I Eercices 1 Limites sans indétermination Calculer les ites des fonctions suivantes, et préciser lorsque la courbe représentative de f (notée (C f )) admet une asymptote horizontale ou verticale. 1. f() 2 + 2 3 en +. 2. f() 3 6 2 + 1 en. 1 3. f() en +. ( + 1) 2 4. f() + 1 en +. 5. f() ( + 3) 5 en +. 6. f() ( + 3) 5 en. 7. f() (4 2) 2 en +. 8. f() 5 2 1 en. 9. f() 2 3 + 1 en 2. 10. f() 3 2 en 2 par valeurs inférieures. 11. f() 2 3 1 12. f() 2 3 1 en 1 par valeurs inférieures. en 1 par valeurs supérieures. 13. f() 5 en 2 par valeurs inférieures. 4 2 14. f() 5 4 en 2 par valeurs supérieures. 2 Réponses 2 Limite en l infini d un polynôme ou d une fraction rationnelle Calculer les ites des fonctions suivantes, et préciser lorsque la courbe représentative de f (notée (C f )) admet une asymptote horizontale. 1. f() 3 2 + 3, en +. 2. f() + 3 en. 2 1 3. f() 4 + en. 4. f() 2 2 en. 2 + 3 5. f() 2 5 en +. + 2 6. f() 4 24 en. 2 ( + 1) Aide 2 (3 + 1)2 7. f() en +. Réponses (2 3) 3 L.BILLOT 1 DDL
3 Limites indéterminées Pour chaque ite il faut trouver la bonne méthode. C est difficile au début, puis avec l epérience... Calculer les ites suivantes 1. + sin. sin 2.. 3. 3 + 1. cos 1 4.. 0 + 1 1 5.. 0 6. 2 1 2. 7. 22 5 + 2. 2 2 5 3 8.. 3 2 9 9. 0 sin. 3 5 10. 4 + sin. 11. 2 5 cos. 4 Asymptotes obliques Aide Réponses 1. On considère la fonction définie sur R { 2; 2} par : f() 23 2 8 + 7, et 2 4 on appelle (C f ) sa courbe représentative dans un repère du plan. (a) Montrer que la droite ( ) d équation y 2 1 est asymptote à la courbe en +. (b) Étudier les positions relatives de (C f) et de ( ). 2. On considère la fonction f définie sur R { 2} par f() 2 3. On note + 2 (C f ) sa courbe. (a) Déterminer des réels a, b et c tels que : f() a + b + c + 2. (b) En déduire que (C f ) admet une asymptote en et donner l équation de cette asymptote. 3. On donne la fonction f définie sur ] ; 0] [4; + [ par : f() 2 4. Montrer que la droite d équation y 2 est asymptote à la courbe représentative de f en + 4. (a) Montrer que la courbe représentative de la fonction g, définie par g() 3 + 4 2 admet une asymptote oblique en +. (b) Déterminer sur quel ensemble l écart entre la courbe et l asymptote est inférieur à un centième d unité. Aide Réponses L.BILLOT 2 DDL
II Aide 2 Limite en l infini d un polynôme ou d une fraction rationnelle Première méthode : Je mets le terme de plus haut degré en facteur, je simplifie dans le cas d une fraction, puis je calcule la ite. Deuième méthode : J applique une des règles suivantes : La ite en l infini d un polynôme est égale à la ite de son terme de plus haut degré. La ite en l infini d une fraction rationnelle est égale à la ite du quotient de ses termes de plus haut degré. 3 Limites indéterminées Quelques méthodes pour lever une indétermination : Les règles de comparaison de fonctions : inégalités, théorème des gendarmes. Utilisation possible : ites en l infini d une fonction trigo. L epression conjuguée. Utilisation possible : ites avec des sommes ou des différences contenant des racines. à la définition du nombre dérivé. Utilisation possible : ites d un quotient en un point. (avec éventuellement des différences au numérateur et au dénominateur) Factorisation. Utilisation possible : ites en l infini avec des racines, ou ites en un point de fractions. Aide spécifique à chaque question : 1. Comparaison. 2. Comparaison (gendarmes). 3. Epression conjuguée. 4. Nombre dérivé. 5. Nombre dérivé ou epression conjuguée. 6. Factorisation. 7. Factorisation. Attention, si < 0, 2. 8. Factorisation. 9. Nombre dérivé. 10. Comparaison. 11. Comparaison. L.BILLOT 3 DDL
