Systèmes di érentiels. Rappels de cours et exercices. Farid Ammar Khodja

Systèmes di érentiels. Rappels de cours et exercices Farid Ammar Khodja E-mail address: ammar@math.univ-fcomte.fr IUFM de Franche-Comté.

Table des matières Partie. Rappels de cours Chapître. Résultats généraux 3. Systèmes di érentiels linéaires 3 2. Équations linéaires scalaires 6 3. Notions sur les équations non linéaires 7 Chapître 2. Méthodes pratiques de résolution 9. Équations du premier ordre 9 2. Systèmes linéaires à coe cients constants 3. Équations di érentielles linéaires à coe cients constants 5 Partie 2. Exercices 7 iii

Partie Rappels de cours

CHAPîTRE Résultats généraux. Systèmes di érentiels linéaires Notation. M nm (K) est l ensembles des matrices à n lignes et m colonnes à coe cients dans le corps K = R ou C. M n (K) est l ensembles des matrices carrées à n lignes et n colonnes à coe cients dans le corps K = R ou C. M nm (K) est isomorphe à L(K m ; K n ), l ensemble des applications linéaires de K m dans K n : On le munit de la norme euclidienne: si A = (a ij ) 2 M nm (K) jaj = B @ X in jm ja ij j 2 C A A t désigne la matrice transposée de A: I désigne un intervalle de R (qui peut être ouvert, fermé, semi-fermé, borné ou non). C k (I; R n ) est l ensemble des fonctions continûment dérivables de I dans R n. Pour tout V = [v ; ; v n ] t 2 C(I; R n ); on note Z " b Z b Z # t b V (s) ds = v (s)ds; ; v n (s)ds.. Existence et unicité. a a Définition.. Soit A(t) 2 M n (C); B(t) 2 C n pour tout t 2 I. On dit que le système di érentiel (.) y (t) = A(t) y(t) + B(t); t 2 I est linéaire non homogène. Si B(t) = 2 C n pour tout t 2 I, on dit que le système est linéaire homogène. Dans ce paragraphe, on considère le problème de Cauchy correspondant y (.2) (t) = A(t) y(t) + B(t); t 2 I y(t ) = y 2 C n où t 2 I. Théorème.2. ( ) Si A 2 C (I; M n (C)) et B 2 C (I; C n ) ; alors pour tout y 2 C n le système (.2) admet une unique solution dé nie sur I: C est le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. =2 a 3

4. RÉSULTATS GÉNÉRAUX L ensemble S des solutions du système homogène y (t) = A(t) y(t) est de dimension n: Remarque.3. L hypothèse A = (a ij ) 2 C (I; M n (C)) est équivalente à la continuité sur I de chacune des fonctions t 7! a ij (t): Preuve du Théorème.2. Faire à l aide du canevas suivant: Exercice.4. () Lemme de Gronwall. Soit 2 C([a; b] ; R + ) et c 2 [a; b] : On suppose qu il existe deux nombres ; tels que Z t (t) + (s) ds ; 8t 2 [a; b] : c Montrer que (t) e jt cj ; 8t 2 [a; b] : Que se passe-t-il si =? (2) Unicité de la solution. Soit A 2 C (I; M n (C)) et B 2 C (I; C n ) : (a) Montrer que si y et y 2 sont deux solutions de (.2) alors 8t 2 I Z t jy (t) y 2 (t)j k jy (s) y 2 (s)j ds t (b) En déduire que y (t) = y 2 (t) pour tout t 2 I: (3) Existence d une solution par la méthode des approximations successives. Soit A 2 C (I; M n (C)) et B 2 C (I; C n ) et [a; b] I quelconque tel que t 2 [a; b] : On donne la suite de fonctions (y n ) n : Z t y n+ (t) = y + (A(s)y n (s) + B(s) ) ds; t 2 [a; b]; n t (a) Montrer que pour tout n jy n (t) y n (t)j Mkn jt n! t j n ; 8t 2 [a; b] k = sup t2[a;b] ka(t)k ; M = k jy j + sup t2[a;b] jb(t)j En déduire que la suite de fonctions (y n ) n converge uniformément vers une fonction y 2 C ([a; b] ; C n ) ; puis que la suite de fonctions (Ay n ) n converge uniformément vers la fonction Ay: (b) Montrer que y est solution de (3.3) sur l intervalle [a; b]: (4) On suppose que B(t) = 2 C n pour tout t 2 I: (a) Montrer que l ensemble des solutions de (.) est un sous espace vectoriel de C (I; C n ). (b) Soit (V ; ; V n ) une base quelconque de C n. Pour tout i = ; ; n, on note y i l unique solution du problème y (t) = A(t) y(t); t 2 I y(t ) = V i 2 C n Montrer que pour tout t 2 I, les vecteurs y (t); ; y n (t) sont linéairement indépendants (et forment donc une base de C n ). (Ind.: supposer qu il existe t 2 I tel que y (t ); ; y n (t ) soient liés et appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz pour montrer que pour tout t 2 I, les vecteurs y (t); ; y n (t) sont liés.) Conclure.

. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES 5 Si (y ; ; y n ) est une base de l ensemble des solutions de (.), on dit qu elle est un système fondamental de solutions de (.). En pratique, cela signi e que toute autre solution s écrit comme combinaison linéaire de ces solutions particulières. On dit que la solution générale de (.) est y = y + + n y n où les i 2 C (i = ; ; n) sont des constantes arbitraires..2. Méthode de variation des constantes. Supposons que l on connaisse une base de solutions (y ; ; y n ) du problème y = A(t)y et résolvons le système non homogène (.) pour B 2 C (I; R). On cherche les solutions de (.) sous la forme y = y + + n y n où, cette fois, les i (i = ; ; n) ne sont plus des nombres réels mais des fonctions: i 2 C (I; R)(i = ; ; n): En écrivant sous forme condensée y = P n i= iy i ; on a nx y = ( iy i + i yi) i= Comme, par hypothèse, pour tout i = ; ; n, y i véri e yi = Ay i; on en déduit que nx y = ( iy i + i Ay i ) = i= nx iy i + Ay: Par conséquent, pour que y soit solution de (.) il faut et il su t que: nx (.3) iy i = B Notons i= i= (.4) M(t) = [y (t); ; y n (t)] ; t 2 I la matrice dont les colonnes sont les vecteurs y (t); ; y n (t) et (t) = [ (t); ; (t)] t ; t 2 I Le système (.3) s écrit avec ces notations et on déduit que et pour t 2 I xé, M(t) (t) = B(t); t 2 I (t) = M(t) B(t); t 2 I Z t (t) = M(s) B(s) ds + C; t où C 2 R n est un vecteur constant quelconque. Cela détermine la solution cherchée. On a alors Z t y = M(t)C + M(t) M(s) B(s) ds t

