Baque PT - Corrigé Epreuve C 24 Fabie Evrard fabie.evrard@prepas.org 2 mai 24 Résumé Ce sujet traite das u premier temps ue faço d établir le DSE de la foctio expoetielle à partir d ue équatio différetielle. Puis il explore divers grads classiques de l aalyse e prépa : etre autres irratioalité de e, moyee de Césàro. O peut déplorer le maque de cohésio de l esemble : hormis la possibilité mais pas la écessité de réivestir quelques résultats de la première partie à la fi de la deuxième, le problème e présete aucu véritable fil coducteur. La partie III est e fait u exercice idépedat. Les questios de cours portet essetiellemet sur la première aée, les spécificités du programme d aalyse de deuxième aée e sot abordés qu e surface quelques défiitios et u théorème suffiset sur des sujets très restreits séries, séries etières, itégrales faussemet impropres... La difficulté est très variable, et le problème mesure plus le fait que l eseigat ait visité les grads classiques plutôt que le véritable iveau itrisèque des étudiats : Par exemple : partie I questios 2.c et 2.d serot très faciles pour des étudiats ayat déjà vu cet exercice et propremet ifaisables pour les autres, sauf excellets. Idem pour la questio 2.e de la même partie. PartieI Q.I..a : Das l expressio de R, la somme est fiie et se dérive doc terme à terme. O trouve t R, R t R t, aisi : t R, R t R t R t R t t R t R t + t!! + t! t! Et doc R est bie solutio de E Q.I..b : Les solutios de E sot de la forme t Ae t, A état ue costate réelle Q.I..c : Appliquos la méthode de variatio de la costate e cherchat ue solutio particulière de E sous la forme y p : Ate t, A état ue foctio dérivable sur R. O a alors : t R, y pt y p t A te t, et e idetifiat au secod membre o obtiet : t R, A t t u! e t, puis A : t! e u du coviet. O peut doc choisir y p : t e t u! e u du comme solutio particulière de E, o obtiet alors, e ajoutat solutio particulière de E et solutio géérale de E : Les solutios de E sot de la forme y : t e A t u +! e u du, A état ue costate réelle
Corrigé Baque PT 24 Epreuve C Fabie Evrard Q.I..d : O a R, R est doc l uique solutio de E qui s aule e cf. Th. de Cauchy- Lipschitz, ce qui correspod à A. Aisi : t R, R t e t u! e u du Q.I..e : Pour t réel positif o a : R t R t car das la formulatio itégrale de R, l itégrade est toujours positive, et les bores sot ragées par ordre croissat. De plus, pour u etre et t, e u, puis u état positif, o e déduit : e u u! u!. Il viet doc, par positivité de l itégrale, D où : t, R t t+ e t +! u! e u du [ u! du! ] u + t + t+ +! Q.I..f : Commeços par repredre et adapter le raisoemet précédet lorsque t est égatif : das ce cas R t e t u t! e u du e t v e v dv. E posat le chagemet de variable affie v u.! t Aisi R t + e t v! ev dv. Il faut majorer cette fois-ci e v par e t ; les bores de cette itégrale sot bie das l ordre croissat doc : t v t [ ] v! ev dv! e t dv e t v + t t+ e t! + +! O obtiet cette fois-ci : t, R t O a doc t R, R t t + e t +! t + +! t + e t +! O sait que par croissaces comparées, pour t réel fixé, t + e t lorsque +. Par ecadremet +! t k o e déduit que R t lorsque +. Autremet dit : et lorsque +. Par défiitio, la série k est de rayo + Coclusio : La série etière k t k k est doc covergete pour chaque t réel, ce qui sigifie que cette série etière t k + a pour rayo de covergece R + et pour somme t R, t k et Q.I.2.a : La suite u est la suite des sommes partielles d ue série à termes strictemet positifs, elle est doc clairemet strictemet croissate. Ou ecore plus simplemet : u + u +! >. La suite u est strictemet croissate. Calculos pour etier aturel o-ul v + v : k 2/9
