TS Exercices sr les sites () Soit la site défiie sr * par Soit e site défiie sr Tradire sos la forme d e phrase qatifiée la propriété «coverge vers» O cosidère e site défiie sr Tradire e termes de limites lorsqe c est possible les propositios sivates : ) tot itervalle overt coteat cotiet tos les termes de la site por assez grad ) l itervalle ] 5, ;,99[ cotiet tos les termes d idice ) tot itervalle de la forme ] ; A] (où A est réel) cotiet tos les termes de la site por assez grad Soit la site défiie sr par Détermier etier atrel N tel qe si > N, alors ; Soit la site défiie sr * par Détermier etier atrel N tel qe si > N, alors O porra tiliser l éqivalece : ; ; Détermier la limite de la site si O cosidère la site défiie sr par so premier terme récrrece por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : ) Détermier le ses de variatio de la site ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de Jstifier qe l < et qe l l E dédire la valer de l coverge tel qe et la relatio de O cosidère la site défiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel e ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : ) Détermier le ses de variatio de la site ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de coverge Jstifier qe l le l (admis à partir de l aée scolaire -) E dédire la valer de l 5 Soit la site défiie sr * par,99 ;, Détermier les etiers atrels tels qe O porra tiliser l éqivalece :,99 ;,, (Revoir la caractérisatio d itervalle fermé boré par cetre et rayo à l aide de la valer absole) Détermier das chaqe cas la limite de la site ) défiie sr par ) 7 O cosidère la site défiie sr par Détermier la limite de la site 8 Soit la site défiie sr par Détermier la limite de la site défiie sr par si 9 Por tot etier atrel, o pose S Doer e expressio simplifiée de S sos forme factorisée ; e dédire la limite de la site S Por tot etier atrel, o pose : ) Calcler,, ) Por tot etier atrel, démotrer l égalité ) Le bt de cette qestio est de détermier e formle simplifiée de S O écrit l égalité le cadre ci-dessos : por,,, (o ) et o fait la somme membre à membre comme das Recopier ce cadre et barrer e diagoale les termes qi s alet das la somme (méthode par «télescopage» o par «domios additifs») E dédire qe ) Détermier lim
Por tot etier atrel, o pose (la somme commece por = ) ) Qel est le ses de variatio de la site? ) Démotrer, qe por tot etier atrel, o a ) O écrit l iégalité por,,, et o fait la somme membre à membre des iégalités obtees comme das le cadre ci-dessos (o appliqe la règle d additio des iégalités : «O pet additioer membre à membre des iégalités de même ses») : Recopier ce cadre et barrer e diagoale les termes qi s alet (pricipe des domios additifs o télescopage) E dédire qe et qe est majorée ) Démotrer à l aide des qestios précédetes qe la site est covergete (o e demade pas de détermier la limite) 5 Soit et v les sites défiies sr par la doée de lers premiers termes et v v v relatios de récrrece et v v est géométriqe ; doer sa limite ) Démotrer qe la site ) Détermier le ses de variatio des sites ) Démotrer qe les sites et et v v sot adjacetes ) Démotrer qe la site v 5 ) E dédire la limite comme des sites Soit est costate et la site défiie sr par Détermier lim 7 Soit la site défiie sr * par Détermier lim l v e foctio de et v v et les 8 Soit la site défiie sr par Détermier etier atrel N tel qe si N, alors 9 Soit la site défiie sr par Soit A réel strictemet positif fixé O cherche etier atrel N tel qe si N, alors A Parmi les propositios sivates idiqer celle qi coviet : N E A N E A N Rappel de otatio : E A Por tot réel x, E(x) désige la partie etière de x (c est-à-dire le pls grad etier iférier o égal à x) Soit la site défiie sr par Soit A réel strictemet positif fixé O cherche etier atrel N tel qe si N, alors A Parmi les propositios sivates idiqer celle qi coviet : l A N E l Soit la site défiie sr par l A N E l Détermier etier atrel N tel qe si N, alors Soit la site défiie sr * par ) Détermier la limite de la site ) Détermier etier atrel N tel qe si > N, alors ; ; l A N E l O cosidère la site défiie sr par so premier terme 7 et la relatio de récrrece por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : ) Détermier le ses de variatio de la site ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de coverge Jstifier qe l et qe l l E dédire la valer de l