6. RÉSULTATS GÉNÉRAUX On remarquera que, dans cette formule, M(t)C est la solution générale du système homogène et M(t) R t t M(s) B(s) est une solution particulière du système non homogène. Cette méthode de recherche des solutions du problème non homogène connaissant un système fondamental de solutions du système s appelle méthode de variation des constantes. Remarque.5. Notons e = (; ; ; ) ; : : : ; e n = (; ; ; ) les vecteurs de la base canonique de R n : Soit M(t) = [y (t); ; y n (t)] ; t 2 I où y i = A(t)y i ; t 2 I y i (t ) = e i Alors M est l unique solution matricielle du problème de Cauchy M (t) = A(t)M(t) ; t 2 I M(t ) = Id où Id est l identité de R n : La solution de (.2) s écrit alors y(t) = M(t)y + Z t t M(t)M(s) B(s)ds: La matrice R(t; s) = M(t)M(s) s appelle matrice résolvante de (.2). 2. Équations linéaires scalaires 2.. Équations linéaires du second ordre. Ce sont les équations de la forme (2.) y + a(t)y + b(t)y = c(t); t 2 I où a; b et c 2 C(I; C): En introduisant une nouvelle fonction x : I! C, on peut ramener cette équation à un système linéaire. Plus précisément, le système y (2.2) = z z ; t 2 I = b(t)y a(t)z + c(t) est équivalent à l équation (2.) au sens suivant: toute solution y de (2.) donne une solution (y; y ) t de (2.2) et, réciproquement, toute solution (y; z) t = (y; y ) t de (2.2) est telle que y est solution de (2.). Autrement dit, il y a une correspondance biunivoque entre les solutions de (2.) et (2.2). Pour les équations linéaires du second ordre, on appelle problème de Cauchy un système de la forme y (2.3) + a(t)y + b(t)y = c(t); y(t ) = y ; y ; t 2 I (t ) = y où t 2 I et y ; y 2 C. Comme conséquence du théorème.2, on a: Théorème 2.. Soient a; b et c 2 C(I; C): Pour tout t 2 I et tout (y ; y ) 2 C 2, le problème admet une unique solution de (2.3 ) y 2 C 2 (I; C): De plus, l ensemble des solutions de l équation homogène (2.4) y + a(t)y + b(t)y = ; t 2 I est un espace vectoriel de dimension 2:

3. NOTIONS SUR LES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES 7 2.2. Méthode de variation des constantes. Soit (y ; y 2 ) une base de l ensemble des solution de (2.4). Alors toute solution y de (2.4) s écrit y = y + 2 y 2 où ; 2 sont des constantes. La méthode de variation des constantes, comme dans la section précédente, consiste à chercher les solutions de (2.) sous la forme y = (t)y + 2 (t)y 2 où ; 2 2 C 2 (I; C). En utilisant l équivalence de (2.) et (2.2), il est facile d établir que ; 2 doivent véri er le système (2.5) y + 2y 2 = y + 2y 2 = c(t) La résolution algébrique de ce système permet de déterminer ; 2 puis, par intégration, ; 2 : Exemple 2.2. Résoudre l équation: y y = t On peut véri er que (e t ; e t ) constitue une base de solutions de l équation homogène. On cherche donc, pour résoudre l équation non homogène, deux fonctions et 2 véri ant le système (2.5), qui s écrit dans ce cas e t + 2e t = e t 2e t = t On a alors = 2 te t 2 = 2 tet et ceci donne = 2 (t + ) e t + C et 2 = 2 (t ) et + C 2 ; C et C 2 étant des constantes arbitraires. La solution générale est alors: y = C e t + C 2 e t 3. Notions sur les équations non linéaires Définition 3.. Une équation di érentielle du premier ordre est une équation reliant une fonction inconnue y : I = ]a; b[! R; à sa dérivée première: (3.) F (t; y (t); y(t)) = 8t 2 I avec F : I U! R où U est un ouvert de R 2 : On appelle solution de (3.) toute fonction y 2 C (J; R) véri ant (3.) sur J où J I est un intervalle non trivial. On dit qu une solution y 2 C (J; R n ) est maximale, si son intervalle de dé - nition est le plus grand possible contenu dans I: Le plus souvent, les équations du type (3.) sont étudiées sous leur forme résolue en y : (3.2) y = f(t; y); t 2 I où f : I R! R. t Définition 3.2. Soit (t ; y ) 2 [a; b[r. On appelle problème de Cauchy associé à (3.2) le système y (3.3) = f(t; y); 8t 2 I y(t ) = y

