Boules Crtques Serge Beucher Centre de Morphologe Mathématque Mnes Parstech Sémnare sur la caractérsaton de formes Fontanebleau, 27 Avrl 2009 1
Avertssement! Cette présentaton est un document de traval nterne concernant des travaux en cours. Ce document est dsponble pour consultaton unquement (pas d mpresson ou de cope autorsées). Bblographe succncte dsponble: Transformatons résduelles en Morphologe Numérque Note nterne CMM n 04/04/MM, Mars 2004 2
Boules maxmales et squelette Une boule B n (x) de talle n et de centre x est maxmale dans l'ensemble X, s'l n'exste aucun autre ndce k et aucun autre centre y tels que: B n ( x ) B ( y) X n k k Le squelette d'un ensemble X selon une famlle de boules {B n } est le leu géométrque des centres de toutes ses boules maxmales: S ( X ) = { x X : B ( x) maxmale} n 3
Formule de Lantuejoul Le squelette par boules maxmales correspond aux résdus d ouver- tures des érodés successfs de X : S ( X ) = [ ε ( ) ( ( ) )] X \ γ ε X N Chaque résdu r (noté auss S ) est le leu des centres des boules maxmales de rayon Les boules maxmales sont défnes sur les famlles homogènes de boules obtenues par les dlatatons successves de la boule élémentare B 0 4
Proprétés, rappels A chaque pont x du squelette, on peut assocer une foncton q(x) prenant la valeur du rayon de la boule maxmale mplantée au pont x. Cette foncton est appelée foncton d étanchété ou foncton d extncton q( x) = n : x S x ( X ), B ( ) maxmale L'ensemble X peut être construt à partr du squelette et de la foncton d'extncton: X = N δ La transformaton, réversble, fournt une autre représentaton de X: La donnée de X ou du doublet [S(X),q] sont équvalents n ( S ( X) ) 5
Squelette, foncton dstance et chapeau haut-de-forme Le squelette par boules maxmales peut s obtenr par un seul à la valeur 1 du chapeau haut-de-forme de la foncton dstance d X de l ensemble X Image ntale Foncton dstance Chapeau Haut-de-Forme Méthode très pratque pour obtenr des squelettes à partr de boules non élémentares (dodécagones par exemple) 6
Le squelette comme descrpteur de forme? Le squelette par boules maxmales n est pas un bon descrpteur de forme. Généralement, on ame décrre une forme «complquée» comme un assemblage de formes plus smples : 2 dsques Cette forme peut être décrte de la façon la plus smple qu sot comme l unon de deux dsques 7
Le squelette comme descrpteur de forme? (2) Cependant le squelette de cette forme fat apparaître une nfnté de nouveaux dsques! Le squelette n est pas stable par rapport à l unon d ensembles: S( X Y) S( X) S( Y) Idée pernceuse (on sat qu en toute rgueur cec est faux, mas on reste persuadé que ce n est pas TROP faux ) 8
Boules crtques, défnton La donnée des boules maxmales (poston et rayon) d un ensemble X permet de reconstrure X, mas cet ensemble est redondant pour la reconstructon. La donnée des boules crtques sufft. Défnton d une boule crtque Une boule maxmale B d un ensemble X est crtque lorsqu l n exste aucune combnason d autres boules maxmales qu recouvre B : { B }, B B : B k k k B k Les boules crtques d un ensemble sont suffsantes pour reconstrure l ensemble 9
Squelette, pett rappel topologque Le squelette est plus smple à manpuler lorsqu on le défnt sur des ensembles ouverts (avec des boules ouvertes) Connexté du squelette Pour les boules crtques, l semble ben que l usage d ensembles fermés sot plus appropré Boules crtques, boules fermés 10
Boules crtques, exstence, uncté Proprété (autre défnton) S B, boule crtque de X, alors l exste au mons un pont x de X qu n est recouvert que par cette boule [snon, tous les ponts de B seraent recouverts par au mons une autre boule et B ne serat pas crtque] Les ponts de X recouverts de façon unque ont de fortes chances d appartenr à la frontère de X [d où l usage des fermés] 11
Boules crtques, exstence, uncté (2) Exstence d un ensemble de boules crtques Etant donné X, ensemble borné et fermé, exste-t-l un ensemble de boules crtques parm les boules maxmales de X? Analyse des ponts-frontère : Ponts agus Pont recouvert par une seule boule maxmale (de rayon nul) Ponts «lsses» Boule maxmale, elle est forcément unque Ponts obtus Pont recouvert par pluseurs boules maxmales Uncté de l ensemble des boules crtques (trval) 12