Corrigé O dit qe la site coverge vers por exprimer qe tot itervalle overt I coteat cotiet tos les termes à partir d certai idice ) lim ) o e pet rie dire ) lim N Soltio détaillée : lim Détermios etier atrel N tel qe si > N, alors ; ère faço : e tilisat la racie cbiqe d réel e faço : sas tiliser la racie cbiqe d réel * Por la racie cbiqe, o porrait travailler sr (cf corbe) mais sellemet, a lycée, o travaille pltôt sr N Soltio détaillée : * lim Rappel : Soit a réel strictemet positif O a : X a a X a Doc e posat * N, si > N, alors ; Qelqes rappels sr la racie cbiqe d réel : (atremet dit si (car la foctio «cbe» est strictemet croissate sr ), alors ; ) ; Doc e posat (o a > doc > ) N, si > N, alors ; (atremet dit si, alors ; ) Por tot réel a positif o l (e fait o porrait predre a réel * ), il existe iqe ombre réel x tel qe x a Ce réel x est appelé la racie cbiqe de a et est oté a La racie cbiqe d ombre pet se calcler à l aide de la calclatrice e tilisat exposat fractioaire e tilisat l égalité qi sera jstifié pls tard : a a lorsqe a > Les propriétés algébriqe de la racie cbiqe sot les mêmes qe celles de la racie carrée, alors,99 ;, 5 Si Soltio détaillée : * lim O démotre qe la foctio «racie cbiqe» est strictemet croissate sr [ ; + [ La foctio «racie cbiqe» est la bijectio réciproqe de la foctio «cbe» de [ ; + [ das [ ; + [
,99 ;,,99,,,,,,,,, (car ),,99 ;,,99,,99,,, tojors vrai,, ) Détermios lim Lorsqe ted vers +, o recotre e FI d type Or doc lim Par coséqet lim 7 lim (FI, réécritre et limite de sites géométriqes) Coclsio : Les etiers atrels tels qe,99 ;, O a e F I das chaqe cas O trasforme chaqe expressio ) Détermios lim sot tos les etiers atrels spériers o égax à Or doc lim O pet observer qe la site a comportemet oscillat : les termes d idice pair sot tos positifs et les termes d idice impair sot tos égatifs O a la représetatio graphiqe sivate : Soltio détaillée : Détermios lim lim car doc par limite d qotiet lim lim car Méthode : O met e facter les termes prépodérats (c est-à-dire les termes qi tedet le pls vite vers + ) a mérater et a déomiater (por les sites, o lève les FI de la même maière qe por les foctios) 8 lim (théorème des gedarmes) Soltio détaillée : si
La site (si ) admet pas de limite doc por détermier la limite de la site ( ) o procède par comparaiso (e tilisat le théorème des gedarmes) O a : Doc si Or doc (car ) lim lim Doc d après le théorème des gedarmes, o a : lim 9 S (formle sommatoire por les sites géométriqes ; bie observer cette formle factorisée) ; lim S car Soltio détaillée : lim X doc par limite d e composée site-foctio, lim si X si X La site coverge vers Étde d e site récrrete ( ) lim ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : Por, o défiit la phrase P() : Iitialisatio : S Or doc (somme des termes d e site géométriqe de raiso lim O e dédit qe lim S et de premier terme ) Vérifios qe P() est vraie Par hypothèse de défiitio de la site, o a D où P() est vraie Hérédité : Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : (par hypothèse de récrrece) car la foctio «carré» est strictemet croissate sr l itervalle [ ; +[ Doc Par site, Doc P( + ) est vraie Coclsio : La limite de la site est égale à Soltio détaillée : * si Détermios lim si (composée site-foctio) O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel O e dédit qe por tot etier atrel, o a : La site ( ) est défiie par récrrece O e dispose pas de l expressio explicite de so terme gééral Il est doc pas possible de démotrer ce résltat atremet q e faisat e démostratio par récrrece
