Énoncé L objet de ce problème est de présenter la formule de Machin 1 et quelques résultats autour. π 4 = 4arctan 1 5 arctan 1 239 On obtiendra diverses formules faisant intervenir des arctan d inverses de nombres. En particulier, une formule du type Machin est de la forme marctan 1 x +arctan 1 y π 4 mod π avec m, x, y entiers. Partie I. Introduction. Exemples Pour tout entier naturel non nul m, on appelle C m l ensemble des couples de réels non nuls (x,y) tels que marctan 1 x +arctan 1 y π 4 (π) 1. Pour x réel non nul, on pose α = arctan 1. Exprimer x+i à l aide de α et de x l exponentielle complexe. Donner un argument de x + i. 2. Montrer que 3. Montrer que (x,y) C m (x+i) m (y +i)e iπ 4 R π 4 = 2arctan 1 2 arctan 1 7 4. Formule de Dodgson 2 Soit p, q, r trois réels positifs tels que 1+p 2 = qr. Montrer que arctan 1 p = arctan 1 p+r +arctan 1 p+q Partie II. Étude d une famille de polynômes Pour x réel et m entierpositif, on note respectivement A m (x) la partie réelle et B m (x) la partie imaginaire de de (x+i) m. On définit également F m par : F m (x) = A m(x)+b m (x) A m (x) B m (x) 1. Calculer A k (x) et B k (x) pour k {1,2,3,4}. Présenter les résultats dans un tableau. 2. Montrer que A m+1 (x) =xa m (x) B m (x) B m+1 (x) =A m (x)+xb m (x) 1. John Machin (1680-1752). Grâce à cette formule, en 1706, Machin est le premier mathématicien à calculer 100 décimales de π. 2. plus connu pour son oeuvre littéraire sous le pseudonyme Lewis Carrol http://mathscpge.wordpress.com 1 M.SAHROURDI
A m ( x) =( 1) m A m (x) B m ( x) = ( 1) m B m (x) A m (x) =ma m 1(x) B m(x) =mb m 1 (x) (A m et B m sont les dérivées de A m et B m ) si m et pair si m et impair A m (x) =( 1) m 2 x m A m ( 1 x ) B m (x) =( 1) m 2 x m B m ( 1 x ) A m (x) =( 1) m 1 2 x m B m ( 1 x ) B m (x) = ( 1) m 1 2 x m A m ( 1 x ) 3. Pour un entier m fixé, déterminer les solutions de A m (x) = B m (x). Quelle est la plus grande de ces solutions? 4. Montrer que la fonction F m est décroissante dans chaque intervalle de son domaine de définition. Quelle est la limite de F m en + et en? Partie III. Les formules du type Machin On se propose de trouver toutes les formules du type Machin pour m entier entre 1 et 4. 1. Montrer que (x,y) C m si et seulement si A m (x) B m (x) et y = F m (x) 2. Des calculs numériques conduisent aux tableaux suivants : m cotan ( ) π 1 1 2 2.414 3 3.732 4 5.027 x F 1 (x) F 2 (x) F 3 (x) F 4 (x) 1-1. 0. 1. 2 3. -7. -1.444 -.5484 3 2. 7. -5.500-1.824 4 1.667 3.286 19.80-5.076 5 1.500 2.429 5.111-239.0 À partir de ces tableaux, former (en justifiant soigneusement) toutes les formules du type Machin pour m entier entre 1 et 4. Corrigé Partie I 1. Exprimons d abord x puis x+i : α = arctan 1 x x = cosα sinα x+i = 1 sinα eiα http://mathscpge.wordpress.com 2 M.SAHROURDI
Deux expressions sont possibles pour les arguments de x+i. x > 0 α ]0, π [ sinα > 0 : 2 x < 0 α ] π,0[ sinα < 0 : 2 α est un argument de x+i α+π est un argument de x+i Dans les deux cas, α est congru modulo 2π à un argument de x+i. 2. Posons β = arctan 1. Un calcul analogue à celui de la question précédente y conduit à : (x+i) m 1 (y +i)e iπ π 4 = sin m αsinβ ei(mα+β 4 ) Ce nombre complexe est réel si et seulement si mα+β π 4 0 (π) 3. On calcule (2+i) 2 ( 7+i) et on trouve 25(1+i). On en déduit la formule demandée modulo π. Pour lever cette ambiguité à π près, on remarque que donc 0 < arctan 1 7 < arctan 1 2 < π 4 0 < arctan 1 2 arctan 1 7 < π 4 La somme est donc bien entre 0 et π 4. 0 < arctan 1 2 < π 4 4. En developpant et en utilisant rq 1 = p 2, on obtient (p+r+i)(p+q +i) = (2p+q +r)(p+i) L égalité en découle à un multiple de π près. De plus, les deux membres de l égalité sont entre 0 et π, ils sont donc forcément égaux. Partie II 1. En utilisant des formules du binome et en séparant les parties réelles et imaginaires, on obtient m 1 2 3 4 A m x x 2 1 x 3 3x x 4 6x 2 +1 B m 1 2x 3x 2 1 4x 3 4x 2. Il s agit de séparer les parties réelles et imaginaires de On obtient : A m+1 +ib m+1 = (A m +ib m )(x+i) A m+1 = xa m B m B m+1 = A m +xb m http://mathscpge.wordpress.com 3 M.SAHROURDI
