Volatilité locale et la formule de Dupire

Chapre 4 Volalé locale e la formule de Dupre Modèle à volalé locale. Modèle CEV. Valorsaon d opons dans les modèles à volalé locale. EDP e formule de Dupre (en ermes des prx d opons). Formule de Dupre en ermes des volalés mplces. Volalé mplce dans la lme de rès coure mauré. Paramérsaon SVI pour la volalé mplce. 4. Modèles à volalé locale Dans le chapre préceden nous avons vu que le modèle de Black-Scholes à volalé consane ne peu pas reprodure l ensemble des prx d opons observés sur le marché pour un sous-jacen donné, car leur volalé mplce vare en foncon du srke e de la mauré. Pour prendre en compe le smle du marché ou un resan dans le cadre markoven e comple (un seul faceur de rsque) une soluon naurelle es de modélser la volalé comme une foncon déermnse du emps e de la valeur du sous-jacen, ce qu sgnfe que la valeur du sous-jacen es la soluon d une équaon d érenelle sochasque. ds S = µd + (, S )dw, (4.) Dans la sue nous supposerons oujours que l équaon (4.) adme une unque soluon fore. Par exemple, l su de supposer que S (, S) es Lpschz en S e à crossance sous-lnéare, mas dans les exemples spécfques on peu démonrer l exsence d une soluon fore sous des condons mons fores. 5

5 CHAPIRE 4. VOLAILIÉ LOCALE E LA FORMULE DE DUPIRE Par analoge avec le modèle de Black-Scholes on consdère l équaon de prcng @v @ + (, S) S @ v = rv(, S) @S @v rs, v(,s)=g(s). (4.) @S Sous des condons assez fables (e.g., Hölder connu en x e connu en, (, x) c > pour ou, x e g connu - vor Fredman [3]) on peu monrer que cee équaon adme une soluon C,. Par le même argumen d auofnancemen que dans le modèle Black-Scholes, on peu alors en dédure que le prx d une opon qu pae g(s ) à l nsan vérfe (4.) e le porefeulle auofnançan de couverure conen = @v(,s) @S acons. L équaon de prcng garde alors la même forme que dans le modèle de Black-Scholes mas on ne peu plus en dédure une formule explce car la volalé dépend manenan du sous-jacen. De même, par analoge au héorème 5, on peu démonrer que l unque soluon de l équaon (4.) dans la classe des foncons regulères à crossance polynomale s écr sous forme d une espérance : v(, S) =E[e R rds g( b S ) b S = S], (4.3) où le processus b S su la dynamque modfée d b S bs = rd + (, b S )dw. 4. Modèle CEV Un exemple de modèle à volalé locale ben éudé dans la léraure es donné par le modèle CEV (Consan Elascy of Varance) de Cox [996]. Dans ce modèle, la volalé es une foncon pussance du nveau de sous-jacen : ds S = µd + S dw (4.4) Plaçons-nous sous la probablé rsque-neure, e supposons dans un premer emps que le prx forward du sous-jacen F = e r( ) S su le modèle CEV : df = F dw, < apple (4.5) Le modèle de Black-Scholes e le modèle gaussen son des cas lmes de cee équaon avec =e! respecvemen. La valeur es une barrère absorbane, sf = pour un, F s pour ou s. Volalé mplce La forme de la volalé mplce du modèle CEV es connue grâce à l approxmaon asympoque de Hagan and Woodward [999] : ( ) mp ( )( + ) F K ( ) (K, ) = + + 4 4 +.... (4.6) Fm F m Fm

4.. MODÈLE CEV 53 avec F m = (F + K). Au premer ordre, on a donc mp (K, ) : la volalé mplce a la Fm même forme que la volalé locale mas avec une pene à la monnae fos plus pee. Cas général (µ 6= ) So F (µ) précser. Alors On a par alleurs d où df () = F () = := e µ F (),avec () un changemen de emps déermnse à df (µ) = µf (µ) d + e µ df (). Z () F () Fnalemen, en chosssan avec () =e µ( on rerouve l équaon (4.4). F s dw s = Z F (s) dw (s), p ()dw = e µp () (F (µ) )dw. () = ), c es-à-dre, eµ( ) µ( ) Complémen echnque sur le modèle CEV L exsence de soluon de l équaon (4.5) peu êre éabl en relan le processus F avec le processus de Bessel. So (B,...,B n ) un mouvemen brownen sandard en dmenson n e R = P n = (B ). Il es facle de vor que d(r )=R dw + nd (4.7) où W es un nouveau mouvemen brownen. En posan = R, on a donc e, pour n>, d = p dw + nd (4.8) dr = dw + n On peu démonrer que l équaon (4.8) adme une soluon fore pour des valeurs de n non enères, permean de défnr le processus de Bessel [Chesney e al., 9] : d. R Défnon 3. So R e x. L unque soluon fore de l équaon = x + + Z p s dw s s appelle le processus BESQ (Bessel squared) de dmenson processus de Bessel de dmenson.. Le processus R = p s appelle le So =nf{ : F =} e posons X = sur l ensemble sur { < }, dx = dw ( ) F ( )X d,. Par une applcaon de la formule d Iô,

54 CHAPIRE 4. VOLAILIÉ LOCALE E LA FORMULE DE DUPIRE ce qu donne le len enre CEV e le processus de Bessel. La conrane < apple es mposée pusqu on peu démonrer que pour >, (F )esune marngale locale srce, c es-à-dre, pas une vrae marngale, ce qu peu condure, par exemple, à la volaon de la paré Call-Pu e d aures nconvénens. Monrons que pour < apple, l équaon (4.5) défn une vrae marngale de carré négrable sur [,] pour ou <. Pour cela l es su san de vor que E {[F ] } = E ( Z F d ) <. (4.9) So n =nf{ : F n}. F ^ n es alors de carré négrable, e on a, pour < apple, " Z # " n^ Z # " n^ Z # E[F n^ ]= E F d apple E ( + F )d apple E ( + F^ n )d Par le lemme de Gronwall on a alors " Z n^ E F d d où (4.9) es dédu par convergence monoone. # = E[F n^ ] apple e, 4.3 Valorsaon d opons dans les modèles à volalé locale Dans le modèle de volalé locale, le prx d une opon européenne vérfe l équaon (4.) qu n adme pas de soluon explce. Cependan, cee équaon n a que deux dmensons : le emps e l espace, e es donc facle à résoudre par un algorhme de dscrésaon déermnse (méhode de d érences fnes). Pour commencer, nrodusons une nouvelle varable x = log s s + r( ) e une nouvelle foncon nconnue u(, x) =e r( ) C(, s e x r( ) ). L équaon (4.) deven alors = @u @ + (, @ u x) @x @u @x, [,],x R, (4.) où (, x) = (, e x r( ) ). On dscrése cee équaon sur un domane bornée recangulare [,] [ A, A] avec une grlle équdsane en emps n = n, = N, n =,,...,N e en espace x m = A + m x, x = A M, m =,,...,M. La soluon approchée au pon ( n,x m ) sera noée û n,m. Pour m =,...,M, les dérvées en espace son approchées par les d érences cenrées : @u( n,x m ) u( n,x m+ ) u( n,x m ) @x x @ u( n,x m ) @x u( n,x m+ ) u( n,x m )+u( n,x m ) x. Aux bords du domane, pour m =em = M, on do précser les condons aux lmes. Prenons des condons de ype Drchle, c es-à-dre u(, x) =g(, x) pour x = A e x = A. Cela sgnfe

