I Comprison de fonctions Définitions Comprison de fonctions, développements limités Négligeble Définition Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et à vleurs dns R. Soit R tel que f et g sont définies u voisinge de. On suppose que g ne s nnule ps u voisinge de. (g peut s nnuler en f( On dit que f est négligeble devnt g u voisinge de si et seulement si lim g( = 0. On note lors f( = o(g( ou f = o(g. Propriété Soient R et f et g deu fonctions de D dns R définies u voisinge de. f est négligeble devnt g u voisinge de si et seulement si il eiste un intervlle I de l forme [ α;+α], ou [h;+ [ (si = + ou ] ;h] (si = et une fonction ε définie sur I telle que : I f( = g(ε( et lim ε( = 0 Eemple : Soient les deu fonctions f et g définies pr f( = 2 3+2 et g( = 3. Montrons que f = + o(g. On pour tout 0, f( g( = 2 3+2. Comme 2 3+2 est une frction rtionnelle, on sit 3 3 2 3+2 2 que lim = lim 3 = lim f( = 0. On donc lim 3 g( = 0 et insi f = o(g. + b Équivlent Définition 2 Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et à vleurs dns R. Soit R tel que f et g sont définies u voisinge de. On suppose que g ne s nnule ps u voisinge de. f( On dit que f est équivlente à g u voisinge de si et seulement si lim g( =. On note lors f( g( ou f g. Propriété 2 Soient R et f et g deu fonctions de D dns R définies u voisinge de. f est équivlente à g u voisinge de si et seulement si il eiste unintervlle I del forme [ α;+α], ou [h;+ [ (si = + ou ] ;h] (si = et une fonction ϕ définie sur I telle que : I f( = g(ϕ( et lim ϕ( = Anlyse : Chpitre 2 Pge Développements limités
Attention vec cette proposition on voit que l on ne peut donc jmis écrire qu une fonction est équivlente à 0 u voisinge de. Eemple 2: Montrer que 3 ln 3. On 3 ln 3 = ln 3. Or d près les croissnces comprées, lim 3 ln On donc lim 3 2 Premières propriétés ln 3 = 0. = et donc 3 ln 3. Propriété 3 Soit f une fonction définie u voisinge de R. Alors on : f = o( lim f( = 0 Propriété 4 Si f est équivlente à g u voisinge de lors g est équivlente à f u voisinge de Attention cel ne fonctionne ps pour les o. Théorème Soient f et g deu fonctions définies u voisinge de R. Si f g lors limf( = limg( Attention : l réciproque est fusse!!!!! Deu fonctions ynt l même limite ne sont ps forcément équivlentes. On pr eemple lim e = + et lim 2 = + mis e 2 cr lim e 2 = +. Propriété 5 Soit f une fonction définie sur D, et 0 R tel que f est définie u voisinge de 0. Si limf( = l où l est un réel non nul lors f( l. 0 0 Propriété 6 On : f g f g = o(g On écrit lors f = g +o(g ou g = f +o(f f g g f = o(f Anlyse : Chpitre 2 Pge 2 Développements limités
3 Les clssiques Théorème 2 Soient α et β deu réels strictement positifs. Si α < β, on : β = o( α et α = o(β Au voisinge de + on : (ln α = o(β α = o(eβ Au voisinge de 0 on : ( ln = o + α Remrque : Ce théorème trduit, vec l nottion o des limites usuelles que vous connissez du chpitre précédent et en prticulier les croissnces comprées. Propriété 7 Soit f une fonction définie sur D, et 0 D tel que f est dérivble en 0. Alors : f( f( 0 0 f ( 0 ( 0 Une grnde prtie des équivlents clssique vient