Exercices sur les Itervalles de cofiace Exercice Le parti d u cadidat commade u sodage réalisé à partir de 600 persoes à l issue duquel il est doé gagat avec 52% des voix. A-t-il des raisos d être cofiat? Exercice 2 Lors d u référedum, u sodage aléatoire simple pratiqué sur 000 persoes a doé 55% pour le "Oui" et 45% pour le "No". Peut-o prévoir le résultat du référedum? Exercice 3 Si, pour u référedum, o sait que "oui" se situe autour de 50%, combie de persoes faudrait-il iterroger pour que la proportio de "Oui" soit coue à % près? (e plus ou e mois) Exercice 4 Pourcetage de garços à la aissace. Das u pays, sur 429 440 aissaces, o a déombré 22 023 garços. Ce résultat est-il coforme à l hypothèse selo laquelle il y a 50% de aissaces masculies (et doc 50% de aissaces fémiies)? Exercice 5 Le derier sodage de 2002 e prévoyait pas la présece de Jea-Marie Le Pe au secod tour. Pouvait-o croire au sodage? 2 Avril 2002 secod tour de l électio présidetielle e Frace. Les sodages (000 p) prévoiet : M Chirac : 9 % M Jospi : 8 % M Le Pe : 4 % Les Résultats sot : Surpreat! M Chirac : 9,88 % M Jospi : 6,8 % M Le Pe : 6,88 % Exercice 6 Qu est-ce qu u sodage? U maire voudrait coaître le pourcetage de persoes de sa commue favorables à u projet d urbaisme, et ceci à partir d ue equête portat sur u ombre restreit d idividus. Il demade à quatre collaborateurs commet procéder. le er propose d ouvrir à la mairie u registre pour recueillir l avis des persoes désirat s exprimer sur le sujet ; le 2e d iterroger les 350 habitats de so quartier ; le 3e d iterroger les 00 premières persoes recotrées das la rue, le mardi suivat à partir de 0 h. le 4e de sélectioer, de faço totalemet aléatoire, 00 idividus à iterroger, à partir de la liste des habitats de la commue. Tous les quatre peset esuite utiliser la formule bie coue : f ; f Ils affirmet avoir ue probabilité 0,05 de se tromper e disat que la proportio cherchée est das cet itervalle. À la place du maire, et idépedammet de toute cosidératio de coût ou de difficulté de réalisatio pratique (et e supposat que toutes les persoes iterrogées répodet), quelle méthode choisiriez-vous? Exercice 7 Sur u échatillo de 350 persoes, u cadidat aux électios muicipales a obteu 54 % des itetios de vote. a) Détermier u itervalle de cofiace. b) Si les électios avaiet eu lieu le jour de ce sodage et si les réposes au sodage étaiet sicères, ce cadidat aurait-il été élu au premier tour? c) Détermier le ombre de persoes qu il aurait fallu iterroger afi d être certai que ce cadidat sera élu. Exercice 8 U istitut de sodage commuique à u cadidat aux électios régioales l itervalle de cofiace au iveau 0,95 de so futur score. Cet itervalle a ue amplitude de 0,04. Combie de persoes a iterrogé l istitut de sodage?