8. RÉSULTATS GÉNÉRAUX Les résultats d existence et d unicité concernent le problème de Cauchy. On dé nit une classe de fonctions f pour lesquelles ils peuvent être démontrés. désigne dans la suite un ouvert de R. Théorème 3.3. (Cauchy-Lipschitz) Si f 2 C (I ) alors pour tout (t ; y ) 2 I ; le problème (3.3) admet une unique solution maximale. Preuve. Faire en exercice à l aide du canevas suivant... Exercice 3.4. () Unicité de la solution maximale. Soit f 2 C (I ) et (t ; y ) 2 I : On suppose qu il existe un intervalle J I et deux fonctions y ; y 2 2 C (J; R) solutions sur J de (3.3). (a) Soit t = inf ft > t ; y (t) 6= y 2 (t)g. Montrer que y (t ) = y 2 (t ): (b) Montrer qu il existe " > ; k > tels que: 8t 2 ]t ; t + "[ Z t jy (t) y 2 (t)j k jy (s) y 2 (s)j ds t (c) En déduire que y (t) = y 2 (t) pour tout t 2 J: (2) Existence d une solution par la méthode des approximations successives. Soit f 2 C (I ) et (t ; y ) 2 I : On donne la suite de fonctions (y n ) n : Z t y n+ (t) = y + f(s; y n (s)) ds; t 2 [t ; t + "[\I; n t (a) Montrer qu il existe " > tel que pour tout n jy n (t) y j M"; 8 t 2 [t ; t + "[\I M = sup jf(t; y)j (t;y)2d En déduire qu en choisissant " su samment petit, on a pour tout n : y n (t) 2 pour tout t 2 [t ; t + "[: (b) Montrer que pour tout n jy n (t) y n (t)j Mkn (t t ) n ; 8t 2 [t ; t + "[ n! En déduire que la suite de fonctions (y n ) n converge uniformément vers une fonction y 2 C ([t ; t + "[) : (c) Montrer que y est solution de (3.3) sur l intervalle [t ; t + "[:

CHAPîTRE 2 Méthodes pratiques de résolution. Équations du premier ordre.. Équations linéaire du premier ordre. Ce sont les équations de la forme (.) y (t) = a(t)y(t) + b(t); t 2 I avec a; b 2 C(I; R): La solution générale de cette équation est R t a(s) t (.2) y(t) = Ce ds + Z t t e R t a(s) ds b()d où t 2 I est quelconque mais xé, et C 2 R. En e et (méthode du facteur a(s) t intégrant), si on multiplie l équation (.) par e ds alors, en remarquant R t a(s) t que e ds R (y t a(s), t (t) a(t)y(t)) = e ds y(t) on obtient puis (.2) en intégrant. e R t a(s) t ds y(t) = e R t R t t a(s) ds b(t).2. Équations à variables séparées. Ce sont les équations de la forme y (t) = a(t) g(y(t)); t 2 I On suppose, pour l intégrer, que l on travaille dans des intervalles J tels que g(y(t)) 6= pour tout t 2 J. On a alors et, en remarquant que R y (t) g(y(t)) dt = R y (t) g(y(t)) = a(t) du g(u) u = y(t)), on obtient, si on pose F (y) = R (en faisant le changement de variable dy g(y) Z F (y) = a(t)dt qui fournit une expression implicite de y. Exemple.. Résoudre les équations (i) y = (t2 + )( y 2 ) ; (ii) y = y ( 2 R) ty 9

2. MÉTHODES PRATIQUES DE RÉSOLUTION (i) L équation suppose déjà que l on travaille dans un intervalle I ne contenant pas et sur lequel y ne s annule pas. On suppose de plus, que dans l intervalle sur lequel on travaille, y 6=. On a alors En remarquant que on obtient yy y 2 = t2 + t yy y 2 = 2yy 2 y 2 = d 2 dt ln 2 ln y 2 = ln jtj + 2 t2 + C D où y 2 = e 2 lnjtj t2 2C y 2 C est-à-dire En posant K = e 2C, on trouve y 2 = e 2C e t2 t 2 y 2 = + K e t2 t 2 qui donne l expression de toutes les solutions (y compris les solutions constantes sur R : y = et y = ). (ii) Comme 2 R, on ne cherche que les solutions positives si ; et strictement positive si < sur un intervalle que l on détermine après résolution. Par ailleurs, le cas = donne une équation linéaire qu on ne considérera pas. On a y y = Par intégration, on en déduit puisque 6= que y = t + C; D où y = [( ) (t + C)] ; dé nie sur l intervalle ] C; +[ pour toute constante C 2 R xée si 2 ] ; [ et sur ] ; C[ si >. Remarque.2. Supposons 2 ]; [. Considérons le problème de Cauchy y = y D après les calculs précédents, y = [( y() = [( y() = ) (t + C)] : On a )C] = () C = Par conséquent, la fonction y(t) = [( )t] est une solution non triviale dé nie sur [; +[ : Il est, par ailleurs, évident que la fonction y dans [; +[ est également solution. Pour y =, le problème de Cauchy admet donc deux solutions distinctes dé nies dans le même intervalle. Cela est dû au fait que la fonction f(y) = y n est pas Lipschitzienne au voisinage de y =.