Boules crtques, défnton dgtale et problèmes Pas d uncté à cause des «boules» de même talle Défnton d une boule crtque dans le cas dgtal : Une boule maxmale dgtale B de talle est crtque s l n exste aucune combnason de boules maxmales B j de talle dfférente de qu recouvre B. B crtque : J = { j,..., j : j } tel que B 1 n k j J B j 13
Quel usage pour les boules crtques? Ensemble crtque X (connexe) est crtque s toutes ses boules maxmales sont crtques X convexe X crtque X «lsse» (sans aspértés) X crtque X crtque ne sgnfe pas forme smple X crtque ne sgnfe pas frontère sans angle rentrant 14
Quel usage pour les boules crtques? Assemblage d ensembles crtques - Partant d ensembles crtques, on peut générer des ensembles non crtques par assemblage (unon) - On a naturellement tendance à voulor décomposer le nouvel ensemble en ses composantes de départ. - Il faut prvléger la mnmalté des composantes connexes et la stablté des boules crtques vs-à-vs de l unon 15
Quel usage pour les boules crtques? Problème nverse -Etant donné un ensemble X, détermner s l est crtque ou non (1 er problème) - S l n est pas crtque, détermner quel est l assemblage mnmal d ensembles connexes crtques permettant de le «décrre» (2 ème problème) S on appelle S c (X) le squelette crtque de X (c est-à-dre le leu des centres des boules crtques), on a : X non crtque X = I X, I mnmal, X crtque avec : S c ( X) = S ( ) c X I 16
Les boules crtques en pratque Ouvert ultme et foncton granulométrque θ = Sup I ( γ γ ) 1 c = arg max 1 ( γ γ ) La foncton granulométrque permet de trer les boules crtques. Assocée à une autre foncton, on peut extrare les centres des boules crtques. Deux étapes : - préservaton des boules maxmales non recouvertes par des boules plus grandes - Préservaton des boules maxmales non recouvertes par des boules plus pettes 17
Ouvert ultme et foncton d étanchété La foncton granulométrque lasse apparentes les boules maxmales qu ne sont pas totalement recouvertes par des boules de plus grande talle. La foncton d étanchété du squelette peut être utlsée pour construre la foncton granulométrque: { x : q( x ) } X = = k X, ndcatrce valuée de X : k k X X ( x ) = s x ( x ) = 0 snon X c = sup ( ( )) δ k X q, foncton d étanchété c, foncton granulométrque 18
Ouvert ultme et foncton duale On peut défnr une foncton «duale» c à partr de l ndcatrce «duale» k X : k' X ( x ) = s x X ; k' ( x ) = + snon X Cette foncton lasse apparentes les boules maxmales qu ne sont pas totalement recouvertes par des boules de plus pette talle: c' = nf ( ( )) ε k' X Les ponts de X recouverts par des boules qu ne sont pas elles-mêmes recouvertes par des boules de talle plus grandes ou plus pettes sont donc recouverts unquement par des boules crtques 19
Extracton du squelette crtque Les ponts x de X recouverts par des boules crtques sont tels que c(x) = c (x). On défnt e = c = c quand c = c. c c Ponts de e 0 Les centres s obtennent en consdérant les ensembles Z et Y : = { x : q( x ) } Y { y : e( y) } = = Z = L ntersecton Z δ et ( Y ) fournt les centres des boules crtques de talle 20
Squelettes crtques dgtaux Ensemble ntal Extncton du squelette Foncton granulométrque Foncton «duale» Centres des boules crtques Centres non crtques 21
Squelettes crtques connexes Le squelette par boules maxmales peut être connecté (par amncssement géodésque) - En vert, squelette crtque S c - En jaune, centre des boules non crtques - En rouge, jonctons Squelette crtque connexe Ensembles crtques (à gauche) et plus grande boule contenue dans chacun d eux (à drote) 22
Usage des boules crtques Utlsaton des boules crtques pour amélorer la défnton des marqueurs dans la segmentaton de roches en tas. Image orgnale Marqueur ntal Reconstructon Centre de Boule crtque Marqueur fnal (boule crtque) 23
Travaux actuels Boules crtques dodécagonales Fltrages sur les boules crtques (boules non crtques solées) Analyse fne des frontères (sectonnement) Noton d ensemble «super-crtque» (X super-crtque s tous ses ouverts sont crtques) Extenson aux mages de grs (par le bas du squelette par cylndres maxmaux sgnfcatfs) 24