www.mthsenligne.com STI - 1N8 - NBRES CPLEXES CRS (1/5) PRGRAES Sommes + i où i² = -1 ; églité, somme, produit, conjugué, inverse. Représenttion géométrique, ffie d'un point, d'un vecteur. odule et rgument : interpréttion géométrique. Pssge de l forme lgérique à l forme trigonométrique et inversement. TP : Eemples de clculs sur les nomres complees. CENTAIRES Les élèves doivent connître les deu écritures + i et + j, cette dernière étnt utilisée en électricité. L résolution dns Z de l'éqution du second degré, compris l'éqution z² = n'est ps u progrmme. n pourr indiquer les propriétés du module et de l'rgument d'un produit ou d'un quotient qui sont utilisées en sciences phsiques, mis l'eploittion de ces propriétés n'est ps u progrmme de mthémtiques de première. n éviter toute technicité dns les eercices de clcul trigonométrique. I. NBRES CPLEXES. Le nomre «i» Il eiste un nomre, noté i, qui l propriété suivnte : i² = -1. Forme lgérique d un nomre complee n ppelle nomre complee tout nomre sous l forme + i où et sont deu nomres réels. Cette écriture est ppelée forme lgérique du nomre complee. L ensemle des nomres complees est noté Z. Soit z = + i un nomre complee. Le nomre est ppelé prtie réelle de z, et noté Re(z) Le nomre est ppelé prtie imginire de z, et noté Im(z) z = + 4i est un nomre complee. Re(z) = et Im(z) = 4 Remrques : L prtie imginire d un nomre complee est un nomre réel. Si Im(z) = 0, lors z est un nomre réel. Si Re(z) = 0, z est un imginire pur. V W X Y Z c. Eglité de deu nomres complees Soit z = + i et z = + i deu nomres complees. z = z = = d. Addition des nomres complees Soit z = + i et z = + i deu nomres complees. z + z = ( + ) + ( + )i Soit z = 4 + i et z = - + 5i z + z = (4 + i) + (- + 5i) = (4 ) + ( + 5)i = + 8i e. utipliction de nomres complees Soit z = + i et z = + i deu nomres complees. z z = ( ) + (' + ')i Soit z = 4 + i et z = - + 5i z z = (4 + i)(- + 5i) = 4 (-) + 4 5i + i (-) + i 5i = -8 + 0i 6i 15 = - + 14i
www.mthsenligne.com STI - 1N8 - NBRES CPLEXES CRS (/5) f. conjugué Soit z = + i un nomre complee. n ppelle conjugué de z le nomre i noté z. Le conjugué de 4 + i est 4 i. Propriétés : z + z = z + z z z = z z z z = ² + ² g. Inverse Soit z = + i un nomre complee. L inverse de z est le nomre 1 z = ² + ² ² + ² i II. GEETRIE ET NBRES CPLEXES Dns un repère orthonorml, on dit que : - le nomre z = + i est l ffie du point ( ; ) ou du vecteur. - le point est l imge du nomre z = + i. - le vecteur est le vecteur imge du nomre z = + i. = Re(z) est l scisse de = Im(z) est l ordonnée de Plcer dns le repère les points A ( + i), B (-5 + i), C () et D (-i) : A B v C u D Remrques : - pour éviter les confusions, le repère ne s ppeller plus (, i, j) mis (, u, v) - le pln muni de ce repère est ppelé pln complee. - tout nomre réel ur son imge sur l e des scisses désormis ppelé «e des réels» - tout nomre imginire pur ur son imge sur l e des ordonnées désormis ppelé «e des imginires»
www.mthsenligne.com STI - 1N8 - NBRES CPLEXES CRS (/5) III. FRE TRIGNETRIQE. odule et rgument Soit le point du pln complee qui pour ffie z = + i. n ppelle module de z et on note le nomre = = n ppelle rgument de z (non nul) et on note rg(z) tout nomre de l forme θ + kπ où θ est une mesure de l ngle orienté. θ Lire sur le dessin le module et l rgument des ffies de A, B, C et D : C A : odule = 5 Argument = π 6 D A B : odule = 4 Argument = - π 4 v u C : odule = 7 B Argument = π D : odule = Argument = π. Clcul du module Soit le point du pln complee qui pour ffie z = + i. D près le théorème de Pthgore (voir figure du.) :² = ² + ² = zzd où : = ² + ² = z z c. Détermintion de l rgument Soit le point du pln complee qui pour ffie z = + i. Soit N le point du cercle trigonométrique qui le même rgument (θ) que z. L ffie de N est z = cos θ + i sin θ D près le théorème de Thlès dns le tringle, où les droites ( ) et (NN ) sont prllèles : N = N = NN 1 = cos θ = sin θ d où les formules qui permettent de déterminer θ : sin θ θ N N cos θ cos θ = = ² + ² et sin θ = = ² + ²
www.mthsenligne.com STI - 1N8 - NBRES CPLEXES CRS (4/5) d. Forme trigonométrique n ppelle forme trigonométrique de z l nottion [ρ ; θ] où ρ est le module de z θ est l rgument de z Eemples simples : L forme trigonométrique de 1 est [1 ; 0] L forme trigonométrique de i est [1 ; π ] Propriétés : Pour tout nomre complee, on peut psser d une forme à une utre en utilisnt les formules : = ² + ² = ρ cos θ = sin θ = = ρ.cos θ = ρ.sin θ Eemple 1 : Soit z un nomre complee dont l forme lgérique est z = -1 + i z] = (-1)² + ( )² = 1 + = 4 = θ = cos -1 = -1 sin θ = = et on reconnît là des vleurs remrqules du sinus et du cosinus : θ = π L forme trigonométrique de z est donc [ ; π ] Eemple : Soit z un nomre complee dont l forme trigonométrique est [5 ; π 6 ] = ρ.cos θ = 5 = ρ.sin θ = 5 1 = 5 = 5 L forme lgérique de z est donc z = 5 + 5 i en utilisnt les vleurs remrqules du sinus et du cosinus de θ = π 6 IV. DLE ET ARGENT D NE DIFFERENCE. ffie d un vecteur AB Soit A d ffie z A et B d ffie z B deu points distincts. Alors AB pour ffie z B z A (Se démontre en utilisnt les ffies de A et B puis AB = B A ) Soit A d ffie z A = - + i et B d ffie z B = + 4i Alors l ffie de AB est : z B z A = ( + 4i) (- + i) = + 4i + i = 5 + i. Distnce entre deu points Soit A d ffie z A et B d ffie z B deu points distincts.
www.mthsenligne.com STI - 1N8 - NBRES CPLEXES CRS (5/5) Alors AB = AB = z B z A L distnce AB de l eemple précédent est : z B z A = 5 + i = 5² + ² = 5 + 4 = 9 c. Angle d un vecteur vec u Soit A d ffie z A et B d ffie z B deu points distincts. Alors l ngle du vecteur AB et du vecteur unité u est : ( u ; AB ) = rg(zb z A ) Soit A d ffie z A = + 5i et B d ffie z B = + 4i L ffie de AB est : z B z A = ( + 4i) ( + 5i) = + 4i 5i = 1 i z B z A = 1² + (-1)² = 1 + 1 = θ = cos 1 = sin θ = -1 = - donc θ = ( u ; AB ) = - π 4