CORRIGE des exercices sur les itervalles de cofiace Exercice Le parti d u cadidat commade u sodage réalisé à partir de 600 persoes à l issue duquel il est doé gagat avec 52% des voix. A-t-il des raisos d être cofiat? O a bie : 25 O peut répodre à la questio si o motre p > 0,5 avec ue grade probabilité. Le problème est que p est icou... O remarque alors que : p f p f p f 600 600 600 600 c est l itervalle de cofiace au risque de 5% : f 0,52 0,025 p 0,52 0,025 0, 495 p 0,535 ; f I C 0, 495;0,535 0,5 I C doc o e peut coclure. De plus, cette itervalle de cofiace est précis à 95% (seulemet). Exercice 2 Lors d u référedum, u sodage aléatoire simple pratiqué sur 000 persoes a doé 55% pour le "Oui" et 45% pour le "No". Peut-o prévoir le résultat du référedum? O a bie : 25 000 000 Avec u risque d erreur de 5%, o peut dire le "Oui" va l emporter. L itervalle de cofiace est : f ; f 0,55 ;0,55 0,58;0,582 Exercice 3 Si, pour u référedum, o sait que "oui" se situe autour de 50%, combie de persoes faudrait-il iterroger pour que la proportio de "Oui" soit coue à % près? (e plus ou e mois) L itervalle de cofiace est : f ; f O veut : 0,0 00 0000 O peut aussi cosidérer que la proportio coue à % près traduit ue amplitude de 0,02 : 2 f f 0,02 f f 0,02 0,02 00 0000 Exercice 4 Pourcetage de garços à la aissace. Das u pays, sur 429 440 aissaces, o a déombré 22 023 garços. Ce résultat est-il coforme à l hypothèse selo laquelle il y a 50% de aissaces masculies (et doc 50% de aissaces fémiies)? Itervalle de cofiace de iveau 0,95 :
22023 22023 ; 0,532;0,562 429 440 429 440 429 440 429 440 soit etre 5.32% et 5.62% de aissaces masculies doc o coformité avec l hypothèse. Exercice 5 Le derier sodage de 2002 e prévoyait pas la présece de Jea-Marie Le Pe au secod tour. Pouvait-o croire au sodage? 2 Avril 2002 secod tour de l électio présidetielle e Frace. Les sodages (000 p) prévoiet : M Chirac : 9 % M Jospi : 8 % M Le Pe : 4 % Les Résultats sot : Surpreat! M Chirac : 9,88 % M Jospi : 6,8 % M Le Pe : 6,88 % Les itervalles de cofiace à 95 % sot : M. Chirac : 0,9 ;0,9 0,58;0, 222 000 000 M. Jospi : 0,8 ;0,8 0,48;0, 22 000 000 M. Le Pe : 0,4 ;0,4 0,08;0,72 000 000 Il y a pas de surprise, seulemet que M Jospi est das la partie basse et M Le Pe das la partie haute. Exercice 6 Qu est-ce qu u sodage? U maire voudrait coaître le pourcetage de persoes de sa commue favorables à u projet d urbaisme, et ceci à partir d ue equête portat sur u ombre restreit d idividus. Il demade à quatre collaborateurs commet procéder. le er propose d ouvrir à la mairie u registre pour recueillir l avis des persoes désirat s exprimer sur le sujet ; le 2e d iterroger les 350 habitats de so quartier ; le 3e d iterroger les 00 premières persoes recotrées das la rue, le mardi suivat à partir de 0 h. le 4e de sélectioer, de faço totalemet aléatoire, 00 idividus à iterroger, à partir de la liste des habitats de la commue. Tous les quatre peset esuite utiliser la formule bie coue : f ; f Ils affirmet avoir ue probabilité 0,05 de se tromper e disat que la proportio cherchée est das cet itervalle. À la place du maire, et idépedammet de toute cosidératio de coût ou de difficulté de réalisatio pratique (et e supposat que toutes les persoes iterrogées répodet), quelle méthode choisiriez-vous? Celle du collaborateur : : No, car seules les persoes itéressées ferot la démarche d aller jusqu à la mairie. Celles qui e ot pas le temps, ou qui e se setet pas assez cocerées, e serot pas cosultées. L échatilloage aisi réalisé e sera pas représetatif de toute la populatio. 2 : No, la taille de l échatillo est grade, ce qui permettrait ue boe précisio si o avait u échatillo vraimet aléatoire, mais il e s agit pas d u tirage au hasard sur l esemble de la populatio, puisqu o exclut du sodage tous les habitats des autres quartiers. 3 : No, car o exclut du sodage toutes les persoes qui travaillet le mardi mati. O risque de iterroger que des femmes au foyer, des retraités ou des chômeurs. L échatillo e serait pas représetatif de l esemble des habitats de la ville. 4 : Oui, c est la seule démarche qui permette de justifier le recours à la formule doat l itervalle de cofiace. Il est écessaire d avoir u échatillo aléatoire simple : tous les habitats ot la même chace d être choisis, et de faço idépedate. Persoe est exclu du sodage.