de cette propriété. Propriété 8 On les équivlents suivnt : e ln(+ ln pour α 0, (+ α α Remrques : Ces équivlents clssiques permettent de retrouver les limites clssiques que vous êtes censé connître e comme pr eemple lim =. Le dernier équivlent clssique de l propriété précédente s utilise le plus souvent vec α =, ce qui 2 donne + 2 Propriété 9 Tout polynôme est équivlent à son monôme de plus hut degré en + et et à son monôme de plus petit degré en 0. Anlyse : Chpitre 2 Pge 3 Développements limités
4 Les opértions sur les o et les Propriété 0 On considère f, g, h et j des fonctions définies sur un même ensemble D et définies u voisinge de R. Alors on : (toutes les reltions sont u voisinge de (i Si f = o(g et h = o(j lors f +h = o(g +j (ii Si f = o(g et h = o(g lors f +h = o(g (iii Si f = o(g et h = o(j lors fh = o(gj (iv Soit n N. Si f = o(g lors f n = o(g n (v Si f et g ne s nnulent ps u voisinge de et si f = o(g lors g = o ( f (vi Si f = o(g et g = o(h lors f = o(h (vii Si f = o(g lors f = o( g Propriété Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et définies u voisinge de R telles que f = o(g. Soit h une fonction définie sur D h telle que h(d h D. Soit b R tel que lim b h =. Alors on f h = b o(g h. (Chngement de vrible Attention on ne peut ps sommer les équivlents ni les composer en générl Eemple 3: On +2 + et or on ps 2!!!! On + mis on ps e+ e cr lim e + e = e. Les seules opértions que vous vez le droit de fire sont listées dns l propriété cidessous. Propriété 2 On considère f, g, h et j des fonctions définies sur un même ensemble D et définies u voisinge de R. Alors on : (i Si f g et g h lors f h (ii Si f g et h j lors fh gj (iii Si f g et si f et g ne s nnulent ps u voisinge de lors f (iv Si f g et h j et si h et j ne s nnulent ps u voisinge de lors f h (v Si f g lors pour tout n N, f n g n (vi Si f et g sont strictement positives u voisinge de et si f g lors ln(f ln(g g g j Propriété 3 Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et définies u voisinge de R telles que f g. Soit h une fonction définie sur D h telle que h(d h D. Soit b R tel que lim b h =. Alors on f h b g h. (Chngement de vrible Anlyse : Chpitre 2 Pge 4 Développements limités
Propriété 4 Si f = o(g lors f +g g Eemple 4: Clculer lim. 4e /2 On remrque tout d bord que ( 2 = e /2 4e /2 2 On pose donc X = et lorsque 0, X +. On donc = X 2 e X = X2 2 4e /2 e X Or on sit que X 2 = X + o(ex donc lim X + X2 e X = 0 et donc lim = 0. 4e /2 Eemple 5: Clculer lim (e 3 ln(. On ici une forme indéterminée du type +. On sit que u voisinge de +, 3 = o(e et ln( = o(e donc e 3 ln( + e et donc comme lim e = + on lim (e 3 ln( = +. Eemple 6: 2 +ln Clculer lim e. 3 Cherchons séprément un équivlent du numérteur puis du dénominteur. On ln = o(2 donc 2 +ln 2 et de plus 3 = o(e donc e 3 Pr quotient d équivlents on obtient 2 +ln De plus 2 = o(e donc lim 2 e 3 2 e. = 0 et pr conséquent lim e 2 +ln e 3 = 0. e. Eemple 7 : Les frctions rtionnelles Trouver un équivlent en + de 5 3 2 + 2 4 +4 3. On sit que 5 3 2 + 5 et 2 4 +4 3 24, donc 5 3 2 + 2 4 +4 3 5 3 2 + On retrouve, rédigé de fçon propre, le fit que lim Eemple 8: e Clculer lim ln(+. 2 4 +4 3 = lim 2. On ici une forme indéterminée du type 0. Mis on reconnit des équivlents clssiques. 0 On e et ln(+ donc On donc lim e ln(+ =. e ln(+ = 5 2 4 = 2. Anlyse : Chpitre 2 Pge 5 Développements limités
