ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera sur la cope qu après avor effectué cette recherche I 9 O cosdère la focto f : défe sur et o ote C sa courbe représetatve das u repère O,, j du pla 9 ) Démotrer que pour tout réel 0, o a : f ' O e demade d écrre que lges de calcul 9 ) a) Vérfer que pour tout réel, o a : b) Détermer les coordoées du (des) pot(s) où la tagete à C est parallèle à l ae des abscsses ) Démotrer que la tagete T à C au pot E d abscsse passe par O ) Détermer les coordoées du pot F de C e lequel la tagete T ' est parallèle à la drote Δ d équato y II arte O cosdère la focto f : ) Démotrer que pour tout réel, o a défe sur \ f ' O e demade d écrre que tros lges de calculs ) Recoper et compléter la phrase : «f ' s aule e» ) Fare u tableau compreat l étude détallée du sge de f ' est les varatos de f Calculer les etremums au broullo et compléter le tableau de varatos avec ces valeurs O doera les etremums sous la forme la plus smple possble A M B ) O pose AM Eprmer la dstace C e focto de ) Détermer pour quelle posto de M la dstace C est mamale Que vaut alors la dstace C? arte Das cette parte, o repred la stuato de la parte et o s téresse à la posto du pot M pour laquelle la dstace C est mamale ) O ote E le symétrque de B par rapport à A Le cercle de cetre E passat par D coupe le segmet [AB] e u pot Q Vérfer que le pot Q est cofodu avec le pot M pour lequel la dstace C est mamale O obtet as ue costructo géométrque à la règle et au compas du pot M qu red C mamale O e demade pas d effectuer la costructo sur la cope ) O ote la mesure e radas de l agle ADM Détermer la valeur eacte de O pourra s téresser à la ature du tragle EDM III Das le pla oreté, o cosdère deu tragles OAB et OCD rectagles socèles e O et drects O suppose de plus que OB ; OC Il est demadé de e re écrre sur la fgure arte Ue uté de logueur est fée O cosdère u carré ABCD de côté Sot M u pot quelcoque de [AB] et N le pot de la dem-drote [BC) apparteat pas au segmet [BC] tel que CN AM La drote (MN) coupe le segmet [CD] e u pot L objectf est de redre la dstace C mamale
O D + V U stad de fête forae propose de tourer ue roue qu comporte 5 secteurs detques Deu secteurs permettet de gager u lot, u secteur permet de gager deu lots et les autres e fot re gager U joueur pae u drot d etrée et fat tourer deu fos la roue O ote X la varable aléatore qu doe le ombre de lots gagés à l ssue des deu partes Représeter cette epérece aléatore à l ade d u arbre podéré au broullo O doera tous les résultats demadés sous forme décmale A B C ) Quelles sot les valeurs que peut predre X? Répodre par ue phrase sas justfer ) Détermer la lo de probablté de X O complètera sas eplquer le tableau doé sur la feulle de réposes ) Détermer la probablté de gager au mos deu lots ) Calculer l espérace mathématque de X 5 ) Chaque lot coûte 5 au fora À quelle valeur mmale le fora dot-l fer le drot d etrée pour espérer fare du bééfce? Justfer brèvemet VI ) Compléter sas justfer les égaltés suvates : BA ; BO CO ; CD ) Détermer par le calcul ue mesure e radas de l agle oreté BA ; OD O détallera les calculs (u calcul par lge) E dédure que la drote (OD) est la hauteur ssue de O das le tragle AOB IV Sot C le cercle trgoométrque das le pla oreté mu d u repère orthoormé d orge O O ote A, B, A ', B ' les pots de coordoées respectves ( ; 0), (0 ; ), ( ; 0), (0 ; ) Sot u réel quelcoque O ote M et M ' les pots mages respectfs sur C des réels et Aucue fgure est demadée das cet eercce ) Das cette questo, o pred Doer la mesure prcpale e radas de l agle oreté OA ; OM ) O revet au cas où est quelcoque Détermer tous les réels tels que les pots M et M ' soet cofodus E dédure les réels de l tervalle 0 ; tels que les pots M et M ' soet cofodus Ade à la rédacto : Rasoer par équvalece e rédgeat par chaîe d équvaleces : M M ' s et seulemet s s et seulemet s s et seulemet s arte Tros ams, erre, Jacques et Rém, ot magé le jeu suvat Chacu dspose