COURS 4 Itroductio rapide sur les Haroiques Sphériques Résolutio de l équatio de Laplace e coordoées sphériques Rearques sur les polyôes de Legedre. Foctios et ores. Quelques relatios de récurrece 3 Represetatio de quelques haroiques sphériques 4 Vecteurs sphériques
Itroductio rapide sur les Haroiques Sphériques Pour l étude des chaps gravitatioel et agétique o est aeé à résoudre l équatio de Laplace V = 0. Les solutios de cette équatio sot des foctios sphériques appelées haroiques sphériques globales. O itroduit sur la surface de la sphère, ue base de foctios sphériques sur laquelle o peurra décoposer judicieuseet tout chap scalaire.. Résolutio de l équatio de Laplace e coordoées sphériques Soit à résoudre, l équatio V = 0 qui s écrit e coordoées sphériques: r V ) + r r r r si θ si θ V ) + θ θ V r si θ ϕ = 0 ) O cherche ue solutio de cette équatio par séparatio de variable: V r, θ, ϕ) = fr)f θ, ϕ) où F θ, ϕ) est ue foctio dépedat de θ et ϕ. E substituat das ) o obtiet: D où F d r df ) + f r dr dr r si θ f d r df ) = dr dr F si θ si θ F ) + θ θ si θ F ) θ θ f F r si θ ϕ = 0 F F si θ ϕ Le ebre de droite e déped que de θ, ϕ) et le ebre de gauche de r : chaque ebre doit être costat. D où le systèe: ) d r df = cste f dr dr ) ) si θ F + F = cste F si θ θ θ si θ ϕ La preière équatio de ce systèe s écrit: r d f df + r dr dr = cste f Posos cste = αα + ). La solutio est de la fore: f = Cr α + D r α+ 3)
La deuxièe équatio du sytèe ) s écrit: si θ si θ F ) + θ θ si θ F = αα + )F 4) ϕ [ O itroduit parfois u opérateur oté L = si θ ) + si θ θ θ si θ ϕ qui est u opérateur heritie das l espace des foctios sphériques. L est l opérateur oet ciétique de la écaique quatique). 4) est ue équatio aux valeurs propres: L F ) = αα + )F où F est u vecteur propre associé à la valeur propre αα + ). Cherchos des solutios de L par séparatio des variables: F θ, ϕ) = Aθ)Bϕ). ou ecore: [ d A Bϕ) dθ + cos θ si θ si θ A D où le systèe [ d A dθ + cos θ si θ si θ A [ d A + cos θ dθ si θ d B dϕ + B = 0 da + Aθ) dθ si θ) d B = αα + )Aθ)Bϕ) dϕ da + αα + ) si θ = d B dθ B dϕ = da + αα + ) si θ = 0 dθ 5) La solutio de la deuxièe équatio de 5) est: La preière équatio de 5) peut s écrire: si θ d A dθ da Posos u = cos θ; dθ = da d si θ; du L équatio de 7) deviet: Bϕ) = B cos ϕ + B si ϕ 6) da + cos θ si θ dθ + [αα + ) si θ A = 0 7) A dθ da = cos θ du + si θ d A du. d [ u ) da + [αα + ) A = 0 8) du du u Pour α o etier, o obtiet des solutios qui tedet vers l ifii quad u. Les seules solutios physiqueet adissibles sot doc celles 3
pour lesquelles α = N. Cette équatio différetielle a pour solutios les polyôes de Legedre associés défiis par, avec : P u) =! u ) d + u ) 9) du + P et P sot foctios propres correspodat à la êe valeur propre + ), ais e réalité, ils sot proportioels. O a e effet la relatio: P )! u) = ) + )! P u) Posos Y c Les Y c θ, ϕ) = P cos θ) cos ϕ; et Y s θ, ϕ) = P cos θ) si ϕ et Y s sot les foctios propres de L associés à la valeur propre [Y s. + ). Pour fixé, il y a + ) foctios Y c E cobiat 3), 6) et 9), o obtiet ue solutio géérale de l équatio de Laplace e coordoées sphériques: V r, θ, ϕ) = Cr + D ) ) a r cos ϕ + + b si ϕ =0 =0 P cos θ) 0) 4
