. Intégrale : définitions. Eemple d approche E = P. t E b = a P ( t ). dt P moy = E b - a
. Intégrale : définitions.3 Définition mathématique s = [ f( )+f( )+f( )+f( 4 ) ]. S = [ f( )+f( )+f( S )+f( 3 ) ].. b a f ( ).d λ λ λ 3 λ 4 R = [ f(λ )+f(λ )+f(λ 3 )+f(λ 4 ) ].
. Intégrale : définitions.3 Définition mathématique propriétés immédiates encadrement relation de Chasles. ( ) = ( ) + ( ) b c b f. d f. d f. d a a c somme ( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) b b b f g. d f. d g. d a a a 3. b b b ( λ + µ ) = λ ( ) + µ ( ) linéarité ( ) ( ). f. g. d. f. d. g. d a a a
. Intégrale : définitions.3 Définition mathématique propriétés immédiates signe
. Intégrale : définitions.4 Valeur moyenne d une fonction b ( ).d = µ ( ) a f b a valeur moyenne de f sur [a, b] : 4. µ = b f ( ). d b a a
. Intégrale : définitions.4 Valeur moyenne d une fonction fonctions périodiques valeur moyenne de f : 5. 6. + T f ( moy = f ). d T valeur efficace de f : + T f ( eff = f ). d T f moy Calculer les valeurs moyenne et efficace de la fonction sinus. = sin. d = ( cos + cos) = cos feff = sin. d =. d sin = = 4
. Primitives d une fonction continue. Définition et résultat immédiat F ( ) = f ( ) f () = 6-5 F : 3² - 5 F 4 : 3² - 5 + 4 F -,5 : 3² - 5 -,5 Les primitives de f sont les fonctions F+ k où k est un réel quelconque fié et Fune primitive de f.
. Primitives d une fonction continue. Primitives de fonctions usuelles f α αréel - u u a+ b e 7. F α + + k α + ln + k ln u + k e a b a + + k f a ( b) cos a sin a a F ln ( ) a + k + sin ( a + b) + b ( ) 7. a ( b) cos a + a + k + k
. Primitives d une fonction continue.3 Lien entre primitive et intégrale 8. F est une primitive de f sur I b a ( ) = ( ) ( ) ( ) f. d F b F a pour tout couple a, b de I. F b F a = F notation : ( ) ( ) ( ) b a
. Primitives d une fonction continue.4 Utilisation de symétries, de la périodicité 9. f () = sin sin. d = = sin. d sin. d = sin. d = sin. d = sin. d = sin. d = sin. d =
= 3. Procédés d intégration 3. Le changement de variable. g ( b) ( a) ( ( )) ( ) I f g t. g t.d t g I = e avec u = cos ln ( ( ) ) ln ( ). d. * différentielle du= /.d * epression cos(ln()) = cos u * bornes = : u= ; = e : u= ( ) ( ) e cos ln u= d I =. d = cos ( u). u= ( u) u [ u] u= = cos. d = sin = u=
3. Le changement de variable = I =. d, u = + + = 3. Procédés d intégration. * différentielle du=.d * epression /(+²) = /u * bornes = : u= ; = : u= du I =. d =. + u = u ln =. du = u= u
3. L intégration par parties sans bornes: recherche d une primitive de f 3 3. Procédés d intégration ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) f. = u. v u. v. d + k avec bornes: calcul d une intégrale de f 4 b a f ( ). d = u ( ). v ( ) u ( ). v ( ). d b a b a
3. L intégration par parties = I.arctan. d 3. Procédés d intégration 5. u= arctan u = /(+²) v= ²/ v = I = [ uv] arctan. u v = d + =. d arctan 8 = + 8 = 4 [ ]
3.3 Intégrales doubles 6. 3. Procédés d intégration domaine rectangulaire = b y= d y= d = b I = f (, y). dy. d I f (, y). d =. dy = a y= c y= c = a d a c dy d y b
