Feuille d Exercices : Suites, suite!

ECS 1 Dupuy de Lôme Semaie du 6 décembre 004 Feuille d Exercices : Suites, suite! Exercice 1 : Pour tout etier, o défiit u = 1. Motrez que u est mootoe.. Motrez que v est géométrique. k= 3. E déduire l expressio de v puis de u e foctio de. 4. Quelle est la limite de la suite u? ( π cos k ( π et v = u si. Exercice : O cosidère la suite u défiie par N, u = 4 ( 1. Motrez que u est croissate.. O défiit pour tout N la suite auxiliaire v = l u +1 l u. (a Démotrez que x R +, l(1 + x x. (b E utilisat u développemet télescopique, démotrez que v k 1/8 3. E déduire que u est covergete. Exercice 3 : Exprimez e foctio de les suites défiies par : 1. u 5 = 8 et N, 5, u +1 = u. u 0 = 3 et N, u +1 = u 1 3. u 0 = u 1 = 1 et N, 6u + 5u +1 = u. 4. u 0 = 1, u 1 = et N, u + = u +1 u 5. u 0 = 0, u 1 = 1 et N u + u +1 = u. 6. u 0 > 0, u 1 > 0 et N, u + = u u +1. Exercice 4 : Soiet (u N et (v N les suites réelles défiies par u 0 = 1, v 0 = et les relatios de récurrece : N, u +1 = 3u + v et v +1 = u + 3v. 1. Motrez que la suite (u v N est costate.. Prouvez que (u est ue suite arithmético-géométrique. 3. Exprimez pour tout etier N u et v e foctiio de. Exercice 5 : Soit (u la suite défiie par la doée de so premier terme u 0 = 1 et la relatio de récurrece : N, u +1 = 1 u +. 1. Calculez pour tout etier aturel, u et S = u 0 + u 1 + + u.. E déduire que les suites (u et (S / sot covergetes et détermiez leur(s limite(s. Exercice 6 : Soit u la suite réelle défiie par la doée de so premier terme u 0 = 5 et la relatio de récurrece : N, u +1 = u 1

1. Détermiez ue suite arithmétique v vérifiat la relatio N, v +1 = v. Etudiez la suite w = u v pour e déduire l expressio de u e foctio de. Exercice 7 : Soit (u la suite défiie par u 0 = a R et la relatio de récurrece : N, u +1 = 1 u 1. Soit f : R R la foctio défiie par x R, f(x = 1 x. Détermiez les solutios (α, β R de l équatio (1 f(x = x. Quelles sot les limites possibles de la suite u? Par la suite, o coviet de oter α (resp. β la solutio égative (resp. positive de l équatio (1. 3. O suppose das cette questio que a [0, β[ (a Démotrez que N, u [0, β[ et u +1 ]β, 1]. (b Démotrez que les suites extraites (u et (u +1 sot mootoes. (c E déduire qu elles sot covergetes et précisez leurs limites. (d La suite u est-elle covergete? 4. Etudiez de même le comportemet de la suite u lorsque a ]β, 1], lorsque a < 0 et a > 1. Exercice 8 : O cosidère la suite (u défiie par u 0 = a R \ 1} et la relatio de récurrece : 1. Justifiez que (u est bie défiie. N, u +1 = u + 1 u 1. Etudiez les variatios de la foctio f défiie sur R \ 1} par f(x = x + 1 et le sige de f(x x. x 1 3. O suppose a > 1. Motrez que pour tout etier o ul N, u (1 +. Motrez que la suite est croissate et détermiez sa limite. 4. Etudiez de même le cas où a < 1. Exercice 9 : Soit u la suite défiie par u 0 = et la relatio de récurrece : N, u +1 = u 3 u Das cet exercice ous présetos deux autres méthodes pour démotrer que u coverge. 1. Utilisatio d ue suite auxiliaire : Cosidéros la suite auxiliaire v défiie par N, v = u. 1 u (a Démotrez que v est ue suite géométrique. (b E déduire l expressio de u e foctio de. (c Motrez que u est covergete et précisez sa limite.. Utilisatio d ue iégalité : (a Motrez que la suite u vérifie l iégalité N, u +1 3 u. (b E déduire que u coverge et détermiez sa limite. (c Détermiez u rag 0 à partir duquel tous les termes de la suite sot das l itervalle ouvert ] 10, 10 [.

