Corrction - TD n 19 - Phénomèns d diffusion 1 QCM - Diffusion thrmiqu 1. 1.a) 2. 2.a) 3. 3.c) 2 Théièr Avantags : La théièr st très bin isolé thrmiqumnt, car l sul contact avc la tabl s fait par ls trois pids avc un contact pratiqumnt ponctul. On rappll qu ls prts thrmiqus par contact avc l air sont très faibls. La form sphériqu d la théièr prmt d obtnir un contnanc maximal avc un surfac minimal, t donc d minimisr ls prts thrmiqus au nivau d la paroi n contact avc l air. Inconvénints : Ls pids sont n métal t la conduction avc la tabl aurait été plus faibl avc un matériau d conductivité thrmiqu plus faibl (du bois par xmpl). L métal st un très bon conductur d la chalur, t ls prts avc l xtériur sont plus importants qu si la théièr était fait d céramiqu ou d porclain. D plus, l manch d la théièr soit n métal st égalmnt pu pratiqu car clui-ci sra nécssairmnt très chaud. 3 Survi n montagn L igloo étant hémisphériqu, utilisons ls coordonnés sphériqus. Considérons l cas limit du régim d survi, pour lqul la tmpératur intériur d l igloo st tll qu T int = 10 C, t la tmpératur xtériur tll qu T xt = 10 C. L régim st donc stationnair, t l équation d la diffusion conduit à : R T = 0 D plus, d après la symétri d l igloo, la tmpératur dans l igloo st indépndant ds coordonnés θ t ϕ En coordonnés sphériqus, l équation d Laplac précédnt conduit à : ( 1 r 2 r 2 T ) = 0 r r On n déduit qu r 2 T r = a PSI - Anné 2010/2011 1 Lycé Paul Eluard
En intégrant un nouvll fois, on obtint : T (r) = a r + b où a t b sont ds constants. Or ls conditions aux limits s écrivnt, n applant R l rayon intériur d l igloo, t son épaissur supposé constant pour tout l igloo : T int = T (R) = a R + b La résolution du systèm conduit à : T xt = T (R + ) = a (R + ) + b a = T int T xt R(R + ) < 0 b = (R + )T xt RT int En régim stationnair, l épaissur limit d l igloo qui prmt à qulqu un d survivr à l intériur st tll qu l flux thrmiqu allant d l intériur vrs l xtériur st égal à 50W. Or : j dt φ = ds = λ 2πR 2 = 2πλa dr r=r où l on a considéré qu l vctur j n dépndait ni d θ, ni d ϕ, t qu l flux variait très pu ntr R t R +. En rmplaçant avc l xprssion d a, sachant qu R, R(R + ) R 2, on obtint : φ = (T int T xt ) 2πλR 2 t donc l épaissur minimal d la paroi d l igloo pour autorisr la survi st donné par : = (T int T xt ) 2πλR 2 φ L application numériqu donn : = 13cm pour un ptit igloo d 2m d diamètr = 50cm pour un grand igloo d 4m d diamètr L ordr d grandur à attindr st donc tout à fait réalisabl, t c st pourquoi l igloo st ffctivmnt un moyn d survivr n montagn n cas d impossibilité d attindr l rfug. 4 Diffusion à travrs un fin tuyau ntr dux récipints 0. L régim dépnd du tmps t n st donc pas stationnair. PSI - Anné 2010/2011 2 Lycé Paul Eluard
A rajoutr pour la qustion 2) : l nombr dn 1,tub = Φ 1,tub dt d particuls d gaz G 1 qui travrsnt l tub pndant dt corrspond aussi au nombr d particuls d gaz G 1 qui sortnt d A pndant dt (noté dn 1A car dn 1A < 0 lorsqu ds particuls sortnt d A), mais aussi au nombr d particuls d gaz G 1 qui ntrnt dans B pndant dt (noté +dn 1B car dn 1B > 0 lorsqu ds particuls ntrnt dans B). Cci st vérifié car l flux st constant dans tout l tub. Cci s écrit donc : dn 1,part = Φ 1,tub dt = dn 1A = dn 1B j 1 sdt = N A V A dc 1A (t) = N A V B dc 1B (t) PSI - Anné 2010/2011 3 Lycé Paul Eluard