4 Asymptotes obliques Rappel de cours : Soit f une fonction et (C f ) sa courbe représentative, alors les deu propriétés suivantes sont équivalentes : La droite (d) d équation y a + b est asymptote à (C f ) en + ssi (f() (a + b)) 0 La droite (d) d équation y a + b est asymptote à (C f ) en + ssi il eiste une fonction ϕ telle que : f() a + b + ϕ() avec ϕ() 0 (La fonction ϕ représente l écart entre la courbe et la droite.) Même chose si je remplace + par. Méthodes : Si dans le tete on me donne l équation de l asymptote, alors je simplifie l epression de f() (a + b), puis je calcule la ite. Si on ne me donne pas l équation, j essaie de reconnaître la forme a + b + ϕ(). Pour déterminer les positions relatives, j étudie le signe de la différence : f() (a + b). L.BILLOT 4 DDL
III Correction 1 Limites sans indétermination 1. 2. 3. 4. 2 + 2 + 3 3 3 2 + donc 1 1 1 1 ( + 1)2 + donc 2 + 2 3 +. 62 } 1 donc ( + 1) 0. 2 donc 3 6 2 + 1. La courbe (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 0 en +. 1 0 donc + 1. 5. ( + 5), donc ( + 3)5. 6. ( + 3) +, donc ( + 3)5 +. 7. (4 2), donc (4 2)2 +. 8. 9. 10. 5 5 (2 1) + donc donc 2 1 + La courbe (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 0 en. + 1 2 2 2 4 3 6 2 3 3 2 < donc 2 2 3 + 1 1. 2 0 + 2 0 + donc 2 < 2 < La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation 2. donc < 2 3 2. 5 2 1 0. L.BILLOT 5 DDL
11. 12. 13. 14. 2 3 1 < 1 0 2 3 donc < 1 +. < La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation 1. 2 3 1 > 1 0 + 2 3 donc > 1. > La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation 1. 5 5 2 < < 2 4 2 0 donc < 2 5 4 2. La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation 2. 5 5 2 > > 2 4 2 0 + donc > 2 5 4 2 +. La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation 2. 2 Limite en l infini d un polynôme ou d une fraction rationnelle 1. Première méthode ( : f() 3 1 2 + 3 ). 2 3 Or 3 + et (1 2 + 3 ) 2 3 Deuième méthode : 3 2 + 3 3 +. 2. Première méthode ) : f() ( 1 + 3 ( ) 1 + 3 2 1 2 1. ( 1 + 3 ) Or Deuième méthode : + 3 2 1 1 et 2 1 2 1 2. 1, donc f() +. ( 2 1 ) 2, donc f() 1 2. Donc la courbe (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 1 2 en. Remarque : La deuième méthode étant plus rapide, j utiliserais dorénavant celleci dans les calculs. Mais attention : Cette méthode ne s applique qu en + ou - l infini. Cette méthode ne s applique ppas lorsque l on a des fonctions racines, trigonométriques, logarithmes... L.BILLOT 6 DDL
3. 4 + 4 +. 4. 5. 2 2 2 + 3 2 5 2 2 2 2. 2 0. + 2 2 (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 0 en +. 4 2 4 6. 2 ( + 1) 2 4 2 2. 2 4 (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 2 en. (3 + 1) 2 7. (2 3) 9 2 3 8 9 3 8 0. (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 0 en +. 3 Limites indéterminées 1. Pour tout R, sin 1, donc + sin 1. Or 1 +, donc + sin +. 2. Pour tout R, 1 sin 1, donc si > 0, on a : 1 Or 1 1 sin 0 et 0, donc 0. sin 1. 3. Pour tout > 1, 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 + + 1) 3 + + 1 ( 3) ( + 1) 4. 3 + + 1 3 + + 1 Or 3 + et et 4 3 + + 1 0 + 1 +, donc 3+ + 1 + f() f(a) 4. Rappel : si f est dérivable en a alors f (a). a a La fonction cos est dérivable en 0 et sa dérivée est : sin, cos 1 cos cos 0 donc : sin 0 0. 0 0 1 5. La fonction + 1 est dérivable en 0 et sa dérivée est : 1 2 + 1, + 1 1 + 1 0 + 1 1 0 0 0 2 0 + 1 1 2. (1 2 ) 2 12 ) 1 2 (1 12 2 12 2 6. Pour > 0, 2 1 2 Or + et (1 12 2 ) 1, donc 2 1 2. L.BILLOT 7 DDL.