4.3. VALORISAION D OPIONS DANS LES MODÈLES À VOLAILIÉ LOCALE 55 qu au leu de résoudre l équaon (4.) on résou en e e une aure équaon sur le domane ronqué : = @û @ + (, @û x) @x @û @x, [,],x ( A, A) (4.) avec les condons aux lmes û(, A) = g(, A), û(, A) = g(, A), [, ]. La dérvée en emps es approchée par la d érence un pas en arrère : @u( n,x m ) @ u( n,x m ) u( n,x m ), apple n apple N. La condon ermnale es donnée par le pay-o de l opon : u( N,x m )= h(x m ) pour m =,...,M, où h(x) =h(s e x ). En subsuan ces approxmaons dans l équaon, on oben une équaon en d érences pour û n,m : û n,m =û n,m ( n,x m ) ( n,x m ) x +û n,m+ x x +û n,m ( n,x m ) x + x (4.) avec les condons aux bords û n, = g( n,x )eû n,m = g( n,x M ) pour n =,...,N e la condon ermnale û N,m = h(x m ) pour m =,...,M. Cee équaon se résou en arrère, en commencan par la valeur ermnale n = N e en procédan jusqu à n =. Le schéma donne û n, explcemen en ermes de û n,, e pour cee rason s appelle le schéma explce. Pour éver l exploson des erreurs numérques, le schéma de dscrésaon do êre sable. Cee propréé sgnfe que s la condon ermnale es bornée par une consane C, la soluon à oue dae do êre bornée par la même consane. En regardan l équaon (4.), on vo que ce schéma sera sable s le ous les coe cens à droe son posfs. Supposan que x<, cee propréé es vérfée s la condon suvane de condon de Couran-Fredrchs-Lewy (CFL) es vérfée pour ous (, x) [,] [ A, A] : ( n,x m ) < x. On d que le schéme explce es condonnellemen sable : le pas de emps do êre su sammen pe comparé au pas d espace. En praque, cela nécesse de chosr le pas de emps rès pe e augmene le emps de calcul. Une aure possblé es d approcher la dérvée en emps par la d érence un pas en avan : @u( n,x m ) @ Cee approxmaon correspond au schéma mplce : û n,m =û n u( n+,x m ) u( n,x m ), apple n apple N. ( n,x m ) ( n,x m ),m + x û n,m+ x û n,m ( n,x m ) x x + x. (4.3) Dans ce schéme la foncon nconnue û n, do êre calculée à parr de û n, par nverson de marce. Le schéma mplce es ncondonnellemen sable.

56 CHAPIRE 4. VOLAILIÉ LOCALE E LA FORMULE DE DUPIRE Lorsque l équaon (4.) adme une soluon classque régulère, on peu monrer qu à la fos le schéme explce (sous la condon CFL) e le schéma mplce son des schémas d ordre en emps e ordre en espace, ce qu sgnfe que la d érence enre la vrae soluon e l approxmaon vérfe û( n,x m ) û n,m = O( + x ). Condons aux lmes Le chox de la alle du domane A e des condons aux lmes dépend de la foncon pay-o h e de la foncon de volalé. Pour smplfer, supposons que la volalé es bornée par une consane e que la foncon pay-o h es convexe. Alors par la robusesse de la formule de Black-Scholes, la foncon u(, x) adme les bornes suvanes pour ou, x : h(x) apple u(, x) apple u (, x), où u (, x) es la soluon de (4.) avec volalé consane. D un aure coé, la soluon de l équaon ronquée û adme la représenaon probablse suvane : û(, x) =E[ h(x (,x) ) (,x) > + g( (,x),x (,x) ) (,x) (,x) apple ], où X (,x) es le processus de d uson vérfan l EDS X (,x) s = x Z s (r, X (,x) r )dr + Z s (r, X (,x) r )dw r, s, e (,x) =nf{s : X s (,x) / [ A, A]}. Cela monre que û(, x) es crossan en la condon aux bords. Comme par allers u(, x) =E[ h(x (,x) ) (,x) > + u( (,x),x (,x) ) (,x) (,x) apple ], la vrae soluon se sue enre les bornes suvanes : u(, x) es bornée supéreuremen par la soluon à (4.) avec condon aux bords g(, x) = u (, x) (qu peu êre calculée explcemen avec la formule de Black-Scholes). u(, x) es bornée nféreuremen par la soluon à (4.) avec condon aux bords g(, x) = h(x). Cela donne un algorhme pour chosr la alle du domane A : augmener A jusqu à ce que les deux bornes devennen su sammen proches dans la régon d nérê. 4.4 Equaon e formule de Dupre Rappelons que dans un modèle de volalé locale le prx d une opon qu pae g(s ) à l nsan sasfa rv(, S) = @v @v + rs @ @S + (, S) S @ v, v(,s)=g(s). (4.4) @S Cec es une équaon backward, car on lu assoce une condon ermnale e l équaon se résou sur l nervalle [, ] dans la drecon!. Cee équaon es vérfée par le prx de oue opon

4.4. EQUAION E FORMULE DE DUPIRE 57 européenne, pas nécessaremen call ou pu. Elle perme de calculer le prx d une opon en foncon de la dae d observaon e de la valeur acuelle du sous-jacen S. Nore objecf manenan es de rouver une foncon de volalé locale (, S) qureprodu, à une dae donnée, les prx observés des calls pour ous les srkes e oues les maurés. Equaon (4.4) ne perme pas de reconsrure la volalé locale en écrvan (, S) = rv @v @ rs @v @S, S @ v @S car à une dae donnée, les valeurs de e S son fxées, e on ne peu pas calculer les dérvées parelles. La soluon à ce problème a éé donnée par Bruno Dupre [Dupre, 994] qu a proposé une méhode pour calculer (, S) à parr d une observaon des prx d opons (pour ous srkes e maurés) à une dae donnée. Plus précsemen, l a démonré le résula suvan. Dans un modèle à volalé locale, les prx de calls C(, S,,K) vérfen l équaon forward (avec condon nale), appelée equaon de Dupre : @C @ = (,K)K @ C @K rk @C @K, C(, S,,K)=(S K) + Cee équaon s applque unquemen aux prx des opons Call, qu son cee fos consdérés comme foncons du srke K e de la mauré. Comme à une dae donné on peu observer les prx d opons de pluseurs srkes e maurés, cee équaon peu êre ulsée pour recalculer la foncon de volalé (, ) à parr des prx d opons. Dans un modèle de volalé locale, la foncon de volalé avec la formule de Dupre : s (,K)= @C @ + rk @C @K peu êre rerouvée de façon unque K @ C @K (4.5) Le fa qu on pusse rerouver de façon unque un processus markoven connu à parr des prx d opons européennes n mplque pas qu l n y a pas d aures modèles (non markovens ou non connus) qu évaluen les opons européennes de la même façon. La connassance des prx des opons européennes déermne les dsrbuons margnales du processus, mas la lo du processus ne se lme pas à ces dsrbuons margnales. héorème 7. So (S ) apple une soluon de l EDS ds S = rd + (, S )dw, S = S. Supposons que. S vérfe : " Z E S (, S )d # <, 8. Pour chaque >, la varable aléaore S a une densé p(, x), connuesur(, ) (, ).

