Fiche professeur PREMIER PROBLEME : U bassi cotiet u volume égal à 0 L eau, as lesquels sot issous g e sel O réalise l'expériece e ilutio écrite ci-essus avec u ébit 'arrivée 'eau pure et u ébit 'évacuatio u mélage ietiques = L/mi Le mélage est cosiéré à tout istat homogèe Au bout ue heure, quelle quatité e sel reste-t-il as le bassi? Approche par les suites (moèle iscre : O écompose ue heure e étapes e urée = 0 miutes O peut prologer éviemmet l'expériece au-elà 'ue heure Premier moèle iscret : Au cours e chaque étape : - o ferme l'arrivée 'eau pure, - o laisse s'écouler le mélage par l'évacuatio avec u ébit costat (la cocetratio e sel reste alors costate peat l'évacuatio), - o rajoute istataémet l'eau pure O ote la quatité e sel (e g) présete as le bassi à la fi e la -ième étape, avec 0 = O ote C la cocetratio e sel (e g/ L) mesurée à la fi e la -ième étape, avec C = (où = 0 L) O ferme l'arrivée 'eau pure et o ouvre le robiet 'évacuatio La cocetratio C reste costate as le bassi et as le liquie évacué Le volume e solutio qui s'écoule peat miutes est : e litres (avec les oées u problème, il faut prere >, sio o vie le bassi) La quatité e sel évacué est oc e : C ( ) = A la fi e la ( + )-ième étape, il reste oc : + = = g e sel O recoaît la éfiitio 'ue suite géométrique e raiso Alors : = 0 pour tout etier supérieur où égal à 0 Avec les oées u problème : 0 = = pour 0, où = et > 0 Au bout 'ue heure : = et =
Quelques exemples : i = mi alors = 0 et 0 0, 0797 g, soit eviro 8 g i = mi ( secoes) alors = 30 et 00 0, 02357 g, soit eviro 23, g i = mi ( secoe) alors = 300 et 300 0, 024 g, soit eviro 24,7 g 0 A ce stae, o peut faire remarquer à es élèves e première que le résultat semble tere vers ue valeur proche e 25 g Au iveau termiale : l = = e l X o pose : X =, alors = et : lim lim = e X = e 0, 02479 g X + X l X l e utilisat : lim = (ombre érivé e la foctio l e ) X X O obtiet alors ue valeur limite au bout 'ue heure 'eviro 24,8g proche e 300 Deuxième moèle iscret : Au cours e chaque étape : - o ferme le robiet e viage, - o laisse s'écouler e l'eau pure avec u ébit costat (la quatité e sel reste alors costate peat cette étape), - o viage istataémet le bassi pour e garer qu'u volume O repre les mêmes otatios : = 0, est la quatité e sel (e g) présete as le bassi à la fi e la -ième étape (après la viage) et C est la cocetratio e sel u bassi à la fi e la -ième étape (avat la viage et après la viage) A la fi e la ( + )-ième étape, avat la viage, le volume e liquie as le bassi vaut : + La cocetratio e sel as le bassi est oc : C + = + Esuite, o évacue le surplus e litres La cocetratio reste égale à C + Il reste alors, as le bassi, ue quatité e sel égale à : + = C+ = = (e g) + + O recoaît à ouveau la éfiitio 'ue suite géométrique e raiso + 0 Alors : = pour 0 (Il peut exister ue cotraite sur liée au volume totale u bassi + qui e oit pas éborer )
Avec les oées u problème : Au bout 'ue heure : = et = + = + 0 pour 0 où = Quelques exemples : i = mi alors = 0 et 0 0, 03284 g, soit eviro 32,8 g i = mi ( secoes) alors = 30 et 30 0, 0204 g, soit eviro 2 g i = mi ( secoe) alors = 300 et 300 0, 0249 g, soit eviro 24,9 g 0 Au iveau termiale : = + = e O pose X = +, alors = X et : lim + O retrouve le même résultat que précéemmet l + X l X X = lim e = e Approche par les foctios (moèle cotiu) : O ote la quatité e sel (e g) as le bassi à l'istat t (e miutes) et C( la cocetratio mesurée (e g/ L) as le bassi à l'istat t avec C( = O observe ce qui se prouit etre les istats t et t + t où t représete ue urée très courte A la ate t + t, il y a t + t ) g e sel as le bassi O cosière le volume costat car le ébit 'écoulemet est le même que le ébit 'arrivée 'eau pure, t + alors : C( t + = La quatité e sel imiuat, o a égalemet : ( t + > 0 Etre les ates t et t + t, la quatité 'eau arrivée et la quatité e liquie écoulé est la même et vaut : t litres O s'itéresse à la cocetratio e sel u volume e liquie écoulé : elle est forcémet comprise etre t + C( et C( t + t ), avec C( > C( t +, et vaut : t ( t + t + t + t + Alors :, 'où : t t Lorsque t < 0, o tiet le même raisoemet et o trouve : ( t + t + t + t + 'où : ( t
