Termnale S Démonstratons -a : Toute smltude de rapport k (>0) est la composée d une homothéte de rapport k et d une sométre -b : Les sométres du plan sont les transformatons θ θ z' = e z+ b ou z' = e z + b -c : Caractérsaton complexe d une smltude -d : Proprétés des smltudes -e : Une smltude ayant deux ponts fxes dstncts est sot l dentté, sot une symétre axale -f : Forme rédute d une smltude drecte -g : Proprété :«étant donnés quatre ponts, B,, B tels que B et B, l exste une unque smltude drecte transformant en et B en B» Exercce Exercce 4 Exercces 6 Smltude + ROC, La Réunon 00 6 4 Translaton et rotaton, France 00 6 5 Smltudes, Centres étrangers 00 7 6 Smltude, se 00 7 7 Smltude + ROC, ntlles 00 8 8 Smltude, mérque du Sud 009 8 9 Smltude+Sute, Pondcherry 009 9 0 ROC + Smltude, Polynése 009 9 Smltudes, N Calédone nov 008 0 Sprale+arth, ntlles sept 008 Sprale+arth, France et La Réunon sept 008 4 Smltude ndrecte, La Réunon, jun 008 5 Smltude & sute, France, jun 008 (c) 6 Smltude, Centres étrangers, jun 008 7 Smltude+ROC, Pondcherry, avrl 008 (c) 4 8 Smltude, Polynése, sept 007 6 9 Smltude, ntlles, sept 007 7 0 Smltude, m du Sud, sept 007 8 Smltude drecte et ndrecte, France, jun 007 8 Smltudes drecte et ndrecte, La Réunon, jun 007 9 Smltudes drecte et ndrecte, C étrangers, jun 0070 4 Smltudes, se, jun 007 5 Smltudes, ntlles, jun 007 6 Smltude+Bézout, m du Nord, jun 007 (c) 7 Smltude ndrecte, Pondcherry, avrl 007 8 Nouvelle Calédone, nov 006 9 mérque du Nord, jun 006 (c) 4 0 ntlles, jun 006 5 La Réunon, jun 006 6 Sm ndrecte+leu, Lban, jun 006 (c) 6 Sprale, Pondcherry, avrl 006 8 4 Sm ndrecte, Nouvelle Calédone, nov 005 (c) 8 5 Smltude+sute, m Sud, nov 005 9 6 QCM arth+géom, Natonal, sept 005 0 7 Réflexon+Bézout, Pondcherry, avrl 005 (c) 8 Dvne proporton, mérque du Nord, jun 005 (c) 9 Image d une fgure, se, jun 005 40 Tr rectangles socèles, Natonal, jun 005 4 4 S ndrecte+bézout, Polynése, nov 004 (c) 5 4 Tr équlatéral+leu de ponts, Natonal, sept 004 (c) 7 4 QCM géo+arth, ntlles, sept 004 9 44 Sprale, m du Sud, nov 004 (c) 40 45 Smltude ndrecte, m du Nord, ma 004 4 46 Rotaton, ntlles 004 4 47 Rotaton+carré, Lban, ma 004 (c) 4 48 Sute géométrque, Polynése, jun 004 4 49 Rotatons, homothétes, m du Sud, nov 00 (c) 44 50 Smltudes, Pondchéry, ma 00 (c) 45 5 Longueur de sprale, m du Nord, ma 00 47 5 Smltude, sutes, Pondcherry 009 47 5 Smltude, sutes, Bézout, La Réunon, jun 00 (c) 48 54 Smltude, Polynése, jun 00 49 55 Carré et rotaton, ntlles sept 00 50 56 Smltude, La Réunon, jun 00 50 57 Smltude & barycentre, Polynése, sept 00 5 58 Symétres axales, Lban, jun 00 5 59 Rotatons, symétres, translatons, se jun 00 5 60 Homothétes, Polynése, sept 000 5 6 Rotaton et smltude 5 6 Rotaton 5 6 Théorème de Ptolémée 54 64 Le théorème de Napoléon 55 65 Trangles équlatéraux 55 66 Smltude 56 67 Smltude 56 68 Smltude et barycentre 56 69 Réflexon - Rotaton 57 70 Barycentres+smltude 57 7 Lgne de nveau+smltude 58 7 Smltude et Bézout 58 7 Sprale 58 74 Rotaton et smltude 59 75 Cercle et smltude 59 76 Smltude ndrecte (c) 60 Démonstratons -a : Toute smltude de rapport k (>0) est la composée d une homothéte de rapport k et d une sométre Sot s une smltude de rapport k postf et h une homothéte de rapport k une smltude de rapport k =, c est donc une sométre f k La composée h s est alors On a donc hs= f h hs= h f s= h f où l homothéte h a pour rapport k Termnale S F Laroche http://larochelyceefreefr
-b : Les sométres du plan sont les transformatons z' = e z+ b ou z' = e z + b Il est mmédat de montrer que ces deux types de transformatons sont des sométres ; par exemple pour θ z' = e z + b : M( z) M'( z') et N( z) N'( z'), sot M' N' = z' z' = e z z = z z = z z = MN Il est plus délcat de montrer que toute sométre est de cette forme : sot f une sométre du plan mun d un repère orthonormal (O, I, J) ; on note (O, I, J ) le repère mage par f : ce repère est également orthonormal d après les proprétés des sométres (conservaton des longueurs et des angles, les sométres postves conservant le sens des angles, les so négatves les renversant) Prenons M(x ; y), on a OM= xoi+ yoj, M (x ; y ) son mage par f : O' M' = x' O' I' + y' O' J' Calculons les produts scalares : OM OI = xoi + yoj OI = x, OMOJ = xoioj + yoj = y, de même O' M' O' I' = x', O' M' O' J' = y' Mas comme les dstances et les angles sont conservés, on a OMOI = OMOI cos OMOI, = O' M' O' I'cos O' M', O' I' = O' M' O' I' θ θ ( ) ( ) x' = x ans que OMOJ = O' M' O' J' d où et O' M' = xo' I' + yo' J' y' = y Passons mantenant en complexes : prenons dans le repère (O, I, J) les affxes : O(0) O'( b), O' I'( u), O' J'( v) et M( z= x+ y) * O' I' est normé donc u = u= e θ, θ réel quelconque * O' J' est normé et orthogonal à O' I' donc v= u= e θ ou v= u= e θ * O' M' = xo' I' + yo' J' z' b= xu+ yv d où les deux possbltés : θ θ θ θ z' b= xe + ye = e z z' = e z+ b θ θ θ θ z' b= xe ye = e z z' = e z+ b -c : Caractérsaton complexe d une smltude Les deux résultats précédents donnent mmédatement que s s est une smltude de rapport k > 0, elle est f θ h θ θ de la forme z z' = e z+ b kz' + β = ke z+ kb+ β = ke z+ c f θ h θ θ ou de la forme z z' = e z+ b kz' + β = ke z+ kb+ β = ke z+ c En fat ke θ est un complexe a quelconque de même que c, ce qu donne z' = az+ c ou z' = az + c -d : Proprétés des smltudes * Les smltudes de la forme z' = az+ b sont assocées aux sométres postves, elles conservent le sens des angles : prenons tros ponts M, N, P et leurs mages M, N, P ; p' m' ( ap+ b) ( am+ b) p m on a alors ( M' N', M' P' ) = arg = arg = arg = ( MN, MP) n' m' ( an+ b) ( am+ b) n m * Les smltudes de la forme z' = az + b sont assocées aux sométres négatves, elles renversent le sens des angles : prenons tros ponts M, N, P et leurs mages M, N, P ; p' m' ( ap+ b) ( am+ b) p m p m n' m' ( an+ b) ( am+ b) n m n m ( M' N', M' P' ) = arg = arg = arg = arg = ( MN, MP) θ Termnale S http://larochelyceefreefr