2. SYSTÈMES LINÉAIRES À COEFFICIENTS CONSTANTS.3. Équations homogènes. Ce sont les équations de la forme où la fonction f est homogène: y = f(t; y) f(t; y) = f(t; y) 8 2 R: Ce type d équation se ramène à une équation à variable séparée en posant y = tz. En e et: y = z + tz et en remplaçant dans l équation di érentielle Exemple.3. Résoudre l équation tz = f(; z) y = y4 2t 3 y 2ty 3 t 4 (On donnera une relation implicite liant t à y:) 2. Systèmes linéaires à coe cients constants On considère le système di érentiel (2.) y = Ay où A = (a ij ) 2 M n (R) est une matrice à coe cients constants. On va montrer que dans ce cas, on peut toujours trouver un système fondamental de solutions. 2.. Premier cas: A diagonalisable dans C. z Théorème 2.. Si la matrice A est diagonalisable alors les fonctions suivantes forment un système fondamental de solutions: y i (t) = e it V i ; i n où (V ; ; V n ) est une base de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres ; ; n (les valeurs propres sont reproduites autant de fois que leur ordre de multiplicité). Preuve (Indication). Il su t de véri er (exercice!) que si AV = V alors y(t) = e t V est solution. Il faut ensuite établir que les fonctions y i ; i n sont linéairement indépendantes sur R. Remarque 2.2. Les valeurs propres de A ne sont pas forcément réelles. Mais si A est à coe cients réels, lorsque 2 C est valeur propre, il en est de même de. En conséquence, si V est vecteur propre de A associé à une valeur propre 2 C alors V est un vecteur propre de A associé à la valeur propre : Les fonctions e t V + e t V et e t V e t V sont des solutions à valeurs réelles qui 2 2i peuvent remplacer les solutions e t V et e t V. Le théorème précédent donne donc également un système fondamental de solutions à valeurs réelles si A est à coe - cients réels. Exemple 2.3. Résoudre le système di érentiel x = y y = x y

2 2. MÉTHODES PRATIQUES DE RÉSOLUTION Dans ce cas, on a A = et le système s écrit x x = A y y Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme det (I A) = 2 + +. C est-à-dire = ip 3 2 et 2 = = +ip 3 2. Ce sont deux valeurs propres simples: A est diagonalisable (dans C). Cherchons une base de vecteurs propres. On trouve 2 V = i p 2 ; V 3 2 = + i p 3 Suivant la remarque 2.2, on pose y (t) = 2 et V + e 2t V 2 = Re e t V Or: e t V = e t 2 cos D où = e t 2 y 2 (t) = 2i e t V p p! 3 3 2 2 t i sin 2 t 2 cos p! 3 2 t cos p 3 2 t p p 3 sin 3 2 t y (t) = e t 2 y 2 (t) = e t 2 La solution générale du système est alors p x(t) = e t 3 2 2 cos t 2 sin 2 y(t) = e t 2 ( + p 3) cos où ; 2 R sont des constantes arbitraires. e 2t V 2 = Im e t V + i + i 2 cos p 3 2 t cos p 3 2 t p 3 sin p 3 2 t 2 sin p 3 2 t sin p 3 2 t p 3 cos p 3 p3 2 sin p 3 2 t sin p 3 2 t p 3 cos p 3 2 t 2 t!! p! 3 2 t p 3 2 t (p 3 + ) sin p! 3 2 t 2.2. Deuxième cas: A n est pas diagonalisable dans C. Considérons à présent le cas où A n est pas diagonalisable. On sait du cours d algèbre linéaire que ceci équivaut à l existence d une valeur propre dont la multiplicité algébrique k n est pas égale à la dimension m du sous-espace propre qui lui est associé (on a toujours m k). Dans ce cas, les solutions indépendantes obtenues à l aide d une base du sous-espace propre de sont au nombre de m < k. En pratique, on cherche des solutions sous la forme kx y(t) = e t t i V i : i=!!

