SESSION 26 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES EXERCICE a. Pour N, Puis, pour N, k= k(k + )(k + 2) = 2 ( + )( + 2) = + 2 2 ( + )( + 2) = ( 2 ( k(k + ) (k + )(k + 2) )= 2 k= O e déduit la covergece et la somme de la série proposée : = ( + )( + 2) = 4. ( + ) ( + )( + 2) ). ( ) 2 (somme télescopique). ( + )( + 2) b. Pour N, et doc, k= 2 k (k )! = 2 k= 2 k (k )! = 2 k= 2 k k!, = 2 ( )! = 2e2. EXERCICE 2 a. f est cotiue par morceaux sur R et 2π-périodique. O peut doc calculer ses coefficiets de Fourier. Puisque f est paire, pour tout etier aturel o ul, oab (f) = et pour tout etier aturel, oa Aisi, a (f) = 2 π t2 dt = 2π2 3 puis, pour N, a (f) = 2 π = 4 π t 2 cos(t) dt = 2 π ([ t cos(t) ] π + a (f) = 2 π ([ t 2 si(t) ] π 2 ) cos(t) dt t 2 cos(t) dt. ) t si(t) dt = 4 π = 4 2 π.π( ) = 4( ) 2. t si(t) dt Maiteat, la foctio f est 2π-périodique, cotiue sur R, declassec par morceaux sur R. D aprèslethéorèmede Dirichlet, lasériedefourier de f coverge vers f sur R. Eparticulier,pourtoutréelx de [, π], f(x) =x 2 = a (f) 2 + (a (f) cos(x)+b (f) si(x)) = π2 + 3 + 4 = = http ://www.maths-frace.fr c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés. ( ) 2 cos(x).
b. x = fourit = ( ) 2 = π2 2, et x = π fourit = 2 = 4 (π2 π2 3 )=π2 6. Mais alors, = (2 + ) 2 = + 2 ( + 2 = = ( ) 2 )= 2 (π2 6 + π2 2 )=π2 8. = ( ) 2 = π2 + 2, 2 = π2 6 = et = (2 + ) 2 = π2 8. c. Puisque f est cotiue par morceaux sur R et 2π-périodique, la formule de Parseval fourit ou ecore a 2 + 2 + (a 2 + b 2 )= π = 2π f 2 (t) dt = 2 π f 2 (t) dt, 2π 4 + 9 + 6 4 = 2 π = t 4 dt = 2π4 5, et doc, = 4 = π4 9. PROBLEME : Ue itroductio aux foctios tests I. Découverte des foctios tests.. Soit A ue partie de R. Si A est compacte, alors, A est e particulier borée. Puisque A A, A est aussi borée. Réciproquemet, si A est borée, il existe R>tel que A [ R, R]. MaisalorsA [ R, R] =[ R, R]. Oe déduit que A est borée. Comme d autre part, A est fermée, le théorème de Borel-Lebesgue permet d affirmer que A est compacte. Fialemet, A P(R), (A borée A compacte). 2. Quelques exemples a. (Voir graphique page suivate) {x R/ u(x) } =] 2, 2[ et doc supp(u) =[ 2, 2]. Puisque] 2, 2[ est boré, la questio précédete permet d affirmer que supp(u) =] 2, 2[ est compact. La foctio u est dérivable e 2 (u g(2) = 4 et u d (2) =). u est doc pas ue foctio test. http ://www.maths-frace.fr 2 c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés.