* Conservaton du barycentre : sot G le barycentre de {( M, );( N, )} alors m' = am+ b, n' = an+ b, montrons que G est le barycentre de { } Termnale S http://larochelyceefreefr α β, M et N les mages de M et N, a g= ( αm+ βn) g' = a ( αm βn) b ( αm βn) b α β + α β + = + + ; + + α + β ( M', α);( N', β ) : g' = ( αm' + βn' ) = ( αam+ αb+ βan+ βb) = a ( αm+ βn) + ( αb+ βb) = ag+ b α + β α + β α + β α + β En fat cette proprété est suffsante pusque l assocatvté du barycentre fat que cec sera valable pour un nombre quelconque de ponts Par alleurs cec permet de montrer d autres proprétés smples comme la conservaton du parallélsme -e : Une smltude ayant deux ponts fxes dstncts est sot l dentté, sot une symétre axale S notre smltude s écrt z' = az+ b, elle a sot un seul pont fxe et b = 0 ; c est donc l dentté s elle en a plus que un S elle s écrt z' = az + b et qu elle a comme ponts fxes u et v, on a : b z=, sot une nfnté lorsque a = a u v vu uv b = u u = u= au+ b u= au+ b u v u v u v z' u= ( z u) v= av + b u v= au ( v) u v u v a= u v Cette dernère écrture est celle d une réflexon d axe (uv), ce que le lecteur vérfera asément -f : Forme rédute d une smltude drecte Une smltude drecte s (avec a dfférent de, qu n est donc pas une translaton) a un pont fxe : ω, seul b pont tel que ω = aω + b ω = a z' ω ( Ω M, Ω M' ) = arg = θ ( ) z' = az+ b θ z ω On a alors z' ω = a( z ω) = ke ( z ω) ω = aω + b Ω M' z' ω = = k ΩM z ω s est donc la composée d une homothéte de rapport k et d une rotaton d angle θ, les deux de centre Ω ( ω) Remarquez que s vous tombez dans vos calculs sur un rapport négatf, l sufft de rajouter à θ pour θ θ ( θ+ ) revenr à un rapport postf : ke = e ke = ke -g : Proprété : «étant donnés quatre ponts, B,, B tels que B et B, l exste une unque smltude drecte transformant en et B en B» vec tous les résultats précédents c est un jeu d enfant : on a les affxes a, a, b et b S on a une smltude drecte, celle-c s écrt z' trouver α et β en foncton de a, a, b et b c est tout Exercce b' a' ' a' αa β a' αa β = + = + α = b a ; B B' b' = αb+ β b' a' = α( b a) β = a' αa = αz+ β ; l sufft donc de On consdère un trangle O 0 B 0 rectangle socèle en O et tel que la dstance 0 B 0 sot égale à 4 On O, OB est un angle drot drect précse de plus que l angle ( 0 0 ) On défnt alors pour tout enter naturel n les ponts n+ et B n+ de la façon suvante :
n+ est le mleu du segment [ n B n ] ; B n+ est le symétrque du pont n+ par rapport à la drote (OB n ) Représenter le trangle O 0 B 0, pus construre les ponts, B,, B,, B a Démonstraton de cours Démontrer qu l exste une smltude drecte et une seule qu transforme 0 en et B 0 en B b Sot s cette smltude : précser son angle et son rapport, pus vérfer que son centre est O Démontrer que, pour tout enter naturel n, la smltude s transforme n en n+ et B n en B n+ a Démontrer que les ponts O, n et p sont algnés s et seulement s les enters n et p sont congrus modulo 4 b On désgne par Ω le pont d ntersecton des drotes ( 0 B 4 ) et (B 0 4 ) Démontrer que le trangle 0 B 0 est socèle en Ω c Calculer la dstance 0 B 4 d Démontrer que Ω 0 = 4Ω B4 e En dédure l are du trangle 0Ω B0 Exercce On consdère un trangle O 0 B 0 rectangle socèle en O et tel que la dstance 0 B 0 sot égale à 4 On O, OB est un angle drot drect précse de plus que l angle ( 0 0 ) On défnt alors pour tout enter naturel n les ponts n+ et B n+ de la façon suvante : n+ est le mleu du segment [ n B n ] ; B n+ est le symétrque du pont n+ par rapport à la drote (OB n ) Représenter le trangle O 0 B 0, pus construre les ponts, B,, B,, B Sot s la smltude drecte de centre O qu transforme 0 en a Détermner l angle et le rapport de la smltude s, pus montrer que la smltude s transforme B 0 en B b Démontrer que pour tout enter n, la smltude s transforme n en n+ et B n en B n+ a Démontrer que les ponts O, n et p sont algnés s et seulement s les enters n et p sont congrus modulo 4 b On désgne par Ω le pont d ntersecton des drotes ( 0 B 4 ) et (B 0 4 ) Détermner la valeur exacte de l are du trangle 0Ω B0 (tout élément de réponse, par exemple l exposé d une méthode ou la détermnaton d une valeur approchée, sera prs en compte) Correcton Termnale S 4 http://larochelyceefreefr
B0 B B 4 O 0 B Ω B4 a Evdent : angle = ( OB0 ) = ( O, j) Termnale S 5 http://larochelyceefreefr rapport est encore, rapport = 4 Comme (, O0 ) donne ( OB0, O ) = ( OB0, OB ) = =, la symétre par rapport à 4 ; comme OB = O = O0 = OB0, le 4 b Comme on répète la même séquence d opératons à chaque fos, la transformaton qu envoe 0 sur enverra n sur n+, et parel pour B n et B n+ S on ne se sufft pas de cet argument, on peut reprendre tout, mas c est une perte de temps a S on prend le repère ; O O0, OB0, le pont 0 a pour affxe 4, a pour affxe 4 4, etc 4 4 n n d où n : 4 e 4 ; les ponts O, n et p sont algnés s et seulement s z O, O = 0 arg = 0 n p = k n p= 4 k, k Z, z 4 4 p ( n p ) [ ] [ ] sot lorsque les enters n et p sont congrus modulo 4 n b Le plus smple (lorsqu on n a pas d ndcaton, snon reprendre la méthode proposée dans l exercce précédent) semble encore de détermner les coordonnées de Ω en cherchant l équaton de ( 0 B 4 ) pus en coupant par (y = x) ; Ω est sur cette drote pour des rasons de symétre évdentes 0( 4;0), B 4 a pour ordonnée l abscsse de 4, sot x 4 4 = 0 x + 4 + 4y = 0 y 0 d où Ω a pour coordonnées 4 4 4 7 Ω 0 = 4+ + =, l are du trangle est donc 4 4 4 e 4 e = ; la drote a pour équaton 4 4 ; ; on calcule la dstance
Exercces 4 8 0B0 Ω 0 = 4 7 = 4 Smltude + ROC, La Réunon 00 Parte I : Resttuton organsée de connassances Le plan complexe est rapporté à un repère ( O; u, v) Prérequs : on rappelle que l écrture complexe d une smltude drecte du plan est de la forme z' où α est un nombre complexe non nul et β est un nombre complexe Termnale S 6 http://larochelyceefreefr = αz+ β Soent, B, C, D quatre ponts du plan ; on suppose d une part que les ponts et C sont dstncts et d autre part que les ponts B et D sont dstncts Démontrer qu l exste une unque smltude drecte s telle que s() = B et s(c) = D Parte II Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( ; B, D) BCD est un carré On consdère le pont C tel que Sot E le mleu du segment [D], on consdère le carré EDGF tel que ( ED; EF) = [ mod ] a Fare une fgure en plaçant les ponts, B, C, D, E, F, G On complètera la fgure au cours de l exercce b Précser les nombres complexes a, b, c, d, e, f, g, affxes respectves des ponts, B, C, D, E, F et G c Montrer qu l exste une unque smltude drecte s du plan telle que s(d) = F et s(b) = D On se propose de précser les éléments caractérstques de la smltude drecte s a Détermner son rapport k et son angle θ b Donner l écrture complexe de cette smltude c Détermner le centre Ω de la smltude drecte s 4 