) Détermios le ses de variatio de la site ère méthode : méthode par différece (c est la première méthode à laqelle il fat peser lorsqe l o doit étdier le ses de variatio d e site) O «calcle» la différece O factorise cette différece pis o fait l étde d sige (o aalyse le sige de la différece) e démostratio par récrrece Or d après la qestio ) Doc Comme et O e dédit qe, o pet dire qe soit Coclsio : La site est strictemet décroissate à partir de l idice e méthode : Comme tos les termes de la site sot strictemet positifs d après la qestio ), o e dédit qe la site est strictemet décroissate à partir de l idice ) Dédisos-e qe la site coverge Das la qestio ), o a démotré qe Das la qestio ), o a démotré qe la site doc la site Or tote site décroissate miorée coverge (théorème d cors) O e dédit qe la site coverge est miorée par est strictemet décroissate à partir de l idice O e dit pas qe la site ( ) coverge vers Ce sera le bt de la qestio ) O marqe jste qe la site ( ) coverge O est pas e mesre de préciser la limite : la site ( ) pet coverger vers ombre strictemet positif ) l lim Jstifios qe l < et qe l l O sait qe la limite l est miorat des termes de la site (car la site est décroissate) Doc l Or doc l < Soit etier atrel fixé O a : d après la qestio ) Doc e mltipliat les dex membres de cette iégalité par ( d après la qestio )), o obtiet : Or Doc lim l car lim = l (la site coverge vers l) et les termes de la site les mêmes qe cex de la site à l exceptio d premier terme) l (car * ) sot O a doc Coclsio : La site est strictemet décroissate à partir de l idice e méthode : méthode par qotiet (cette méthode par qotiet marche très bie ici ; ce est cepedat pas la méthode à laqelle o doit peser e premier ; e effet, cette méthode écessite de vérifier d abord qe tos les termes de la site sot strictemet positifs) Or d après la qestio ) Doc Ce poit pet être détaillé aisi : lim l par propriété d opératio algébriqe (limite d prodit e écrivat cotiité de la foctio «carré» Par icité de la limite d e site (il e pet y avoir q e sele limite), o a : l l () Dédisos-e la valer de l () l l l ( l) = l = o l = l = o l = Or l < ) o par
Doc l = Coclsio : lim O pet doc dire coverge vers Complémet : O pet représeter les termes de la site récrrete (procédé habitel) O visalise graphiqemet la covergece de vers Por démotrer cette cojectre (c est-à-dire qe ), o procède par récrrece La formle explicite d terme gééral permet évidemmet de retrover de maière très simple la covergece de la site vers est la limite de la site C est miorat qi est jamais atteit et c est le pls grad de tos les miorats Étde d e site récrrete e O a tracé la corbe C d éqatio y x et la droite d éqatio y = x Représetatio graphiqe Il est coseillé de programmer la site sr la calclatrice e preat e valer de et de faire apparaître la costrctio des termes C ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, Por, o défiit la phrase P () : Iitialisatio : j Vérifios qe P () est vraie par hypothèse doc P () est vraie Hérédité : O i Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O pet aisi facilemet observer le comportemet de la site (mootoie et covergece) O pet assi tiliser la calclatrice por visaliser la site e mode escalier o web (cf ttoriel) Formle explicite d terme gééral de la site O pet commecer par faire e première recherche 8 Aisi, «par dédctio», il semble atrel de proposer la formle sivate : O a : De pls, o a : e Doc, par sige d prodit, Doc P ( + ) est vraie Coclsio : Par le théorème de récrrece, o e dédit qe, por tot etier atrel, la phrase P () est vraie c est-à-dire qe por tot etier atrel, o a : ) Détermios le ses de variatio de la site ère méthode : Méthode por étdier le ses de variatio de la site : o étdie le sige de la différece e e O étdie le sige de chac des dex facters d prodit er facter : d après la qestio ) o sait qe