7. Ici est négatif, donc 2. Pour < 0, ) ( ) 2 2 5+2 (2 2 52 +2 2 5 2+2 2 5 + 2. 2 Or et. ( 2 5 2 + 2 ) 2 + 2 > 0, donc f() 8. 3 annule le numérateur et le dénominateur, donc il sont tous les deu factorisables par 3. Pour tout 3, 22 5 3 ( 3)(2 + 1) 2 9 ( 3)( + 3) 2 + 1 + 3. 2 2 5 3 2 + 1 Donc 3 2 9 3 + 3 7 6. 9. La fonction sinus est dérivable sur R et sa dérivée est la fonction cosinus, donc sin 0 sin sin 0 cos 0 1. 0 0 1 3 5 10. Pour tout R, sin 1, donc 4+sin 5 donc et 4 + sin 5 1 5 3 5 4 + sin 3 5 3 5 Or +, donc 5 4 + sin +. 11. Pour tout R, cos 1, donc 2 5 cos 2 5, or 2 5 +, donc 2 5 cos +. 4 Asymptotes obliques 1. (a) Pour tout R { 2, 2}, f() (2 1) 23 2 8 + 7 (2 1)( 2 4) 3 2 4 2 4. (2 4) +, donc (f() (2 1)) 0 et la droite ( ) d équation y 2 1 est asymptote à la courbe en +. (b) J étudie le signe de f() (2 1)) 3 2 4. 2 4 est un trinôme du second degré dont les racines sont 2 et 2. Donc : 3 est positif et la courbe est au dessus de son asymptote sur 2 4 ] ; 2[ ]2; + [ 3 est négatif et la courbe est en dessous de son asymptote sur ] 2; 2[. 2 4 (Les intervalles sont ouverts, car ce sont des valeurs qui annulent le dénominateur.) L.BILLOT 8 DDL
2. (a) Pour tout 2, a+b+ c (a + b)( + 2) + c + 2 + 2 J identifie les cœfficients du numérateur avec ceu de 2 3 a 1 2a + b 1 2b + c 3 a 1 b 3 c 3 a2 + (2a + b) + 2b + c. + 2 + 2, donc f() 3 + 3 + 2., ce qui donne : (b) f() 3+ 3 3, avec + 2 + 2 0 donc (C f) admet la droite d équation y 3 comme asymptote en. 3. f() ( 2) 2 4 ( 2) ( 2 4 ( 2))( 2 4 + ( 2)) 2 4 + ( 2) 4 2 4 + ( 2) Or 2 4 donc 1 4 4 2 4 + ( 2) 0. + et ( 2) +, Donc la droite d équation y 2 est bien asymptote à la courbe représentative de f en + 4. (a) Pour tout R, g() 3 + 4 + 4 4 2 2, et 0, donc la droite 2 d équation y est asymptote oblique en + à la courbe. (b) L écart entre deu courbes est donnée par la valeur absolue de la différence, donc je résous f() 10 2 4 2 10 2 4 10 2 2 2 400 ] ; 20] [20; + [. L.BILLOT 9 DDL