Exercice 10 : Soiet a > 0 et u 0 > a fixés. O cosidère la suite (u N la suite défiie par la doée de u 0 et la relatio de récurrece : N, u +1 = 1 ( u + a u 1. Démotrez que (u est décroissate et covergete.. Motrez que pour tout etier aturel N, 0 u +1 a (u a a E déduire ue majoratio de u a par ue expressio dépedat de, a et u 0. 3. O premd a = 5 et u 0 =, 4. Détermiez pour que u soit ue valeur approchée de 5 à 10 10 près. Exercice 11 : Séries de Riema 1. O ote pour tout N, S = 1 k. (a Démotrez que m N, S m+1 S m 1 (b E déduire que S est divergete vers +.. Motrez que les suites défiies pour 1 par U = 1 k et V = U + 1 sot adjacetes. ( 1 E déduire que U = k est covergete. 1 3. O cosidère u etier p 3 et la suite (W défiie pour 1 par : W = 1 k p Justifiez que N, W U. E déduire que la suite (W coverge. 3

Exercices supplémetaires Propriétés fodametales des suites covergetes Exercice 1 : Soit θ R, θ 0[π], θ π/[π]. O cosidère les suites c et s défiies pour tout N par c = cos θ et s = si θ. 1. Démotrez que N, max c +1 c, s +1 s } cos θ/. Idicatio : évetuellemet vous pouvez passer e otatio expoetielle.. E déduire que les suites c et s e sot pas simultaémet covergetes. 3. Démotrez que si c coverge, alors s coverge et de même si s coverge, alors c coverge. 4. E déduire fialemet que les suites c et s sot toutes les deux divergetes. Exercice 13 : Soit u ue suite à termes strictemet positifs. O suppose que u est covergete de limite l R. 1. Démotrez que la suite u est aussi covergete de limite l. Idicatio : vous pouvez tout d abord étudier le cas où l = 0.. Démotrez que p, la suite p u est covergete. Exercice 14 : Soit u ue suite à termes strictemet positifs. O suppose que u est covergete de limite l R. 1. Démotrez que la suite u est aussi covergete de limite l. Idicatio : vous pouvez tout d abord étudier le cas où l = 0.. Démotrez que p, la suite p u est covergete. Exercice 15 : Théorème de Cesaro Soit u = (u N ue suite de ombre réels. O lui associe la suite des moyees : v = u 1 + u + + u 1. O suppose que lim u = 0. O motre que lim v = 0 Soit ε > 0 fixé. (a Démotrez qu il existe u rag 1 N tel que ( ( N, 1 u ε (b Soit 1. Démotrez que (c E déduire qu il existe N tel que (d Coclure v u 1 + u + + u 1 1 ( N, ( v ε. Soit l R. O suppose que lim u = l. Motrez que lim v = l 3. Doez u exemple où v coverge mais (u diverge. 4. Soit a telle que : lim (a a 1 = l, où l R. ( a Motrez que lim = l. + ε 4

Exercice 16 : Covergece e moyee Soit (λ ue suite de ombres réels strictemet positifs telle que ( ( u R N, ( l R u l k=0 k=0 λ k.u k k=0 λ k λ k Exercice 17 : Soit α R. Le but de l exercice est d étudier la suite (cos α. +. Motrer que : 1. Supposos que α π.z. Etudier la covergece de (cos α et détermier sa limite évetuelle.. Supposos que α R \ π.z. Motrer que la suite (cos α est divergete. Pour cela, o motrera d abord que la covergece de l ue des deux suites (cos α, (si α etraîe celle de l autre. Puis que la covergece des deux etraîe iue cotradictio. Exercice 18 : Comparaisos Etudiez la covergece des suites défiies par : 1 1. 1, u = + k. 1, u = ( 1 + si 1 Théorèmes de comparaiso 3. Soit x R fixé. O pose 1, u = 1 kx Exercice 19 : Etudier les suites défiies par k! 1. 1, u =!. Idicatio : motrer que m N, m k! (m + 1!.. 1, u = E( ( + 1 E ( ( 1. Suites mootoes Exercice 0 : A toute suite réelle borée (u o associe les deux suites réelles (v et (w défiies par : v = if N, p u p = ifu, u +1,...} w = sup p u p = supu, u +1,...}. 1. Motrer que (v est croissate et majorée et que (w est décroissate et miorée. E déduire que les lim if u = lim suites (u et w coverget. O ote : v lim sup u = lim w.. Motrer que : l. u coverge si et seulemet si lim if u = lim sup u. et das ce cas, lim u = lim if u = lim sup u. 3. Démotrer qu il existe des suites extraites de u ṽ et w qui coverget respectivemet vers lim if u et lim sup u. Suites adjacetes Exercice 1 : Soit 0 < a < b. O défiit deux suites (a et (b par Motrer que les suites (a et (b sot adjacetes. a 0 = a, b 0 = b, a +1 = a b, b +1 = a + b 5