e facter : o procède par iégalités sccessives Doc d où e O obtiet doc : e soit e d où e Par coséqet, la site est strictemet décroissate à partir de l idice e méthode qi marche très bie ici : méthode par qotiet car tos les termes de la site sot strictemet positifs e e Or doc d où e d où Or la site est à termes strictemet positifs e soit e Par coséqet, la site est strictemet décroissate à partir de l idice ) Dédisos des qestios précédetes qe la site coverge D après la qestio ), la site est miorée par D après la qestio ), la site est strictemet décroissate Or tote site décroissate et miorée coverge Doc la site coverge Attetio, o e pet pas dire à ce stade-là q elle coverge vers C est le bt de la qestio ) de trover la limite de la site ) l = lim Jstifios qe l le l O sait qe l est la limite de la site À partir de là, o va exprimer de dex maières différetes la limite de ce qi va os permettre de trover e égalité vérifiée par l D e part, lim l de maière évidete (car la site vers la même limite pisq elle a les mêmes termes mais décalée de ) D atre part, coverge vers l doc la site l lim lim e le (car la foctio f : x xe x est cotie sr doc coverge lim lim f f l le l ) l le l (car e ) Par icité de la limite d e site, l () Dédisos-e la valer de l () l le l l l e l o e l l o l l l = o l l = Coclsio : lim coverge vers le l Étde d e site dot le terme géérale est défii par e somme ( ) est défiie par e sommatio : est pas la somme des termes d e SA i e SG (i e site arithmético-géométriqe) Il y a pas de formle sommatoire d cors qe l o pisse appliqer O dit qe est e série Les séries sot étdiées das l eseigemet spérier O pet retrer la site sr calclatrice soit par récrrece (maladroit) soit pltôt e tilisat la «foctio somme» comme sit por la calclatrice TI : o tape : somme(seq(/(k*(k+),k,,) O se place e mode «site» et das O otera qe le mot «seq» est remplacé par le mot «site» si la calclatrice est e fraçais Attetio à la sytaxe : il e fat omettre ace parethèses, écrire le sige de mltiplicatio de la calclatrice O retre Mi = pisqe la site est défiie à partir de l idice O pet alors faire apparaître le tablea de valers o bie le age de poits ) Calclos,,
O dit qe l o «développe» le symbole Das le cas gééral, Remarqe : ; etc Attetio à e pas commettre la fate qi cosiste à écrire : ) Démotros qe * ère méthode : * e méthode : * ) Détermios e expressio simplifiée de Cas particlier por = : errer Qad o additioe membre à membre totes ces iégalités, tos les membres de gache formet e somme qi est égale à la somme qi défiit (grâce à l expressio de ) Ce e sot pas de égalités séparées mais des égalités q o va totes additioer membre à membre Les poitillés sot là por sigifier qe l o a pas écrit totes les égalités (o e pet pas pisqe l o a pas la valer de ) Por écrire e somme e extesio, o est obligé d tiliser des poitillés Si o cotie, o observe pricipe d alatio des termes d e égalité avec la sivate (le e terme d e égalité s ale tojors avec le er d sivat) Ce qi permet de bie compredre le pricipe des domios additifs Qad o additioe les membres de droite, il y a des termes qi s alet dex à dex O e rédige pas vraimet O écrit : O obtiet aisi e formle sommatoire (o a défii de maière explicite e foctio de ) O pet retrover cette formle sommatoire grâce à logiciel de calcl formel Ue atre faço de faire le télescopage cosiste à travailler directemet sr les sommes (chagemet d idice : traslatio d idice) ) Détermios lim
O tilise l expressio simplifiée de détermiée à la qestio précédete O e pet e effet pas détermier la limite de la site somme) à partir de l expressio origiale (défiie par e lim doc lim O pet doc dire qe la site coverge vers O a doc lim O dit qe la somme de la série de terme gééral est égale à et l o pet s atoriser à écrire Cette écritre symboliqe sera beacop tilisée das le spérier Elle est à compredre das le ses d e limite Commetaire : O a e espèce de passage de l ifii a fii a ses où l o a e somme ifiie de termes qi coverge vers e limite fiie Comme das l exercice précédet, o pet retrer la site sr calclatrice e tilisat la «foctio somme» comme sit por la calclatrice TI : o tape : somme(seq(/k^,k,,) O se place e mode «site» et das Attetio à la sytaxe : il e fat omettre ace parethèses, écrire le sige de mltiplicatio de la calclatrice O retre Mi = pisqe la site est défiie à partir de l idice O pet alors