58 CHAPIRE 4. VOLAILIÉ LOCALE E LA FORMULE DE DUPIRE 3. Le coe cen de d uson (, x) es connu sur (, ) (, ). Alors la foncon de prx d une opon call sasfa l équaon de Dupre @C @ = C(,K)=e r( ) E[(S K) + ]. (,K)K @ C @K avec condon nale C(,K)=(S K) +. rk @C @K, (,K) [, ) [, ) (4.6) Preuve. La démonsraon repose sur l applcaon de la formule d Iô à la semmarngale e r (S K) +. Pusque la foncon f(x) =x + n es pas C, la formule d Iô classque ne s applque pas drecemen. Une soluon possble [El Karou] consse à ulser la formule de Meyer-Iô pour les foncons convexes [Proer, 99]. Ic, nous adopons une aure approche qu consse à régularser f en nrodusan la foncon (x + "/) f " (x) = "/applexapple"/ + x x>"/. " Il es clar que f " es fos d érenable e d érene de f seulemen s x <"/. De plus, on a f"(x) = x + "/ "/applexapple"/ + x>"/, " f" (x) = " "/applexapple"/. L applcaon de la formule d Iô sandard à e r f " (S K)enre e + donne e r( + ) f " (S + K) e r f " (S K)= r + Z + Z + e r f "(S K)dS + e r f " (S Z + K)d e r f " (S K) (, S )S d. (4.7) En prenan l espérance de chaque erme dans (4.7) sous l hypohèse c-dessus, on rouve e r( + ) E[f " (S + K)] e r E[f " (S K)] = r + + Z + Z + e r E[f "(S e r " Z "/ "/ Z + K)S ]rd e r E[f " (S En ulsan l hypohèse c-dessus, on peu passer à la lme "! : C( +, K) = r = rk Z + C(,K) C(, K)d + r Z + e r Z + + Z + e r E[S S (, K)K p(, K)d e r P [S K]d + K)]d (K + x) (, K + x)p(, K + x)d, (4.8) Z + e r K]d (, K)K p(, K)d.

4.5. VOLAILIÉ IMPLICIE DANS LES MODÈLES À VOLAILIÉ LOCALE 59 En dvsan les deux pares par e en passan à la lme!, cec donne Fnalemen, en observan que on rouve l équaon de Dupre. @C @ = rke r P [S K]+ e r (,K)K p(,k). e r P [S K]= @C @K e e r p(,k)= @ C @K, Modèle à volalé locale comme projecon markovenne général de la forme ds = rd + dw, S = S S So (S ) apple un processus d Iô avec aléaore, e supposons que (, x) =E[ S = x] vérfe les hypohèses du héorème c-dessus. En suvan la preuve éape par éape, l es facle de se convancre que les prx des opons dans le modèle assocé à (S ) vérfen l équaon de Dupre avec volalé (, x). Auremen d, la foncon de volalé (, x) =E[ S = x] défn une d uson markovenne qu a les mêmes prx d opons européennes e donc les mêmes los margnales que (S ). Cee d uson s appelle la projecon markovenne de (S ). héorème 7 perme de rerouver le coe cen de volalé à parr d un ensemble comple de prx de calls à une dae donnée, s on sa que ces prx provennen d un modèle de volalé locale. Il ne perme pas drecemen de répondre à la queson suvane : éan donné un sysème de prx de calls (C(,K)),K, es-ce qu l exse un modèle de d uson connu permean de reprodure ces prx? Pour applquer la formule de Dupre (4.5) on a beson au mons de supposer @ C @K > e @C @C @ + rk @K. Ces conranes corresponden aux conranes d arbrage de posvé d un buerfly spread e d un calendar spread respecvemen (vor secon.). Exemple 3. Fgure 4. monre les résulas d applcaon de la formule de Dupre aux données arfcelles (gauche) e aux prx réels d opons sur l ndce S&P 5. Alors que sur les données smulées, la formule de Dupre perme de rerouver un surface de volalé locale qu paraî cohéren, la performance pour les données réelles n es pas sasfasane pour pluseurs rasons : Les prx de marché ne son pas connus pour ous les srkes e oues les maurés. Ils doven donc êre nerpolés e le résula fnal sera rès sensble à la méhode d nerpolaon ulsée. Du fa de la nécessé de calculer la deuxème dérvée de la foncon de prx d opon C(,K), les pees erreurs de données condusen à des rès grands erreurs sur la soluon (problème mal posé). On revendra sur ce pon dans la secon 4.6. 4.5 Volalé mplce dans les modèles à volalé locale Len enre volalé locale e volalé mplce La formule de Dupre (4.5) peu êre réécre en erme de volalés mplces du marché, en observan que pour oue opon on a C(,K)=C BS (,K,I(,K)),

6 CHAPIRE 4. VOLAILIÉ LOCALE E LA FORMULE DE DUPIRE.5.5..5.5. 5 5.9 5.8 45.7 4.6 35.5 3.4 95 5 9.3 85 8. K 5.5.5 Fgure 4. Exemple de d uson mplce. Gauche : données arfcelles : la volalé mplce es de la forme I(K) =.5 K pour oues maurés (S = ). Droe : données d opons sur S&P 5, nerpolaon par splnes. où C BS (,K, ) dénoe la formule Black-Scholes pour le prx d une call de volalé e I(,K) es la volalé mplce observée pour mauré e srke K. Il sera plus praque d exprmer les prx en erme de log-moneyness x = log(s/k) r, aveci(,k)=ĩ(,x)e (,K)= (,x) e volalé mplce sans dmenson v(,x)=ĩ(,x)p. On a alors e K @ C @K = @ C @x @C @ @C + rk @K = @ C @ = Sn(d ) @v @ @ C ( @x = Sn(d ) vxx v 4 (v x) + v (4.9) xvx ), (4.) v ce qu donne fnalemen la formule de Dupre en erme de volalés mplces (,x)= vv xx vv v 4 (v x) + xvx v = ĨĨ xx ĨĨ + Ĩ Ĩ 4 (Ĩ x) +. (4.) xĩ x Ĩ Pour rer quelques conclusons de cee formulaon, dans un premer emps supposons que la volalé mplce ne dépend pas de srke (absence de smle). Dans ce cas la volalé locale ne dépend pas non plus de srke e la formule (4.) se rédu à ( )=I ( )+I( ) @I @,

4.6. CALIBRAION DE LA VOLAILIÉ LOCALE 6 d où R I (s)ds ( )=, la volalé mplce es donc égale à la moyenne quadraque de la volalé locale sur la durée de ve de l opon. En supposan que I e ses dérvées resen fns lorsque!, dans cee lme, l équaon (4.) deven! Ĩ x @Ĩ (,x)= (,x). Ĩ @x Cee équaon d érenelle se résou explcemen : Z dy Ĩ(,x)= (,xy). (4.) Nous avons donc démonré que, dans la lme de rès coure mauré, la volalé mplce es égale à la moyenne harmonque des volalés locales, un résula éabl dans Beresyck e al. []. Lorsque la volalé locale (,x) es d érenable en x =, équaon (4.) perme de démonrer que (le calcul es lassé au leceur) @Ĩ(, ) = @x @ (, ), @x la pene à la monnae de la volalé locale es égale, pour les coures maurés, à fos la pene à la monnae de la volalé mplce. 4.6 Calbraon de la volalé locale L équaon de Dupre (4.6) défn l opéraeur de prcng (, ) 7! C(, ), qu à une foncon de volalé locale donnée assoce l ensemble des prx de calls pour ous les srkes e oues les maurés. Inversemen, s on observe ous les prx d opons pour ous les srkes e maurés, on peu reconsrure, grâce à la formule de Dupre (4.5). En praque, on ne dspose que d un nombre fn de srkes e maurés, e l opéraon nverse qu consse à reconsrure (, S) pour ou, S à parr d un nombre fn de prx C M (,K ),=...N, deven un problème mal posé (cf. exemple 3). Pour résoudre cee d culé, on peu ulser l nerpolaon de la volalé mplce par une forme paramérque ou semparamérque. Les méhodes d nerpolaon complèemen nonparamérques (comme les splnes) on en général une performance assez médocre pour ce ype de problèmes. 4.6. Inerpolaon de la volalé mplce La paramérsaon suvane pour la volalé mplce en foncon du paramère de log-srke k = log K S r a éé proposée par Jm Gaheral [Gaheral, 4] (vor égalemen Zelade), sous le nom de SVI (sochasc volaly nspred) : pour une échéance donnée, la varance mplce oale sans dmenson V (,k)=i (,k) vérfe V (k) =a + b{ (k m)+ p (k m) + }