Exercice : Soit (a, b R + R +. Eocez et démotrez ue coditio écessaire et suffisate pour que les suites (u et v défiies par les relatios de récurrece soiet adjacetes. Précisez leur limite commue. u +1 = a + bu et v +1 = a + bv Exercice 3 : Soiet 0 < a < b deux ombres réels fixés. Pour tout (λ, µ R + R + o défiit les suites imbriquées u et v par : u1 = a et v 1 = b 1. Vérifiez que u 1 < u < v < v 1? N, u +1 = u+λv 1+λ et v +1 = u+µv 1+µ. Démotrez que u et v sot adjacetes. Coclure à la covergece de ces suites. 3. O défiit la suite t par t = (1 + λu + λ(1 + µv. Motrez que la suite t est costate. E déduire la limite de u et de v. Exercice 4 : Soit 0 < b < a. O cosidère les suites imbriquées défiies par u 0 = a v 0 = b N u +1 = u+v u v. v +1 = u +v 1. Démotrez par récurrece que N, v < u.. Démotrez que v est croissate et que u est décroissate. 3. (a Vérifiez que N, 0 < u +1 v +1 < 1 (u v (b E déduire que les suites u et v sot adjacetes. 4. Détermiez la limite commue des suites u et v. Suites particulières Exercice 5 : Soit u la suite défiie par u0 = 1 N, u +1 = 3u 1 O pose pour tout N, v = u. 1. Motrez que v est ue suite arithmético-géométrique.. Exprimez v e foctio de. 3. E déduire l expressio de u e foctio de. Exercice 6 : Soiet u et v les suites défiies par les coditios iitiales u 0 = 1, v 0 = et les relatios de récurrece u+1 = 1 N 4 (u + 3v v +1 = 1 4 (3u + v 1. O défiit les suites a et b par : N, a = u + v et b = u v. Vérifiez que a et b sot des suites géométriques.. E déduire l expressio de u et v e foctio de. Exercice 7 : Exprimez e foctio de le terme gééral des suites défiies par : 1. u 0 = 1, u 1 = et N, u + = u +1 u.. u 0 = u 1 = 1 et N, u + = u +1 4u. 3. u 0 = 1, u 1 = et N, u + = 4u +1 4u. 6

Exercice 8 : O cosidère la suite u défiie par u0 = 1 N, u +1 = u. Exprimer u e foctio de. Détermiez le comportemet asymptotique de u. Suites récurretes Exercice 9 : Soit u ue suite vérifiat la relatio de récurrece 1. Démotrez que la suite est divergete. N, u +1 = u + 1 u. Démotrez que la suite u est divergete vers +. Exercice 30 : Soit u la suite défiie par u 0 = et N, u +1 = u 3 u. Trois méthodes pour motrer que u est covergete et détermier sa limite. 1. Cosidéros la suite auxilliaire v défiie par N, v = u 1 u. Motrer que v est ue suite géométrique. E déduire l expressio de u e foctio de puis démotrer que u coverge et préciser sa limite.. Motrer que u est majorée par 0. u est-elle mootoe? Coclure à la covergece de u et détermier sa limite. 3. Motrer que N, u +1 3 u E déduire que u coverge et détermier sa limite. 4. Détermier u rag à partir duquel tous les termes de la suites sot das l itervalle [ 10, 10 ]. Exercice 31 : Soit u la suite défiie par u 0 = a R + et la relatio : N, u +1 = 3 + u (1 + u 1. Motrez que u est strictemet positive et bie défiie.. Exprimez u +1 1 e foctio de u 1. E déduire que ( 1 3. Motrez que N, u 1 a 1. 4. E déduire le comportemet asymptotique de u. N, u +1 1 1 u 1 Exercice 3 : Etudiez la suite défiie par la doée de u 0 R et la relatio de récurrece : N u +1 = 1 + u Exercice 33 : Etudiez la suite défiie par la doée de u 0 R et la relatio de récurrece : N u +1 = (1 + u 4 Exercice 34 : Etudiez la suite défiie par la doée de u 0 R + et la relatio de récurrece : N u +1 = u3 + 3u 3u + 1 Exercice 35 : Etudiez la suite défiie par la doée de u 0 > 1 et la relatio de récurrece : N u +1 = l(1 + u 7

Exercice 36 : Etudiez la suite défiie par la doée de u 0 R et la relatio de récurrece : N u +1 = si(u Exercice 37 : Etudiez la suite défiie par la doée de u 0 R et la relatio de récurrece : N u +1 = u3 + 1 3 Exercice 38 : Soit f : R R ue foctio strictemet cotractate das le ses qu il existe ue costate k ]0, 1[ telle que : (x, y R, f(x f(y k x y 1. Motrez que l applicatio x f(x x réalise ue bijectio de R sur R. E déduire que f admet u uique poit fixe l.. Motrez que pour tout réel a, la suite (u défiie par u 0 = a et la relatio de récurrece coverge vers l. N, u +1 = f(u Séries Exercice 39 : Soit (a ue suite de ombres réels. O défiit la suite S par S est appelée la suite des sommes partielles. N, S = 1. Démotrez que si S est covergete, alors (a est covergete de limite ulle. Que dire de la réciproque?. O suppose das cette questio que (a = ( 1 b, où (b est ue suite décroissate de limite ulle. Plus précisémet, o étudie la suite S = ( 1 k b k k=0 k=0 (a Démotrez que les suites (S et (S +1 sot adjacetes. (b E déduire que S est covergete. (c Notos l = lim S. Démotrez l ecadremet S l a +1 a k 8