faire apparaître le tablea de valers o bie le age de poits ) Détermios le ses de variatio de la site O procède par différece Or Tos les termes de la e somme se retrove das la ère somme doc les termes s alet d où La site est strictemet croissate à partir de l idice ) Démotros, qe por tot etier atrel, o a ( ) est la somme des iverses des carrés des etiers de à Il existe pas de formle sommatoire por cette site ( logiciel de calcl formel e pet pas simplifier cette somme) Soit etier atrel spérier o égal à O a : Or d où Doc comme les dex membres sot strictemet positifs, par passage à l iverse, o obtiet : d où ) Dédisos-e qe et qe est majorée
Doc O a p additioer membres totes les iégalités car elles ot le même ses (*) La site v défiie par O e pet pas dire qe pas de v Atre formlatio éqivalete : Défiitio : État doées dex sites v est e site majorate est majorat de la site est pas majorat de la site car ce est pas ombre fixe qi e déped pisq il déped de et v défiies sr, o doit qe la site v majore lorsqe O observera qe la otio (o qe la défiitio d e) de site majorate est idépedate de tote mootoie L expressio permet d obteir de maière immédiate majorat de cette site et doc de la site Remarqe : O pet démotrer par diverses méthodes qe cette limite est égale à, résltat qi e maqe pas de srpredre a premier abord est évidemmet la valer exacte de la limite de cette site résltat valable iqemet por cette site, bie sûr O porra oter qe est e site de ratioels (évidet car est défii comme e somme de ratioels alors qe ) O e demade pas de calcler cette limite de totes faços, e Termiale, o e a pas les moyes Cette site est à relier à la site très célèbre q o retrove sovet das l eseigemet spérier : site S dot le terme gééral est la somme des iverses des carrés des etiers atrels Cette site est défiie sr S Cette site est défiie cette fois à partir de l idice O pet démotrer (la démostratio est cepedat pas d ivea de termiale) qe S ted vers ted vers +, atremet dit qe o ecore qe la somme des iverses des carrés des etiers atrels (e démarrat de ) ted vers lorsqe doc d où Ce résltat permet de trover la limite de la site Cette site sera reprise das le spérier avec la otio de série O e dédit, par trasitivité, qe (**) Doc est majorée par (*) O pet additioer membres à membres des iégalités de même ses Si o e iégalité et e iégalité stricte, alors o pet écrire e iégalité stricte (**) O porrait mettre e iégalité stricte, pe importe E effet, e iégalité stricte etraîe e iégalité large (la réciproqe est fasse) ) Démotros qe la site est covergete La site est croissate et majorée par doc d après le théorème sr les sites croissates majorées (à citer : «Tote site croissate majorée coverge»), elle coverge vers e limite l O pet dire l et même qe l car le premier terme de la site est O retrove des résltats similaires por totes les pissaces paires : 8 ; ; ; 9 8 95 95 9 ; etc 85875 85 8 9555 U tel résltat a, e revache, pas été démotré à ce jor por les pissaces impaires Le mathématicie fraçais Apéry a cepedat démotré e 97 qe C où C est réel irratioel O pet trover des valers approchées de l e calclat qelqes valers de
Par exemple, avec la calclatrice TI 8, o obtiet por approchée de l 5 Étde de dex sites imbriqées Réposes : ) La site est croissate et la site Soltio détaillée : et v est décroissate v : sites défiies sr par lers premiers termes et v v et v v Il fat remarqer qe v et v l affichage :,9997 qi doe e valer sot bie des sites v et les relatios de récrrece Par coséqet, est croissate à partir de l idice Même raisoemet por v : v v v v v v v Or v v doc v v Doc v v ) Démotrer qe la site v v v Doc la site v est géométriqe ; doer sa limite v v est géométriqe de raiso Par coséqet : v v Or doc v lim ) Détermier le ses de variatio des sites et v v Or v v doc v v O e dédit qe v D où v est décroissate à partir de l idice ) Démotrer qe les sites et est croissate * v est décroissate lim v Doc et v sot adjacetes v sot adjacetes * Por des sites adjacetes, la stricte mootoie a pas d itérêt, ce qi expliqe q o e dise pas qe est strictemet croissate i qe v est strictemet décroissate ) Démotros qe la site v est costate Méthode : Por démotrer q e site w est costate, o démotre qe w w o ecore qe w w