5 Doubl vitrag 1. a) voir cours b) voir cours c) voir cours. On obtint : φ th = λ V S (T 1 T 2 ) = 1 (T 1 T 2 ). V R th 2. a) Ls matériaux thrmiqus sont n séri, donc : L nouvau flux à travrs la vitr vaut : φ th = (T 1 T 2 ) R q = car λ V λ air. ( R q = 2 V λ V S + A λ A S (T 1 T 2 ) 2 V λ V S + ) = (T 1 T 2 )λ V λ A S A 2 V λ A + A λ V λ A S (T 1 T 2 )λ A S A b) Rmplacr l air par d l Argon prmt d multiplir l isolation thrmiqu par un factur corrspondant au rapport ds conductivités thrmiqus, soit nviron 2. c) φ th = 4.4kW t φ th = 100W. d) P chaudir = 88kW t P chaudir = 2kW. On voit donc ici clairmnt l intérêt d utilisr du doubl vitrag, car la consommation st nviron 40 fois plus faibl. 6 Evaporation d l éthr PSI - Anné 2010/2011 4 Lycé Paul Eluard
7 Snsation d chaud ou d froid PSI - Anné 2010/2011 5 Lycé Paul Eluard
8 Diffusion dans un tuyau porux 1. Ecrivons tout d abord la variation dn du nombr d particuls ntr t t t + dt ntr x t x + dx d dux manièrs différnts : dn = (nv ) dt = V n t t dt = 0 car l régim st stationnair. Or ctt variation corrspond au nombr d particuls ntrant n x, moins l nombr d particuls sortant n x + dx, moins clls sortant par la surfac latéral, soit : dn = j(x)sdt j(x + dx)sdt j L 2πadxdt On n déduit, n utilisant la loi d Fick dans la paroi du tub caractérisé par un cofficint d diffusion D, j L = D n u r : r j n Sdxdt + D x r 2πadxdt = 0 Or d après l énoncé, on put supposr qu la dnsité moléculair st linéair dans l tub, d sort qu on put écrir : n(r) = αr + β En utilisant ls conditions aux limits { n(a + ) = 0 n(a) = n(x), on obtint : Finalmnt, on n déduit : n(r) = n(x) [(a + ) r] j x S D n(x) 2πa = 0 2. En utilisant un scond foi la loi d Fick, mais dans l tub, suivant la dirction longitudinal : n j = D u x x on obtint : DS 2 n x 2 D n(x) 2πa = 0 Et n posant un distanc caractéristiqu d tll qu d 2 = ad, on obtint : 2D 2 n x 2 n(x) d 2 = 0 LA solution d ctt équation différntill s écrit : x x n(x) = A d + B d PSI - Anné 2010/2011 6 Lycé Paul Eluard
En utilisant ls conditions aux limits, { n(0) = n0 n ( L) = n 1, on obtint : ( ) ( ) L x x n 0 sinh + n 1 sinh d d n(x) = ( ) L sinh d La distanc d rsprént donc la distanc caractéristiqu d variation d la dnsité d particuls n(x). Si L d, ls prts latérals dvinnnt négligabls t on obtint : 9 Gl d un lac S n(x) = (n 1 n 0 )x + n 0 L 1. L flux thrmiqu φ travrsant la couch d glac dans l sns ds z décroissants st donné par : φ = j th ( ds = λ dt ) u z ( S u z ) = λs dt dz dz L air étant plus froid qu l au du lac, la tmpératur augmnt lorsqu z augmnt (avc l ax ds z vrs la bas). On n déduit donc qu dt > 0, t on vérifi donc bin qu l flux dz précédnt st positif, c st à dir qu la glac cèd d l énrgi à l atmosphèr. Or n régim quasistationnair : T = 0 soit d 2 T dz 2 = 0 t donc T (z, t) = T a + T f T a z (t) où l on a utilisé ls conditions aux limits. On put n déduir l flux thrmiqu : φ = λs (t) [T f T a ] On trouv qu φ > 0 car T f > T a. L flux thrmiqu st bin dirigé ds zons ls plus chauds (l au) vrs ls zons ls plus froids (l air). 