Translaton et rotaton, France 00 Dans tout l exercce, ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan complexe (unté graphque : 4 cm) On désgne par le pont d affxe z = On consdère la transformaton T du plan qu, à tout pont M d affxe z, assoce le pont d affxe z' = z+ a Détermner les mages respectves par la transformaton T du pont et du pont Ω d affxe + b En dédure la nature et les éléments caractérstques de la transformaton T c Détermner l mage par la transformaton T du cercle C de centre O et de rayon C désgne le cercle de centre O d affxe et de rayon a Construre le pont appartenant au cercle C tel que : ( O, O' ' ) = [ mod ] b À tout pont M du cercle C d affxe z, on assoce le pont M du cercle C d affxe z tel que : ( OM, O' M' ) = [ mod ] Détermner le module et un argument de z' z En dédure que z' = e + z c Précser la nature et les éléments caractérstques de la transformaton r qu à tout pont M du plan d affxe z assoce le pont M d affxe z telle que z' = e z+ Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton
À tout pont M du plan, on assoce le pont M mleu du segment [MM ] Quel est le leu géométrque du pont M lorsque M décrt le cercle C? 5 Smltudes, Centres étrangers 00 Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté graphque cm, on consdère les ponts, B, C, M, N et P d affxes respectves : a= +, b= +, c= +, m= 7 5, p= 9+ a Placer les ponts, B, C, M, N et P dans le repère b Calculer les longueurs des côtés des trangles BC et NMP c En dédure que ces deux trangles sont semblables Dans la sute de l exercce, on se propose de mettre en évdence deux smltudes qu transforment le trangle BC en le trangle MNP Une smltude drecte Sot s la smltude drecte qu transforme le pont en N et le pont B en P a Montrer qu une écrture complexe de la smltude s est : 6 8 9 z' = z+ + 5 5 5 5 b Détermner le rapport, la valeur de l angle arronde au degré, ans que le centre de la smltude s c Vérfer que la smltude s transforme le pont C en M Une smltude ndrecte Sot s la smltude dont l écrture complexe est : z' = z+ a Vérfer que : s () = N, s (B) = M, s (C) = P b Démontrer que s admet un unque pont nvarant K d affxe k = c Sot h l homothéte de centre K et de rapport et J le pont d affxe On pose : f = s ' h Détermner les mages des ponts K et J par la transformaton f En dédure la nature précse de la transformaton f d Démontrer que la smltude s est la composée d une homothéte et d une réflexon 6 Smltude, se 00 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( ; u, v) L unté graphque est cm On note le nombre complexe de module et d argument On consdère les ponts B, C et H d affxes respectves : b = 5, c = 0 et h = + 4 Construre une fgure que l on complétera au fur et à mesure des questons Étude de la poston du pont H a Démontrer que le pont H appartent à la drote (BC) h b Calculer h c, et en dédure que ( HC, H) = [ ] Étude d une premère smltude a Calculer les rapports : BH H, B C, H CH b Démontrer qu l exste une smltude drecte S qu transforme le trangle CH en le trangle HB c Détermner l écrture complexe de cette smltude S ans que ses éléments caractérstques Étude d une seconde smltude Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même nfructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Termnale S 7 http://larochelyceefreefr
On note S la smltude qu à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe z telle que : ( ) z' = z+ 0 Démontrer que S est composée d une symétre orthogonale d axe ( ), et d une smltude drecte dont le centre Ω appartent à ( ) Précser ( ) 4 Étude d une composée a Calculer le rapport de la smltude composée S S b En dédure le rapport entre les ares des trangles CH et BC 7 Smltude + ROC, ntlles 00 Le plan est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté cm Resttuton organsée de connassances On utlsera sans démonstraton les deux proprétés suvantes : Proprété : Toute smltude ndrecte qu transforme un pont M d affxe z en un pont M d affxe z admet une expresson complexe de la forme z = az + b où a C * et b C Proprété : Sot C un pont d affxe c Pour tout pont D, dstnct de C, d affxe d et pour tout pont E, e c dstnct de C, d affxe e, on a : ( CD, CE) = arg ( ) d c Queston : Montrer qu une smltude ndrecte transforme un angle orenté en son opposé Soent les ponts C et D d affxes respectves c = et d =, et S la smltude qu à tout pont M du plan assoce le pont M symétrque de M par rapport à l axe ( O; u ) des réels a Placer les ponts C et D pus leurs mages respectves C et D par S On complètera le fgure au fur et à mesure de l exercce b Donner l expresson complexe de S Sot S la smltude drecte défne par : le pont C et son mage C d affxe c' = + 4 ; le pont D et son mage D d affxe d' = + a Montrer que l expresson complexe de S est : z' = z+ + b En dédure les éléments caractérstques de cette smltude 4 Sot S la smltude défne par S= S S Détermner l expresson complexe de S 5 On pourra admettre désormas que S est la smltude ndrecte d expresson complexe : z' = z+ + a Quelle est l mage de C par S? Quelle est l mage de D par S? b Sot H le pont d affxe h tel que : h c= e ( d c) Montrer que le trangle CDH est équlatéral drect c Sot H l mage de H par S Précser la nature du trangle C D H et construre le pont H (on ne demande pas de calculer l affxe h du pont H ) 8 Smltude, mérque du Sud 009 On consdère un carré drect BCD (c est à dre un carré BCD tel que ( B, D) = [ ] Sot J, K et L les mleux respectfs des segments [B], [CD] et [D] Γ désgne le cercle de damètre [I] et Γ désgne le cercle de damètre [BK] Parte Détermner le rapport et l angle de la smltude drecte s telle que s() = I et s(b) = K de centre I) Montrer que les cercles Γ et Γ se coupent en deux ponts dstncts : le pont J et le centre Ω de la smltude drecte s Termnale S 8 http://larochelyceefreefr