O démotre qe v v v v v v v 5 ) Dédisos-e la limite comme des sites et Comme la site v est costate, v v v e foctio de et v Méthode : O porrait tot assi bie écrire v v (o v v ) Simplemet, et v fot partie des doées iitiales des sites O pet le faire avec importe qoi, mais il est pls atrel de le faire avec et v lim et lim O e dédit qe lim doc lim O pet s iterroger sr la sigificatio d résltat : commet est-ce possible? O sait qe les sites et v sot adjacetes Par coséqet, elles coverget vers la même limite Soit l la limite comme ax dex sites lim Or la site l et lim v l doc lim v l v v est costate (tos les termes sot égax à v ) doc l v d où l La limite comme des sites et v v est égale à lim (techiqe de la qatité cojgée) Soltio détaillée : Détermios lim O recotre e forme idétermiée d type Si o représete les sites de terme gééral et par des ages de poits, o pet aisémet observer qe la différece etre et «rétrécit» et ted vers lorsqe ted vers + Cela correspod à e phéomèe de corbes asymptotes qe os étdieros pls tard : les corbes représetatives des foctio x x et x x sot asymptotes e + Étde d e soltio erroée : * Ue exploratio mériqe pet s avérer jdiciese por trover le résltat Elle est e revache isffisate por coclre (la proximité des termes, e doe pas de coclsio valable)
lim doc o recotre e forme idétermiée d type lim Si o met e facter, o «retombe» sr e FI d type Variate de cette soltio erroée : * Remarqe : D après la calclatrice, o a :, (petits poits idispesables, o écrit le débt de l écritre décimale de ; totes les décimales écrites sot jstes) Por calcler,, il y a plsiers possibilités : o va das MATH pis o tilise la «foctio» permettat de calcler la racie cbiqe d ombre o tape : ^ (/) (e pas oblier les parethèses) O choisit N = Doc si, alors e sera jamais égal à mais ce est pas grave O pet écrire lim mais le + e présete pas d itérêt 9 O pet tiliser logiciel de calcl formel 7 * l lim (limite de référece croissace comparée por les foctios : l x lim x x lim (limite de référece) Détermios etier atrel N tel qe si N, alors A A A A 8, (petits poits idispesables, o écrit le débt de l écritre décimale de ; totes les décimales écrites sot jstes) O choisit N = Soltio détaillée : O fait schéma E A A E A lim Détermios etier atrel N tel qe si N, alors er cas : A est carré parfait Das ce cas, o pet predre N A e cas : A est pas carré parfait Das ce cas, o pet predre N E A Das les dex cas, o pet predre N E A
O pose N E A Remarqes : O pred la partie etière car A est pas forcémet etier () A l l A l l A l A (pas de chagemet de ses das l iégalité car l ) l Si N, alors A O pet assi écrire : E A Exemple : Preos A Si A est etier, N E A A N (e effet, por tot réel x, o a : x x D après la calclatrice, o a :, 77 Doc N Atre formlatio des remarqes : Remarqes : E E ) er cas : l A l est etier atrel Das ce cas, o pet predre l A N l e cas : l A est pas etier atrel l l A Das ce cas, o pet predre N E l l A Das les dex cas, o pet predre N E l O fait axe E l A l A l A l E l l A a ace raiso d être etier Remarqe : O pred E A par sécrité ; o porrait tot atat predre E A E A, Si l A l est etier c est-à-dire si A est de la forme p l A l A avec p etier atrel, l etier N E l l coviet l A Le résltat précédet ( N E ) est ecore valable mais N e sera pas le pls petit etier atrel l lim (car > ) A > fixé l A O pose N E l Si N, alors A Commetaires : Détermios etier atrel N tel qe si N, alors A () Attetio : l A A l l