Eemple 9: + e / Clculer lim 2 ln (. + Le numérteur et le dénominteur 2 de ce quotient nous font penser à des équivlents clssiques. Pour le numérteur on souhiterit utiliser l équivlent +X 2 X vec X =. 2e/ Pour utiliser cel il nous fut bien vérifier que X 0. Or tout simplement pr produit de limites on lim = 0. Donc on peut bien écrire +. 2e/ 2e/ 2 2e/ On donc X 0 Pour le dénominteur on souhiterit utiliser l équivlent ln( + X X vec X = X 0 2. On lim = 0 donc on ln (+ 2 2 2. + e / 2 Comme lim ln ( + 2 + 2 e/ = 2 on lim 2 2 e / 2 = 2 e/ + 2 e / ln ( + 2 = 2 II Développements limités Dns toute cette prtie, f désigne une fonction définie sur D une prtie de R et à vleurs dns R. Définition Définition 3 Si f est définie u voisinge de 0, on dit que f dmet un développement limité (DL d ordre n u voisinge de 0 s il eiste ( 0,..., n R n+ tels que u voisinge de 0 : f( = k k +o( n Le polynôme k k s ppelle l prtie régulière du DL et o( n s ppelle le reste du DL. On peut ussi définir le développement limité u voisinge de n importe quel 0 R : Définition 4 Soit 0 R. Si f est définie u voisinge de 0, on dit que f dmet un développement limité d ordre n u voisinge de 0 s il eiste (b 0,...,b n R n+ tels que u voisinge de 0 : f( = b k ( 0 k +o(( 0 n Anlyse : Chpitre 2 Pge 6 Développements limités
2 Propriétés Voici un théorème qui donne une condition suffisnte pour l eistence d un développement limité à l ordre n : Théorème 3 Si f est une fonction de clsse C n+ sur un intervlle I et si 0 I lors f dmet un développement limité d ordre n u voisinge de 0 : f( = f (k ( 0 ( 0 k +o(( 0 n k! On pourr démontrer ce théorème, ppelé le théorème de Tylor-Young, dns le chpitre sur les intégrles, pour l instnt il est dmis. Remrque : On utilise le plus souvent ce théorème dns le cs prticulier où 0 = 0 ce qui donne : f( = f (k (0 k +o( n k! Propriété 5 Si f possède un développement limité d ordre nuvoisinge de 0 : f( = lors lim 0 f( = 0 k ( 0 k +o(( 0 n On remrque donc que f ne peut ps dmettre de DL en 0 si f n dmet ps une limite finie en 0. Propriété 6 Sif possède undéveloppement limitéd ordrenuvoisinge de 0 : f( = k ( 0 k +o(( 0 n, lors u voisinge de 0, f est équivlente u premier terme non nul de son développement limité : c est-à-dire que si p est tel que pour tout 0 k p k = 0 et p 0 lors on u voisinge de 0 : f( 0 p ( 0 p On verr que sur les développement limités on peut fire plus d opértions que sur les équivlents donc lorsqu on ser bloqué vec les équivlents, il ser souvent judicieu de psser pr les développements limités pour trouver pr eemple une limite. Théorème 4 Si f dmet un développement limité d ordre n u voisinge de 0 lors ce développement limité est unique Anlyse : Chpitre 2 Pge 7 Développements limités