6 CHAPIRE 4. VOLAILIÉ LOCALE E LA FORMULE DE DUPIRE avec a, b,, [, ] e m R. Ic, a conrôle le nveau global du smle ; b conrôle la pene des ales ; conrôle l asymére, roaon du smle ; m correspond à une ranslaon ; conrôle la convexé à la monnae. La forme paramérque SVI do êre calbrée séparamen pour chaque échéance dsponble. Ensue, on peu défnr la volalé mplce aux daes nermédares par nerpolaon. Une fos l nerpolaon rouvée pour chaque k e, la volalé locale peu êre calculée par la formule de Dupre, qu s écr en ermes de V : (,k)= k @V V @k @V (,k) @ + @ V @k 4V @V @k 6 @V @k. (4.3) 4.6. Condons d absence d arbrage La paramérsaon SVI peu a pror condure à des opporunés d arbrage saques, elles que les prx d opons non convexes en foncon du srke. Dans la sue de cee secon, nous donnerons les condons d absence d arbrage pour une surface des prx d opons e pour une surface de volalé mplce. Défnon 4. Une surface de prx d opons (,K,C ) I es sans arbrage s l exse un espace de probablé flré (, F, F =(F ), P)euneF-marngale posve X elle que C = E[(X K ) + ] pour ou I. Surfaces de prx d opons sans arbrage Le résula suvan, du à Roper Roper [] éabl les condons nécessares e su sanes pour un surface de prx d opons sans arbrage. Pour smplfer la dscusson, on suppose que le aux d nérê es nul. Proposon. So s> une consane e so C :[, ) [, ) une surface de prx d opons vérfan les condons suvanes :. Convexé en K (posvé des buerfly spreads) : pour ou, C(, ) es convexe.. Monoone en (posvé des calendar spreads) : pour ou K, C(K, ) es crossan. 3. Bornes : (s K) + apple C(,K) apple s 8K, 8. 4. Valeur à l échéance : C(,K)=(s K) + 8K>. 5. Lme de grands srkes : lm C(,K)= 8. K! Alors la surface (C(,K)),K es sans arbrage. Inversemen, s X es une marngale posve avec X = s alors la foncon C(,K)=E[(X K) + ] vérfe les condons 5 c-dessus.

4.6. CALIBRAION DE LA VOLAILIÉ LOCALE 63 Idée de la preuve. Chosssons e posons F (x) =+C+(,x) pour x ef (x) = pour x<, où C+(,x) es de dérvée à droe de C par rappor à son premer argumen, qu exse pour ou x e pusque C(, ) es convexe. La convexé mplque égalemen que F (x) es connu à droe e crossan en x. De plus, par la propréé 5 e la convexé, la foncon F (x) vérfe lm x! F (x) = e la propréé 3 avec la convexé mplque que F (x) es borné nféreuremen par. Auremen d, F (x) es la foncon de reparon d une mesure de probablé µ à suppor sur [, ), e on peu écrre, pour ou K,, Z C(K, ) =s (x ^ K)µ (dx), [,) ce qu mplque, en ulsan la convergence domnée e la propréé 5, que Z C(K, ) = (x K) + µ (dx). [,) La monoone de C(x, ) par rappor à pour x fxé sgnfe que la famlle des mesures de probablé (µ ) es crossane en ordre convexe, e le héorème de Kellerer perme alors de conclure qu l exse une margnale X avec los margnales données par (µ ). Pour monrer l mplcaon nverse, on vérfe drecemen les propréés 5 pour une marngale posve X. Surfaces de volalé mplce sans arbrage En ulsan la proposon, Roper Roper [] oben une condon su sane pour une surface de volalé mplce sans arbrage. Nous allons exprmer ces condons en ermes de log-moneyness x e la volalé mplce sans dmenson v(,x) nrodue c-dessus. Ces condons ne changen pas en présence d un aux d nérê consan. Proposon 3. So s> e supposons que la foncon v :[, ) R 7! R vérfe les condons suvanes :. D érenablé : >, v(, ) es d érenable deux fos.. Condon de Durrleman : pour ou >e x R, vv xx v 4 (v x) + 3. Monoone en :pouroux R, v(,x) es crossan. 4. Posvé : pour ou > e x R, v(,x) >. 5. Valeur à l échéance : pour ou x R, v(,x)=. 6. Lme de grand srke : pour ou >, où d ± (x, v) := x v ± v. Alors la surface des prx d opons défne par xvx v lm d +(x, v(,x)) =, x!. C(,x)=sN(d + (x, v(,x))) se x N(d (x, v(,x)) es sans arbrage.

64 CHAPIRE 4. VOLAILIÉ LOCALE E LA FORMULE DE DUPIRE Démonsraon. On peu vérfer drecemen que sous l hypohèse de d érenablé, les propréés 6 mplquen les propréés correspondanes de la surface des prx d opons. En parculer, la condon de Durrleman e la monoone en assuren la posvé des buerfly e calendar spread, e la dernère condon assure que le prx du call converge vers zéro dans la lme du grand srke. Paramérsaon arbrage-free SSVI de Gaheral e Jacquer Gaheral and Jacquer [] proposen la paramérsaon suvane pour oue la nappe de volalé mplce sous le nom de Surface SVI (SSVI) : V (, k) = n+ ( )k + p o ( ( )k + ) +. (4.4) Ic, = V (, ) es la varance mplce oale à la monnae, dédue drecemen de la nappe du marché. Le paramère conrôle l asymére du smle ; pour =, le smle es symérque à oue dae. Le skew e la convexé AM son donnés par @I(, k) k= = p @k p ( ), @ I(, k) @k k= = ( ) 4 p p ( ). On peu monrer que la forme paramérque (4.4) n adme pas d opporuné d arbrage s les condons su sanes suvanes son respecées : La foncon es crossane en ; La foncon vérfe les relaons suvanes, pour ou >: Par exemple, la foncon apple @( ( )) @ apple +p ( ), ( ) < 4 +, ( ) apple 4 +. ( ) = ( + ) vérfe les conranes d arbrage pour, e apple p. + Vor le cours de Gaheral sur le se de Imperal College hps://www.mperal.ac.uk/quanave-fnance/evens/lecures/4-5/gaheral/ pour les exemples de calbraon du modèle SSVI aux surfaces de volalé mplce du marché.