4 3 y = u(x) 2 5 4 3 2 2 3 4 5 b. {x R/ si(x) } = R \ πz et doc supp(si) =R. Lafoctiosi estpasàsupportcompactet estdocpasue foctio test. 3. a. Motros par récurrece que pour tout ( etier ) aturel k, ilexisteupolyômep k de degré d k = 2k tel que pour tout réel strictemet positif x, h (k) (x) =P k e x. x Le résultat est clair pour k = avec P = qui est bie u polyôme de degré d = = 2. Soit k. Suppososlerésultatétablipourl etierk. Pourtoutréelstrictemetpositifxo a alors ( h (k+) (x) =(h (k) ) (x) = ( ) ( ) x 2 P k + P k. ( x )) x x 2 e x = x ( ( ) ( 2 P k + P k x x )) e x = P k+ ( x ) e x, avec P k+ = X 2 (P k + P k ).Toutd abord,p k+ est bie u polyôme. Esuite, puisque P k est pas le polyôme ul, le degré de P k + P k est le degré d k de P k.mais alors d k+ = 2 + d k = 2k + 2 = 2(k + ). ( ) O a motré par récurrece que k N, P k R[X]/; x R, h (k) (x) =P k e x.deplus, k N, deg(pk )=2k. x U théorème classique d aalyse dit que si f est ue foctio cotiue sur [a, b] àvaleursdasr, declassec sur ]a, b] telle que pour tout etier aturel o ul kf (k) auelimiteréelleea, alorsf est de classe C sur [a, b]. Ici, h est cotiue sur ], + [ et lim h(x) = lim e x = = h(). Doch est cotiue sur [, + [. h est de classe C sur ], + [. x x> x x> ( ) Pour tout etier aturel o ul k et tout réel strictemet positif x, oah (k) (x) =P k e x où P k est u x polyôme.les théorèmes de croissaces comparées permettet alors d affirmer que pour tout etier aturel o ul k, h (k) (x) ted vers quad x ted vers par valeurs supérieures et e particulier h (k) auelimiteréellequadx ted vers par valeurs supérieures. O e déduit que h est de classe C sur [, + [ et e particulier admet e des dérivées à droite à tout ordre égales à. Commeh est égalemet de classe C sur ],] et que ses dérivées successives sur cet itervalle sot ulles, o a motré que h est de classe C sur R. b. Le support de h est [, + [. Doch est pas ue foctio test. Supposos par l absurde que h est développable e série etière. Alors, il existe u réel r>tel que pour tout réel x ] r, r[, h(x) = = f () () x =.! h est doc ulle sur u itervalle ouvert o vide de cetre, cequi estpas.doch est pas développable e série etière. http ://www.maths-frace.fr 3 c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés.
4. a. Soit x R. (x )(x + ) > x ], [. Docsix ], ] [, + [, ϕ(x) = et si x ], [ x R, ϕ(x) = ϕ(x) =e (x )(x+) = e x 2. { e x 2 si x ], [ si x ], ] [, + [ Puisque la foctio x (x )(x + ) est de classe C sur R àvaleursdasr et que h est de classe C sur R, la foctio ϕ est de classe C sur R. Puisquedepluslesupportdeϕ est [, ] qui est u compact de R, la foctio ϕ est ue foctio test. ϕ est paire, croissate sur ],] et décroissate sur [, + [. Graphe de la foctio ϕ y = ϕ(x) 5 4 3 2 2 3 4 5 b. La foctio x h( (x 3)(x 8)) est ue foctio test dot le support est [3, 8]. La foctio x h( (x )(x 2)) + h( (x 5)(x 6)) est ue foctio test dot le support est [, 2] [5, 6]. 5. Soit f ue foctio défiie sur R àsupportcompact.ilexisteuréelpoisitifa tel que pour x ], A] [A, + [, f(x) =. Maisalors lim f(x) = lim f(x) =. x x + 6. Costructio d ue suite régularisate a. ϕ est cotiue sur ], + [ et doc localemet itégrable sur ], + [. ϕ est ulle au voisiage de et au voisiage de + et doc ϕ est itégrable au voisiage de et au voisiage de +. Fialemet, ϕ est itégrable sur ], + [. ϕ est ue foctio cotiue, positive et o ulle sur ], + [ et doc ϕ(x) dx >. Posos alors I = ϕ(x) dx puis ρ = ϕ. ρ vérifie toutes les coditios de l éocé. I b. Soit N.Pourx R, ρ (x) ρ(x) x ], [ x ], [. N, supp(ρ )= [, ]. Soit N.Eposatt = x, oobtiet ρ (x) dx = ρ(x) dx = ρ(t) dt = ρ(t) dt =. N, ρ (x) dx =. http ://www.maths-frace.fr 4 c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés.