O fait esuite tere t vers 0 as les eux iégalités E supposat la foctio cotiue e t : lim t + = t 0 O applique alors le théorème it "es gearmes" O obtiet que est érivable et : t + lim = = (' t 0 t Alors, pour tout réel t positif, o trouve : (' = Avec les oées u problème, o est oc couit à rechercher la foctio éfiie sur [0 ; + [ telle 0) = que : (' = Pour coaître la quatité e sel restat au bout 'ue heure : Au iveau première et e ébut e termiale, o peut appliquer la méthoe 'Euler pour la recherche graphique 'ue solutio O ote la quatité e sel (e g) présete as le bassi à l'istat t où la suite ( t ) est ue suite arithmétique e premier terme t 0 = 0 et e raiso = 0, alors = ( t ) + = t + ) (' t ) + t ) pour u réel proche e 0 (et oc u etier assez gra) O pre oc l'approximatio suivate : + = + = O retrouve alors la suite géométrique oée par le premier moèle iscret t Au iveau termiale : = 0e = e où t s'exprime e miutes Alors : (0) = e t O retrouve à ouveau la limite es suites précéetes O peut remarquer qu'e fait les eux suites éfiies précéemmet sot ajacetes et ecaret la solutio cotiue
Fiche professeur DEUXIEME PROBLEME : O cosière maiteat u récipiet e 80 ml eau coteat u chlorure e potassium (KCl) avec ue cocetratio e 0, mol/l Le ébit arrivée eau pure et le ébit évacuatio u mélage valet 20 ml/mi Le mélage est cosiéré à tout istat homogèe Au bout e combie e temps peut-o cosiérer que la cocetratio e KCl est ivisée par 0? Résolutio : O obtiet le même type 'équatio ifféretielle que pour la première expériece, si o ote C( la cocetratio e KCl mesurée (e mol / L) as le récipiet à l'istat t (e miutes) : C (' = C( Les solutios à ce type 'équatio ifféretielle sot e la forme : C( = e où est u réel t Comme C(0) =, o obtiet : C( = C(0) e t O cherche oc à résoure : C( 0) e = 0,0 C(0) ce qui équivaut à : e = 0, 0 O obtiet : t = l 0,0 4, Avec les oées u problème, il faura oc que l'expériece ure eviro 4,4 miutes t t Remarque : O peut mettre l'expressio e C( sous la forme : C( = C(0) e, avec = Ce ombre est appelé costate e temps e scieces physiques O cosière e gééral que l'expériece est quasimet termiée au bout 'ue urée e 5, ce qui 5,7 correspo à u taux e ilutio 'eviro 99,3% (car C(5 ) = C(0) e C(0) ) 0 Avec les oées u problème, vaut 9 miutes et il faut oc prévoir ue expériece qui puisse urer eviro 45 miutes Pour imiuer le temps e réalisatio e l'expériece, il suffit 'augmeter le ébit t
Parethèse mathématique sur la costate e temps et la valeur e 5 : Les équatios ifféretielles u type C sous la forme : y ' = y + Elles amettet es solutios e la forme : O obtiet alors es solutios u type : y + y' = C où est u réel positif et C u réel peuvet se mettre x f ( x) = e + C avec f ( 0) = + C f ( x) = C + ( f (0) C) e avec lim f ( x) = C x x + Il existe ue méthoe graphique qui permet 'évaluer la costate e temps O observe eux types e graphiques : i f ( 0) < C (cas e la pollutio) : i f ( 0) > C (cas e la ilutio) : C f (0) f (0) C 0 x 5 0 x 5 Das les eux cas, la tagete au poit e cooroées (0 ; f (0)) a pour équatio : x y = ( f (0) C) + f (0), x où est solutio e l'équatio : ( f (0) C) + f (0) = C, oc la costate peut se lire graphiquemet comme état l'abscisse u poit 'itersectio e la tagete avec la roite horizotale 'équatio y = C Fi e l'expériece : Qua X = : f ( ) = C + ( f (0) C) e, oc : f ( ) f (0) = C f (0) ( C f (0)) e = ( C f (0))( e Comme e 0, 32, o e éuit que, pour u temps (même uité e temps que, la variatio f (x) a atteit 3,2% e la variatio fiale atteue Qua X = 5 : 5 f (5 ) = C + ( f (0) C) e, oc : f (5 ) f (0) = ( C f (0))( e ) avec e 5 0,993 La variatio au bout e 5 a éjà atteit 99,3% e la variatio fiale, l'expériece peut être cosiérée comme quasimet termiée ) 5