Chpitre éseux ristllins et symétrie d orienttion dns les ristux. Définitions utiles dns le réseu ristllin.. éseu ristllin Définition du réseu ristllin d un ristl Le réseu ristllin d un ristl est un être purement géométrique. Il est onstitué de points de l espe à trois dimensions, ppelés nœuds du réseu, et obtenus à prtir d un nœud origine rbitrire en lui ppliqunt l ensemble des trnsltions T rtéristiques du ristl. Les trnsltions T sont lors ppelées trnsltions de réseu. Dns le réseu ristllin, un des nœuds est hoisi rbitrirement omme origine et le repère, b, défini pour le ristl est onservé pour le réseu. Ainsi, hun des nœuds du réseu est défini pr hune des trnsltions de réseu T = u + vb + w = T uvw ve u, v, w entiers reltifs quelonques qui sont les oordonnées du nœud dns le réseu... ngées ristllines Toute droite pssnt pr deux nœuds du réseu est ppelée rngée ristlline (figure.). Le réseu étnt priori supposé infini, il y une infinité de nœuds régulièrement espés sur une même rngée. Tous les utres nœuds du réseu peuvent être dérits pr des rngées prllèles à l première rngée onsidérée. Le fiseu de rngées insi onsidéré est ppelé une fmille de rngées ristllines.
4 Cristllogrphie géométrique T uvw T uvw Figure.. Fmille de rngées [uvw] d un réseu ristllin. T Une fmille de rngées dns un réseu ristllin ontient don tous les nœuds du réseu. Il y une infinité de mnières de regrouper les nœuds en fmille de rngées. Il y don une infinité de fmilles de rngées dns un réseu ristllin. emrque Au sein d une même fmille de rngées, les rngées sont prllèles entre elles, l période d espement des nœuds sur les rngées est l même pour toutes les rngées de l même fmille. En revnhe, les rngées de l fmille ne présentent ps l même équidistne selon les différentes diretions (T! T, figure.). Indies rtéristiques d une fmille de rngées : Une des rngées de l fmille onsidérée psse néessirement pr le nœud hoisi omme origine :,,. Sur ette rngée, on onsidère le premier nœud à prtir de l origine. Il est repéré pr l trnsltion T uvw et don pr ses oordonnées u, v, w. Toutefois, ette trnsltion T uvw est rtéristique de toute l fmille de rngées puisqu elle donne l diretion de toutes les rngées de l fmille et l période de l réprtition des nœuds sur les rngées. Dns un réseu donné, l onnissne de u, v, w est don suffisnte pour distinguer une fmille de rngées de toutes les utres fmilles. Conventionnellement on désigne une fmille de rngées pr les trois entiers u, v, w disposés entre rohets [u, v, w] et ppelés indies de l fmille de rngées. Ces indies u, v, w sont les oordonnées du premier nœud à prtir de l origine et se trouvnt sur l rngée de l fmille pssnt pr l origine du repère, b,. On prle lors de l fmille de rngées [u, v, w]. Quelques exemples simples de rngées ristllines sont représentés figure. : les rngées orrespondnt ux diretions données pr les veteurs, b,, à svoir les rngées [], [] et [], insi que les rngées [] et [].