Chapre 5 Valorsaon d opons exoques Modèle de Black-Scholes-Samuelson muldmensonnel. Dynamque d un porefeulle auofnançan conenan pluseurs acfs rsqués. Représenaon des sraéges de porefeulle en ermes du nombre d unés de chaque acf, du monan nves dans chaque acf, e de la proporon de la rchesse oale nvese dans chaque acf. Sraéges admssbles, absence d opporuné d arbrage, prmes de rsque. Formule de valorsaon rsque-neure des acfs conngens. Formule de Black-Scholes avec volalé e aux d nérê déermnses dépendans du emps. Méhode de changemen de numérare. ransformaon des volalés par changemen de numérare. Mesure marngale assocée au numérare ; formule de changemen de mesure marngale par changemen de numérare. Formule de Black-Scholes généralsée. Valorsaon d une opon quano. Probablé forward-neure. Opons a barrère : valorsaon par réplcaon dynamque. Opons a barrère : valorsaon des opons Regular par réplcaon saque. Réplcaon d une opon Européenne quelconque par des calls e pus. Swap de varance : réplcaon saque. 5. Evaluaon rsque-neure Modèle de Black-Scholes muldmensonnel Dans cee secon nous nrodusons un modèle du marché plus général que celu de la secon 3., fondé sur le calcul sochasque e applcable aux opons exoques ans qu aux opons sur pluseurs sous-jacens. So W =(W,...,W d )? un mouvemen brownen sandard sur l espace probablsé (, F, P), e (F ) sa flraon naurelle compléée par les ensembles de mesure nulle. Nous consdérons un 65

66 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES marché fnancer composé d un acf sans rsque e de d acfs rsqués. La valeur de l acf sans rsque à oue dae es donnée par Z S =exp r(u)du, (5.) où le aux d nérê nsanané r es un processus posf mesurable e adapé. Les valeurs des d acfs rsqués vérfen S = S exp @ Z @b (u) dx j= Z j () A d + dx j= j ()dw j A, =,...,d, où µ e son des processus mesurables adapés. Les processus r, b e vérfen la condon d négrablé Z (kr()k + kb()k + k ()k )d <, où es un horzon de emps. De plus, on suppose que la marce () es nversble pour ou. Par applcaon de la formule d Iô, ds = S b ()d + dx = j ()dw j!, p.s., ou avec des noaons marcelles, ds = dag[s ](b()d + ()dw ), (5.) où S =(S,...,S d )?, b() =(b (),...,b d ())? e dag[s ] es la marce ayan les élémens du veceur S sur la dagonale prncpale e zéros parou alleurs. Inrodusons le veceur des prmes de rsque : () = () (b() r()), où es un veceur colonne d-dmensonnel don ous les élémens son égaux à. Cela perme d écrre ds = dag[s ] {r()d + ()( ()d + dw )}. L acualsaon smplfe consdérablemen les développemens qu von suvre : S = S S = S e R r(s)ds, e on a alors d S = dag[ S ] ()( ()d + dw ).

5.. EVALUAION RISQUE-NEURE 67 Sraéges de porefeulle Une sraége de porefeulle déermne les posons de l nvessseur dans chaque acf à oue dae. Cee sraége peu êre exprmée de manère equvalene en ermes de quanés des acfs rsqués à acheer =( d,..., ) R d,enermesdemonans à n v e s r dans chaque acf rsqué =(,..., d ) R d ou ben, s la valeur du porefeulle noée par X es posve à oue dae, en ermes de proporons de la rchesse oale à nvesr dans chaque acf rsqué! =(!,...,! d ) R d. Ces coe cens son relés enre eux par les relaons suvanes : = S e w = S X, Le monan nves en l acf sans rsque es donné par X dx = S = X dx = X = =,...,d. L équaon d auofnancemen exprme le fa que aucun monan n es reré n njecé dans le porefeulle. Pour les d érenes représenaons de la sraége, elle s écr de manères suvanes : En ermes de quanes : dx = dx = ds + X dx = S dx =! w ds S!. En ermes de monans : dx = dx = ds S + X dx =! ds S. (5.3) En ermes de proporons : dx X = dx =! ds S + dx =!! ds S. Dans ce chapre on va essenellemen represener les sraéges de porefeulle en ermes de monans nvess en chaque acf rsqué. Une sraége de porefeulle es donc un couple (x, ( ) appleapple ), où x es la valeur nale e =(,..., d ) R d (veceur lgne) représene le monan à nvesr dans chaque acf rsqué à la dae, e la dynamque du porefeulle auofnançan es déermnée par l équaon (5.3). En passan aux valeurs acualsées, cee équaon se smplfe : d X = dag[ S ] d S = (){ ()d + dw }. Dans la sue, on noera par X x, avec la sraége. la valeur du porefeulle auofnançan de valeur nale x e géré

68 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES En supposan que la prme de rsque vérfe la condon de Novkov "!# E exp Z k ()k d <, on oben par héorème de Grsanov que sous la probablé Q défne par Z dq Z! =exp ()dw k ()k d, dp F le processus cw = Z es un mouvemen brownen. On peu alors écrre (s)ds + W Z X x, = x + u (u)dw c u. (5.4) Remarquons que sous la probablé rsque-neure Q, la valeur acualsée d un porefeulle auofnançan, e les prx acualsés des acfs rsqués son des marngales locales, mas pas nécessaremen des marngales. Défnon 5. La sraége de porefeulle (x, ( ) appleapple ) es admssble s l négrale (5.4) es ben défn, ce qu es le cas s e s la valeur de porefeulle vérfe où M es une Q-marngale. Z k u (u)k du < p.s., X x, M, apple apple, (5.5) Dans la sue, on noera par A l ensemble des porefeulles admssbles. Porefeulles admssbles e absence d arbrage Défnon 6 (Absence d opporuné d arbrage). On d que le marché n adme pas d opporuné d arbrage s, pour ou porefeulle admssble de la forme (, ), X, p.s. ) X, = p.s. La condon (5.5) es nécessare en emps connu pour éver des arbrages de ype sraége de doublemen de la mse. Pour décrre une elle sraége, supposons que le cours du sous-jacen es modélsé par un mouvemen brownen sandard : S = W, e que le aux d nérê es nul

5.. EVALUAION RISQUE-NEURE 69 sur le marché. La sraége consse à déenr n/ unés de l acf rsqué sur l nervalle de emps ( k, k ], où l on pose k = k. La valeur du porefeulle à l nsan n es alors donnée par X n = nx k/ (W k W k )= k= nx Z k, où (Z k ) k es une sue de varables..d. de lo normale cenrée rédue. (X n ) n es alors une marché aléaore gaussenne, qu vérfe k= nf{n : X n K} < p.s. 8K. Il es donc possble de réalser un gan arbraremen grand, en un emps fn (sur l nervalle de emps [, ]). Cependan, cee sraége n es pas admssble au sens de la défnon 5. En praque, avan d aendre la valeur K, le porefeulle peu prendre des valeurs négaves arbraremen grandes. héorème 8. Le marché fnancer défn par (5.), (5.) e (5.4), avec les sraéges admssbles données par Defnon 5, n adme pas d opporuné d arbrage. Démonsraon. So (, ) une sraége admssble elle que X, p.s. On pose Z n =nf : k u (u)k du n ^. Alors, ( n ) es une sue des emps d arrê qu converge p.s. vers e ce qu mplque que applez n E Q k u (u)k du apple n<, E Q [ pour ou n. Mas par le lemme de Faou, pusque X, n ]=. X, n M n, on a : E Q [, X ]=EQ, [lm( X n! n M n )] + E Q [M ] apple lm n! EQ, [( X n M n )] + E Q [M ]=, ce qu mplque que X, =p.s. Remarque. Avec la condon de la lgne de créd négrable (5.5), l exsence des prmes de rsque b() =r() + () () vérfan la condon de Novkov es su sane pour l absence d arbrage même s le nombre de faceurs de rsque (brownens) ne concde pas avec le nombre d acfs rsqués. S l y a plus d acfs que de faceurs de rsque, cee condon donne des conranes sur les rendemens des acfs (vor l exercce à la fn de ce chapre). S le nombre de faceurs es supéreur au nombre d acfs, l y a pluseurs prmes de rsque possbles e donc pluseurs probablés rsque-neures.

