Moueens recilignes 64 B-IV/ MUVEMENTS RECTILIGNES / MUVEMENT RECTILIGNE UNIFRME ( ) Définiion : Un poin ériel es en oueen reciligne nifore si s rjecoire es une droie e son eceur iesse consn (donc son eceur ccélérion nul) Equion horire : on choisi l ex coe repère reciligne e on fie l condiion iniile = ; = (bscisse iniile) Prn de l définiion ci-dessus, e grâce à une inégrion on rrie à eprier l bscisse en foncion du eps : d = = = d = d d d = d = - = Dns une dernière épe on obien l équion horire du oueen reciligne qui es une foncion du eps de preier degré: = + (4) n ppelle l bscisse insnnée, e l bscisse iniile X = Fig 46 repère reciligne Digres du oueen( AABC) Les digres du oueen reciligne unifore son l représenion grphique de l ccélérion, de l iesse e du déplceen en foncion du eps (Figure 47) = + = C e = + ( = ) = Eeple 44 : Les équions horires du oueen d un poin ériel son = ; y = + 4 ; z = (oues les uniés son dns le sysèe inernionl) Monrer que le oueen es reciligne e unifore AFIZAZI Uni-BECHAR LMD/SM_ST
Moueens recilignes 65 Rerque : Dns un repère crésien, si l une des coordonnées es nulle le oueen es di pln (is il peu êre reciligne ussi) ; si deu coordonnées son nulles le oueen ne peu êre que reciligne ; si les rois coordonnées son différens de zéro, dns ce cs le oueen es di spil Réponse : Déonrons d bord que le oueen es reciligne ; pour cel on doi chercher l équion de l rjecoire Après éliinion du eps enre les deu équions horires données on roue : y = + 4 équion d une droie, donc le oueen es reciligne Pour que ce oueen soi unifore il fu que l iesse soi consne en direcion, en sens e en odule Le eceur iesse es = i + j = + = 8 = 8s Ceci iplique que le oueen es unifore En définiif le oueen es reciligne e unifore / MUVEMENT RECTILIGNE UNIFRMEMENT VARIE ( ) Définiion : Le oueen d un poin ériel es reciligne uniforéen rié si s rjecoire es une droie e son ccélérion es consne L iesse lgébrique : En considérn les condiions iniiles = ; = (iesse iniile), e prn des définiions précédenes, e en inégrn on peu écrire : d = d = d d = d d = n obien à l fin l équion de l iesse insnnée qui es une foncion du eps de preier degré: = + (44) Equion horire du oueen : Si on prend = ; = (bscisse iniile), e prn de ce qui précède on écri : d = = + d = ( + ) ) d d = ( + ) ) d d L équion horire es donc : = + + (54) Digres du oueen : n oi sur l figure 48 les digres du oueen reciligne uniforéen rié relifs à l ccélérion, l iesse e le déplceen = + + = + = C e = AFIZAZI Uni-BECHAR LMD/SM_ST
Moueens recilignes 66 Lissons à l éudin le soin de déonrer à ire d eercice que : = ( ) Rppel : Le oueen reciligne es ccéléré ( ) si >, e il es rerdé ( ) si < Eeple 45 : Un corps poncuel se déplce suin l ex ec une iesse - d équion : = -6 ( s ); / En déduire l équion de l ccélérion insi que l équion horire de ce oueen schn qu à l insn =, = 5 Quelle es l nure du oueen? b/ Indiquer les épes (ccélérée e rerdée) du oueen Réponse : n obien l équion de l ccélérion en dérin l epression de l iesse d pr rppor u eps : = = s L ccélérion es consne d En inégrn l epression de l iesse on obien l équion horire : d = = + ( 6) d = + d = 6 + 5 = + 6 ; =, = 5 = 5 Le oueen es reciligne uniforéen rié b/ Les phses du oueen : on dresse le bleu de riion suin : 5 A - + + + -4 - + Moueen rerdé * Moueen ccéléré Tbleu de riion 4 / MUVEMENT RECTILIGNE A ACCELERATIN VARIABLE ( ) Définiion : Le oueen d un poin ériel es di reciligne à ccélérion rible si s rjecoire es une droie e que son ccélérion es foncion du eps ( = f () ) Eeple 46 : Un corps poncuel se déplce suin une droie ec l ccélérion = 4 (oues les uniés son dns le sysèe inernionl MKS ) Trouer les epressions de l iesse e du déplceen en foncion du eps en - considérn les condiions suines : = s ; = s ; = 9 Réponse : Pour obenir l epression liérle de l iesse on doi inégrer l équion de l ccélérion : = d + = + (4 ) d = 4 + Inégrn de noueu fin d obenir l epression liérle du déplceen : AFIZAZI Uni-BECHAR LMD/SM_ST