éseux ristllins et symétrie d orienttion dns les ristux 5 [] [] b [] [] [] Figure.. Exemples d indies des priniples fmilles de rngées..3. Plns ristllins (ou plns rétiulires).3.. Définition et propriétés Pour introduire ette importnte notion de plns ristllins, il est néessire d en donner une définition puis les priniples propriétés. Trois nœuds non situés sur une même rngée définissent un pln ristllin (ou pln rétiulire). Tous les utres nœuds du réseu peuvent être disposés dns des plns prllèles u préédent. En rison de l périodiité du réseu ristllin, dns une diretion donnée, tous les plns prllèles sont équidistnts. Cet ensemble de plns ristllins prllèles et équidistnts est ppelé une fmille de plns ristllins (ou rétiulires). Un pln rétiulire ontient une infinité de nœuds. L fmille de plns rétiulires onsidérée ontient tous les nœuds du réseu. Il y une infinité de mnières de regrouper les nœuds d un réseu en fmilles de plns rétiulires..3.. Indies rtéristiques d une fmille de plns rétiulires Une fmille de plns rétiulires (prllèles et équidistnts) déoupe des segments égux sur toute droite non prllèle ux plns de l fmille. Dns les trois diretions [], [] et [], il y un nœud à l origine O et un nœud à hune des extrémités des trois veteurs, b et. Des plns de l
6 Cristllogrphie géométrique [] l O h P b k Q b [] [] Figure.3. Définition des indies h, k et l de l fmille de plns rétiulires (hkl). fmille onsidérée pssent don pr O ou pr les extrémités des veteurs, b et. Toutefois (et en générl) d utres plns de l fmille s interlent et déoupent le veteur en h prties égles, le veteur b en k prties égles et le veteur en l prties égles. Le premier pln de l fmille, à prtir du pln pssnt pr l origine, psse pr les points P, Q et (figure.3) ; ils sont tels que : OP = h b OQ = et k O = l Attention! En générl, P, Q et ne sont ps des nœuds! emrques Sur l figure.3, les trois veteurs OP, OQ et O sont orientés dns le sens positif des xes [], [] et []. Toutefois, le premier pln renontré depuis l origine pourrit être tel que l un ou l utre de es veteurs soit orienté dns le sens négtif. On rendrit lors ompte de el en introduisnt un signe négtif dns l entier h, k ou l orrespondnt. Dns le repère Ox, Oy, Oz, le pln pssnt pr P, Q et (figure.3) peut être défini pr une éqution de l forme px + qy + rz =. Les xes Ox, Oy, Oz portent respetivement les veteurs de bse, b et. Ce pln oupe l xe Ox en P ; P est tel que y = z = et px = soit x = OP = /p On de même OQ = /q et O = /r En omprnt ve les expressions de OP, OQ et O érites plus hut, il vient : /p = /h, /q = b/k et /r = /l
éseux ristllins et symétrie d orienttion dns les ristux 7 d où p = h/, q = k/b, et r = l/ Dns le repère Ox, Oy, Oz, l éqution du premier pln de l fmille (hkl) à prtir de l origine est don : hx ky lz + + =. b Pour les différents systèmes ristllins, ette nottion des fmilles de plns à l ide des trois indies h, k et l (dits de Miller) permet en générl de répondre à tous les besoins, y ompris elui impliqunt que les fmilles de plns équivlentes dns une opértion de symétrie soient distinguées pr des indies qui présentent des reltions linéires simples entre eux (voir exerie n 8, p. 9). Toutefois, dns le s d un repère hexgonl, l nottion à trois indies ne onduit ps à des reltions simples entre les indies des fmilles de plns équivlentes dns les opértions de symétrie (figure.4). ( + b) () () O b () () () () Figure.4. En nottion à trois indies, l fmille ( ) devient l fmille ( ) puis l fmille ( ) dns les rottions utour de l xe 3 ou 6 ; en nottion à qutre indies, l fmille ( ) devient l fmille ( ) puis l fmille ( ) dns les rottions utour de l xe 3 ou 6. On pris l hbitude d introduire un qutrième indie i, ombinison linéire des indies h et k et tel que i = (h+k), fin que e soient des permuttions simples des indies qui distinguent des fmilles de plns équivlentes dns les rottions utour de l xe 3 ou 6. Une fmille de plns se note (hkil) (indies de Miller- Brvis) et les fmilles de plns équivlentes dns les rottions utour de l xe 3 ou 6 s obtiennent lors pr permuttion des trois premiers indies h, k et i. Cette nottion à qutre indies est ussi hbituellement justifiée pr l jout d un 4 e xe perpendiulire u veteur dns le système hexgonl, souvent ppelé «3 e xe» (diretion - ^ + bh figure.4). L ensemble des 3 entiers reltifs h, k, l insi défini rtérise pleinement l fmille de plns onsidérée. Ces trois entiers reltifs, disposés entre prenthèses, sont ppelés les indies de Miller de l fmille de plns. On prle lors de l fmille de plns rétiulires (hkl). Ces indies h, k, l sont (ux signes près) les nombres de segments égux déoupés pr l fmille de plns (hkl), respetivement sur les trois veteurs de bse, b,.