2. On considèr la formation d un couch d glac ntr ls instants t t t + dt, d volum : dv glac = S [(t + dt) (t)] = S d dt dt Ctt variation d volum st positiv s il y a formation d glac. Appliquons l prmir princip d la thrmodynamiqu à la couch d au, présnt à l instant t, t qui a donné naissanc à la couch d glac précédnt à l instant t + dt (on notra qu l volum dv liq occupé par la couch d au st légèrmnt différnt d dv glac car la mass volumiqu d l au liquid st différnt d cll d la glac). C systèm constitu un systèm frmé ntr ls instant t t t + dt, t on put écrir : du = δq + δw PSI - Anné 2010/2011 7 Lycé Paul Eluard
Or suls ls forcs d prssion intrvinnnt, t comm la variation d volum st très faibl si on assimil la mass volumiqu d l au t cll d la glac, dv glac dv liq, t donc δw 0. L au étant un phas condnsé : du dh = µl f dv où l f st la chalur latnt massiqu d fusion. Or, lors d la fusion d un volum dv > 0 d glac : ds = dh T = µdv l f > 0 T ds > 0 car la fusion corrspond à un augmntation du désordr ds molécul d au t donc à un augmntation d l ntropi. On n déduit donc qu l f > 0. On n déduit donc qu la variation du précédnt st bin négativ car la couch d au cèd d l énrgi vrs l xtériur d après la prmièr qustion. L énrgi d la couch d au diminu à caus du changmnt d état, t ctt énrgi st ntièrmnt cédé à l xtériur sous form d un flux thrmiqu n régim quasi-stationnair : du = δq = φdt avc l flux thrmiqu φ défini précédmmnt. Ctt énrgi st à nouvau négativ car la couch d au prd d l énrgi au profit d l xtériur. On put donc n déduir : µl f S d dt dt = λs [T f T a ] dt soit d dt = λ(t f T a ) µl f On rtrouv bin l résultat dmandé. On put alors intégrr ctt équation n : 2 (t) = 2 0 + 2λ(T f T a )t µl f On vérifi bin qu pour t assz grand, l trm n 2 0 st négligabl, t (t) t. 3. Comm la vitss d croissanc d la couch d glac dépnd du tmps, il faut définir un tmps caractéristiqu d croissanc τ c qui dépnd du tmps. On l défini par : d dt τ c d où τ c = µl f 2 (T f T a )λ Or l tmps caractéristiqu d établissmnt d un régim d diffusion st, d après l cours : τ diff = 2 D = 2 µc λ L approximation ds régims quasi-stationnairs st valabl si l phénomèn d diffusion n a pas l tmps d s fair lors d la croissanc d la couch d glac pour qu on puiss considérr la tmpératur du lac comm constant : τ diff τ c soit 2 µc λ µl f 2 (T f T a )λ t T f T a l f c 79K L approximation fait st donc parfaitmnt vérifié dans ls conditions classiqus d gl d un lac pour lsqulls T f = 0 C t T a = 10 C, soit T f T a 79K. PSI - Anné 2010/2011 8 Lycé Paul Eluard
10 Influnc d la conductivité thrmiqu d l air sur la vitss du son : hypothès d adiabaticité 1. L application du prmir princip d la thrmodynamiqu à un particul d fluid, n suivant ctt drnièr au cours d son mouvmnt afin qu ll constitu un systèm frmé, ntr ls instants t t t + dt, s écrit : du = DU dt = δw + δq Dt Or pour un phas condnsé ou un gaz considéré comm parfait, on put appliqur la prmièr loi d Joul, soit du = mc V dt, t donc pour la particul d volum dv, on obtint : du = µc V DT Dt dtdv D plus, l transfrt thrmiqu ffctué par la particul avc l xtériur s écrit : δq = dφdt, où dφ st l flux élémntair ntrant ntr t t t + dt dans la particul, c st à dir l flux thrmiqu allant d l xtériur vrs l intériur. Or dφ = j dsxt où l intégration s fait