a Détermner les mages par s des drotes (C) et (BC) En dédure l mage du pont C par s b Sot E l mage par s du pont I Démontrer que E est le mleu du segment [ID] 4 Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, sera prse en compte dans l évaluaton Démontrer que les ponts, Ω et E sont algnés (On pourra consdérer la transformaton t= s s) Parte B Désormas, on consdère que le côté du carré mesure 0 untés et on se place dans le repère orthonormé drect ; B, D 0 0 Donner les affxes des ponts, B, C et D Démontrer que la smltude drecte s a pour écrture complexe Calculer l affxe ω du centre Ω de s Termnale S 9 http://larochelyceefreefr z' = z+ 5+ 5 4 Calculer l affxe z E du pont E et retrouver l algnement des ponts, Ω et E 5 Démontrer que les drotes (E), (CL) et (DJ) sont concourantes au pont Ω 9 Smltude+Sute, Pondcherry 009 Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm Sot et B les ponts d affxes respectves z = et zb = + Justfer qu l exste une unque smltude drecte S telle que : S(O) = et S() = B Montrer que l écrture complexe de S est : z' ( ) = z+ Précser les éléments caractérstques de S (on notera Ω le centre de S) On consdère la sute de ponts ( n ) telle que : 0 est l orgne du repère et, pour tout enter naturel n, n+ = S( n ) On note z n, l affxe de n (On a donc 0 = O, = et = B) a Démontrer que, pour tout enter naturel n, z ( ) n n = b Détermner, en foncton de n, les affxes des vecteurs Ω n et n n + vecteurs et calculer une mesure de l angle ( n, n n + ) Ω Comparer les normes de ces c En dédure une constructon du pont n+ connassant le pont n Construre les ponts et 4 4 Quels sont les ponts de la sute ( n ) appartenant à la drote ( Ω B)? 0 ROC + Smltude, Polynése 009 Parte : Resttuton organsée de connassances Le plan complexe est mun d un repère orthononnal drect On supposera connu le résultat suvant : Une applcaton f du plan dans lu-même est une smltude drecte s et seulement s f admet une écrture a C 0 et b C complexe de la forme z = az + b où { } Démontrer que s, B, et B sont quatre ponts teis que est dstnct de B et est dstnct de B, alors l exste une unque smltude drecte transformant en et B en B Parte B Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v), unté graphque cm On note, B, C, D et E les ponts d affxes respectves z=, z B =, z C = 4 + 6, z D = + et z E = + Placer les ponts sur une fgure qu sera complétée au fur et àmesure des questons
Détermner la nature du trangle BC Sot f la smltude plane drecte telle que f() = D et f(b) = a Donner l écrture complexe de f b Détermner l angle, le rapport et le centre Ω de cette smltude c Montrer que le trangle DE est l mage du trangle BC par la smltude f d En dédure la nature du trangle DE 4 On désgne par (C ) le cercie de damètre [B] et par (C ) le cercle de damètre [D] On note M le second pont d ntersecton du cercle (C ) et de la drote (BC), et N le second pont d ntersecton du cercle (C ) et de la drote (B) a Détermner l mage de M par la smltude f b En dédure la nature du trangle ΩMN c Montrer que MB NE= MC N Smltudes, N Calédone nov 008 Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; OI ; OJ) d affxes respectves z = et zb = + On consdère les ponts et B On consdère les ponts M, N et P tels que les trangles MB, BNO et OP soent des trangles rectangles socèles de sens drect comme le montre la fgure c-dessous On note s la smltude drecte de centre qu transforme M en B On note s la smltude drecte de centre O qu transforme B en N On consdère la transformaton r= ss r Le but de l exercce est de démontrer de deux façons dfférentes que les drotes (OM) et (PN) sont perpendculares À l ade des transformatons a Donner l angle et le rapport de s et de s b Détermner l mage du pont M pus celle du pont I par la transformaton r c Justfer que r est une rotaton d angle dont on précsera le centre d Quelle est l mage du pont O par r? e En dédure que les drotes (OM) et (PN) sont perpendculares En utlsant les nombres complexes Termnale S 0 http://larochelyceefreefr
a Donner les écrtures complexes de s et s On utlsera les résultats de la queston a b En dédure les affxes z M et z N des ponts M et N c Donner, sans justfcaton, l affxe z P du pont P pus démontrer que les drotes (OM) et (PN) sont perpendculares Sprale+arth, ntlles sept 008 Parte n [ mod] On consdère le système de congruences : ( S), où n désgne un enter relatf n [ mod 5] Montrer que est soluton de (S) Montrer que s n est soluton de (S) alors n est dvsble par Montrer que les solutons de (S) sont tous les enters de la forme +5k, où k désgne un enter relatf Parte B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère l applcaton f du plan qu à tout pont M d affxe z assoce le pont d affxe z et g celle qu à tout pont M d affxe z assoce le pont d affxe z défnes par : + z' = z et z'' = e 5z Précser la nature et les éléments caractérstques des applcatons f et g On consdère les ponts 0 et B 0 d affxes respectves 0 e a 0 4 = et b = e 5 Soent ( n ) et (B n ) les sutes de ponts défnes par les relatons de récurrences : On note a n et b n les affxes respectves de n et B n n+ = f( n ) et B n+ = g(b n ) a Quelle est la nature de chacun des trangles O n n+? b En dédure la nature du polygone 0 4 5 a Montrer que les ponts B n sont stués sur un cercle dont on précsera le centre et le rayon OBn, OB n + b Indquer une mesure de l angle ( ) c En dédure la nature du polygone B 0 B B 4 B 6 B 8 4 a Exprmer a n et b n en foncton de n b Montrer que les enters n pour lesquels les ponts n et B n sont smultanément sur l axe des réels sont les solutons du système (S) de la PRTIE Sprale+arth, France et La Réunon sept 008 5 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) On réalsera une fgure en prenant 4 cm comme unté graphque sur chaque axe On consdère le pont d'affxe z = Parte k est un réel strctement postf ; f est la smltude drecte de centre O de rapport k et d'angle On note 0 = et pour tout enter naturel n, f( ) n+ = n a Étant donné un pont M d'affxe z, détermner en foncton de z l'affïxe z du pont M mage de M par f Termnale S http://larochelyceefreefr