a La propriété d cors sr la foctio logarithme épérie est l l a l b valable por tos réels a et b b strictemet positifs lim car Cherchos etier atrel N tel qe si N, alors ; () () * l * l (car la foctio logarithme épérie est strictemet croissate sr ) l l l l (o a : l l par propriété d logarithme épérie) l l l l l l D après la calclatrice, l,877 l Si 7, alors ; * O tilise la propriété sivate de la valer absole à coaître : a a a * ) Détermios la limite de la site La site est borée etre et * D où * O a : lim et La site coverge vers Versio fasse : lim car o O appliqe le théorème des gedarmes O procède aisi car la site a pas de limite lim doc d après le théorème des gedarmes, lim or lim ) Détermios etier atrel N tel qe si > N, alors ; ; O pet doc predre N Atre piste : distiger le cas pair ; impair Cette méthode est péible à traiter Si, alors ;
Étde d e site récrrete 7 O e pet pas détermier de formle explicité de e foctio de Il est itéressat de représeter la site sr la calclatrice graphiqe (mode web o escalier) C est même le premier travail à faire ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : Por, o défiit la phrase P() : Iitialisatio : Vérifios qe P() est vraie 7 par hypothèse d où doc P() est vraie Hérédité : Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : Doc D où soit Doc P ( + ) est vraie Coclsio : Par le théorème de récrrece, o e dédit qe, por tot etier atrel, la phrase P () est vraie c est-à-dire qe por tot etier atrel, o a : ) Détermios le ses de variatio de la site Por détermier le ses de variatio de la site ( ), o pet : - tiliser la méthode de différece - tiliser la récrrece ère méthode : méthode par différece (e tilisat le résltat de la qestio précédete) (techiqe de la qatité cojgée por les racies carrées) (factorisatio d polyôme x x évidete à l aide des racies et ) O tilise le résltat de la qestio ) : O a doc D où (règle des siges d qotiet) O e dédit qe la site est strictemet décroissate à partir de l idice e méthode : par récrrece O défiit la phrase P () : Variate de la ère méthode : O compare et (sachat qe ) Qad o dex expressios de même sige, o pet comparer lers carrés Les racies d polyôme x x sot et Or doc (règle d sige d triôme ; est à l extérier de l itervalle des racies) Doc D où Or et sot tos les dex strictemet positifs D où (dex ombres positifs sot ragés das le même ordre qe lers carrés) ) Dédisos des qestios précédetes qe la site coverge D après la qestio ), la site est miorée par D après la qestio ), la site est strictemet décroissate
Or tote site décroissate et miorée coverge Doc la site coverge Attetio, o e pet pas dire à ce stade-là q elle coverge vers C est le bt de la qestio ) de trover la limite de la site ) l lim lim Par icité de la limite d e site, l l () Dédisos-e la valer de l d e part l d atre part l (admis) Jstifios qe l O sait qe la limite d e site décroissate est miorat de la site et qe c est le pls grad des miorats O sait qe est miorat de la site doc l est pls grade qe soit l Atre faço : O raisoe par l absrde () l l l l (o retrove le polyôme cosidéré à la qestio )) l = o l = Comme l, o e dédit qe l = Coclsio : lim coverge vers Si l était strictemet iférier à, o porrait trover itervalle overt I coteat l mais e coteat par Il existerait etier atrel N tel qe si N, I (défiitio de la limite) Doc serait strictemet iférier à ce qi est impossible doc l O pet évoqer le fait qe est miorat strict de la site Néamois, o pet selemet dire qe la limite est spériere o égale à O dit qe l iégalité stricte e passe pas à la limite Remarqe : O pet assi formler l l e disat qe l est soltio de l éqatio x x Cette éqatio est e éqatio irratioelle O pet résodre ce type d éqatio par éqivaleces (mais o a pas appris à le faire) o par implicatio (ce qe os avos fait ici) Das le TPLI (théorème de passage à la limite das e iégalité), o pet jste dire q elle cocere des iégalités larges U cotre-exemple est fori par la site de terme gééral Tos les termes sot strictemet positifs Néamois, la limite est égale à Jstifios qe l l O sait qe l est la limite de la site À partir de là, o va exprimer de dex maières différetes la limite de ce qi va os permettre de trover e égalité vérifiée par l D e part, lim l de maière évidete (car la site vers la même limite pisq elle a les mêmes termes mais décalée de ) coverge vers l doc la site coverge D atre part, lim lim l (car la foctio f : x x est cotie sr so esemble de défiitio doc lim f f l l )