8 Cristllogrphie géométrique () () () b Figure.5. Exemples d indies de Miller des priniples fmilles de plns d un réseu ristllin. Quelques exemples simples de plns ristllins sont représentés figure.5 : les plns (), () et (). Dns es deux derniers s, est en fit l intersetion de es plns ve une mille élémentire qui est représentée..3.3. Équidistne rtéristique d une fmille de plns (hkl) L équidistne entre les plns d une même fmille (hkl) est rtéristique de ette fmille dns un réseu donné. Cette équidistne est ppelée distne interrétiulire et est désignée pr d hkl (prononé «d de hkl»). emrque d hkl, dns un réseu ristllin, est une fontion des indies h, k, l et des trois veteurs de bse, b et. Toutefois le lul de l expression de d(h, k, l,, b, ) n est ps effetué diretement dns le réseu du ristl, les luls étnt en générl trop lourds. Une méthode beuoup plus élégnte onsiste à trviller dns le «réseu réiproque» du réseu du ristl se situnt en quelque sorte dns son espe imge (voir nnexe 3, p. 4). Ce type d pprohe est en générl trité dns un ours de diffrtion des ryonnements pr les ristux. Les expressions donnnt d hkl dns les sept systèmes ristllins sont données tbleu.. Tbleu.. Expressions de d hkl dns les sept systèmes ristllins. Système d hkl Monolinique d hkl = sin b h l k. sin b. h. l. os b + + - b.
éseux ristllins et symétrie d orienttion dns les ristux 9 Tbleu.. (suite). Système d hkl Trilinique d hkl = h h b k l os os os b os h os b k os b k os os b l os os b os os os b os + + l os os b os os h b k l Orthorhombique d hkl = h k l + + b Trigonl d hkl = 3 ^ + os - 3 os h ^h + k + l hsin + ( hk + hl + kl)( os - os ) Tétrgonl d hkl = ( h + k ) l + Hexgonl d hkl = 4 ( h + k + hk) l + 3 Cubique d hkl = h + k + l.4. Milles et milles élémentires.4.. Définitions Il est néessire, dns un premier temps, de définir les termes suivnts : Mille : Tout polyèdre (prllélépipède) onstruit sur trois trnsltions de réseu T, T et T 3 est ppelé une mille du réseu. Mille élémentire : Une mille est dite élémentire si les trnsltions T, T et T 3 sont telles que l mille définie ne ontient, en propre, qu un seul nœud. Une telle mille n un nœud qu en hun de ses huit sommets. Chun de es huit nœuds pprtient à hune des huit milles ynt e nœud pour un de ses sommets. Conventionnellement, le nœud est lors ttribué pour /8 à l mille onsidérée (figure.6).
Cristllogrphie géométrique b Figure.6. Une mille élémentire..4.. Volume de l mille élémentire onstruite sur, b, y = ^ / bh $ = _, b, i.4.3. Volume d une mille quelonque V = _ T, T, T3i u v w V = u v w _, b, i = m $ y u3 v3 w3 u i, v i, w i étnt des entiers, m est néessirement un entier. Le volume d une mille quelonque est néessirement un multiple entier du volume de l mille élémentire. L entier m est ppelé multipliité de l mille onsidérée ; il est églement égl u nombre de nœuds pprtennt en propre à l mille onsidérée. Corollire Toutes les milles élémentires d un réseu ristllin ont même volume égl à y et sont telles que m=.. Opértions et opérteurs de symétrie d orienttion dns les ristux et dns les réseux Comme el été montré dns l première prtie, il existe dns les ristux et dns leurs réseux ristllins des éléments de symétrie d orienttion : xes de rottion, plns de symétrie églement ppelés miroirs et entres de symétrie ppelés églement entres d inversion.