b Construre les ponts 0,, et dans le cas partculer où k est égal à Termnale S http://larochelyceefreefr n n a Démontrer par récurrence que pour tout enter n, l'affxe z n du pont n est égale à k e b En dédure les valeurs de n pour lesquelles le pont n appartent à la dem drote [ O; u ) et, dans ce cas, détermner en foncton de k et de n l'abscsse de n Parte B Dans cette parte toute trace de recherche, même ncomplète, sera prse en compte dans l'évaluaton Désormas, k désgne un enter naturel non nul Donner la décomposton en facteurs premers de 008 Détermner, en explquant la méthode chose, la plus pette valeur de l'enter naturel k pour laquelle k 6 est un multple de 008 Pour quelles valeurs des enters n et k le pont n appartent-l à la dem drote [ O; u ) avec pour abscsse un nombre enter multple de 008? 4 Smltude ndrecte, La Réunon, jun 008 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Soent, B et C les ponts d'affxes respectves z = +, zb = 5+ et z C = s désgne la symétre d'axe (B) a Démontrer que s transforme tout pont M d'affxe z en un pont M d'afîxe z telle que 4 z' = + z+ + 5 5 5 5 b En dédure l'affxe de C, symétrque de C par rapport à (B) c Démontrer que l'ensemble des ponts M tels que z' est magnare pur est la drote (d) d'équaton 4x+ y= d Vérfer que le pont C appartent à (d) a Démontrer que les drotes (d) et (B) sont sécantes en un pont Ω dont on précsera l'affxe ω b On désgne par s la symétre d'axe (d) et par f la transformaton défne par f = s s Justfer que f est une smltude drecte et précser son rapport c Détermner les mages des ponts C et Ω par la transformaton f d Justfer que f est une rotaton dont on donnera le centre Dans cette queston le canddat est nvté à porter sur sa cope les étapes de sa démarche même s elle n 'aboutt pas a Détermner les couples d'enters relatfs (x, y) solutons de l'équaton : 4x+ y= b Détermner les ponts de (d) à coordonnées entères dont la dstance au pont O est nféreure à 9 5 Smltude & sute, France, jun 008 (c) 5 ponts Le plan est mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) Soent et B les ponts d affxes respectves z = et On consdère la drote (d) d équaton 4x+ y= zb 7 = 7+ Démontrer que l ensemble des ponts de (d) dont les coordonnées sont entères est l ensemble des ponts M k+, 4k lorsque k décrt l ensemble des enters relatfs k ( ) M, Sot s la transformaton du plan qu à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe Détermner l angle et le rapport de la smltude drecte de centre qu transforme B en ( )
5 z' = z+ Détermner l mage de par s, pus donner la nature et les éléments caractérstques de s 4 On note B l mage de B par s et pour tout enter naturel n non nul, B n + l mage de B n par s a Détermner la longueur B n + en foncton de B n b À partr de quel enter n le pont B n appartent t-l au dsque de centre et de rayon 0? c Détermner l ensemble des enters n pour lesquels, B et B n sont algnés Correcton Soent et B les ponts d affxes respectves z = et On a la soluton partculère évdente ( ; ) d où Termnale S http://larochelyceefreefr zb 7 = 7+ 4x+ y= x = k x= k+ 4( x ) = ( y ) 4+ = y = 4k y= 4k Un peu de calcul ( ) + = = ( ) ( ) a b b a s: z' = az+ b: 7 7 B M a 7+ 7 ( ) ( ) + b= + a + + a = + b= 5 ( ) a( ) b= ( ) a( ) b= 9 4 ( 4)( 4 a 6 4 + + ) + = + a= = = 4+ 6+ 9 a= Sot le rapport et l angle z On pouvat auss calculer (, ) arg M z B M M = et = z z B Comme c est la même chose que ce qu on a trouvé, s( ) =, etc 4 a Bn+ = Bn de toute évdence 5 b Sute géométrque de premer terme B=, de rason, Bn n n ( ) ( ) 5 0,0 ln 0,0/5 = 0 n 6, d où la premère valeur de n est 7 5 ln / c B = M Comme on fat un quart de tour à chaque fos, tous les n mpars (, 5, 7 ) feront revenr B n sur la drote B 6 Smltude, Centres étrangers, jun 008 5 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) ; l'unté graphque est cm On consdère les ponts, B, C, D et E d affxes respectves : a=, b= +, c=, 5 d = + et 5 e= Placer ces cnq ponts sur un graphque qu sera complété au fl de l'exercce On admet que deux rectangles sont semblables s et seulement s le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles Démontrer que OBC et BDE sont deux rectangles et qu'ls sont semblables Étude d'une smltude drecte transformant OBC en BDE a Détermner l écrture complexe de la smltude drecte s qu transforme O en et en B B
b Démontrer que la smltude s transforme OBC en BDE c Quel est l'angle de la smltude s? d Sot Ω le centre de cette smltude En utlsant la composée s s, démontrer que le pont Ω appartent aux drotes (OB) et (D) En dédure la poston du pont Ω 4 Étude d'une smltude ndrecte transformant OBC en BED a Montrer que récrture complexe de la smltude ndrecte s qu transforme O en B et qu lasse nvarant est : z' = z+ + où z désgne le conjugué du nombre complexe z b Montrer que s transforme OBC en BED c Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d'ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Démontrer que s est la composée de la réflexon d'axe (O) suve d'une smltude drecte dont on précsera les éléments caractérstques 7 Smltude+ROC, Pondcherry, avrl 008 (c) 5 ponts Parte On suppose connu le résultat suvant : Une applcaton f du plan mun d un repère orthonormal drect dans lu-même est une smltude drecte s et seulement s f admet une écrture complexe de la forme z' = az+ b, où a C * et b C Démonstraton de cours : on se place dans le plan complexe Démontrer que s,b, et B sont quatre ponts tels que est dstnct de B et est dstnct de B, alors l exste une unque smltude drecte transformant en et B en B Parte B Dans le plan complexe mun d un repère orthonomal drect ( O; u, v) d affxes respectves z =, z =, z = + et z = + B C D on consdère les ponts, B, C, D a Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes z, z B, z C et z D b Construre à la règle et au compas les ponts, B, C et D (on prendra pour unté graphque cm) c Détermner le mleu du segment [C], celu du segment [BD] Calculer le quotent nature du quadrlatère BCD On consdère la smltude drecte g dont l écrture complexe est z' = e z+ a Détermner les éléments caractérstques de g b Construre à la règle et au compas les mages respectves E, F et J par g des ponts, C et O c Que constate-t-on concernant ces ponts E, F et J? Le démontrer Correcton Parte z z B En dédure la Démonstraton de cours : On a les affxes a, a, b et b S on a une smltude drecte, celle-c s écrt z' = αz+ β ; l sufft donc de trouver α et β en foncton de a, a, b et b b' a' ' a' αa β a' αa β = + = + α = b a B B' b' = αb+ β b' a' = α( b a) β = a' αa Parte B z =, z =, z = + et z = + B C D ; valable s a b, sot et B dstncts Termnale S 4 http://larochelyceefreefr
a z = = = e zc = + = + = e 6 ; 5 6 ; z B = = = e zd = + = + = e b Les ponts sont sur le cercle de centre O, de rayon (cercle de damètre [PQ]) ; B est un sommet de trangle équlatéral, D est damétralement opposé à B, est sur la bssectrce de QOD et est tel que l arc Q= Q ' ; C est damétralement opposé à (trats pontllés nors sur la fgure) ; D ' a E C Q O P=J F B c z + z = 0, z + z = 0, le mleu est O C B D z z B 5 + 6 6 e = = e = e = e donc (O) et (OB) sont 5 6 e orthogonales de même que (C) et (BD) BCD est un carré : dagonales se coupant à angle drot en leur mleu et de même longueur On consdère la smltude drecte g dont l écrture complexe est z' = e z+ a ω = e ω+ + ω = + ω = ω = e d angle : g est la rotaton de centre B, b J est déjà construt pusqu l s agt de P Par alleurs l s agt de trangles équlatéraux : on construt les deux cercles de rayon B, de centre et de centre B ; une des deux ntersectons est E ; même chose avec les cercles de rayon BC, de centres B et C (en rouge et vert sur la fgure) Termnale S 5 http://larochelyceefreefr