7 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES Evaluaon des acfs conngens Le prx de surcouverure d un acf conngen es le coû mnmal d un porefeulle qu domne ce acf à la dae : Défnon 7 (Prx de surcouverure). So G F. Le prx de surcouverure de G à l nsan = es défn par V (G) =nf{x R : 9 avec (x, ) Ae X x, Le prx de surcouverure de G à l nsan [,] es défn par V (G) =essnf{x F : 9(x, ) Aavec X x, G}. = X e X x, De la même manère, on peu défnr le prx de sous-couverure d un acf conngen, qu sera noé par V (G) ev (G). S un acf es replquable par un porefeulle admssble, l es clar, que son prx de surcouverure coïncde avec son prx de sous-couverure. Dans ce cas, on appellera ce unque prx le prx de non-arbrage. héorème 9. So G F un acf conngen el que G e L (F, Q). Alors l exse un porefeulle de replcaon pour G e à ou nsan apple, h le prx de non-arbrage de G es donné par V (G) =E Q e R r(s)ds G F. Démonsraon. Par le héorème de représenaon des marngales dans la flraon brownenne (héorème ), pour ou G F avec G e L (F, Q), l exse un unque processus adapé H H avec Z eg = E[ G]+ e H s dw c s. Posons = () H. Alors Z ex x, := E[ G]+ e s (s)dw c s es la valeur acualsée d un porefeulle auofnançan qu perme de replquer l acf conngen G. De plus X e es un Q-marngale e donc un porefeulle admssble. Par la propréé de marngale on a alors X x, = E Q e R r(s)ds G F. G}. Les mplcaons praques des développemens de cee secon peuven êre résumées comme su : Valorsaon d acfs conngens dans le modèle de Black e Scholes Dans le modèle de Black e Scholes généralsé, défn par équaons (5.) e (5.), l unque prx de non-arbrage d une opon de pay-o G L (F, Q) à l nsan es donné par V (G) =E Q h e R r(s)ds G F, où Q es la probablé rsque-neure, c es-à-dre, une probablé elle que les acfs rsqués vérfen où c W es un Q-mouvemen brownen. ds = dag[s ](r()d + ()d c W ),

5.. EVALUAION RISQUE-NEURE 7 Reour sur la formule de Black e Scholes Supposons que le nombre d acfs rsqués es égal à d =, e le pay-o G es une foncon déermnse de la valeur fnale du sous-jacen : G = g(s ), e que les processus r e son déermnses. Dans ce cas, la formule de prcng deven h V (G) =E Q e " = E Q e R r(s)ds g(s ) F R r(s)ds g S e R r(s) (s) ds+ R! (s)dw c s F # := v(, S ), où v(, S) =E Q " e R r(s)ds g Se = E applee Q ( ) r r g Se R r(s) (s) ds+ R!# (s)dw c s ( )+ cw, où l on a posé r := Z r(s)ds e = Z (s)ds. (5.6) Dans le cas d une opon Call, on a g(s) =(S V (G) =E Q h e K) + e R r(s)ds (S K) + F = e R r(s)ds E Q h Z S K F Ke R r(s)ds Q[S K F ] avec Z = e R (s) ds+ R (s)d c W s. Inrodusons une nouvelle probablé e Q va d e Q dq F = Z. On a alors (G) =S e Q [S K F ] Ke R r(s)ds Q[S K F ]. De plus, fw = c W Z (s)ds

7 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES es un mouvemen Brownen sous Q, e donc V (G) =S e Q "S e Ke R r(s)+ R r(s)ds Q (s) ds+ R # (s)dw f s K F " S e R r(s) (s) ds+ R # (s)dw c s K F = S Q e apples e Ke r( r+ ( )+ ( f W f W) apple ) r Q S e K F ( )+ ( W c W) c K F avec = S N(d ) Ke r( ) N(d ) d = log S ± ( ) Ke r( ) p En concluson, on a obenu le résula suvan, qu généralse la formule de Black-Scholes classque : Le prx d une opon Call dans le modèle de Black-Scholes avec volalé e aux d nérê déermnses dépendans du emps es donné par. C BS (, S) =S N(d ) Ke r( ) N(d ), (5.7) où les coe cens d son donnés c-dessus, e r e son, respecvemen, le aux d nérê e la volalé moyennes, défns dans (5.6). 5. Changemen de numérare Dans cee secon on verra que la valorsaon de ceranes opons peu êre largemen smplfée, en exprman les prx de ous les acfs, e la valeur du porefeulle en unés d un acf de référence, appelé numérare. Les exemples les plus ules des numérares son les acfs sans rsque érangers pour la valorsaon des opons de change, le porefeulle du marché ou le zéro-coupon. L acualsaon des acfs reven à ulser l acf sans rsque domesque comme numérare. Défnon 8. Un numérare es un acf ou un porefeulle auofnançan, don la valeur (Y )vérfe les condons suvanes : Srce posvé : Y > pour ou [,]p.s. Propréé de marngale : la valeur acualsée (Ỹ) appleapple es une Q-marngale. Dans cee secon, nous n allons pas sysémaquemen chosr l acf sans rsque comme numérare, e l ne jouera pas de rôle parculer. Pour rendre le modèle plus symérque, on écrra alors S =(S,...,S d )? avec dx ds = S @b ()d + j ()dw j A, =,...,d, j=

5.. CHANGEMEN DE NUMÉRAIRE 73 où l on pose b () =r() e j () =. La valeur e la dynamque d un porefeulle auofnançan (en ermes de quanés) s écrven alors X = dx = S, dx = dx = ds. Pour un porefeulle ou un acf X e un numérare Y, nous noerons parfos la valeur de X exprmée en numérare Y par X Y := X Y. Changemen de numérare e volalés avec les noaons vecorelles) es Supposons que la dynamque de l acf X (en euros, dx = X r()d + X ()( ()d + dw ) e la dynamque du numérare Y es dy = Y r()d + Y ()( ()d + dw ). On peu alors exprmer la dynamque de X dans le numérare Y à l ade de la formule d Iô : dx Y = dx Y X Y = X Y ( X () = X Y ( X () dy + X dhy Y 3 dhx, Y Y Y ())( ()d + dw )+ Y ()) ( () Y () Y ()? d Y ()? )d + dw. X () X ()? d Dans le nouveau numérare, la volalé (vecorelle) de X es donnée par X () Y (), e le veceur des prmes de rsque deven () Y ()?. En parculer, la dynamque des acfs rsqués dans le nouveau numérare deven ds = dag[s ]( () Y ())(( () Y ()? )d + dw ) ou encore sous la probablé rsque-neure ds = dag[s ]( () Y ())( Y ()? d + d c W ). (5.8) Exemple 4. Le veceur de volalé X () conen les coe cens devan les mouvemens brownens ndépendans W,...,W d dans la dynamque de X. La volalé scalare de X (écar ype des rendemens) es donnée par la norme eucldenne du veceur de volalé : X () =k X ()k.

74 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES Supposons que la dynamque de X e Y es dx = X b X ()d + X ()dw X ) e dy = Y b Y ()d + Y ()dw Y, où W X e W Y son des mouvemens brownens undmensonnels els que dhw X,W Y = d. Nous pouvons alors exprmer la dynamque de X e Y à l ade de deux mouvemens brownens ndépendans W c e W c ): dx = X nb X ()d + X ()dw c o ) dy = Y nb Y ()d + Y ()( dw c + p dw c o. On en dédu une représenaon vecorelle : dx = X nb X ()d + X ()dw c o ), n dy = Y b Y ()d + Y ()dw c o, X () =( X (), ), Y () =( Y (), Y () p ). La volalé (scalare) de X dans le numérare Y es donc donnée par q k X () Y ()k = ( X () Y ()) +( ) Y () q = X () + Y () X () Y (). Changemen de numérare e changemen de probablé So Y un numérare. L équaon (5.8) monre que dans ce numérare, les prx acualsés des acfs ne son pas des marngales locales sous la probablé rsque neure. Dans le nouveau numérare, la probablé rsque-neure sera remplacée par une aure mesure de probablé qu on appellera mesure marngale assocée au numérare. So Z = e R Y ()d c R W k Y ()k d Y = Y e R. r(s)ds Par hypohèse, E Q [Z ] = e on peu nrodure la mesure de probablé Q Y dq Y dq = Z. Y (s)? ds es un mouvemen brownen, la dyna- Sous cee probablé le processus W Y = W c R mque des acfs deven ds = dag[s ]( () e leurs prx son des marngales locales. Y ())dw Y

