Article PaaMaths Les itégrales et la formule de allis Itroductio Joh allis (Ashford 66 Oxford 73) est u mathématicie aglais. So éducatio fut d abord religieuse (il sera ordoé prêtre e 64) mais à partir de quize as, il étudia, avec talet, les mathématiques et, plus gééralemet, les scieces. A partir de 649, il exercera la foctio de professeur à l uiversité d Oxford et ce, jusqu à sa mort. Il est l u des membres fodateurs de la fameuse Royal Society (663). O lui doit le symbole pour désiger ue quatité ifiie (la hiérarchie des ifiis e sera étudiée qu au 9ème siècle). Le 7 ème siècle, e particulier grâce à Cavalieri, verra la théorie de l itégratio se costruire progressivemet. Les motivatios sot pricipalemet le calcul d aires et de volumes, les difficultés pricipales, la défiitio et l utilisatio correctes d ifiimet petits. allis y apportera ue cotributio sigificative et préparera aisi l avèemet du calcul ifiitésimal de Newto. Calcul des valeurs exactes Défiitio-théorème Pour tout etier aturel, o appelle «itégrale de allis» l itégrale défiie suivate : cos () si () t dt t dt Pour établir l égalité des deux itégrales, il suffit de cosidérer le chagemet de variable bijectif ϕ de l itervalle ; das lui-même défii par : ϕ: u ϕ ( u) u t E teat compte de ϕ '( ) dt u du du, o obtiet : t dt u du u du cos () cos ( ) cos PaaMaths [-] Juillet
www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis Comme : cos u si ( u), o a : cos u si ( u) cos () t dt si ( ) u du. L égalité est aisi établie. puis Calculs des premiers termes O a facilemet : cos () t dt. dt dt cos () t dt cos() t dt si () t si si ( ), Ue relatio de récurrece Soit u etier aturel. O a : + + cos () t dt cos () t cos () t dt si () t cos () t dt () () () cos t dt si t cos t dt () () () si t si t cos t dt Pour calculer la deuxième itégrale, ous allos procéder à ue itégratio par parties. La foctio sius est dérivable sur et doc sur l itervalle ;. Sa dérivée, la foctio cosius est cotiue sur et doc sur l itervalle ;. t si t cos t est cotiue sur comme produit de deux foctios La foctio ( ) ( ) cotiues sur cet itervalle. Elle est doc cotiue sur l itervalle ;. Elle y admet pour primitive la foctio : cos + t () t. + PaaMaths [-] Juillet
L itégratio par parties doe alors : D où : www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis + si () t si () t cos () t dt si () t cos () t + + cos() t cos () t dt + + + si cos si ( ) cos ( ) + + + cos () t dt + ( ) + + + + + + t t t dt + + si () si () cos () + + O e tire : + + +, soit + + + + et, fialemet : +. + +, + + Expressio de la valeur exacte Soit u etier pair : p. D après la relatio précédete, o a : p p p p p p 3 p p... p 4 p p 3 3... p p 4 p p 3 3... p p 4 p p 3 3... p p 4 PaaMaths [3-] Juillet
www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis O a alors : Fialemet : p ( p ) ( p ) ( ) ( ) ( p)! p ( p ) ( p ) ( p)! p p ( p ) ( p ) ( p)! p ( p ) p p 3 3... 3... p p 4 p p p 4... 4......! ( p)! p ( p )! p Soit maiteat u etier impair : p+. E procédat de faço aalogue à ce qui viet d être fait, o obtiet : p p + p+ p p p p+ p... p 3 p p 4... p+ p 5 p p 4... p+ p 5 3 p p 4... p+ p 5 3 O a alors : p ( p ) ( p ) ( ) ( ) ( ) p p 4...... p+ p 5 3 p+ p p p... 5 4 3 p ( p! ) ( p + ) ( ) ( ) ( p + )! p p p p...! 3 PaaMaths [4-] Juillet
www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis Fialemet : p p ( p! ) ( p ) + +! ( p) p ( p ) p ( p ) ( p + )!! p, p et p+!! Comportemet asymptotique La suite ( ) est à termes strictemet positifs La foctio cosius pred des valeurs positives sur l itervalle ; ; la foctio x x pred des valeurs positives sur +. O e déduit aisi que la composée x cos ( x) pred des valeurs positives sur l itervalle ;. Comme ; ; 4, il viet alors : () 4 cos t dt cos () t dt. Comme o a cos() t sur l itervalle ; 4 et comme la foctio x x est croissate sur + pour tout etier aturel, o a : cos () t cos > 4 4 4 () t dt dt dt 4 + et doc 4. O a aisi () cos t dt >. Par ailleurs, o viet de voir que l o a :, 4 cos () t dt. Il viet doc : Fialemet : 4, cos () t dt >, > PaaMaths [5-] Juillet