c E, J et F sont algnés : z = e z JE + = e z JE= JF JE= FJ : J est le mleu de [EF] ; z = e z JF C + = e zc et zc = z donc On aurat pu utlser le fat que O est le mleu de et C, sot en fasant la rotaton on garde l algnement et le mleu 8 Smltude, Polynése, sept 007 5 ponts Pour cet exercce, les fgures correspondant aux partes et B sont fournes c-dessous Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère un trangle OB et une smltude drecte σ de centre O, de rapport λ et d angle θ H B v O u Sot : - les ponts et B mages respectves des ponts et B par la smltude σ ; - les ponts I, mleu du segment [ B] et J, mleu du segment [B ] ; - le pont M mleu du segment [ ] ; - le pont H, projeté orthogonal du pont O sur la drote (B) et le pont H mage du pont H par σ Parte : Etude d un exemple Dans cette parte, le pont a pour affxe 6+ 4, le pont B a pour affxe + 4, et le pont H a donc pour affxe 4 La smltude σ est la smltude drecte de centre O, de rapport et d angle Détermner les affxes des ponts, B et H Montrer que la drote (IJ) est perpendculare à la drote (HH ) Parte B : Etude du cas général a Montrer que H est le projeté orthogonal du pont O sur la drote ( B ) b Montrer que MI = B On admet que MJ = ' B' MJ OH' c En dédure que = et que ( MI, MJ) = ( OH, OH' ) + k, k Z MI OH On appelle s la smltude drecte qu transforme M en O et I en H On note K l mage du pont J par la smltude s Termnale S 6 http://larochelyceefreefr
a Montrer que OK OH' =, pus que ( ) OK, OH' = 0+ k, k Z b En dédure que le pont H est l mage du pont J par la smltude s IJ, HH' = MI, OH + k, k Z Montrer que la drote (IJ) est perpendculare à la Montrer que ( ) ( ) drote (HH ) J H B B' M H' O I ' 9 Smltude, ntlles, sept 007 5 ponts BC est un trangle équlatéral du plan tel que ( B C) Termnale S 7 http://larochelyceefreefr, = + k, k Z Sot t un nombre réel fxé et soent les ponts M, N et P, deux à deux dstncts, défns par : M= tb, BN = tbc, CP= tc Le but de l exercce est de démontrer l exstence d une unque smltude drecte σ qu transforme les ponts, B et C en respectvement M, N et P, et d en précser les éléments caractérstques On munt le plan d un repère orthonormal ( O; u, v) drect On note a, b, c, m, n et p les abscsses respectves des ponts, B, C, M, N et P On rappelle que toute smltude conserve le barycentre a Exprmer m, n et p en foncton de a, b, c et t b En dédure que les deux trangles BC et MNP ont même centre de gravté On notera G ce centre de gravté c On suppose que σ exste Détermner l mage de G par σ On consdère la rotaton r de centre G et d angle a Vérfer que M est le barycentre du système de ponts {(, t) ;( B, t) } et en dédure que ( ) On admet de même que r( N) = P et ( ) r P = M r M = N
b Sot σ la smltude drecte de centre G, de rapport GM transforme les ponts, B et C respectvement en M, N et P c Conclure sur l exstence et l uncté de σ 0 Smltude, m du Sud, sept 007 5 ponts Le plan P est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) G et d angle ( G, GM) Montrer qu elle On fera une fgure que l on complétera avec les dfférents éléments ntervenant dans l exercce On consdère les ponts d affxe et B d affxe On appelle S la réflexon (symétre axale) d axe (B) Montrer que l mage M par S d un pont M d affxe z a pour affxe z' = z+ + On note H l homothéte de centre et de rapport Donner l écrture complexe de H On note f la composée H S a Montrer que f est une smltude b Détermner l écrture complexe de f 4 On appelle M l mage d un pont M par f a Démontrer que l ensemble des ponts M du plan tels que M = M est la drote (B) b Démontrer que l ensemble des ponts M du plan tels que M = M est la perpendculare en à la drote (B) Smltude drecte et ndrecte, France, jun 007 5 ponts La fgure sera complétée tout au long de l exercce Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère les ponts, B et C, d affxes respectves 5 + 6, 7 et On admet que le pont F, d affxe + est le centre du cercle Γ crconscrt au trangle BC Sot H le pont d affxe 5 Détermner les éléments caractérstques de la smltude drecte de centre qu transforme le pont C en le pont H a Étant donné des nombres complexes z et z, on note M le pont d affxe z et M le pont d affxe z Soent a et b des nombres complexes Sot s la transformaton d écrture complexe z' = az + b qu, au pont M, assoce le pont M Détermner a et b pour que les ponts et C soent nvarants par s Quelle est alors la nature de s? b En dédure l affxe du pont E, symétrque du pont H par rapport à la drote (C) c Vérfer que le pont E est un pont du cercle Γ Sot I le mleu du segment [C] Détermner l affxe du pont G, mage du pont I par l homothéte de centre B et de rapport Démontrer que les ponts H, G et F sont algnés Termnale S 8 http://larochelyceefreefr
Smltudes drecte et ndrecte, La Réunon, jun 007 5 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé drect ( O; u, v), B, C désgnent les ponts d affxes respectves a=, b= et c= a Écrre b sous forme exponentelle b Les ponts et C sont représentés sur la fgure c-dessous Construre à la règle et au compas le pont B sur ce dessn (lasser les tracés de constructon apparents) u, B u, C c Détermner une mesure en radans de l angle ( ) Les ponts E et F ont pour affxes respectves Termnale S 9 http://larochelyceefreefr et de l angle ( ) e= + et f = a Démontrer que les ponts, E et C, d une part, et les ponts, F et B, d autre part, sont algnés b Démontrer que le quotent e c peut s écrre k où k est un nombre réel à détermner e b Interpréter géométrquement ce résultat On admet que, de façon analogue, f c peut s écrre k où k est f b un nombre réel non nul que l on ne demande pas de détermner c Placer les ponts E et F sur la fgure