3 Développements limités des fonctions usuelles Voici mintennt les développements limités clssiques à connitre pr cœur. Ce sont des développements limités u voisinge de 0 et à l ordre n N : Théorème 5 e = ++ 2 2! + 3 n + + 3! n! +o(n = ++2 + 3 + + n +o( n + = +2 3 + +( n n +o( n (+ = ++ ( 2! 2 + + (...( n+ n +o( n n! ln(+ = 2 3 + + ( n n +o( n n ln( = 2 2 3 n 3 n +o(n Pour obtenir un développement limité u voisinge d un 0 0 il fudr le plus souvent effectuer le chngement de vrible X = 0 qui permet de chercher un développement limité en X u voisinge de 0. 4 Opértions sur les DL Somme et produit Propriété 7 Soient f,g : I R dmettnt chcune un développement limité d ordre n u voisinge de 0 : f( = k k +o( n et g( = b k k +o( n Alors f +g dmet le développement limité d ordre n u voisinge de 0 suivnt : (f +g( = ( k +b k k +o( n Alors fg dmet un développement limité d ordre n u voisinge de 0 que l on obtient en fisnt le produit des polynômes k k et b k k et en ne grdnt que les termes de degré inférieur ou égl à n. Eemple 0: Clculer le développement limité d ordre 2 u voisinge de 0 de +. e + = e (++ + = 2 ( + 2 +o(2 2 +o( 2 e = + 2 + 2 + 2 2 +o(2 = + 2 2 +o(2 Anlyse : Chpitre 2 Pge 8 Développements limités
b Composition Propriété 8 Soit f : I R une fonction dmettnt un développement limité d ordre n u voisinge de 0 et telle que limf = 0 : 0 f( = k k +o( n k= }{{} P( Soit g : J R une fonction dmettnt un développement limité d ordre n u voisinge de 0 : g( = k k +o( n }{{} Q( On suppose de plus que f(i J. Alors g f dmet un développement limité d ordre n que l on obtient en effectunt Q P et en ne grdnt que les termes de degré inférieur ou égl à n. Eemple : Déterminer le développement limité d ordre 2 u voisinge de 0 de e +. e + = e (+ 2 8 2 +o( 2 = e e 2 8 2 +o( 2 = e e X vec X = 2 2 8 +o(2 Comme limx = 0 on peut clculer le développement limité de e X. On sit que u voisinge de 0 : Or : X = 2 2 8 +o(2 ( X 2 = 2 2 8 +o(2 o(x 2 = o( 2 e X = +X + X2 2 +o(x2 ( 2 2 8 +o(2 = 2 4 +o(2 Dns le développement du produit on oublie tous les terme en vec > 2. Pr conséquent : ( ( e + = e + 2 8 2 +o( 2 + ( 2 4 2 +o( 2 +o( 2 ( = e + 2 +o(2 = e+ e 2 +o(2 Anlyse : Chpitre 2 Pge 9 Développements limités
c Quotient Lorsqu on un quotient il fut se servir de l composée vec le développement limité de Eemple 2: Déterminer le développement limité d ordre 3 u voisinge de 0 de On sit que ln(+ = 2 3 +o(3, donc : +ln(+ = + 2 /2+ 3 /3+o( 3 = +X Comme lim X = 0 on peut utiliser le développement limité de Or : Pr conséquent : +ln(+. vec X = 2 3 +o(3 +X = X +X2 X 3 +o(x 3 +.. On sit que u voisinge de 0 : +X X = 2 3 +o(3 X 2 = ( 2 3 +o(3 ( 2 3 +o(3 = 2 3 +o( 3 X 3 = ( 2 3 +o(3 ( 2 3 +o( 3 = 3 +o( 3 o(x 3 = o( 3 +ln(+ = ( 2 3 +o(3 + ( 2 3 +o( 3 ( 3 +o( 3 +o( 3 = + 3 2 2 7 3 3 +o( 3 = + 3 2 2 7 3 3 +o( 3 Eemple 3: Déterminer le développement limité d ordre 3 u voisinge de 0 de On sit que + = + 2 2 8 + 3 6 +o(3, donc : + + = = ++/2 2 /8+ 3 /6+o( 3 2+/2 2 /8+ 3 /6+o( 3 = 2 +/4 2 /6+ 3 /32+o( 3 + +. = 2 +X vec X = 4 2 6 + 3 32 +o(3 Anlyse : Chpitre 2 Pge 0 Développements limités