où les V i 2 C n 2. SYSTÈMES LINÉAIRES À COEFFICIENTS CONSTANTS 3 sont des vecteurs à déterminer. Exemple 2.4. Résoudre le système di érentiel 8 < x = x + y y = y + z : z = z Dans cet exemple, on a A = @ A et elle admet une valeur propre triple: =. On a alors I A = D @ A et ker (I A) = ; ; t E. Par conséquent, A n est pas diagonalisable. On cherche donc les solutions sous la forme On a: Par ailleurs: y(t) = e t 2X y (t) = e t t i V i + i= = e t V 2 t 2 + 2X t i V i : i=! 2X it i V i i=! X (V i + (i + ) V i+ ) t i i= Ay(t) = e t 2X t i AV i i= On en déduit que y est solution si et seulement si Il faut donc que V 2 = 2 ; ; t. AV 2 = V 2 AV i = V i + (i + ) V i+ ; i = ; Résolvons le système AV = V + 2V 2. Si on pose V = ; ; t, alors = 2 ; = et quelconque. On en déduit que V = ; 2 ; t. De la même manière, le système AV = V + V admet pour solution V = t. ; ; 2 On alors y(t) = e t @ + t + 2 t 2 + 2 t 2 où ; ; 2 sont des constatntes arbitraires. 2.3. Exponentielle d une matrice. Pour tout A 2 M n (C); on pose E(A) = X n A n n! A ;

4 2. MÉTHODES PRATIQUES DE RÉSOLUTION Il est clair que E est dé nie pour tout A 2 M n (C) car ka n k kak n et ceci implique la convergence normale de la série. On appelle cette application exponentielle de la matrice A et on la note e A. On peut établir: Proposition 2.5. () e On = Id où O n 2 M n (C) est la matrice nulle; e Id = eid: (2) Si A et B sont deux matrices de M n (C) qui commutent, alors e A+B = e A e B : Par conséquent e A est inversible et e A = e A : (3) Si A = P BP alors e A = P e B P (4) Si A = diag ( ; ; n ) alors e A = diag e ; ; e n : (5) L application t 7! e (t t)a y est (l unique) solution du problème y = Ay y(t ) = y Les points 3: et 4: de cette proposition fournissent un moyen de calculer l exponentielle d une matrice. Exemple 2.6. Soit A =. Ses valeurs propres sont = i et les vecteurs propres associés sont V = : La matrice de passage P = i p 2 dont l inverse est P i i = p i 2 (elle est orthogonale) permet d écrire i i = P AP i On a donc: On a, par le même calcul e A e i = P = e ta cos t = sin t e i cos sin sin cos P sin t cos t On peut donc en déduire que la solution du problème de Cauchy y = Ay est donnée par y(t ) = y y(t) = e (t t)a y Un autre moyen de calcul de e A est le théorème de Cayley-Hamilton: Théorème 2.7. Si p() = det (I d A) alors p(a) = Si p() = n + P n k= a k k alors A n = P n k= a ka k :