éseux ristllins et symétrie d orienttion dns les ristux.. Formlismes utilisés pour représenter les éléments de symétrie d orienttion Deux formlismes, héritges de l histoire, sont utilisés : formlisme de Hermnn- Muguin (dit des ristllogrphes) ; le formlisme de Shoenflies (dit des spetrosopistes). Les tbleux. et.3 (voir p. 6) donnent, pour les deux formlismes, les symboles utilisés pour représenter les prinipux éléments de symétrie d orienttion renontrés dns les ristux et dns les réseux. Tbleu.. Symboles utilisés pour représenter les prinipux éléments de symétrie d orienttion renontrés dns les ristux et dns les réseux ristllins selon les formlismes de Hermnn- Muguin (H.M.) et de Shoenflies. Éléments de symétrie d orienttion Axe de rottion d ordre n n =,, 3, 4 ou 6 Axe inverse d ordre n n = 3, 4 ou 6 Symbole Hermnn-Muguin n n Symbole Shoenflies C n S n Miroir horizontl v h ( à l xe prinipl) m Miroir vertil (// à l xe prinipl) m v v Centre d inversion i.. eprésenttion des opértions de symétrie d orienttion à l ide d opérteurs mtriiels Deux repères peuvent être utilisés : le repère des veteurs de bse, b, dns lequel l opérteur ser noté [A] ; un repère orthonormé i, j, k dns lequel l opérteur représentnt l même opértion ser désigné pr []. Propriété Le réseu ristllin doit demeurer invrint dns une opértion de symétrie d orienttion (de même pour un ristl infini). Il en résulte que toute trnsltion T devient une trnsltion T telle que : T = [A] T = [] T ve T = T
Cristllogrphie géométrique Corollire à l propriété det [A] = det [] = ± Les opérteurs [A] et [] sont don des mtries orthogonles. emrques Si det [A] ou det [] = +, il s git d une rottion propre ou direte (xe de rottion d ordre n =, 3, 4, 6 ou identité). Si det [A] ou det [] =, il s git d une rottion impropre ou indirete (xe inverse de rottion, 3, 4 ou 6, miroir ou entre d inversion).... Ériture des mtries [A] dns le repère des veteurs de bse, b, Si T = u + vb + w et T = u + v b + w et omme T = 6 A@ T u = A u + A v + A 3 w v = A u + A v + A 3 w w = A 3 u + A 3 v + A 33 w d où A A A V S 3W 6A@ = SA A A3W SA 3 A3 A W 33 T X Propriété Comme u, v, w et u, v, w sont des entiers dns le repère, b, lors A ij sont des entiers. Toute opértion de symétrie d orienttion, dns un réseu ristllin ou dns un ristl, peut don être représentée, dns le repère des veteurs de bse, b, pr une mtrie rrée «trois trois», orthogonle, à oeffiients entiers.... Ériture des mtries [] dns un repère orthonormé i, j, k On enore T = Dns ( i, j, k) T T = xi + y j + zk et T = x i + y j + z k ve x = x + y + 3 z y = x + y + 3 z z = 3 x + 3 y + 33 z
éseux ristllins et symétrie d orienttion dns les ristux 3 d où S 6@ = S S T 3 3 V 3W 3W W 33 X..3. Préision sur l nture des oeffiients ij Pour el on onsidère le trnsformé du repère i, j, k dns l opértion de symétrie représentée pr l mtrie [], il devient un pseudo- repère il, jl, kl (figure.7). k i k Figure.7. Trnsformtion du repère i, j, k en il, jl, kl pr l opértion de symétrie. i j j On montre que dns le repère i, j, k l mtrie [] peut s érire : V Sos_ il, i i os_ jl, i i os_ kl, i iw 6@ = Sos_ il, j i os_ jl, j i os_ kl, j iw Sos_ il, ki os_ jl, ki os_ kl, kiw T X C est sous ette forme que l mtrie [] est utile pour étblir ertines propriétés (voir plus loin) et ussi pour risonner en symétrie d orienttion dns le réseu ubique. Il fut jouter que l présente expression de [] est une expression générle pour un repère i, j, k hoisi de fçon quelonque pr rpport à l opértion de symétrie. Nous llons voir que ette expression se simplifie énormément lorsque le repère est hoisi judiieusement. Donnons quelques exemples en ppliqunt à hque fois l «reette» suivnte : Pour érire dns un repère orthonormé i, j, k l opérteur mtriiel représentnt une opértion de symétrie d orienttion, on onsidère les veteurs unitires il, jl, kl respetivement trnsformés des veteurs i, j, k dns l opértion de symétrie : l première olonne de l mtrie [] est onstituée des osinus direteurs de il dns le repère i, j, k ; l deuxième est onstituée de eux de jl ; l troisième de eux de kl. Attention Il ne s git ps d une mtrie de hngement de repère ; le repère reste le même et l mtrie [] représentnt l opértion de symétrie est définie dns le repère i, j, k. Cette mtrie trnsforme les omposntes d un veteur T en veteur T l pr l opértion de symétrie. Les omposntes de T, omme elles de T l, sont toutes définies dns le même repère i, j, k.
