Corrigé mies 2 PSI 2015 Partie I Les questios de cette partie sot très faciles, il est doc idispesable d'être irréprochable sur le pla de la rédactio. Questio 1 ous les blocs qui itervieet das ce qui suit sot carrés d'ordre, doc les produits par blocs e poset pas de problème. O trouve de suite que J 2 I 0 I 0 I 2, et que J J. La relatio J 2 I 2 garatit que J est iversible et que so iverse est J. Questio 2 D'après la première questio, J JJ J 2 J J, doc J Sp 2. Pour tout réel α, (K (α)) I αi. 0 I Là ecore, les produits par blocs qui suivet e poset pas de problème, et (K (α)) JK (α) I αi 0 I I 0 0 I I 0 αi I αi I I 0 I 0 αi I αi + αi I J, I doc K (α) Sp 2. 0 Questio 3 Soit U G. Les produits par blocs qui suivet e poset toujours pas de problème, et : (L U ) JL U U 0 0 I U 0 0 U 1 I 0 0 (U 1 ) 0 U U 0 U 1 0 0 (U 1 ) 0 U (U 1 ) U 1. U 0 Mais o sait que la trasposée d'ue matrice iversible est iversible, et que l'iverse de sa trasposée est la trasposée de so iverse. Aisi, (L U ) JL U J, doc L U Sp 2. 1
Questio 4 O sait que le détermiat du prosuit de deux matrices carrées de même ordre A et B est le produit des détermiats de A et B, et qu'ue matrice carrée et sa trasposée ot même détermiat. Aisi, si M Sp 2, dét ( M JM ) (dét (M)) 2 dét (J), doc (dét (M)) 2 dét (J) dét (J). Mais o a vu que J est iversible, doc so détermiat est o ul, doc (dét (M)) 2 1, doc dét (M) { 1, +1}. O verra à la partie III, qu'e fait dét (M) vaut forcémet 1. Questio 5 Soit M et N deux élémets de Sp 2. M et N sot doc deux élémets de M 2, doc leur produit est déi et élémet de M 2. Par apparteace de M puis N à Sp 2,(MN) J (MN) N ( M JM ) N N JN J. Fialemet, MN Sp 2. Questio 6 J'aurais posé 7 avat 6, mais bo... D'après Q4, les élémets de Sp 2 sot de détermiat o ul, doc iversibles. Si M Sp 2, et comme M, M et J sot iversibles, ( M JM ) 1 J 1, doc M 1 J 1 ( M ) 1 J 1. O remplace J 1 par J, ( M ) 1 par (M 1 ), et o traspose, ce qui doe : M 1 J (M 1 ) J. Mais J J, doc M 1 J (M 1 ) J. Fialemet, M 1 Sp 2. Questio 7 Si M Sp 2, M JM J, doc, e trasposat, M J M J, doc, e remplaçat J par J et e multipliat par 1, M JM J, doc M Sp 2. Questio 8 O e travaille que sur des blocs carrés d'ordre, doc les produits par blocs qui suivet e poset toujours pas de problème. A M C, doc B D 2
M JM A C 0 I A B B D I 0 C D C A A B D B C D C A A C C B A D D A B C D B B. D Aisi, comme ( ) tous les blocs qui itervieet sot carrés d'ordre, M Sp 2 si et seulemet C A ( A ) (C ) C 0 B ( A ) si : (D ) D I A ( B ). (D ) C I B ( B ) D 0 Partie II Questio 9 Ne pas oublier que les élémets de Z se recrutet parmi ceux de Sp 2. O vérie immédiatemet que I 2 et I 2 appartieet à Sp 2. I 2 et I 2 commutet avec toute matrice carrée d'ordre 2, doc avec tout élémet de Sp 2. Fialemet : { I 2, I 2 } Z. Questio 10 Avec les otatios de I, L (K ( 1)), doc, d'après Q2 et Q7, L est élémet de Sp 2. Aisi, LM ML,doc, toujours puisque les produits par blocs e poset pas de problème et puisque les tailles des blocs des deux membres correspodet, A + C B + D A A + B, et doc C 0 C D C C + D et D A. Comme L Sp 2, L Sp 2, doc L M ML, doc, e teat compte des relatios A B A + B B déjà acquises,, doc B 0 A B + A A B. A 0 Aisi, M, doc, d'après le derier résultat rappelé e préambule, 0 A dét (M) (dét (A)) 2. Or M est iversible, doc de détermiat o ul, doc A est de détermiat o ul, doc A est iversible. Questio 11 A 0 A 0 O sait que, si U G, L U Sp 2, doc L 0 A U L U. 0 A E idetiat les blocs carrés d'ordre supérieurs gauches des deux membres, o obtiet : AU UA. 3