Corrigé Baque PT 24 Epreuve C Fabie Evrard v + v u + + + +! u! +! + + +!! + + + 2 + +! 2 + 2 2 + 2 + + +! + +! < Doc La suite v est strictemet croissate. Q.I.2.b : Nous avos deux suites mootoes de ses cotraire, il e reste qu à prouver que leur différece ted vers zéro, or v u ted clairemet vers lorsque ted vers +.! Aisi Les suites u et v sot adjacetes. Q.I.2.c : Les deux suites état adjacetes, elles coverget vers la même limite, or d après la questio avec t, la suite u ted vers e. De plus u croit strictemet vers e tadis que v décroit strictemet vers e, aisi : pour tout etier aturel o-ul q o a bie u q < e < v q Q.I.2.d : Si o suppose e p q avec p et q etiers. E multipliat la relatio précédet par q! o obtiet : q!u q < pq! < q!v q q!u q + q q q! Or, q!u q : chaque terme de cette somme est u etier, doc N q!u q N. Mais N pq! k est aussi u etier, et q. O a doc obteu N < N < N + avec N et N etiers : ceci est impossible... Par l absurde, o e déduit que e est irratioel. Q.I.2.e.i : Comme u ted vers e, la défiitio de la limite s écrit : ε >, N,, u e ε E preat ε ε 2, o peut affirmer qu il existe u rag tel que pour tout etier o a : u e ε 2 Q.I.2.e.ii : Soit coveat pour la questio précédete et etier aturel. otos A u k e alors w e u k e + u k e, doc : k k k + w e A + ε 2 A + ε 2 Or A lorsque ted vers +, il est sera petit que ε 2 à partir d u rag. Il existe doc u rag tel que pour tout etier, w e ε 3/9
Corrigé Baque PT 24 Epreuve C Fabie Evrard Q.I.2.e.iii : O viet de motrer que pour tout réel strictemet positif ε, il existe u etier aturel, tel que pour tout etier aturel o a : w e ε. c est exactemet la défiitio de la limite d ue suite : lim + w e Rem : O a e fait redémotré das ce cas particulier le théorème de Césàro qui aoce que la limite des moyees arithmétiques d ue suite est la même que celle de la suite lorsque celle-ci existe... Q.I.3 : Calculos via l utilisatio d u développemet limité usuel : e e l D où : e +o e +o lim e e + Partie II Q.II. : Sur ], ] g s exprime comme le produit d ue foctio polyomiale par la foctio l, qui sot toutes deux C sur R +. g est doc e particulier cotiue sur ], ]. De plus le cours de première aée doe la limite usuelle lim g est cotiue e. x x> xlx. Soit limgx g, doc Doc : g est cotiue sur [, ] Pechos-ous maiteat sur les variatios de g : o a déjà justifié que g est C sur ], ]. O peut doc calculer sa dérivée : x ], ], g x lx +. Aisi, pour x ], ], g x > x > e g est doc décroissate de la valeur à la valeur ge e sur ], e ], puis croissate jusqu à la valeur g sur [e, ]. De plus limg x, la courbe représetative de g présete doc ue tagete verticale e x à x x> droite. Attetio : La courbe présetée ci-dessous est pas à l échelle demadée par l éocé... x x> 4/9
Corrigé Baque PT 24 Epreuve C Fabie Evrard Q.II.2 : D après l étude des variatios présetée à la questio précédete, la foctio g réalise so miimum e e, et comme g est égative, g réalise u maximum e ce poit. Doc : M sup gx existe et vaut e x [,] Q.II.3 : D après Q.II., g est strictemet croissate sur [, e ], doc sur ] e 3, e [. e + l3 Or g e ] e 3 3 3, e [ car l3 ], 2[ et ge e, doc ] e 3, e [ est stable par g. Par ailleurs, pour x ] e 3, e [, gx x xlx + xg x. Doc, si t ] e 3, e [, d ue part t + gt ] e 3, e [ par stabilité, ce qui permet de dire que t + e, d autre part gt t gt t t + t. La suite est doc bie croissate et ses termes sot das] e 3, e [ Aisi : N, t t t + e Q.II.4 : Il s agit d ue questio sur le cours de première aée : c est l iégalité qui doe ue majoratio du reste itégral qui apparait das la formule de Taylor avec reste itégral... Voici l éocé que ous utiliseros das les questios suivates : Pour f de classe C + sur l itervalle I et a, b I 2, o suppose l existece das R de M + sup f + x. O a alors : x I fb b a k f k b a + a +! M + k Q.II.5 : Appliquos l iégalité de Taylor Lagrage à la foctio f g à l ordre sur I [t, e ], e preat a e et b x I. Comme g e b a k, l expressio fb f k a se réduit à gx ge k O aura doc gx ge x e 2 M 2 2 Cherchos la valeur de M 2. Pour cela calculos g : x I, g x, cette foctio est décroissate et x atteit doc so maximum sur I e t. D où M 2 t et o obtiet bie : Ceci pour x quelcoque das [t, e ]. gx ge x e 2 2t Aisi : x [t, e ], gx ge x e 2 2t 5/9