sur tout la surfac d la particul d fluid, t l sign provint d la convntion d orintation du flux pour un surfac frmé. En utilisant l théorèm d Ostrogradsky, on obtint : dφ = div j dτ où l intégration s fait sur tout l volum d la particul, t sachant qu c volum st élémntair t qu on put considérr l vctur dnsité d flux thrmiqu j = λ gradt comm constant sur l volum dv, on n déduit : ( ) dφ = λdiv gradt dv = λ T dv Finalmnt, on obtint bin : DT du = µc V dtdv = δw + δq = δw + λ T dtdv Dt 2. En ordr d grandur, on a, n régim sinusoïdal : δq du = λ T = D thf DT c 2 µc V Dt où D th st la diffusivité thrmiqu (D th = 10 5 m 2.s 1 pour l air), f la fréqunc (ntr 20Hz t 20kHz pour ls sons audibls) t c la vitss du son (340m.s 1 pour l air). 3. L application numériqu conduit à : δq = 1.7 10 5 du L hypothès adiabatiqu pour l son st donc très bin vérifié puisqu à l échll ds transfrts énrgétiqus mis n ju : δq 0 PSI - Anné 2010/2011 9 Lycé Paul Eluard
11 Chauffag d un dall d béton 12 Cav à vins 1. Variations diurns : τ = 2π ω T m 12 C t a 5 C. = 24h t, n moynn (au printmps par xmpl), à Paris Variations saisonnièrs (annulls) : τ = 2π ω = 365j t, à Paris T m 12 C t a 20 C. 2. T (z, t) vérifi l équation d la diffusion : T t = D T Utilisons la notation complx n régim sinusoïdal forcé pour détrminr la solution, qui PSI - Anné 2010/2011 10 Lycé Paul Eluard
st nécssairmnt d la form suivant, d après la linéarité d l équation d la diffusion : T (z, t) = T m + a i(ωt kz) On obtint donc la rlation d disprsion suivant : k 2 = iω D π ω ω d où k = ± D i 4 = ± (1 i) 2D 3. On s intérss aux onds thrmiqus qui s propagnt d l xtériur vrs l sol, d sort qu on n considèr qu l cas + précédnt, où l ond st progrssiv vrs ls z croissants, avc l ax z dirigé vrs l bas : 2D où δ = ω pénétration dans l sol. z ( T (z, t) = T m + a δcos ωt z ) δ corrspond à la distanc caractéristiqu d atténuation d l ond lors d la On rappll qu D = λ, t on put n déduir l application numériqu d δ : µc V δ = 12cm pour ls variations diurns δ = 2.3cm pour ls variations annulls Cci prmt d comprndr l intérêt ds cavs pour la consrvation ds vins à un tmpératur pratiqumnt constant, à T m 12 C, dès qu la cav st situé à qulqus mètrs sous trr. On comprnd égalmnt qu la tmpératur dans un grott rst égalmnt pratiqumnt constant qull qu soit sa profondur, t qu ll st égalmnt d l ordr d 12 C, n Franc, mais qu ll dépnd bin ntndu d la tmpératur xtériur moynn, d sort qu la tmpératur ds grotts n Afriqu orintal put dépassr ls 20 C, comm l montr la figur ci-dssous. On notra qu l influnc du flux thrmiqu vnant du cntr d la Trr st négligabl, mêm à l échll ds grotts ls plus profonds. On notra qu d après l xprssion précédnt, il xist ds profondurs pour lsqulls, lorsqu la tmpératur st maximal dhors, pndant l été par xmpl, l déphasag d l ond st tl qu la tmpératur st minimal à l intériur d la cav. C st par xmpl l cas lorsqu z = π, soit pour z = πδ 7m. δ PSI - Anné 2010/2011 11 Lycé Paul Eluard
a) T m T c) 0 xtériur sol δ cav z b) Figur 1: a) Tmpératur n fonction d la profondur, au momnt où la tmpératur st maximal à l xtériur, b) Grott, c) Tmpératur ds grotts, n fonction d l altitud dans divrss régions du glob. PSI - Anné 2010/2011 12 Lycé Paul Eluard