d ue pèce équlbrée qu l lace ue fos, pour obter ple ou face S le résultat d u joueur est dfféret de celu des deu autres, l reçot de chacu d etre eu Das tous les autres cas, la parte est ulle O doera tous les résultats des probabltés demadées sous forme de fractos rréductbles ) À l ade d u arbre, détermer la probablté : a) que erre gage ; b) qu l y at u gagat ; c) que la parte sot ulle ) O ote X le ga algébrque de erre e euros ; X pred doc les valeurs, 0 et Doer la lo de probablté de X O complètera sas eplquer le tableau doé sur la feulle de réposes ) Calculer l espérace et la varace de X arte Das cette parte, o cosdère ams A, A,, A ( est u eter aturel fé supéreur ou égal à ) La règle du jeu est la même qu à la parte Chacu dspose d ue pèce équlbrée qu l lace ue fos, pour obter ple ou face S le résultat d u joueur est dfféret de celu des autres, l reçot de chacu d etre eu Das tous les autres cas, la parte est ulle ) Justfer que la probablté que A gage la parte est égale à ) Eprmer e focto de la probablté qu l y at u gagat ; e dédure la probablté que la parte sot ulle ) O ote X le ga algébrque e euros de l u quelcoque des joueurs, par eemple A a) Quelles sot les valeurs prses par X? Répodre par ue phrase sas justfer b) Doer la lo de probablté de X O complètera sas eplquer le tableau doé sur la feulle de réposes c) Calculer l espérace de X d) Démotrer que la varace de X est égale à
ère S Nom : réom : Cotrôle du 7 javer 05 Cope à redre ) I II III IV V VI Total/0 Total/0 I ) ) a) b) II arte ) ) ) )
arte ) ) arte III BA ; BO ) CO ; CD ) ) ) IV ) )
) V ) ) ) ) ) VI arte X Total ) a) (u seul résultat sas égalté) b) c) ) arte ) ) ) a) b) X Total X Total c)
Corrgé du cotrôle du 7--05 I 9 O cosdère la focto f : défe sur et o ote C sa courbe représetatve das u repère O,, j du pla ) Démotrer que pour tout réel 0, o a : f ' O e demade d écrre que lges de calcul 9 f est ue focto ratoelle doc elle dérvable sur so esemble de défto O applque la formule de dérvato d u quotet de deu foctos dérvables f ' f ' f ' f ' f ' 9 9 9 8 9 ) a) Vérfer que pour tout réel, o a : 9 Doc 9 9 9 9 b) Détermer les coordoées du (des) pot(s) où la tagete à C est parallèle à l ae des abscsses O résout l équato our f ' 0 (), () est successvemet équvalete à : 9 0 0 (d après la questo précédete) (car le polyôme a u dscrmat strctemet égatf doc a pas de races das ) O vérfe ce résultat e traçat la courbe représetatve de f sur l écra de la calculatrce graphque ) Démotrer que la tagete T à C au pot E d abscsse passe par O Détermos ue équato de la tagete T à C au pot E d abscsse Ue équato de T s écrt y f ' f sot y y O e dédut que la tagete T passe par O O vérfe sur la calculatrce graphque l équato rédute de T ce qu doe falemet ) Détermer les coordoées du pot F de C e lequel la tagete T ' est parallèle à la drote Δ d équato y La drote a pour coeffcet drecteur O résout l équato our f ' (), () est successvemet équvalete à : 9 9 O calcule esute f 5 f La courbe C admet ue tagete parallèle à la drote Δ au pot F ; 5 II Il s agt d u problème d optmsato avec modélsato d ue stuato géométrque par ue focto (mamsato d ue logueur) La courbe C admet ue tagete horzotale au pot A ; est parallèle à l ae des abscsses
arte O cosdère la focto f : ) Démotrer que pour tout réel, o a défe sur \ f ' O e demade d écrre que tros lges de calculs f est ue focto ratoelle doc elle dérvable sur \ O applque la formule de dérvato d u quotet de deu foctos dérvables ' \ f \ f ' \ f ' ) Recoper et compléter la phrase : «f ' s aule e» f ' s aule e et O calcule les races du polyôme Le meu est d utlser le dscrmat rédut (qu est égal à ) S l o utlse le dscrmat ormal (qu est égal à 8), l faut smplfer comme sut 8 8 et + SGN de + + 0 um 0 um SGN de SGN de f ' Varatos de f + + + + 0 um + + 0 um O calcule les etremums à l ade de l epresso tale de f f f O vérfe les varatos à l ade de la calculatrce arte Ue uté de logueur est fée O cosdère u carré ABCD de côté Sot M u pot quelcoque de [AB] et N le pot de la dem-drote [BC) apparteat pas au segmet [BC] tel que CN AM La drote (MN) coupe le segmet [CD] e u pot L objectf est de redre la dstace C mamale 0 dé N ) Fare u tableau compreat l étude détallée du sge de f ' est les varatos de f Calculer les etremums au broullo et compléter le tableau de varatos avec ces valeurs O doera les etremums sous la forme la plus smple possble D C A M B