5.. CHANGEMEN DE NUMÉRAIRE 75 Défnon 9. So Y un numérare e Q la probablé rsque-neure. Alors la mesure de probablé Q Y défne par dq Y Y = dq F Y e R r(s)ds s appelle la mesure marngale assocée à Y. Changemen de numérare e porefeulles Dans ce paragraphe nous monrons que les noons de base de mahémaques fnancères ne dépenden pas du chox de numérare. Proposon 4. La noon du porefeulle auofnançan es nvarane par changemen de numérare. Démonsraon. Supposons que la dynamque du numérare (Y ) es donnée (sous forme marcelle) par dy = Y b Y ()d + Y ()dw. En applquan la formule d Iô à la foncon f(x, y) = x y, on rouve X d = dx X Y Y Y dy + X dhx, Y Y 3 dhy Y dx ds = S Y Y dy + S dhs,y Y 3 dhy Y = = dx = d S Y. Afn de parler des opporunés d arbrage l nous fau manenan démonrer que la noon de porefeulle admssble es égalemen nvarane par changemen de numérare. Cependan, défnon 5 n es claremen pas adapée à ce cadre car elle dépend de la probablé rsque-neure Q. Lorsque le porefeulle es écr dans le numérare Y on dra qu l es admssble s sa valeur vérfe X Y M Y, apple apple (5.9) presque suremen, où M Y es Q Y -marngale. Il es clar que la nouvelle défnon coïncde avec l ancenne lorsque le numérare Y es l acf sans rsque. De plus, elle a l avanage d êre nvarane par rappor au chox de numérare. Proposon 5. So X un porefeulle auofnançan e Y un numérare. Alors la condon (5.9) es vérfée s e seulemen s la condon (5.5) es vérfée. Démonsraon. Supposons que la condon (5.5) es vérfée. Alors l exse une Q-marngale M el que ex M, apple apple () X Y M e R r(s)ds := M Y. Y Lemme 3 mplque alors que M Y es un Q Y -marngale. L mplcaon nverse se démonre de la même manère. Ensemble, les deux proposon précédenes mplquen qu une sraége qu es un arbrage dans un numérare es un arbrage dans ou aure numérare. La noon d absence d arbrage es donc nvarane par changemen de numérare.

76 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES Formule de Black-Scholes généralsée On consdère une opon d échanger le flux F conre le flux F à la dae. On suppose que pour les flux F e F l exsen des porefeulles de réplcaon, don les valeurs seron noées par F e F, qu son lognormaux, de volalés (vecorelles) () e (), c es-à-dre qu ls on les dynamques df F = b ()d + ()dw, df F = b ()d + ()dw, où b, b,, ans que le aux d nérê r son des foncons déermnses. Nous noerons par Q e Q les mesures marngales assocées, respecvemen, aux numérares F e F. On a alors : dq dq = F F e R r(s)ds e dq dq = F F e R r(s)ds. Le prx de l opon d échange peu alors êre exprmé de manère suvane. V = E Q [e R r(s)ds (F F ) + F ] = E Q [e R r(s)ds F F F F ] E Q [e R r(s)ds F F F F ] = F Q [F F F ] F Q [F F F ] apple apple F = F Q F F apple F F Q F = F N @ log F + F Var p A F Var N F @ log F F Var p A, (5.) Var où Var = R k (s) (s)k ds, pusque F F () sous Q e F F es une marngale lognormale de volalé es une marngale lognormale de volalé () () sous Q. () En concluson, pour déermner le prx d une opon d échanger le flux F conre le flux F, l fau ulser l algorhme suvan : Idenfer les porefeulles de replcaon F e F (par exemple, en ulsan la méhode de valorsaon rsque-neure), e calculer leur volalés respecves () e () par rappor au même mouvemen brownen vecorel. Calculer le prx de l opon d échange à la dae avec la formule de Black-Scholes généralsée V = F N @ log F + F Var p A F Var N @ log F F Var p A, Var où Var = R k (s) (s)k ds Par la formule d Iô, la dynamque de V es dv = N @ log F + F Var p A df Var N @ log F F Var p A df Var.

5.. CHANGEMEN DE NUMÉRAIRE 77 L opon peu donc êre réplquée par un porefeulle conenan N @ log F + F Var p A Var unés de l acf F e N @ log F F Var p A Var unés de l acf F. Exemple 5 (Opon quano). Une opon quano es une opon sur un re éranger avec srke en monnae érangère, don le pay-o es conver en monnae domesque moyennan un aux de change fxé dans le conra. Le pay-o es donné par X(S K), où X es le aux de change conracuel. Pour smplfer la noaon, nous posons X = dans la sue. Cee opon es sensble à la fos au rsque de flucuaon de l acf éranger e au rsque de change. Nous noerons le aux d nérê domesque par r() e le aux d nérê éranger par r e (). Les deux aux son supposés déermnses. La dynamque de l acf éranger S es ds S = b()d + ()dw, e le aux de change X (valeur en monnae domesque d une uné de monnae érangère) su la dynamque dx X = b X ()d + X ()dw. La probablé rsque-neure sur le marché éranger es noée par Q e. Nous applquons les résulas de la secon précédene avec F = S e F = K. La valeur du porefeulle de replcaon pour F es claremen donnée par F = e R r(s)ds K. La valeur du porefeulle de réplcaon pour F es apple F = X E Qe e R re (s)ds S F X apple = X S E Qe F e R (s)? X (s)ds X = S e R (re (s) r(s))ds e R (s)? X (s)ds, où nous avons ulsé le fa que pour ou veceur gaussen -dmensonnel (X, Y ), E[e X+Y ]=E[e X ]E[e Y ]e cov(x,y ). Le prx de l opon es donc donné par la formule (5.), avec Var = R k (s)k ds.

78 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES Exercce. Calculer la sraége de couverure pour l opon quano. Exemple 6 (aux d nérê sochasques e probablé forward-neure). Dans ce exemple nous supposons que le aux d nérê n es pas déermnse mas peu varer de manère sochasque. Cec mplque que les zéro-coupons son des acfs rsqués. Nous supposons que le prx du zérocoupon d échéance su la dynamque lognormale db ( )=B ( )(µ B ()d + B ()dw ). Le prx d une opon call européen de pay-o (S K) + peu alors êre calculé par la formule (5.), en posan F = S e F = K. Les valeurs des porefeulles de réplcaon correspondanes son F = S e F = B ( ) e le prx de l opon es donné par (5.) avec Var = R k (s) B (s)k ds. Il es cependan néressan de calculer le prx de ce opon drecemen. En prenan l espérance sous la probablé rsque-neure, on rouve h V = E Q e R r(s)ds (S K) + F. Pour la valorsaon d une opon d échéance en présence de aux d nérê sochasques, l es commode de chosr comme numérare le zéro-coupon d échéance. La probablé marngale assocée à ce numérare s appelle la probablé forward-neure d échéance. Elle es défne par dq dq = e R r(s)ds B ( ) En ulsan la probablé forward-neure, on a alors, D = e R r(s)ds B ( ). B ( ) V = E Q h e R r(s)ds (S K) + F = B ( )E Q (S K) + F, c es-à-dre, l e e des aux sochasques dspara sous cee probablé. De plus, S = S B ( ),e S par défnon d une mesure marngale assocée à un numérare, B ( ) es une marngale sous Q. Le prx peu donc êre calculé en ulsan la formule de Black-Scholes sandard, applqué à ce qu donne V = S N(d ) KB ( )N(d ), avec d, = log S KB ( ) ± Var p Var. S B ( ), 5.3 Opons à barrère e réplcaon saque Dans cee secon, nous nous plaçons dans le cadre du modèle Black-Scholes undmensonnel avec volalé e aux d nérê consans. Nous allons nous néresser aux opons à barrère avec foncons pay-o arbrares (pas nécessaremen des calls e des pus). Le prx d une opon Up and In qu paye f(s ) à la dae s la barrère B a éé franche avan cee dae sera noé par UI (S,B,f(S ),), où es la dae courane e S es le prx couran du sous-jacen. De la même