Comme lim X = 0 on peut utiliser le développement limité de Or : Pr conséquent : +X = X +X2 X 3 +o(x 3 X = 4 2 6 + 3 32 +o(3 ( ( X 2 = 4 2 6 + 3 32 +o(3 4 2 6 + 3 ( ( X 3 = 4 2 6 + 3 2 32 +o(3 6 + 3 32 +o(3 o(x 3 = o( 3 + + = 2 = 2 ( ( ( 4 2 6 + 3 32 +o(3 4 + 2 8 5 64 3 +o( 3 = 2 8 + 2 6 5 28 3 +o( 3 ( 2 +. On sit que u voisinge de 0 : +X 32 +o(3 = 2 = 3 64 +o(3 6 3 32 +o(3 6 3 32 +o(3 ( 3 64 +o(3 +o( 3 5 Applictions des DL Position pr rpport à une tngente Propriété 9 Si f dmet un développement limité d ordre u voisinge de 0, f( = +b( 0 +o(( 0 lors f est dérivble en 0 et = f( 0 et b = f ( 0. Remrque : Dns ce cs, l éqution de l tngente à l courbe représenttive de f u point d bscisse 0 est donc y = +b( 0 et pour connitre l position de l courbe pr rpport à l tngente il suffit de regrder le signe du terme suivnt du développement limité. Eemple 4: Clculer le développement limité d ordre 3 en 0 de l fonction f définie sur R pr f( = +e. En déduire l éqution de l tngente en 0 insi que l position de l courbe pr rpport à l tngente. Au voisinge de 0 on : +e = +++ 2 /2+ 3 /6+o( 3 = 2++ 2 /2+ 3 /6+o( 3 = 2 +/2+ 2 /4+ 3 /2+o( 3 = 2 +X vec X = 2 + 2 4 + 3 2 +o(3 Comme lim X = 0 on peut utiliser le développement limité de +X = X +X2 X 3 +o(x 3. On sit que u voisinge de 0 : +X Anlyse : Chpitre 2 Pge Développements limités
Or : X = 2 + 2 4 + 3 2 +o(3 ( ( X 2 = 2 + 2 4 + 3 2 +o(3 2 + 2 4 + 3 ( ( X 3 = 2 + 2 4 + 3 2 2 +o(3 4 + 3 4 +o(3 o(x 3 = o( 3 Pr conséquent : +e = 2 ( 2 +o(3 = 2 = 3 8 +o(3 4 + 3 4 +o(3 ( ( ( 2 + 2 4 + 3 2 2 +o(3 + 4 + 3 3 4 +o(3 8 +o(3 +o( 3 = 2 4 + 3 48 +o(3 Donc l courbe représenttive de f dmet en 0 une tngente d éqution y = 2 ( 4. On f( 2 = 3 4 48 +o(3 donc u voisinge de 0, l position de l courbe pr rpport à l tngente est donnée pr le signe de 3. Pour < 0 l courbe est en dessous de l tngente et pour > 0 48 l courbe est u dessus de l tngente. b Détermintion d symptotes obliques On suppose ici que limf = ± ou limf = ± et on est donc en trin de chercher à déterminer si l + courbe représenttive de f, C, possède une symptote oblique u voisinge de ±. Si C possède une symptote oblique d éqution y = +b ( 0 en ± lors on f( = +b+ε( où ε est une fonction qui tend vers 0 en ±. On pose lors X = et insi lorsque tend vers ±, X tend vers 0. On donc ( f = ( X X +b+ε X ce qui nous donne Xf ( ( = +bx +Xε = +bx +o(x X X Ainsi on voit que pour déterminer les coefficients( de l symptote oblique il suffit de déterminer le développement limitéd ordreuvoisingede0dexf.sioncontinueplusloindnsledéveloppement X limité on pourr obtenir l position de l courbe pr rpport à son symptote. Anlyse : Chpitre 2 Pge 2 Développements limités
Eemple 5: Étudier l brnche infinie en + de l fonction f définie sur R pr f( = On remrque tout d bord que lim ± f = +. Etude en + : 4 2 +. On pose X =, comme on est u voisinge de +, X est u voisinge de 0 vec X > 0. ( /X 4 f( = f = X /X 2 + = X 2 +X 4 = X2 (+X 2 = X +X 2 cr X > 0 = X (+X2 /2 = ( X 2 X2 +o(x 2 = X 2 X +o(x Donc on u voisinge de + : f( = 2 +o ( On donc lim f( = 0 et insi l droite d éqution y = est symptote à l courbe représenttive de f en +. Comme f( = 2 +o ( et que en + 2 < 0, l courbe est en dessous de l symptote. Anlyse : Chpitre 2 Pge 3 Développements limités