II. Approximatio uiforme sur R par des foctios de classe C ou par des foctios tests. 7. a. La suite de polyômes (P ) coverge uiformémet sur R vers ue certaie foctio f. Oedéduitqu ilexiste u etier N tel que, pour N, P f 2.Pour N, oaalors P P N P f + f P N 2 + 2 =. b. Aisi, pour N, lepolyôme P P N est boré sur R et doc est u polyôme costat C.Lasuitedepolyômes costats (C )=(P P N ) coverge vers f P N qui est doc u polyôme costat C (car si pour tout x réel et tout N, C (x) =C () alors e faisat tedre vers +, oobtietpourtoutréelx, C(x) =C()). Quad ted vers + das l égalité P = P N + C,oobtietf = P N + C et f est doc u polyôme. Si ue suite de polyômes (P ) coverge uiformémet sur R vers ue foctio f, f est u polyôme. 8. a. Graphe de la foctio z. y = z (x) ( + ) + Soiet x u réel positif puis = E(x)+. Pour,oa E(x)+>xet doc z (x) =. Oedéduitque lim z (x) =. Simaiteatx est u réel égatif, lim z (x) = lim z ( x) =. + + + La suite de foctios (z ) coverge simplemet vers la foctio costate x sur R. Maiteat, pour tout etier, z = et o a doc pas lim z =. + La suite de foctios (z ) e coverge pas uiformémet vers sa limite sur R. b. Soit g ue foctio cotiue sur R et ulle à l ifii. Il existe u réel positif A tel que si x >A, g(x). Mais la foctio g est cotiue sur le segmet [ A, A] et doc borée sur ce segmet. Par suite, il existe u réel M tel que si x A, g(x) M. Pour tout réel x o a alors g(x) Max{, M}. Oamotréque si g est ulle à l ifii, g est borée sur R. c. Soit N. Puisque{x R/ x + } {x R/ x }, oaα + α. La suite (α ) est décroissate. Soit ε>.puisqueg est ulle à l ifii, il existe A>tel que si x >A, g(x) < ε 2. Soit alors = E(A)+. Pourtoutréelx tel que x,oa g(x) < ε 2 et doc α ε 2 <ε.maisalors,puisquela suite (α ) est décroissate (et positive), pour,oa α α <ε.oamotréque ε > N/ N, ( α <ε) http ://www.maths-frace.fr 5 c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés.
et doc que lim α =. + d. Soiet N et x R. Si x <, g (x) g(x) = g(x) g(x) = α. Si x +, g (x) g(x) = g(x) α. Si x <+, g (x) g(x) = ( x + + )g(x) g(x) =( x ). g(x) g(x) α. Fialemet, pour tout réel x o a g (x) g(x) α et doc g g α. N, g g α. e. Soit N. Lesupportdeg est coteu das supp(z )=[ ( + ), ( + )]. Maisalorslesupportdeg est boré est doc compact. De plus, g est cotiue sur R e tat que produit de foctos cotiues sur R. Fialemet pour tout etier aturel, g est cotiue sur R àsupportcompact. D après les questios c. et d., la suite ( g g ) ted vers quad ted vers + et doc la suite de foctios (g ) coverge uiformémet sur R vers la foctio g. O a motré que Ue foctio cotiue sur R, ulle à l ifii est limite uiforme sur R d ue suite de foctios cotiues sur R àsupportcompact (A ). 9. a. Soit x R. Lafoctioh : t g(t)f(x t) est cotiue sur R. Lesupportdeh est coteu das le support de g. O e déduit que h est ulle à l ifii et e particulier itégrable au voisiage de+ et au voisiage de. Fialemet x R, lafoctiot g(t)f(x t) est itégrable sur R. b. Soit x R. Pourt réel doé, R x t R x R t x + R. Lafoctioh : t f(t)g(x t) est cotiue sur R et so support est coteu das [x R, x + R]. Oedéduitdeouveauqueh est ulle à l ifii et e particulier itégrable au voisiage de + et au voisiage de. Fialemet x R, lafoctiot f(t)g(x t) est itégrable sur R. Soit x R. Eposatu = x t, oobtiet (g f)(x) = = x R g(t)f(x t) dt = R R g(x u)f(u) ( du) = g(t)f(x t) dt x+r g(x u)f(u) du = x+r x R =(f g)(x). Doc f g = g f. f(u)g(x u) du. Support d ue covolutio a. Soiet x u réel strictemet plus grad que R + S et t u réel. Si t >R,oag(t) = et doc g(t)f(x t) =. Si t R, alors R t R puis x R x t. Maisalorsx t>(r + S) R = S. Oedéduitquef(x t) = et doc ecore ue fois que g(t)f(x t) =. Fialemet, pour tout réel t o a g(t)f(x t) = et doc g f(x) = g(t)f(x t) =. http ://www.maths-frace.fr 6 c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés.