On désgne par S la smltude ndrecte dont l écrture complexe est Détermner les mages par S des tros ponts, B et C z z' = z 4 Sot H le pont d ntersecton des drotes (BE) et (CF) Placer le pont S(H) sur la fgure C v O u Smltudes drecte et ndrecte, C étrangers, jun 007 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) L unté graphque est cm Le but de cet exercce est d étuder la smltude plane ndrecte f d écrture complexe : et d en donner deux décompostons I Resttuton organsée de connassances Termnale S 0 http://larochelyceefreefr z' = z+, On rappelle que l écrture complexe d une smltude plane drecte autre qu une translaton est de la forme z = az + b, où a et b sont des nombres complexes avec a Détermner en foncton de a et de b l affxe du centre d une telle smltude plane drecte II Premère décomposton de f Sot g la smltude plane drecte d écrture complexe : z' = z+ Précser les éléments caractérstques de g (centre, rapport, angle) Détermner une réflexon s telle que f = g s IIIDeuxème décomposton de f Montrer que f admet un unque pont nvarant noté Ω Détermner l affxe ω de Ω Sot D la drote d équaton : y = x + Montrer que pour tout pont N appartenant à D, le pont f(n) appartent auss à D Sot σ la réflexon d axe D et k la transformaton défne par : k= f σ a Donner l écrture complexe de σ Indcaton : on pourra poser z' = az+ b et utlser deux ponts nvarants par σ pour détermner les nombres complexes a et b
b En dédure que l écrture complexe de k est : z' = z+ c Donner la nature de la transformaton k et précser ses éléments caractérstques 4 Dédure de ce qu précède une écrture de la smltude ndrecte f comme composée d une réflexon et d une homothéte 4 Smltudes, se, jun 007 5 ponts Le but de cet exercce est d étuder une même confguraton géométrque à l ade de deux méthodes dfférentes I À l ade des nombres complexes, sur un cas partculer Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) L unté graphque est cm On consdère les ponts et B d affxes respectves 0 et 5 a Détermner l écrture complexe de la smltude drecte s qu transforme O en et B en O b Détermner les éléments caractérstques de s On note Ω son centre c Détermner le pont s s( B) ; en dédure la poston du pont Ω par rapport aux sommets du trangle BO On note D la drote d équaton x y= 0, pus et B les ponts d affxes respectves 8 + 4 et + a Démontrer que les ponts et B sont les projetés orthogonaux respectfs des ponts et de B sur la drote D b Vérfer que s(b ) = c En dédure que le pont Ω appartent au cercle de damètre [ B ] II À l ade des proprétés géométrques des smltudes OB est un trangle rectangle en O tel que ( O, OB) = On note encore s la smltude drecte telle que s(o) = et s(b) = O Sot Ω son centre a Justfer le fat que l angle de s est égal à b Démontrer que Ω appartent au cercle de damètre [O] (On admet de même que Ω appartent au cercle de damètre [OB]) En dédure que Ω est le ped de la hauteur ssue de O dans le trangle OB On désgne par D une drote passant par O, dstncte des drotes (O) et (OB) On note et B les projetés othogonaux respectfs des ponts et B sur la drote D a Détermner les mages des drotes (BB ) et D par la smltude s b Détermner le pont s(b ) c En dédure que le pont Ω appartent au cercle de damètre [ B ] 5 Smltudes, ntlles, jun 007 5 ponts ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan complexe (unté graphque cm) On consdère le pont d affxe z = + On note S la symétre orthogonale par rapport à l axe ( O; u ) et h l homothéte de centre O et de rapport On pose s= h S Parte Placer le pont et compléter la fgure au fur et àmesure Quelle est la nature de la transformaton s? Justfer Détermner l écrture complexe de la transformaton s 4 a Détermner l affxe z B du pont B mage de par s Termnale S http://larochelyceefreefr
b Montrer que z z Termnale S http://larochelyceefreefr B = Détermner une mesure de l angle ( O, OB) 5 Soent M le mleu de [B] et P l mage de M par s Montrer que la drote (OP) est perpendculare à la drote (B) Parte B On pose C = s(b)montrer que P est le mleu de [BC] a Détermner l écrture complexe de s s et en dédure sa nature b Montrer que l mage de la drote (OP) par s est la drote (OM) c Que représente le pont M pour le trangle OBP? Justfer 6 Smltude+Bézout, m du Nord, jun 007 (c) 5 ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque cm) On fera une fgure que l on complétera tout au long de l exercce Soent, B et C les ponts d affxes respectves a= + 5, b= 4+, c= + 4 Sot f la transformaton du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe z, assoce le pont M d affxe z z' = z+ défne par ( ) Détermner la nature et les éléments caractérstques de f a Détermner l affxe du pont B, mage du pont B par f b Montrer que les drotes (CB ) et (C) sont orthogonales Sot M le pont d affxe z = x+ y où on suppose que x et y sont des enters relatfs Sot M l mage de M par f Montrer que les vecteurs CM ' et C sont orthogonaux s et seulement s x+ y= 4 On consdère l équaton (E): x+ y= où x et y sont des enters relatfs a Vérfer que le couple ( 4;) est une soluton de (E) b Résoudre l équaton (E) c En dédure l ensemble des ponts M dont les coordonnées sont des enters appartenant à l ntervalle et tels que les vecteurs CM ' et C soent orthogonaux Placer ces ponts sur la fgure [ 5;5] Correcton ' = z+ : smltude drecte = e 4 donc rapport, angle z ( ) ω= ( ) ω+ ω( + ) = ω= 5 a ( ) ( )( ) b b' = f b = 4+ + = 8+ 8+ 4+ 4+ = + ( 4+ 8)( ) b' c + 4 4+ 8 0 = = = = = 4 a c + 5 4 + 5 5 x' CM' C= = x' + y' 4= x' + y' 6 y' 4 ( ) donc ( C, CB' ) arg( 4) Par alleurs z' ( ) z x' y' ( )( x y) x y ( x y) = + + = + + = + + + + On remplace et on annule : ( ) 4 a ( 4;) est une soluton de (E) : 4+ = Le centre est tel que 4 = = x+ y+ x+ y 6= 0 x+ 6y 4= 0 x+ y= x+ y= x+ 4= k x= k 4 b x+ 4+ ( y ) = 0 ( x+ 4) = ( y), k 4 + ( ) = Z y= k y= k
