimale Δλ qui permet de distiguer deux raies, o a : (Δλ) = a.l f.b. 1 Si o veut séparer des raies très voies pour lesquelles iitialemet Δλ < (Δλ), il faut parveir à abaisser la limite de résolutio : o dimiue la taille de la fete (mais o pred le risque de faire apparaître le phéomèe de diffractio, ce qui brouillera l image) ou o augmete, si c est possible, le facteur l e chageat de prisme. b 7.d) Il y a plusieurs maières de calculer (Δλ) selo les doées privilégiées par l éocé. Mais comme l est pas fouri, o peut utiliser 4.a) et 3.b) pour e déduire : l b =. 1. Δλ ΔD m =. f.δλ d p lors : (Δλ) = a f. l b. 1 = a f. f d p.δλ = 40.10 6 0.10. 1 1, 06.10 4.0, 6.10 9, soit, pour le doublet jaue du sodium : (Δλ) = 1, 15.10 9 m et P R = λ (Δλ) 54 Coclusio : Comme (Δλ) 1, 1 m > Δλ = 0, 6 m, les deux raies du sodium e sot pas séparées par ce dispositif. Qadri J.-Ph. PTSI http ://atelierprepa.over-blog.com/ 7