Le maire décide doc de choisir, à partir d ue liste de plusieurs milliers de oms, 00 persoes, "totalemet au hasard". Mais commet faire pour être sûr d agir "e toute objectivité"? Ue solutio est l utilisatio de tables de ombres au hasard, ou de procédés iformatiques. À partir d ue liste umérotée de N oms, choisir les uméros de persoes, de faço à ce que chacu ait la même probabilité d être choisi, et de faço idépedate. D autre part, si le maire pese que so projet risque d être resseti différemmet par les hommes et les femmes (implatatio d u stade de foot-ball par exemple), ou selo les traches d âge, et que la liste d habitats dot il dispose metioe le sexe et l âge, que faire? Il peut améliorer la précisio de so estimatio e choisissat au hasard u certai ombre d hommes, u certai ombre de femmes, u certai ombre d idividus par trache d âge. C est ce que l o appelle u sodage stratifié. De même, il peut être logique de procéder das certais cas à des sodages à probabilités iégales : par exemple si les idividus sot des etreprises, il peut être utile de les choisir avec des probabilités proportioelles à leur chiffre d affaire, ou au ombre de leurs salariés. Remarque. Ue méthode de sodage cosiste à défiir la faço dot o va prélever les idividus das la populatio afi de costituer u échatillo. Lorsque tous les idividus ot la même probabilité d apparteir à l échatillo sélectioé, o parle de sodage à probabilités égales. U sodage aléatoire est dit simple si tous les échatillos de taille fixée sot réalisables avec la même probabilité. Il existe égalemet des sodages stratifiés (s appuyat sur des sous-populatios appelées strates costituées à partir des doées portat sur l esemble de la populatio), des sodages par la méthode des quotas (aalogue aux sodages stratifiés mais avec probabilité iégales d apparteir à l échatillo sélectioé),... Exercice 7 Sur u échatillo de 350 persoes, u cadidat aux électios muicipales a obteu 54 % des itetios de vote. a) Détermier u itervalle de cofiace. b) Si les électios avaiet eu lieu le jour de ce sodage et si les réposes au sodage étaiet sicères, ce cadidat aurait-il été élu au premier tour? c) Détermier le ombre de persoes qu il aurait fallu iterroger afi d être certai que ce cadidat sera élu. a) La proportio de visiteurs fraçais est INCONNUE. L'effectif de l'échatillo est = 350. La fréquece de l échatillo est 0,54. O a bie : 0,2 f 0,8 et 25 L'itervalle de cofiace est doc : I = 0,54 ;0,54 soit approximativemet I = 350 350 0,487;0,593. b) O e peut pas affirmer que ce cadidat a 95% de chaces d être élu. c) Soit le ombre cherché, et e supposat la même fréquece, l'itervalle de cofiace est : 0,54 ;0,54 Il faut que 0,54 0,5 0,5 0,54 0,04 0,04
0,04 0,04 25 625 Exercice 8 U istitut de sodage commuique à u cadidat aux électios régioales l itervalle de cofiace au iveau 0,95 de so futur score. Cet itervalle a ue amplitude de 0,04. Combie de persoes a iterrogé l istitut de sodage? a) La proportio de visiteurs fraçais est INCONNUE. L'effectif de l'échatillo est. La fréquece de l échatillo est pas commuiquée. O suppose que : 0,2 f 0,8 et 25 L'itervalle de cofiace est doc : I = f ; f Aisi la taille de l échatillo est : 2 f f f f L amplitude de l itervalle est égale à 0,04 doc : 2 0,04 2 0,04 2 0,04 2 0,04 50 2500