Corrigé Baque PT 24 Epreuve C Fabie Evrard Q.II.6 : Démotros le résultat attedu par récurrece sur l etier N Iitialisatio : Pour, t e t e gt + ge gt ge t e 2 d après la questio précédete. 2t Or : t e 2 t e 2 t e 2 2t 2t 2t 2t 2 2t La propriété est doc vérifiée au rag. Hérédité : Soit u etier, 2 supposos que t e t e 2t 2t Or : t + e gt + ge et motros que : t + e 2t t e 2t d après Q.II.5 avec x t 2 + t e 2 2t t e 2 2t 2t 2 d après l hypothèse de récurrece t e 2 2 2t 2t 2t 2 2t 2 + t e 2t 2t C est bie ce qu il fallait obteir. Coclusio : Nous avos prouvé que a propriété est vrai au rag et qu elle est héréditaire. D après le pricipe de récurrece, cette propriété est vraie pour tout etier Q.II.7 :, t e 2t t e Comme t > e > o aura < 3 3 2t 2e et e t < 2 3 e et doc < k t e <. Par 2t coséquet la suite k 2 ted vers zéro, et d après l ecadremet de la questio précédete, la suite t e ted aussi vers zéro. D où : lim t e + Q.II.8.a : La foctio x x x e gx est prologeable par cotiuité sur [, ] puisque g l est. Doc l itégrale I est faussemet impropre. Doc I est covergete. 2t 2 Q.II.8.b : Pour x ], ], otos t gx, d après la partie I, e t k t k + R t et doc : 6/9
Corrigé Baque PT 24 Epreuve C Fabie Evrard x x k x k l k x + R gx k Notos R : x R gx Comme g est prologeable par cotiuité e, pour tout k etier aturel x x k l k x l est aussi, doc chaque itégrale x k l k xdx est covergete. Par liéarité de l itégrale E itégrat alors terme a terme o obtiet bie l idetité souhaitée : R xdx est covergete aussi. I k k x k l k xdx + R xdx Q.II.8.c : Pour x [, ], t gx et doc e cojuguat les résultats de Q.I..e et Q.II., R x gx+ e gx e + e e e e +! +! +!e e e + e + Q.II.8.d.i : Si p, la foctio x x p l q x est cotiue sur ], ] et ted vers e. I p,q est doc faussemet impropre. Pour p, preos X ], ], par itégratio par parties : l q xdx [xl q x] X q xl q xdx X Xl q X q X or Xl q X et xl q xdx X X> est covergete d après les cas p. Doc I,q est covergete aussi. Das tous les cas I p,q est covergete X xl q xdx Q.II.8.d.ii : Preos X ], ], par itégratio par parties : [ ] x x p l q p+ x p+ q xdx X p + lq x X X p + x lq x dx Xp+ p + lq X q x p l q xdx p + X E faisat tedre X vers zéro par valeurs supérieures o obtiet le résultat demadé : I p,q q p + I p,q 7/9
Corrigé Baque PT 24 Epreuve C Fabie Evrard Q.II.8.d.iii : Ue étude au brouillo permet de cojecturer : I p,q q q! p + q+ qui se valide par récurrece sur l idice q, l idice p N état fixé arbitraire. I p,q q q! p + q+ Q.II.8.e : D après Q.II.8.b, k I I k,k + R xdx k k k k + + k+ k k + + R k+ xdx k + k k k + R xdx R xdx De plus Q.II.8.c permet de dire par ecadremet que le reste vers + Doc, la série umérique est covergete et de somme I D où : I Partie III + R xdx ted vers lorsque ted Q.III. : Das les coditios posées par l éocé : b a k ϕ a + k b a b a ϕtdt Rem : Les bores du peuvet être décalées d u ombre de termes costat par rapport à sas chager le résultat, o peut par exemple sommer de à ou de à au lieu de à... Q.III.2 : E preat a, b 2 et ϕ : t lt, le résultat de la questio précédete doe : Cette récurrece est laissée au lecteur ici, mais il faudrait la faire das ue épreuve de cocours ou e DS 8/9
Corrigé Baque PT 24 Epreuve C Fabie Evrard lim + D où : l + k k 2 ltdt [tlt ] 2 2l2 2 2l2 lim + l + k 2l2 Q.III.3 : Notos x l expressio doées par l éocé. Et calculos : lx 4k l k 2 k k 2 l4k lk k k 2l2 + l + 2 lk lk k k 2 k 2l2 + l lk k+ 2l2 + l lk + k 2l2 lk + l k 2l2 l + k k D après la questio précédete o peut doc dire que lx ted vers et doc, comme la foctio expoetielle est cotiue, x ted vers e. 4! Doc : lim e + 2! 9/9