De même, soiet x u réel strictemet plus petit que (R + S) et t u réel. Si t >R,oag(t) = et doc g(t)f(x t) =. Si t R, alors R t R puis x t x + R< (R + S)+R = S. Oedéduitdeouveauquef(x t) = et doc que g(t)f(x t) =. Das ce cas aussi g f(x) =. E résumé, f g est ulle e dehors de [ (R + S), (R + S)] et doc f g est à support compact. b. O pred pour f la foctio costate x et pour g la foctio z. g est à support compact et f e l est pas. Pour tout réel x o a f g(x) = g(t)f(x t) dt = f g est la foctio costate x et est doc pas à support compact.. Dérivatio d ue covolutio z (t) dt =. a. Soiet a u réel strictemet positif puis x [ a, a]. Si t est u réel tel que t>a+ R, alorsx t<x (a + R) a (a + R) = R et doc g(x t) =. De même si t< a R, alorsx t>x+ a + R a + a + R = R et doc g(x t) =. Mais alors f g(x) = f(t)g(x t) dt = a+r a R f(t)g(x t) dt. b. Soiet a u réel strictemet positif et Φ : [ a, a] [ a R, a + R] R (x, t) f(t)g(x t) dt -Pourtoutréelx de [ a, a], lafoctiot Φ((x, t)) est cotiue par morceaux sur [ a R, a + R]. -Puisqueg est de classe C sur R, Φ admet ue dérivée partielle par rapport à sa première variable sur [ a, a] [ a R, a + R]. Depluspour(x, t) [ a, a] [ a R, a + R], oa Φ x ((x, t)) = f(t)g (x t). -Pourtoutréelx de [ a, a], lafoctiot Φ ((x, t) est cotiue par morceaux sur [ a R, a + R] et pour tout réel x t de [ a R, a + R], lafoctiox Φ ((x, t) est cotiue sur [ a, a]. x -D aprèslaquestio5., uefoctioàsupportcompactestulle à l ifii et d après la questio 8.b., ue foctio cotiue sur R et ulle à l ifii est borée sur R. Lesfoctiosg et g sot doc borées sur R (g état égalemet cotiue sur R àsupportcompact).d autrepart,f est cotiue sur le segmet [ a R, a + R] et e particulier est borée sur ce segmet. O e déduit que les foctios Φ et Φ x sot borées sur [ a, a] [ a R, a + R]. OotealorsM (resp. M )umajoratdelafoctio Φ (resp. Φ x )sur[ a, a] [ a R, a + R] puis o ote ϕ : t M et ϕ : t M. Les foctios ϕ et ϕ sot cotiues, positives et clairemet itégrables sur [ a R, a + R] et pour (x, t) [ a, a] [ a R, a + R], oa Φ((x, t)) ϕ (t) et Φ ((x, t)) x ϕ (t). E résumé x [ a, a], lafoctiot Φ((x, t)) est cotiue par morceaux sur [ a R, a + R] et itégrable sur [ a R, a + R]. La foctio Φ admet sur [ a, a] [ a R, a+r] ue dérivée partielle par rapport à sa première variable Φ x vérifiat - t [ a R, a + R], lafoctiox Φ ((x, t)) est cotiue sur [ a, a], x - x [ a, a], lafoctiot Φ ((x, t)) est cotiue par morceaux sur [ a R, a + R], x -ilexisteuefoctioϕ cotiue par morceaux, positive et itégrable sur [ a R, a + R] telle que - (x, t) [ a, a] [ a R, a + R], Φ ((x, t)) x ϕ (t). http ://www.maths-frace.fr 7 c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés..