4 Cristllogrphie géométrique ottion d ngle { utour de l xe selon lequel est hoisi k (figure.8) k k i { i { j j os { -sin { 6 @ = > sin { os { H Figure.8. Trnsformtion du repère i, j, k en i, j, k pr une rottion { utour de l xe k. Centre de symétrie hoisi omme origine du repère i, j, k (figure.9) k i j j - 6 @ = > - - H i k Figure.9. Trnsformtion du repère i, j, k en i, j, k pr un entre de symétrie à l origine du repère. Miroir dns le pln ontennt _ i, ji (figure.) k j j 6 @ = > - H i i k Figure.. Trnsformtion du repère i, j, k en i, j, k pr un miroir ontennt _ i, ji.
éseux ristllins et symétrie d orienttion dns les ristux 5.3. eprésenttion des éléments de symétrie d orienttion à l ide de l projetion stéréogrphique.3.. Définition O N S p N hkl Figure.. Prinipe de l projetion stéréogrphique. P On onsidère une sphère de entre O. Perpendiulirement à l xe de projetion NS onsidéré existe un pln équtoril. Le ristl, ou son réseu ristllin, est entré sur O. Une normle N hkl à une fmille de plns (hkl), issue de O, pere l sphère en P. On joint P u pôle de l hémisphère opposé (ii S). SP pere le pln équtoril en p. p est dit projetion stéréogrphique de P (figure.). emrque Si l xe de projetion NS est xe de symétrie, l rottion utour de et xe répète l fmille de plns et don les normles à es fmilles et don les projetions! Ce mode de représenttion permet de rendre simplement ompte d une symétrie à ondition que le pln de projetion soit hoisi judiieusement pr rpport à l élément de symétrie (figure.). N hkl m x x,4,3 3 4 Figure.. Exemple de projetion stéréogrphique des éléments de symétrie d un ristl : un xe d ordre et un miroir perpendiulire à et xe.
6 Cristllogrphie géométrique ègle On onvient de représenter pr des les points p orrespondnt à une normle perçnt l hémisphère nord de l sphère et pr des o les points p orrespondnt à une normle perçnt l sphère dns l hémisphère sud. Seul le pln équtoril ser mintennt représenté sous l forme d un erle : en pointillés si le pln de projetion n est ps un miroir ; en trit ontinu dns le s ontrire..3.. Quelques exemples (figure.3) Centre de symétrie en O Axe de symétrie ( feuille), ii d ordre 4 Pln de symétrie (dns le pln de l feuille) Pln de symétrie feuille Figure.3. Quelques exemples de projetions stéréogrphiques d éléments de symétrie simples. Tbleu.3. Définition des xes inverses selon les formlismes d Hermnn- Muguin (H.M.) et de Shoenflies. On onstte que S 4 4 mis que S 3 3 et S 6 6. Selon les définitions de n et de S n on S 3 6 et S 6 3. Éléments de symétrie d orienttion Selon l définition des ristllogrphes n = n Selon l définition des spetrosopistes S n = C n v h Axe inverse d ordre 3 5 6,5 4,4 3 3,6
éseux ristllins et symétrie d orienttion dns les ristux 7 Tbleu.3. (suite). Éléments de symétrie d orienttion Selon l définition des ristllogrphes n = n Selon l définition des spetrosopistes S n = C n v h Axe inverse d ordre 4 4 3 3 4 Axe inverse d ordre 6 3,6 3,4 4,5 5 6 Les digonles en pointillés ne sont que des ides à l onstrution. L numérottion des positions est fournie pr ordre roissnt onformément à l ordre dns lequel on les obtient à prtir de l projetion n..4. Notion de groupe de symétrie d orienttion Déouvrons ette notion sur un exemple. Soit un ristl qui possède un xe d ordre 4 et un miroir perpendiulire à et xe (figure.4). eprésenter l symétrie d orienttion de e ristl à l ide d une projetion stéréogrphique en hoisissnt l xe de projetion suivnt l xe d ordre 4. Dénombrer les opértions de symétrie d orienttion de e ristl, en déduire le degré de symétrie de e ristl. Identifier une à une toutes les opértions de symétrie d orienttion de e ristl. Montrer que l ensemble des opértions de symétrie d orienttion de e ristl onstitue un groupe. On dénombre huit points dns l représenttion ; e qui signifie que huit opértions de symétrie d orienttion différentes ont été ppliquées à l normle. Il existe don huit fmilles de plns équivlentes dns e ristl, està- dire s éhngent les unes des utres dns les différentes opértions de symétrie. On dit que le degré de symétrie d orienttion, noté D, est égl à 8.