5 k 4 5 k 9 / k 5 k 5 7 k k 7 c k { 0,,,} 7 Smltude ndrecte, Pondcherry, avrl 007 5 ponts Termnale S http://larochelyceefreefr ( 4; ),( ; ),( ;0 ),( 5; ) Dans cette queston l est demandé au canddat d exposer des connassances On suppose connus les résultats suvants : - la composée de deux smltudes planes est une smltude plane ; d où les quatre ponts : - la transformaton récproque d une smltude plane est une smltude plane ; - une smltude plane qu lasse nvarants tros ponts non algnés du plan est l dentté du plan Soent, B, C tros ponts non algnés du plan et s et s deux smltudes du plan telles que : Montrer que s= s' ( ) '( ), ( ) '( ), ( ) '( ) s = s s B = s B s C = s C Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) La fgure sera complétée au fur et à mesure On donne les ponts d affxe, E d affxe +, F d affxe + et G d affxe + a Calculer les longueurs des côtés des trangles OG et OEF En dédure que ces trangles sont semblables b Montrer que OEF est l mage de OG par une smltude ndrecte S, en détermnant l écrture complexe de S c Sot h l homothéte de centre O et de rapport mleu de [E ] On note σ la symétre orthogonale d axe ( ) 8 Nouvelle Calédone, nov 006 On pose ' = h ( ) et G' h( G) 5 ponts Le plan est mun d un repère orthonormé drect ( O; u, v) (unté cm) On construra une fgure que l on complétera au fur et mesure OI Montrer que S= σ h =, et on appelle I le Sot le pont d affxe, et r la rotaton de centre O et d angle On note B, C, D, E et F les mages respectves des ponts, B, C, D et E par la rotaton r Montrer que B a pour affxe + ssocer à chacun des ponts C, D, E et F l une des affxes de l ensemble suvant : a Détermner r(f) b Quelle est la nature du polygone BCDEF? ; + ; ; 4 Sot s la smltude drecte de centre, de rapport et d angle Sot s la smltude drecte de centre E transformant F en C a Détermner l angle et le rapport de s En dédure l angle et le rapport de s s b Quelle est l mage du pont D par s s? c Détermner l écrture complexe de s 5 Sot le symétrque de par rapport à C a Sans utlser les nombres complexes, détermner s( ) pus l mage de par s s b Calculer l affxe du pont Retrouver alors le résultat du a en utlsant l écrture complexe de s s
9 mérque du Nord, jun 006 (c) 5 ponts Le plan mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra pour unté graphque 4 cm Sot Ω le pont d affxe On appelle r la rotaton de centre Ω et d angle 4, et h l homothéte de centre Ω et de rapport On pose σ = h r a Quelle est la nature de la transformaton σ? Précser ses éléments caractérstques + b Montrer que l écrture complexe de σ est : σ : z z+ c Sot M un pont quelconque du plan, d affxe z On désgne par M son mage par σ et on note z l affxe z z = z de M Montrer que ( ) a Queston de cours : Prérequs : défntons géométrques du module d un nombre complexe et d un argument d un nombre complexe non nulproprétés algébrques des modules et des arguments Démonter que : s est un pont donné d affxe a, alors l mage du pont P d affxe p par la rotaton de centre et d angle est le pont Q d affxe q telle que q a= ( p a) b Dédure des questons précédentes la nature du trangle MM Ω, pour M dstnct de Ω Sot 0 le pont d affxe naturel n, σ( ) n+ = n Termnale S 4 http://larochelyceefreefr + On consdère la sute ( ) a Montrer que, pour tout enter naturel n, l affxe a n de n est donnée par : b Détermner l affxe de de ponts du plan défns par : pour tout enter n an n ( n+ ) = e 4 + 4 Détermner le plus pett enter n 0 tel que l on at : pour n> n0, le pont n est dans le dsque de centre Ω et de rayon 0,0 Correcton a σ est évdemment une smltude drecte de centre Ω, de rapport et d angle 4 b σ :z z avec 4 + z' ω= e ( z ω) z = + ( z ) z = ( z ) + + en développant : z = z+ c + z z z z z = + = + et ( ) a Queston de cours : + z = z + = z+, c est parel S est un pont donné d affxe a, alors l mage du pont P d affxe p par la rotaton de centre et d angle est le pont Q d affxe q telle que Q q a q a Q= P = = = P p a p a q a ( P, Q) [ ] = p a = e =, et donc q a ( p a) = q a p a arg [ ] = d où
b Comme on a z z = ( z ) d angle, sot Ω MM est rectangle socèle en M Termnale S 5 http://larochelyceefreefr, cec se tradut par : M est l mage de Ω par la rotaton de centre M, 0 ( 0+ ) a Par récurrence : a0 = + ; avec la relaton donnée : a 4 0 = e + = e + = + ; ça marche au rang 0 On suppose que ça roule au rang n ; au rang n+ on a alors avec la formule : et d un autre côté par le calcul : n+ ( n+ ) a 4 n+ = e + n ( n ) + + a 4 4 4 n+ = an + = e an + = e e + + n+ ( n+ ) n+ ( n+ ) n+ ( n+ ) = e 4 e 4 e 4 e 4 + + = + + + = + Ok! b 5 4 7 a = e + = + = 4 4 4 Il faut trouver n 0 tel que n0 ( ) ln 0,0 Ωn 0,0 a 0,0 0,0 0 ln( ) ln( 0,0) 0 n n n 0 0, ln donc n 0 = 4 0 ntlles, jun 006 5 ponts Sur la fgure donnée en annexe, on consdère les carrés OBC et OCDE tels que : ( O; OC) = ( OC ; OE) = On désgne par I le mleu du segment [CD], par J le mleu du segment [OC] et par H le pont d ntersecton des segments [D] et [IE] Justfer l exstence d une smltude drecte s transformant en I et D en E Détermner le rapport de cette smltude s On admet que l angle de la smltude s est égal à Donner, sans justfer, l mage de B par s 4 Détermner et placer l mage de C par s 5 Sot Ω le centre de la smltude s a Montrer que Ω appartent au cercle de damètre [I] et à celu de damètre [DE] b Montrer que Ω ne peut être le pont H c Construre Ω 6 On consdère le repère orthonormal drect ( O; O, OC) a Détermner l écrture complexe de la smltude s b En dédure l affxe du centre Ω de s
D C B I J E O La Réunon, jun 006 5 ponts On complètera la fgure donnée en annexe au fur et à mesure des questons, et on la rendra avec la cope BCD est un carré tel que ( B, C) =+ Sot I le centre du carré BCD Sot J le mleu du segment [CD] On désgne par s la smltude drecte qu transforme en I et B en J Le but de l exercce est d étuder certanes proprétés de la smltude s Dans la parte on utlsera des rasonnements géométrques ; dans la parte B on utlsera les nombres complexes Parte Détermner le rapport et l angle de la smltude s On désgne par Ω le centre de cette smltude Γ est le cercle de damètre [I], Γ est le cercle de damètre [BJ] Démontrer que Ω est l un des ponts d ntersecton de Γ et Γ Placer Ω sur la fgure Donner l mage par s de la drote (BC) En dédure le pont mage par s du pont C, pus le pont K mage par s du pont I 4 On pose h= s s (composée de s avec elle même) a Donner la nature de la transformaton h (précser ses éléments caractérstques) b Trouver l mage du pont par h En dédure que les ponts, Ω et K sont algnés Parte B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( ; u, v), chos de manère à ce que les ponts, B, C et D aent comme affxes respectves 0,, + et Démontrer que l écrture complexe de la smltudes est Calculer l affxe du pont Ω Termnale S 6 http://larochelyceefreefr z = z+ + Calculer l affxe du pont E tel que s(e) = Placer le pont E sur la fgure Sm ndrecte+leu, Lban, jun 006 (c) 5 ponts Dans le plan complexe mun du repère orthonormé drect ( O; u, v), on consdère les ponts d affxe et B d affxe 6 ; unté graphque : cm Parte