) O pose AM Eprmer la dstace C e focto de Das le tragle BMN, o sat que : MN ; C BN ; C / / BM Doc d après le théorème de Thalès, o a : E partculer, o a : NC C NB MB ar coséquet, O obtet alors : C C C N NC C NM NB MB ) Détermer pour quelle posto de M la dstace C est mamale Que vaut alors la dstace C? O remarque que C f (pour 0 ; ) O s téresse doc à la restrcto de la focto f à l tervalle [0 ; ] \ 0 ; O a les varatos de f sur doc obtet les varatos de f sur Il faut juste se souver que 0 ; (car, ) D après le tableau de varato établ à la parte, le mmum de f sur [0 ; ] est égal à et l est attet e La dstace C est doc mamale lorsque AM ; das ce cas, elle vaut arte Das cette parte, o repred la stuato de la parte et o s téresse à la posto du pot M pour laquelle la dstace C est mamale ) O ote E le symétrque de B par rapport à A Le cercle de cetre E passat par D coupe le segmet [AB] e u pot Q Vérfer que le pot Q est cofodu avec le pot M pour lequel la dstace C est mamale O obtet as ue costructo géométrque à la règle et au compas du pot M qu red C mamale O e demade pas d effectuer la costructo sur la cope Doc AQ EQ EA O sat que AM O a : M AB, Q AB et AM AQ ar sute, M Q ) O ote la mesure e radas de l agle ADM Détermer la valeur eacte de O pourra s téresser à la ature du tragle EDM Le tragle EAD est rectagle socèle doc AED Or le tragle EDM est socèle e E Doc EDM 8 Doc ADM EDM EDA ADM 8 AD M 8 Doc 8 luseurs élèves ot utlsé la tagete Ils ot calculé ta ADM Esute, avec la calculatrce, ls ot obteu la mesure e degrés de l agle ADM :,5 qu correspod à ue mesure e radas de 8 Cette méthode quoque o satsfasate a été comptée comme juste J auras dû mettre das l éocé «sas utlser la calculatrce» III Das le pla oreté, o cosdère deu tragles OAB et OCD rectagles socèles e O et drects O suppose de plus que OB ; OC Il est demadé de e re écrre sur la fgure O commece par calculer EQ EQ ED (théorème de ythagore) Or les pots E, A, Q sot algés das cet ordre
D + ) Das cette questo, o pred Doer la mesure prcpale e radas de l agle oreté OA ; OM A O C OA ; OM 8 5 5 8 5 ) Compléter sas justfer les égaltés suvates : BA ; BO B CO ; CD ) Détermer par le calcul ue mesure e radas de l agle oreté BA ; OD O détallera les calculs (u calcul par lge) E dédure que la drote (OD) est la hauteur ssue de O das le tragle AOB BA ; OD BA ; BO BO ; CO CO ; OD BA ; OD BA ; BO OB ; OC OC ; OD BA ; OD BA ; BO OB ; OC OC ; OD BA ; OD BA ; OD O a doc BA ; OD ar coséquet, (AB) (OD) O e dédut que (OD) est la hauteur ssue de O das le tragle AOB IV Sot C le cercle trgoométrque das le pla oreté mu d u repère orthoormé d orge O O ote A, B, A ', B' les pots de coordoées respectves ( ; 0), (0 ; ), ( ; 0), (0 ; ) Sot u réel quelcoque O ote M et M ' les pots mages respectfs sur C des réels et Aucue fgure est demadée das cet eercce O e dédut que la mesure prcpale e radas de l agle oreté OA ; OM 5 est ) O revet au cas où est quelcoque Détermer tous les réels tels que les pots M et M ' soet cofodus E dédure les réels de l tervalle 0 ; tels que les pots M et M ' soet cofodus Ade à la rédacto : Rasoer par équvalece e rédgeat par chaîe d équvaleces : M M ' s et seulemet s s et seulemet s s et seulemet s k M M ' s et seulemet s k s et seulemet s k s et seulemet s k k Les réels de l tervalle Les valeurs sot : 0,,, k 0 ; tels que les pots M et M ' soet cofodus s obteet pour 0,,, O peut vérfer sur la fgure que pour chacue de ces valeurs de les pots M et M ' sot cofodus V k U stad de fête forae propose de tourer ue roue qu comporte 5 secteurs detques Deu secteurs permettet de gager u lot, u secteur permet de gager deu lots et les autres e fot re gager U joueur pae u drot d etrée et fat tourer deu fos la roue O ote X la varable aléatore qu doe le ombre de lots gagés à l ssue des deu partes Représeter cette epérece aléatore à l ade d u arbre podéré au broullo