D après le théorème de dérivatio des itégrales à paramètres (théorème de Leibiz), f g est de classe C sur [ a, a] et pour tout réel x de [ a, a], (f g) (x) = a+r a R a+r (f(t)g(x t)) dt = f(t)g (x t) dt = f(t)g (x t) dt = f g (x). x a R Comme ce derier résutat est valable pour tout réel strictemet positif a, oamotréque f g est de classe C sur R et (f g) = f (g ). Il est alors clair par récurrece que si g est de classe C sur R, f g est de classe C sur R et que pour tout etier aturel k, (f g) (k) = f (g (k) ). 2. Applicatio à l approximatio a. Soit N.Orappellequelafoctioρ est positive et de classe C sur R, que [ supp(ρ )=, ].Soitalorsx u réel. ρ (t) dt = et que f ρ (x) f(x) = f(x t)ρ (t) dt f(x) f(x t) f(x) ρ (t) dt = b. Soit ε>.puisquef est uiformémet cotiue sur R, Soiet = E ( ) α alors, pour tout réel t de l itervalle + ρ (t) dt = (f(x t) f(x))ρ (t) dt f(x t) f(x) ρ (t) dt. α >/, (x, y) R 2, ( x y <α f(x) f(y) <ε. + puis u etier supérieur ou égal à et x u réel. O a déjà > α et doc <α.mais [, ],oa O e déduit que (x t) x = t <α. O a motré que et doc que f ρ (x) f(x) f(x t) f(x) ρ (t) dt + ε.ρ (t) dt = ε ρ (t) dt = ε ρ (t) dt = ε. ε >, N/ x R, N, ( f ρ (x) f(x) ε, la suite de foctios (f ρ ) coverge uiformémet vers la foctio f sur R. D autre part, chaque foctio ρ est de classe C sur R et doc d après le résultat admis par l éocé (et puisque f est cotiue sur R), chaque foctio f ρ est de classe C sur R. c. Soit f ue foctio cotiue sur R àsupportcompact.f est e particulier cotiue sur R et ulle à l ifii et doc uiformémet cotiue sur R. D aprèsb.,lasuite(f ρ ) est ue suite de foctios tests covergeat uiformémet vers f sur R. http ://www.maths-frace.fr 8 c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés.
O a motré que toute foctio cotiue sur R àsupportcompactestlimiteuiformesurr d ue suite de foctios tests (A 2 ). III. Théorème de Withey. 3. Soit f ue foctio de classe C sur R. f est e particulier cotiue sur R. Maisalors,puisqueZ(f) =f ({}) et que le sigleto {} est u fermé de R, Z(f) est l image réciproque d u fermé de R par ue applicatio cotiue sur R et doc Z(f) est u fermé de R. Si f est de classe C sur R, Z(f) est u fermé de R. 4. Ue première tetative de preuve... ifructueuse Soit F ue partie fermée et o vide de R. Motrosquepourtoutréelx, d F (x) = x F. Soit doc x u réel. Si x est das F, alors d F (x) = if y F y x x x = et doc d F(x) =. Si d F (x) =, ilexisteuesuite(y ) d élémets de F telle que la suite ( x y ) coverge vers d F (x) c est-à-dire. Ceci sigifie ecore que la suite (y ) coverge vers x. MaisF est fermée et la limite d ue suite covergete d élémets de F appartiet à F. Oedéduitquex F. Fialemet Z(d F )=F. Le théorème de Whitey serait alors démotré si la foctio d F était de classe C sur R. Représetos graphiquemet la foctio d F das le cas particulier où F =], ] [, + [. Soit x R. Six ], ] [, + [, oad F (x) =. Six [, ], d F (x) =d(x, ) = x + et si x [, ], d F (x) =d(x, ) = x. Oobtietlegraphiquesuivat: y = d F (x) 5 4 3 2 2 3 4 5 La foctio d F est pas dérivable e et est doc pas de classe C Cette foctio est pas solutio du problème posé. sur R (mais est tout de même cotiue sur R). 5. Utilisatio de foctios tests (i) Soiet a et b deux élémets de R tels que a<b. Si a et b sot réels posos pour tout réel xϕ a,b (x) =h( (x a)(x b)) (où h est la foctio étudiée à la questio 3.). Si a = et b est réel, posos ϕ a,b (x) =h( (x b)). Si a est réel et b =+, pososϕ a,b (x) =h(x a). Si a = et b =+, pososϕ a,b (x) =e x. Das tous les cas, la foctio ϕ a,b est ue foctio de classe C sur R dot l esemble des zéros est le complémetaire das R de l itervalle ]a, b[. (ii) Soiet a, b, c et d quatre élémets de R tels que a<b c<d.lafoctioϕ a,b + ϕ c,d est ue foctio de classe C sur R dot l esemble des zéros est le complémetaire de ]a, b[ ]c, d[. http ://www.maths-frace.fr 9 c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés.