3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES À COEFFICIENTS CONSTANTS 5 Exemple 2.8. Considérons la matrice nilpotente A = A 3 =. Par conséquent e A = I d + A + 2! A2 e A = @ 2! A et en particulier e A = @ t 2 t 2! t A @ A. On a 3. Équations di érentielles linéaires à coe cients constants 3.. Équations homogènes. On considère l équation (3.) y + ay + by = où a et b sont des constantes réelles ou complexes. Le système di érentiel qui lui est associé est (3.2) Y = AY avec A = b a Les valeurs propres de A sont solutions de l équation caractéristique Il y a alors deux cas à considérer: det(id A) = 2 + a + b = Premier cas: = a 2 4b 6=. On a alors deux valeurspropres distinctes auxquelles correspondent les vecteurs propres V = et on sait que la solution générale du système (3.2) est Y = C e +t V + + C 2 e À cette solution du système correspond la solution générale de l équation (3.) y = C e +t + C 2 e Deuxième cas: = a 2 4b = : Dans ce cas il y a une racine double = a 2b et on peut véri er que A n est pas diagonalisable. On sait alors que la solution générale de (3.2) est de la forme Y = (V + V t) e t et cela donne une solution générale de (3.) En résumé: y = (C + C 2 t)e t t V t

6 2. MÉTHODES PRATIQUES DE RÉSOLUTION Proposition 3.. On considère l équation di érentielle y + ay + by = à laquelle on associe le polynôme caractéristique 2 + a + b = : Si le polynôme caractéristique admet deux racines distinctes alors la solution générale de l équation di érentielle est donnée par y = C e +t + C 2 e t et e +t ; e t est une base de solutions. Si le polynôme caractéristique admet une racine double alors la solution générale de l équation di érentielle est donnée par et e t ; te t est une base de solutions. y = (C + C 2 t)e t 3.2. Équations non homogènes. Pour l équation non homogène (3.3) y + ay + by = c(t) ù a et b sont des constantes réelles ou complexes, la solution générale peut être trouvée en utilisant la méthide de variation des constantes déjà exposée. Il existe cependant des situations particulières où cette solution peut être trouvée plus rapidement. Proposition 3.2. Soit P un polynôme de degré p et 2 C: Supposons que c(t) = e t P (t): Alors (3.3) admet une solution particulière de la forme e t Q(t) où Q est un polynôme de degré p si n est pas racine du polynôme caractéristique, et un polynôme de degré p + m si est racine de multiplicité m du polynôme caractéristique. La solution générale de l équation sera donc la solution générale de l équation homogène (que l on sait trouver exsplicitement!) plus cette solution particulière.

Partie 2 Exercices

Exercice 3.3. Intégrer les équations di érentielles () + t 2 y + y = 2t (2) t 3 y + ty = t (3) ty + 2y = t : Existe-t-il une solution dé nie sur R? + t2 Exercice 3.4. On considère l équation t 2 y + aty + by = où a; b 2 R. On pose z(x) = y(e x ). Montrer que z véri e une équation di érentielle du second ordre à coe cients constants que l on déterminera. Calculer z puis y si a = b =. Exercice 3.5. Intégrer les équations di érentielles y 3y + 2y = t n e t cos t; (n 2 N) y 2ay + a 2 y = te t cos mt; (m 2 R ; a 2 R ): Exercice 3.6. Trouver les solutions réelles du système di érentiel x = ay + cos t y ; a 2 R ; 2 R: = ax Exercice 3.7. Intégrer les systèmes di érentiels Y = AY dans les cas suivants 2 2 2 2 2 A = @ 6 8 A ; A = @ 5 7 A 3 2 4 2 2 Exercice 3.8. Équation de Bernoulli. Ce sont les équations de la forme (3.4) y = a(t)y + b(t)y; 2 Rn f; g où a; b 2 C(I; R); I étant un intervalle de R. () Supposons qu il existe y solution positive de (3.4). On pose z = y. Montrer que (3.5) z = ( )b(t) z + ( )a(t) (2) On prend I =]; +[; = 2; a(t) = b(t) = et on impose la condition t2 y(t ) = y 2 R pour t 2 I. Déterminer dans ce cas la solution maximale de (3.4) ainsi que, suivant les valeurs de t et y ; son intervalle de dé nition. (3) On se place dans le cas où y est dé nie dans un voisinage (à droite) de : Montrer que y peut être prolongée en et que, en ce point, y véri e encore l équation. (4) Représenter graphiquement y suivant les valeurs de t et y : Exercice 3.9. () Soit (; ; y ; y ) 2 R 4 : Pour tout entier n ; on note f n la solution du problème de Cauchy 8 < y + 2ny + ny = y() = y ; : y () = y : Étudier la convergence de la suite de fonctions (f n ) n :