Mootoie de la suite ( ) www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis Comme o s itéresse à la mootoie de la suite ( ), o peut tirer parti de la liéarité de l itégrale. Pour tout etier aturel, o a : + + cos + cos () cos () t dt t dt () cos () t t dt () () cos t cos t dt O a vu précédemmet que la foctio t cos ( t) preait des valeurs positives sur l itervalle ;. Par ailleurs, o a : ( ) t, cos t et doc t, cos() t. Aisi, la foctio t cos ( t) cos( t) pred des valeurs égatives sur l itervalle ; et o e déduit immédiatemet : Soit : et o coclut : + () () cos t cos t dt La suite ( ) est décroissate. Limite du rapport La suite ( ) est décroissate, pour tout etier supérieur ou égal à, o a : Or, o a vu précédemmet que la suite ( ) était ue suite à termes strictemet positifs. O e déduit, e divisat par : PaaMaths [6-] Juillet
www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis D après la relatio de récurrece obteue plus haut, o peut écrire, pour tout etier supérieur ou égal à : Soit :. La double iégalité obteue précédemmet se récrit alors : Comme lim lim, o e déduit immédiatemet (théorème des gedarmes) : + + lim + Ue belle égalité Les expressios exactes de p et p + obteues à la fi de la partie précédete présetes de fortes similitudes (comparer le umérateur de l ue avec le déomiateur de l autre ). O est aisi coduit à cosidérer le produit Si est pair o ul : p ( p ), o a :. p p ( p ) (( p ) ) ( p) p ( ( p ) + )! ( p! ) p (( p )!) ( p)! ( p )! p ( p! )!! (( p )!) p ( p )!! p p! ( p ) (( ) ) p PaaMaths [7-] Juillet
www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis O procède de faço tout à fait similaire avec impair : p+. O a : O a doc, fialemet : p p+ ( p) p ( p ) ( p) p ( p ) ( p + )!!!! p ( p! )! p ( p!) ( p+ ) ( p)! p + *, U équivalet e + Pour tout etier aturel o ul, o a, d après la questio précédete : Soit :. Mais o a vu que l o avait : lim. O e déduit alors : + lim + lim + Soit : lim. + PaaMaths [8-] Juillet
www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis La foctio racie carrée état cotiue e, o e tire : lim. + Comme >, o a : et, fialemet : lim. + lim, soit + + La formule de allis Rappelos que l o a : p+ p p 4... et p+ p 5 3 O e déduit : p p 4... p + p+ p 5 3 p p 3 3 p... p p 4 p ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) 4... 4 + 3... 5 3 p p p 3 3... p p 4 p ( p ) ( p ) ( p+ ) ( p ) ( p ) ( p 3 )... [ 5 3] [ 3 ] 4... 4 p ( p ) ( p 4) ( p+ ) ( p ) (( p ) + ) (( p ) )... ( + ) ( )... 4 ( k ) ( k )( k+ ) p k p 4k k 4k PaaMaths [9-] Juillet
www.paamaths.et Les itégrales et la formule de allis Comme p+ lim p + p, o e déduit fialemet : 4k. Soit : 4 p lim p + k k + + 4k k k 4 4 6 6 8 8... k 4k k k k+ 3 3 5 5 7 7 9 Cette formule est ecore appelée «produit de allis». Remarques : allis est le premier à avoir écrit sous la forme d u produit ifii de ombres ratioels. La covergece est très lete (essayez!) et cette formule, aussi esthétique soit-elle, est pas utile pour le calcul effectif et efficace des décimales de. O peut, toujours à partir des itégrales de allis et e arrageat différemmet les facteurs das les expressios de p et p +, obteir des variates de la formule de allis. Par exemple : 4 4 6 6 8 8... 3 3 5 5 7 7 9 4 4 6 6 8 8 4... 3 3 5 5 7 7 9 + k k+ 4 k k+ k+ + ( k+ ) ( k+ ) + 4 k k+ k+ + + 4 k ( k ) ( k + ) + 4 k ( k ) + 4... 3 5 7 9 + 4 4... ( ) k k + 3 5 7 9 PaaMaths [-] Juillet