Ici encore, on sépare les parties réelles et imaginaires après quelques manipulations simples : A m ( x)+ib m ( x) = ( x+i) m = ( 1) m (x i) m = ( 1) m (x+i) m On en déduit : = ( 1) m (A m ib m ) A m ( x) = ( 1) m A m (x) B m ( x) = ( 1) m B m (x) Cette fois on dérive (A m +ib m ) = m(x+i) m 1 A m = ma m 1 B m = mb m 1 Pour x 0, on fait apparaitre 1 x (x+i) m = (ix) m ( 1 i + 1 x ) m ( = ( ix) m i+ 1 ) m x Si m est pair : A m (x) = ( 1) m 2 x m A m ( 1 ( i) m = ( 1) m 2 x ) B m (x) = ( 1) m 2 x m B m ( 1 x ) Si m est impair : ( i) m = ( 1) m 1 2 i (x+i) m = ( 1) m+1 2 i = ( 1) m 1 2 (A m ( 1x )+ib m( 1x ) ) m (B m ( 1x ) ia m( 1x ) ) m A m (x) = ( 1) m 1 2 x m B m ( 1 x ) B m (x) = ( 1) m 1 2 x m A m ( 1 x ) 3. En utilisant arctan pour exprimer un argument de x +i, on peut écrire une suite d équivalences : A m (x) = B m (x) π 4 marctan 1 x π 4 un argument de (x+i)m mod (π) mod (π) arctan 1 x π mod ( π ) On en déduit que l ensemble des solutions est { ( π cotan +k π ) }, k {0,,m 1} m Tous les (4k+1)π sont dans ]0, π[. La fonction cotan est décroissante dans cet intervalle. Donc la plus grande des solutions est ( π ) cotan http://mathscpge.wordpress.com 4 M.SAHROURDI
4. On calcule la dérivée de F m en remplaçant les dérivées des polynômes à l aide des formules de la question II.2. et en utilisant les relations de récurrence pour n avoir que des m 1. On obtient F m = 2m A2 m 1 +B2 m 1 (A m B m ) 2 On en déduit que F m est décroissante dans chaque intervalle de son domaine de définition. Il s agit d intervalles ouverts dont les extémités sont des cotan (4k+1)π pour k entre 0 et m 1. D après la formule du binôme, le degré de A m est m et celui de B m est m 1 donc F m tend vers +1 en + et. Partie III. Les formules du type Machin 1. D après la définition, (x,y) C m si et seulement si (x+i) m (y +i) Re i π 4 Un nombre complexe est dans Re iπ 4 si et seulement si sa partie réelle est égale à sa partie imaginaire. Or (x+i) m (y +i) = (A m (x)+ib m (x))(y +i) Donc (x,y) C m A m (x)y B m (x) = B m (x)y +A m (x) On en déduit : = A m (x)y B m (x)+i(b m (x)y +A m (x)) (A m (x) B m (x))y = A m (x)+b m (x) { Am (x) B m (x) y = F m (x) (x,y) C m Supposons maintenant (x,y) C m avec A m (x) = B m (x). Alors A m (x) + B m (x) = 0 donc A m (x) = B m (x) = 0 donc (x+iy) m devrait aussi être nul ce qui est évidemment faux car x et y sont non nuls. Ceci montre l implication réciproque. 2. Ici, m désigne un entier entre 1 et 4. LesfonctionsF m sontstrictementdécroissantesdansleursintervallesdedéfinition et tendent vers 1 en +. D après le tableau des valeurs de cotan π, la plus grande de ces valeurs est inférieure à 6. Onest donc certain que l intervalle [13,+ [ est tout entier dans un intervalle de définition de F m. Comme F m (13) est strictement inférieur à 2 et que F m tend cvers 1 à l infini, on est certain que aucun F m (x), pour x 14, ne peut prendre de valeur entière. On peut lire sur les tableaux les entiers entre 1 et 13 pour lesquels les F m (x) prennent des valeurs entières. Pour m = 1 : x = 2y = F 1 (2) = 3 arctan 1 2 +arctan 1 3 π (π) 4 x = 3y = F 1 (3) = 2 même formule http://mathscpge.wordpress.com 5 M.SAHROURDI
Ici, les deux arctan sont entre 0 et π 2 donc leur somme est entre 0 et pi donc Pour m = 2 : arctan 1 2 +arctan 1 3 = π 4 x =1 y = F 2 (1) = 1 2arctan1+arctan( 1) = π 4 (évident) x =2 y = F 2 (2) = 7 2arctan 1 2 arctan 1 7 = π 4 x =3 y = F 2 (3) = 7 2arctan 1 3 +arctan 1 7 = π 4 On a fait disparaitre le modulo π par une évaluation numérique. Pour m = 3, il n existe pas de formule de Machin. Pour m = 4, on obtient la formule de Machin : x = 5 y = F 4 (5) = 239 4arctan 1 5 arctan 1 239 = π 4 On a fait disparaitre le modulo π par une évaluation numérique. http://mathscpge.wordpress.com 6 M.SAHROURDI