9 (2) On xe n. Déterminer une condition nécessaire et su sante pour que, pour tout (y ; y ) ; lim f n(t) = t!+ Exercice 3.. On considère l équation di érentielle (3.6) y (t) + e it y(t) = () Soit f une solution de (3.6) dé nie sur R. Montrer que f est 2 périodique si et seulement si f() = f(2) et f () = f (2): (2) On suppose qu il existe f 2 périodique solution de (3.6). (a) Exprimer les coe cients de Fourier( ) c n (f ) de f en fonction de ceux de f: En déduire, en utilisant (3.6), une relation de récurrence entre c n (f) et c n (f): (b) Calculer c n (f) pour tout n 2 Z: (c) En déduire l expression de f. (d) Montrer que la fonction f ainsi dé nie est bien une solution 2 périodique de (3.6). Exercice 3.. ( 2 ) Soit n 2 N : On considère le système di érentiel 8 < x = n 2 x (3.7) y = n 2 y + z : z = n 2 z où x; y et z désignent des fonctions réelles de la variable réelle t: () Intégrer (3.7). (2) On note (x n ; y n ; z n ) la solution de (3.7) véri ant les conditions suivantes: y n () = k n ; y n() = + n 2 ; z n () = 2 n ; z n() = 2 k et étant deux constante réelles indépendantes de t et de n: (a) Déterminer l expression de y n et de z n : (b) Étudier suivant les valeurs de k et la convergence normale de la série de fonctions P ny n (t) sur [; 2]: (c) Étudier P suivant les valeurs de k et la convergence des séries numériques n () et ny P y n (2): n Exercice 3.2. ( 3 ) On considère le problème y (3.8) + c 2 y = f y() = ; y() = où c > ; (; ) 2 R 2 et f 2 C ([; ]; R) : () Montrer que les fonctions y (t) = sinh(ct) et y 2 (t) = sinh (c ( t)) forment une base de l espace vectoriel des solutions de l équation di érentielle y + c 2 y = : Rappel: cn(f) = R 2 2 f(t) e int dt ; n 2 Z: 2 ENSI 988 (extrait) 3 CAPES 996 (extrait)

2 (2) Soit f 2 C ([; ]; R) : Déterminer en fonction de y et y 2 la solution générale de l équation y + c 2 y = f. (3) Montrer que (3.8) admet une solution unique qui se met sous la forme: y(t) = sinh(ct) sinh(c) + c sinh(c ( t)) + sinh(c) Z (4) Montrer que pour tout t 2 [; ] : y(t) t f(s) sinh(c( + c Z t s)) ds f(s) sinh(cs) ds : sinh(c( t)) + sinh(ct) max(; ) sinh(c) sinh(c( t)) + sinh(ct) M + sinh(c) c 2 où M = sup f(t): t2[;] (5) Exprimer sinh(p) + sinh(q) en fonction de sinh( p+q que sinh(2p) en fonction de sinh(p) et cosh(p): (6) Pour t 2 [; ] ; montrer que sinh(c( t)) + sinh(ct) sinh(c) : En déduire que pour tout t 2 [; ] :! f(t) y(t) max ; ; sup t2[;] c 2 (7) Pour une fonction h 2 C ([; ]; R), comparer inf En déduire une minoration de y. 2 t2[;] ( ) et cosh( p q 2 ) ainsi h(t)) avec sup ( h(t)). t2[;]