Moueens recilignes 67 = + d = + + 4 Il nous rese à déeriner l bscisse e l iesse iniiles du corps D près les données, on replce dns les epressions obenues précédeen le eps pr = spour rouer l bscisse e l iesse iniiles : = s = ; =s 4 En fin de cope, les epressions de l iesse e du déplceen son: = + 4 4 = 4 / MUVEMENT RECTILIGNE SINUSIDAL ( ) Définiion : Le oueen d un poin ériel es reciligne sinusoïdl si son équion horire peu s écrire sous l fore : = X cos( + ) (64) u êe = X sin( + ) X : Apliude ou élongion ile (KLMN A PQ R ), son unié es le ère : Élongion ou bscisse insnnée (KLT A PQ TUV ), elle rie enre deu leurs erêes : cos( + ) + X + X, son unié es le ère : Pulsion du oueen ( WXY), son unié es le rdin/seconde : Phse iniile (Z [\] V^ PQ KZ [\] _`A ), son unié es le rdin + : Phse insnnée (LT V^ PQ KLT _`A ), son unié es le rdin L iesse : En dérin l équion horire on obien l epression de l iesse d insnnée : = = d = X sin( + ) (74) Cee iesse rie enre deu leurs erêes : sin( + ) + X + X L ccélérion : En dérin l équion de l iesse on obien l epression de l ccélérion insnnée : d = = = d = X cos( + ) (84) Cee iesse rie enre deu leurs erêes : + X X Nous pouons écrire l epression de l ccélérion sous l fore : L ccélérion es proporionnelle à l élongion ec un signe opposé = (94) AFIZAZI Uni-BECHAR LMD/SM_ST
Moueens recilignes 68 Conrireen à l iesse, l ccélérion s nnule u pssge du obile pr l posiion d équilibre (origine des bscisses), e prend une leur ile lorsque l élongion es ile Nous ons résué sur l figure 49 les principles crcérisiques du oueen reciligne sinusoïdl = X = = + X i = = X = 94 M = + X = = X X Equion différenielle du oueen ( ) : L équion de l ccélérion peu se ere sous l fore d une équion différenielle : d + = (4) d = = + = L soluion héique de cee équion différenielle es de l fore : = Acos + Bsin Après rnsforion rigonoérique nous pouons écrire : = X cos( + ) X e son les consnes différenielles qui son déerinées grâce u condiions iniiles sur l élongion e l iesse ; d où l on obien un sysèe de deu équions à deu inconnues qui nous pere de déeriner X e = X cos = = X sin Les digres du oueen : L figure 4 représene les digres du déplceen, de l iesse e de l ccélérion du oueen reciligne sinusoïdl (pour siplifier nous ons choisi = ) AFIZAZI Uni-BECHAR LMD/SM_ST
Moueens recilignes 69 X,V, + =h() +V V=g() =f() +X -X T/ T T/4 T (s) -V - Fig 4 : Digre du oueen Eeple 47 : Un ibreur sinusoïdl représené pr l équion = 4 sin( + 5) (oues les uniés son dns le sysèe inernionl MKS ) Trouer : / l pliude, l période, l fréquence e l phse iniile du oueen, b/ l iesse e l ccélérion, c/ les condiions iniiles, d/ l posiion, l iesse e l ccélérion u eps = 5s, e/ Dessiner les digres du oueen Réponse : Procédons pr idenificion de l équion horire générle du oueen reciligne sinusoïdl e l équion donnée dns l énoncé de ce eercice = 4sin(+ 5) = X sin( + ) / L pliude, l période, l fréquence e l phse iniile du oueen X = 4 ; T = T = = 68s N = N = 59 Hz ; = 5rd T b/ Clcul de l iesse e de l ccélérion : = = 4cos( + 5) = = -4sin( + 5) = -4 =-4 c/ Déerinion des condiions iniiles : = = 4sin 5 = 9 = 9 s = 4cos 5 5 = 5 d/ Désignion de l posiion, l iesse e l ccélérion u eps = 5s : AFIZAZI Uni-BECHAR LMD/SM_ST
Moueens recilignes 7 = 5 s : = 4sin(5 + 5) = 6 = 4cos = s = -4sin = 4s - - e/ Digre du oueen : Nous conseillons à l éudin de rcer lui-êe ces digres e de ne ps se conener de jeer un siple coup d œil sur l figure 4,, 4 =4sin(5+5) +T/ +T +T/4 =-4sin(5+5) (s) - =cos(5+5) -4 AFIZAZI Uni-BECHAR LMD/SM_ST