6. Soit F ue partie fermée de R. SiF est vide, la foctio expoetielle est ue foctio de classe C sur R dot l esemble des zéros est vide et doc égal à F. DemêmesiF = R, lafoctioulleestuefoctiodeclassec sur R dot l esemble des zéros est R et doc égal à F. Sio F est pas vide et so complémetaire Ω e l est pas davatage. Puisque F est fermé, Ω est u ouvert de R et peut doc s écrire comme ue réuio fiie ou déombrable d itervalles ouverts disjoits : Ω = k I]a k,b k [,oùi est ue partie de N. Si I est fii, quite à reuméroter, o peut supposer que Ω = classe C sur R dot l esemble des zéros est le complémetaire de Ω. ]a k,b k [ et la foctio k= k= ϕ ak,b k est ue foctio de Si I est ifii, quite à reuméroter, o peut supposer que Ω = k N]a k,b k [.Pour N, posospourallégerϕ = ϕ ]a,b [. La première idée qui cosiste à choisir = ϕ e foctioe pas car il y a aucue raiso que cette série de foctios coverge. O peut améliorer e choisissat la foctio 2 ϕ car, les foctios ϕ sot majorées par de sorte que cette = série coverge ormalemet sur R, maiscela assurepasecorelapossibilitédedériverterme à terme idéfiimet. Il faut ecore améliorer. Soit N. Si l itervalle ]a,b [ est boré, o sait que la foctio ϕ est de classe C sur R àsupportcompact.oedéduit que chaque ϕ (k) est défiie et borée sur R. Si ]a,b [=],b [.D aprèslaquestio3.,chaqueϕ (k) admet ue limite réelle quad x ted vers et quad x ted vers b.puisqueϕ est cotiue sur R et ulle sur [b, + [, ecoreuefois,chaque ϕ (k) est borée sur R. Ile est de même, si ]a,b [=]a, + [. Das tous les cas, pour tout etier k, ϕ (k) existe et est u réel strictemet positif (car ϕ est pas u polyôme). Pour etier aturel doé, cosidéros alors λ u réel strictemet positif tel que, k,, λ ϕ (k) 2. O peut predre par exemple λ = 2 Max k ( ϕ(k) ). ( Pour k, oa λ ϕ (k) ) 2.Cecimotrequelasériedefoctios λ i ϕ (k) i sur R et doc (par récurrece sur k) quelafoctio = λ ϕ (k). = i=k k est ormalemet covergete ( + ) (k) λ ϕ est pour tout k, declassec k sur R avec λ ϕ = Efi, puisque les λ sot strictemet positifs et que les foctios ϕ sot positives, o a pour tout réel x = = λ ϕ (x) = N, ϕ (x) = x F. λ ϕ est ue foctio de classe C sur R dot l esemble des zéros est F. LethéorèmedeWithey est démotré. = http ://www.maths-frace.fr c Jea-Louis Rouget, 26. Tous droits réservés.