Questio 12 Pour tout (i, j) 1, 2, I +E ij est ue matrice triagulaire doc les coeciets diagoaux valet tous 1 ou 2, doc sot o uls. Par coséquet, I + E ij est iversible. Aisi, pour tout (i, j) 1, 2, (I + E ij ) A A (I + E ij ), doc, e développat, E ij A AE ij. a 11 a 1 O explicite A sous la forme... a 1 a outes les liges de E ij A sot ulles, sauf la i-ième, qui est a j1 a j. outes les coloes de AE ij sot ulles, sauf la j-ième, qui vaut O e déduit que, pour k j, a jk 0, et que a jj a ii. Par coséquet, A est ue matrice dot les coeciets o diagoaux sot tous uls et les coeciets diagoaux tous, égaux, doc A est de la forme λi, où λ R. λi 0 Aisi, M, doc dét (M) λ 0 λi 2. Mais, d'après Q4, le détermiat d'u élémet de Sp 2 est 1 ou 1, doc λ { 1, +1}, doc M { I 2, I 2 }. O viet de démotrer que Z { I 2, I 2 }, et o a prouvé e Q9 que { I 2, I 2 } Z. Fialemet : Z { I 2, I 2 }. a 1i. a i. Partie III Questio 13 I Q U 0 U + QV QW Si Q, U, V, W sot quatre matrices de M,. 0 I V W V W Comme D est iversible, pour que ceci soit égal à M, il sut que V C, W D, Q BD 1, U A BD 1 C. Questio 14 D'après Q8, ( D ) B ( B ) D 0, doc, puisque D (et doc D ) est iversible, BD 1 ( D ) 1 B (D 1 ) B (BD 1 ), doc BD 1 est symétrique. ( ) I BD D'après Q13, dét (M) dét 1 A (BD 1 ) C 0, puis, d'après le derier 0 I C D résultat des prélimiaires, dét (M) dét (A (BD 1 ) C) dét (D). Mais ue matrice carrée et sa trasposée ( ot même ) détermiat, doc dét (A (BD 1 ) C) dét A C (BD 1 ), doc, comme BD 1 est symétrique, dét (M) dét ( A C (BD 1 ) ) dét (D) dét (( A ) D ( C ) B ). oujours d'après Q8, ( D ) A ( B ) C I, doc, e trasposat, ( A ) D ( C ) B I, 4
doc dét (M) dét (I ), doc dét (M) 1. Questio 15 O s'ispire de la preuve de l'orthogoalité des sous-espaces propres d'u edomorphisme symétrique. L'hypothèse de o-iversibilité de Q est sas importace ici, elle e semble être là que pour doer ue idée pour la questio 17. Idem pour l'hypothèse de o-ullité de V 1 et V 2. ( ) ( D'ue part, QV 1 s 1 P V 1, doc (QV 1 QV 2 ) s ) 1 V 1 P ( ) ( QV 2. D'autre part, QV 2 s 2 P V 2, doc (QV 1 QV 2 ) s ) ( 2 V 1 Q P V 2. Mais P ) Q ( ) ( est stymétrique, doc V ) 1 P QV 2 ( ) ( V ) 1 Q P V 2. E soustrayat membre à membre les deux égalités précédetes, o obtiet (s 1 s 2 ) ( ) ( V ) 1 P QV 2 0, doc, comme s 1 s ( ) ( 2, V ) 1 P QV 2 0, doc (QV 1 QV 2 ) 0. Questio 16 Soit V u élémet de E apparteat à ker B ker D. A B 01 O peut eectuer le produit par blocs, où 0 C D V 1 désige le vecteur ul de E, et il BV 01 vaut. DV 0 1 01 Aisi, M est iversible puisqu'élémet de Sp 2, et M est ul, doc V 0 V 1. Comme 0 1 appartiet au oyau de tout edomorphisme de E, o a bie prouvé que ker B ker D{0 1 }. Questio 17 E teat compte des remarques faites au 15, la o-ullité des vecteurs DV i 'iterviet que das la coclusio de ce raisoemet. Soit i 1, m et V E pour lequel (D s i B) V 0 1. Alors DV s i BV et s i est o ul, doc si DV est ul, alors BV est ul, doc V ker B ker D, doc, d'après Q16, V est ul. Mais V i est o ul, doc DV i est o ul. D'après Q8, ( D ) B ( B ) D 0, doc ( B ) D est symétrique et D o iversible. Mais les vecteurs DV i sot tous o uls, doc, d'après la questio 15, ils sot deux à deux orthogoaux. la famille (DV i ) i 1,m est doc formée de vecteurs o uls deux à deux orthogoaux, doc est libre. Questio 18 Si s 1,, s m sot des réels deux à deux disticts pour lesquels D s 1 B,..., D s m B sot o iversibles, alors il existe des vecteurs V 1,..., V m o uls pour lesquels (D s 1 B) V 1,..., 5
(D s m B) V m sot uls. D'après la questio 17, la famille (DV i ) i 1,m est doc ue famille libre de vecteurs de E. or E est de dimesio, doc m. Il existe doc au plus réels s pour lesquels D sb est o iversible, doc il existe ue iité de réels α pour lesquels D αb est iversible. Questio 19 O se laisse guider par l'éocé : où, hormis das Q18, u réel α apparaît-il? A B O cosidère ue matrice M de Sp C D 2, A, B, C, D état quatre blocs d'ordre. Si D est iversible, alors, d'après Q14, dét (M) 1. Sio, o choisit pour α u des réels mis e évidece das Q18. D'après Q2 et Q5, K (α) M Sp 2. A B Mais K (α) M, et αb + D est iversible, doc, d'après Q14, αa + C αb + D dét (K (α) M) 1. Aisi, dét (K (α)) dét (M) 1. Or dét (K (α)) 1, doc, à ouveau, dét (M) 1. O a doc bie motré que le détermiat de tout élémet de Sp 2 est 1. 6