O doera tous les résultats demadés sous forme décmale ) Quelles sot les valeurs que peut predre X? Répodre par ue phrase sas justfer X peut predre les valeurs 0,,,, 5 ) À l ade d u arbre, détermer la probablté : a) que erre gage ; b) qu l y at u gagat ; c) que la parte sot ulle Ces valeurs s obteet par les décompostos suvates : a) b) c) 0 0 0, 0,,, ) Détermer la lo de probablté de X O complètera sas eplquer le tableau doé sur la feulle de réposes Atteto, o lace la roue deu fos ) O ote X le ga algébrque de erre e euros ; X pred doc les valeurs, 0 et Doer la lo de probablté de X 0 ) Détermer la probablté de gager au mos deu lots "gager au mos lots" X "gager au mos lots" X X X "gager au mos lots" 0, 5 ) Calculer l espérace mathématque de X 0 E X 0, 0, 0, 0,0, X 0, 0, 0, 0, 0,0 Total O complètera sas eplquer le tableau doé sur la feulle de réposes ) Calculer l espérace et la varace de X E X 0 V X 0 0 V X X Total 5 ) Chaque lot coûte 5 au fora À quelle valeur mmale le fora dot-l fer le drot d etrée pour espérer fare du bééfce? Justfer brèvemet Sot le drot d etrée e euros Le fora e peut espérer fare du bééfce que s le pr du tcket est supéreur au pr moye d ue parte Doc 5 E X sot 5, Doc pour que le fora fasse du bééfce le pr das être supéreur à 8 VI arte Tros ams, erre, Jacques et Rém, ot magé le jeu suvat Chacu dspose d ue pèce équlbrée qu l lace ue fos, pour obter ple ou face S le résultat d u joueur est dfféret de celu des deu autres, l reçot de chacu d etre eu Das tous les autres cas, la parte est ulle O doera tous les résultats des probabltés demadées sous forme de fractos rréductbles O peut vérfer ces résultats à l ade de la calculatrce graphque (commades statstques) arte Das cette parte, o cosdère ams A, A,, A ( est u eter aturel fé supéreur ou égal à ) La règle du jeu est la même qu à la parte Chacu dspose d ue pèce équlbrée qu l lace ue fos, pour obter ple ou face S le résultat d u joueur est dfféret de celu des autres, l reçot de chacu d etre eu Das tous les autres cas, la parte est ulle Das cette parte, o gééralse les résultats de la parte à joueurs O e peut plus utlser u arbre O rasoe alors autremet e suvat les dcatos de l éocé O travalle e lttéral ) Justfer que la probablté que A gage la parte est égale à A gage la parte das les deu cas de fgure suvats : - l obtet ple et tous les autres joueurs obteet face ; - l obtet face et tous les autres joueurs obteet ple
Chacu de ces deu évéemets a pour probablté Ces deu évéemets sot compatbles doc "A gage" ) Eprmer e focto de la probablté qu l y at u gagat ; e dédure la probablté que la parte sot ulle L évéemet «l y a u gagat» est la réuo des évéemets «A gage la parte», «A gage la parte», «A gage la parte» Ces évéemets sot deu à deu compatbles Doc o peut écrre "l y a u gagat" "A gage" "A gage" "A gage" "l y a u gagat" "l y a u gagat" ( termes) "la parte est ulle" "l y a u gagat" "la parte est ulle" ) O ote X le ga algébrque e euros de l u quelcoque des joueurs, par eemple A a) Quelles sot les valeurs prses par X? Répodre par ue phrase sas justfer Les valeurs prses par X sot, 0 et b) Doer la lo de probablté de X O complètera sas eplquer le tableau doé sur la feulle de réposes X "A gage" "A gage" X X X 0 X Total X 0 "la parte est ulle" X 0 X "A gage" X O vérfe asémet que c) Calculer l espérace de X E X 0 E X E X 0 X X 0 X Cela ous permet de vérfer le résultat de la questo ) de la parte d) Démotrer que la varace de X est égale à VX 0 V V X X V X V X Remarque : Grâce à cette formule, o peut retrouver le résultat obteu pour la varace de X calculée das la parte das le cas où