5.3. OPIONS À BARRIÈRE E RÉPLICAION SAIQUE 79 manère, UO es le prx d une opon Up and Ou, e EUR (S,f(S ),) es le prx d une opon européenne de pay-o f(s ). Ces foncons vérfen les relaons mmédaes suvanes : UI + UO = EUR (5.) UI (S,B,f(S ),) = EUR (S,f(S ),) s f(z) = pour z<b (5.) UI (S,B,f(S ),) = UI (S,B,f(S ) S <B,) (5.3) + EUR (S,f(S ) S B,) en général. (5.4) Valorsaon par EDP e réplcaon dynamque L approche EDP s applque aux opons Down and Ou / Up and Ou. Les prx des opons In correspondanes peuven êre calculés en ulsan la relaon (5.). Nous nous concenrons sur l exemple de Up and Ou. Par le prncpe de valorsaon rsque-neure, UO (x, B, f(s ),)=E Q [e r( ) f(s ) supapplesapple S s<b S = x]. So v une soluon régulère de @v @ + S @ v @S = r v S @v, apple S apple B, apple apple, @S avec la condon au bord v(, B) =8 [,] e la condon ermnale v(,s)=f(s) 8S [,B]. On noe enfn B =nf{ :S B} e V = v( ^ B,S ^ B ). Alors par la formule d Iô, 8 < @v dv = @S ds @v + r(v S @S )d, < B :, B. Par alleurs, V = v( ^ B,S ^ B )=f(s )s B > e snon. On conclu que V es la valeur d un porefeulle auofnançan qu replque le prx de l opon à barrère Up and Ou. Il conen @v @S (, S ) unés du sous-jacen à oue dae < B e deven denquemen nul à la dae B. Réplcaon saque Conraremen aux Calls e Pus européens, le dela d une opon à barrère n es pas borné, ce qu rend d cle la réplcaon dynamque de ces opons. Nous présenerons manenan une sraége de couverure pour les opons à barrère qu ulse seulemen des posons saques en opons européennes, due à Carr e al. [998]. La méhode es basée sur le lemme suvan : Lemme. Dans le modèle de Black-Scholes, EUR (S,f(S ),)=EUR S, S S S f S,, (5.5) avec = r où r es le aux d nérê e la volalé. Démonsraon. Commençons par observer que S = e S W ( )

8 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES Regular down-and-n call 6 Reverse up-and-n call 6 B K S - S S K B - S Fgure 5. ypes d opons à barrère. es d espérance e nous pouvons nrodure une probablé e Q va dq e S = dq F S. Par le héorème de Grsanov, sous cee probablé W f s = W s Par alleurs, r W f = S e, S S s es un mouvemen brownen. ce qu monre que la lo de S S apple E Q [e r Q f(s )] = E e S e r f S sous e Q es la même que la lo de S sous Q. Onendédu apple = E Q e r S S En applquan le même résula enre e, la démonsraon es ermnée. S f La méhode que nous allons décrre s applque à ous les modèles qu possèden une propréé de symére de ce ype. Une opon à barrère es de regular s la foncon pay-o es nulle à la barrère e au-delà, e reverse snon (vor Fg. 5. pour une llusraon). Les relaons (5.) (5.4) mplquen que pour déermner la couverure pour une opon à barrère quelconque, l es su san d éuder les opons de ype In Regular. De plus, les opons Up e Down peuven êre raé de la même manère. Nous allons donc nous concenrer sur les opons Up and In Regular dans la sue. Réplcaon d opons Regular So f la foncon pay-o d une opon Up and In Regular. On a donc f(z) = pour z B. So B le premer emps de passage par le processus de prx au-dessus du nveau B. On consdère la sraége de couverure suvane : S A la dae, acheer l opon européenne EUR S, B B f S,. Lorsque la barrère es aene (s jamas), vendre EUR B B, S B f S B S, e acheer EUR B (B,f(S ),). Cee ransacon à un prx nul grâce à la relaon de symére (5.5).

5.3. OPIONS À BARRIÈRE E RÉPLICAION SAIQUE 8 Il es facle de vérfer que cee sraége réplque l opon UI (S,f(S ),). De plus, on en dédu la formule de prcng suvane : S B UI (S,B,f(S ),) = EUR S, f, B S S B = EUR S,f S,. (5.6) B Le cas de calls e pus Equaon (5.6) monre que le prx d une opon In Regular peu êre exprmé en ermes du prx de l opon européenne correspondane, par exemple, UIP (S,B,K,)= S B S KS Pu B,. Cependan, sauf s =, la sraége de réplcaon fa nervenr des opons européennes aures que calls e pus. S = (c es-à-dre que le aux sans rsque es nul), les opons In Regular peuven êre réplqués saquemen avec une seule opon call / pu. Par exemple, +! + S EUR S, K,! B KS = EUR S, B, B S B = K B B Call K,. La replcaon des opons Reverse fera nervenr des pay-o s aures que call / pu même s =. La replcaon d opons Regular lorsque 6= es basée sur le résula suvan. Lemme. So f une foncon deux fos dérvable, don la deuxème dérvée es connue par morceaux. Alors pour ous F, x posfs, Z F f(x) =f(f )+f (F )(x F )+ f (K)(K x) + dk + Z F f (K)(x K) + dk. Démonsraon. Lassée en exercce. Dans le cas d une opon Pu Up and In Regular, la foncon à réplquer es + S K B B KS B = S + B K B K Cee foncon n es pas d érenable deux fos mas elle vérfe S avec S B + K B = S f(x) = B f(s )+ K! Kx B x B K S B B + K K +

8 CHAPIRE 5. VALORISAION D OPIONS EXOIQUES Les dérvées de la foncon f son données par ( Kx Kx f (x) = B +( ) ) B x B K Au fnal, prenan F = B K f (x) =( ) Kx B dans Lemma, on a K B x x B. K S B + K B = S B K 5.4 Swaps de varance S B K + Z + B /K B x K B x (S x) + dx. Un aure exemple d applcaon du prncpe de réplcaon saque es donné par les swaps de varance. Les swaps de varance son des acfs conngens qu permeen de prendre des posons sur la volalé (varance) de sous-jacen. Un swap de varance a un pay-o à l échéance égal à où H = NA n nx = log S S N K, A = 5 es le nombre moyen de jours ouvrés dans l année ; N es le nomnal du conra ; n represene le nombre de jours ouvrés jusqu à l échéance ; K es la volalé srke. En d aures mos, un swap de varance perme d échanger un monan fxe N K conre un flux aléaore égal à la varance réalsée du sous-jacen. Dans un modèle à rajecores connues, un swap de varance peu êre replqué par un porefeulle saque conenan des opons européennes e un porefeulle dynamque conenan le sous-jacen [Carr and Madan, 998]. Pour smplfer le raemen, on va approcher la somme dans le pay-o de produ par une négrale : ( Z ) H = N sds K. Supposons que le sous-jacen S es décr par ds S = µ d + dw,