7. 3. Procédés d intégration 3.3 Intégrales doubles I y= = Eemple sin.cos y. d. d y = y= = ( ) ( ) d d y= = y= = I = sin.cos y.. y = cos y sin. d. dy y= = y= = y = y= ( ) I = cos y cos + cos. d y = cos y. d y I y= y= = sin sin = domaine rectangulaire
8. 3. Procédés d intégration 3.3 Intégrales doubles y= = Eemple ( ) = I y.cos y. d. d y y= = domaine rectangulaire ( ( ) ) y= = y= I = y cos y. d. dy = y. dy y= = y= y sin ( y) = = y= sin y y=. I = y dy = sin y. dy = cos + cos = y= y y=
9. 3. Procédés d intégration 3.3 Intégrales doubles = 3 y= Eemple. = y=.dy. d. d = y y = 3 y= = 3 = y= = = 3 4 =. d = + = + = 3 3 y= y= 3.d d y y généralisée 9 y
3.4 Intégrales triples Eemple [ ] [ ]. 3. Procédés d intégration, a y, z, = I 3.cos z.sin z. d. dy. dz a 3. d y d z = = = I = y cos z.sin z. dz = y= z= I 4 a 4 4 sin z a a = [ y] 4 = = 4 4 D
3. Procédés d intégration 3.5 Complément : intégrales multiples et changement de variable = φ (u, u,, u n ), = φ (u, u,, u n ),, n = φ n (u, u,, u n ) J φ φ φ... u u u n φ φ φ... u u u = n............ φn φn φn... u u u n d.d..d n = det(j). du.du..du n
3. Procédés d intégration 3.5 Complément : intégrales multiples et changement de variable = y= Eemple ( + y ). d. dy = y=. y = ρ cosθ = ρ sinθ J cosθ ρ sinθ = sinθ ρ cosθ ( ) d. dy = ρ cos θ + ρ sin θ. dρ. dθ = ρ. dρ. dθ
. 3. Procédés d intégration 3.5 Complément : intégrales multiples et changement de variable = y= Eemple ( + y ). d. dy = y= = y= ( + y ). d. dy = ρ. ρ. dρ. dθ = y= ρ = θ = 3 3 = ρ θ ρ = ρ ρ = = ρ = θ = ρ = 4 4 ( ) 4 d. d. ρ d
4. Quelques applications 4. Longueurs, aires, volumes aire du disque aire élémentaire : un anneau r r r + dr aire du disque : 3. r = R S d S r. d r = = R r= ds= r.dr R r R S = r. dr = R = = R r R
4. Quelques applications 4. Longueurs, aires, volumes aire du disque aire élémentaire : un secteur Rdθ aire d un triangle : R base hauteur / aire du disque : θ = S = ds = θ = ds= R /.dθ R. d θ S [ θ ] R R = = = dθ θ R R
4. Quelques applications 4. Longueurs, aires, volumes aire du disque aire élémentaire : un rectangle 4. dr rdθ aire du disque : d S= r.dr.dθ θ = r= R θ = r= R S = d S = r. dr. dθ θ = r= θ = r= θ = r= R θ = R S = r. dr. dθ =. dθ θ = r= θ = 5. r + dr r θ θ +dθ R r= R θ = r = R S = r. dθ. dr = r. dr r= θ = r =
4. Quelques applications 4. Longueurs, aires, volumes aire de la sphère aire élémentaire : une bande sphérique Rcosθ Rdθ Rcosθ aire de la sphère : 6. ds= R cosθ.dθ [ sin ] S = R cos θ. dθ = R θ ( ( )) S = R = 4R θ ds θ +dθ R R cosθ
4. Quelques applications 4. Longueurs, aires, volumes volume de la boule volume élémentaire : une «sphère» d épaisseur dr volume de la boule : 7. r r= R Aire : 4r dv= 4r.dr V d V 4 r. d r = = R r = r = R 3 R 3 3 r R 4 3 V = 4 r dr = 4 4 R r = 3 = = 3 3 3 r r + dr R
8. 4. Quelques applications 4. Autres mesures physiques masse d un cône de gaz masse élémentaire : celle d un cylindre r dz dv= r r H z z.dz or = = R H H d où dv= R (-z/h).dz Ainsi, dm= µ.dv= R (4,5 -,6z)( - z/h).dz, 8, 64 3, 8 6, 6 4, 5. d 3 z z z = + + z z=, 5, 5, 8 3 d, 64, 8 6, 6 4, 5. d 3 z z z m = m = + + z z= 3, 5, 4 z =, 64 z +, 8 3, 3z + 4, 5z 4, 98kg 3 3
9. 4. Quelques applications 4. Autres mesures physiques centre de gravité f () = ² ( ) 3. f. d. d 3 = = = f. d. d 4 G ( ) y 4 ( ). d. d f = = = f. d. d G ( ) 3