. Rearques sur les polyôes de Legedre.. Foctios et ores, P x) P cos θ) P x) = 0, 0, 0 x cos θ 3, x si θ 4 3, 0 3x ) 3 cos θ ) 5, 3 x x 3 si θ cos θ 5 +)! + )!, 3 x ) 3 si θ 48 5 3, 0 x 5x 3) cos θ 5 cos θ 3) 7 3, 3 x 5x ) 3 si θ 5 cos θ ) 4 7 3, 5 x ) x 5 si θ cos θ 40 7 3, 3 5 x ) 3 5 si 3 θ 440 7 4, 0 8 35x4 30x + 3) 35 8 cos4 θ 30 cos θ + 3) 9 4, 5 x x 7x 3) 5 si θ cos θ 7 cos θ 3) 40 9 4, 5 x ) 7x ) 5 si θ 7 cos θ ) 80 4, 3 05 x ) 3 x 05 si 3 θ cos θ 0 4, 4 05 x ) si 4 θ 8960 L espace des foctios sphériques est ui du produit heritique : < F, G >= F G si θdθdϕ 5
O a la relatio suivate: π 0 P ) si θdθ = + )! + )! Posos θ, ϕ) = P cos θ) cos ϕ; et Y s θ, ϕ) = P cos θ) si ϕ Y c Les Y c [Y s sot orthogoaux ais o orés. O a: < Y c, Y lc >= 0 pour k ad l. k Y c = π π 0 0 [P cos θ) cos ϕ si θdθdϕ = 4π + )! + )! Sur le tableau précédet, o peut oter que la ore des polyôes de Legedre augete avec le degré. C est pour cela qu e géophysique o travaille souvet avec des haroiques sphériques dites oralisées, afi d éviter d avoir des coefficiets d aplitude très petite ultipliés par u polyôe d aplitude très grade. O peut défiir, par exeple: Ỹ c = )! + ) + )!.. Quelques relatios Y c avec Ỹ c = 4π Il existe des relatios de récurrece sur les polyôes de Legedre. Ces relatios sot très utiles lorsque l o fait des calculs avec des polyôes de Legedre car elles ous perettet d ordoer les séries suivat u degré ou u ordre. dp dθ = [ + ) + ) P P + ; et cos θ P = [ + ) P+ + + + ) P si θ P = [ P+ + P + + dp 0 dθ = P 6
si θ P = [ + ) + ) P + ) + + ) P+ [ si θ P + = + + ) cos θ P + ) P+ [ = + ) P ) cos θ P P + + ) cos θ si θ P + + ) + + ) P = 0 x ) dp dx = + )x P + ) P+ = + ) P x P = + P = [ P x + [ + ) + ) P + ) P + + + ) + ) P 7
.3 Represetatio de quelques haroiques sphériques fro http://www.geologie.es.fr/ vigy/cours/chp-gphy-.htl 8
fro http://www.geologie.es.fr/ vigy/cours/chp-gphy-.htl.4 Vecteurs sphériques De êe qu à la surface de la sphère, il est utile de décoposer u chap scalaire sur la base des haroiques sphériques Y c, Y s, u chap de vecteur peut être décoposé sur ue base de vecteurs liés à ces haroiques sphériques: avec ur, θ, ϕ) = f Y θ, ϕ) r r + s S S = r Y θ, ϕ); et T S et T sot tagets à la sphère. S est u vecteur irrotatioel dit poloïdal. T dit toroïdal. 9 + τ T = ry θ, ϕ) ) est u vecteur idivergetiel
Le vecteur poloidal est perpediculaire au courbes de iveau de l haroique alors que le vecteur toroidal est taget aux liges de chap cf cycloeaticycloe). Exeple: soit Y c = 3 si θ cos ϕ. O a alors S c = 0 3 si θ cos ϕ ; 6 si θ si ϕ O ote N = Y c 48π =. 5 O a tracé sur la figure de gauche Y c N et T c N. N 0 T c = 6 si θ si ϕ 3 si θ cos ϕ Y c et S c N et sur la figure de droite -.0-0.5 0.0 0.5.0 Vecteur poloidal de degre et ordre -.0-0.5 0.0 0.5.0 Vecteur toroidal de degre et ordre 0