ELÉMENTS DE CALCUL NUMÉRIQUE POUR LA MÉCANIQUE Calcul umérique des dérivées L estimatio de la dérivée à droite peut se aire par ue approche au diéreces iies de la orme d d Les méthodes au diéreces iies découlet de la série de Taylor d d d d! d d! L Si ous élimios les termes d ordre supérieur ou égal à ous obteos d d E isolat le terme dérivé ous obteos e diérece avat d ordre d d L approimatio d ordre de la dérivée première de est obteue e icluat u secod terme à la série de Taylor: d d d d! E estimat d abord la dérivée secode e utilisat ue méthode au diéreces iies de la orme: d d ' '
Si ous substituos le résultat de l estimatio de la dérivée première par diérece iie avat d ordre ous obteos l approimatio de premier ordre de la dérivée secode d d y y y y - h h - Iterprétatio graphique dérivée première
Itégratio umérique Méthode des trapèzes d d ------------------ d -------------------- d d i Remarque : la méthode de Simpso est plus précise, de même les méthodes basées sur des approimatios polyomiales comme la méthode de Gauss mais si la précisio recherchée est pas trop grade la méthode des trapèzes est plus rapide de mise e œuvre. Touteois il e aut pas oublier qu il eiste aussi des algorithmes dispoibles e boîte à outils. h y
Méthodes élémetaires d itégratio des équatios diéretielles Méthode d Euler Cas d ue équatio diéretielle du premier ordre dy t y t t y t dt t O suppose que l o coait e la valeur de y doc dy dt et dy t dt y, t y, t y t t y t y, t t O résoudra pas à pas avec u pas d ue valeur t Eemple dy t, y dt y Solutio aalytique : Solutio umérique avec méthode d Euler O pred u pas de temps de,s et la solutio est recherchée sur l itervalle [,] t y Euler y théorique écart relati %,,,48,7596,,44,49847,4797,,78,888 5,65498,4,76,5549 6,8746,5,488,7888 8,4598894,6,985984,69,689,7,5888 4,55,698495,8 4,9987 4,954,88978,9 5,59784 6,496475 4,79444 6,9764 7,8956 6,95975
La solutio umérique est d autat plus proche de la solutio aalytique que le pas de temps est petit. Méthode d Euler modiiée cetrée t y t t y t y t, t t t Résultats sur le même eemple que pour la méthode d Euler avec le même pas de temps. O remarquera que la précisio est ettemet meilleure t y Euler modi y théorique écart relati %,,,,48,4848,4,,4884,49847,95645,674,,85848,888,44488,99748,4,5456,5549,45867,468686,5,7786,7888,579,9797898,6,97959,69,6876,67455,7 4,78 4,55,875 4,44989,8 4,9777 4,954,954 5,9847794,9 5,98748 6,496475,88979 6,586479 7,4645 7,8956,45685
8 7 6 aalytique Euler modiié Euler 5 4 Série Série Série,,4,6,8, Méthode implicite t t, t t t y t t y t y La résolutio est orcémet itérative car la dérivée est supposée estimée e i de pas de temps t y implicite y théorique écart relati % observatio CI,,,48,7596 calcul eplicite,,44,49847,4797 iitialisatio eplicite,,488,49847,56775 itératio,,4976,49847,8794 itératio,,4995,49847,55854 itératio,,49994,49847,54578 itératio 4,,499988,49847,5467989 itératio 5,,499996,49847,5477495 itératio 6,,499999,49847,54795545 itératio 7,,4999998,49847,54799669 itératio 8
O observe que la précisio obteue est rapidemet meilleur mais elle est limitée par le pas de temps choisi et les coditios de stabilité O peut utiliser la méthode semi implicite qui utilise ue dérivée cetrée approimée y t, t y t t, t t y t t y t CI,,,48,7596 calcul eplicite,,44,49847,4797 iitialisatio eplicite,,464,49847,865456 itératio,,4664,49847,7468449 itératio,,46664,49847,6888768 itératio,,466664,49847,68657 itératio 4,,4666664,49847,6864 itératio 5,,4666666,49847,686956 itératio 6,,4666667,49847,686947 itératio 7,,4666667,49847,686966 itératio 8 t O peut remarquer que pour cet eemple la méthode implicite est plus précise que la méthode semi-implicite, ce est pas toujours le cas. La deuième coviet mieu pour des phéomèes plus réguliers. Méthodes utilisat les polyômes d iterpolatio Suivat le degré de dérivabilité par rapport au temps désiré le degré du polyôme est adapté. Par eemple pour u polyôme du premier degré de la dérivatio par rapport au temps est possible jusqu à l ordre mais de cotiuité o assurée etre deu pas de temps, pour u polyôme du secod degré la dérivée est possible jusqu à l ordre et la cotiuité de la dérivée jusqu à l ordre. Il aut u polyôme du troisième degré pour assurer ue dérivée secode cotiue etre deu pas de temps. U schéma qui octioe relativemet bie das de ombreu cas est l utilisatio de l iterpolatio liéaire de la vitesse, l accélératio y est alors déiie mais costate par morceau et le déplacemet s obtiet par itégratio de la dérivée. Avec Remarque : ce qui est obteu par la méthode semi implicite cetrée.
Eercice d applicatio : A partir des diéretes méthodes proposées calculer umériquemet les valeurs prises par l élogatio sur ue période d u oscillateur composé d ue masse m et d ue raideur tels que sollicité au départ par ue élogatio à ue vitesse ulle puis est relâché pour retrer e vibratio libre. m