Collèg Saint-Lambrt (Hrstal) Décmbr 206 Profssur : H.-M. Ngun NOM : Prénom : Classs : 6 GTA BILAN DE MATHEMATIQUE (math 4h/sm) èr PARTIE (duré : h0) CALCULATRICE NON-AUTORISEE! EXPLICITER LES SAVOIRS ET LES PROCEDURES. a) Complèt (sur l qustionnair) log a ( ) = t démontr (sur ta fuill) n justifiant chaqu étap, t n précisant ls nsmbls. b) Déduis-n la valur d log ( 9 4 ), si tu sais qu log 2 0,6. 2. Q.C.M : Entour la bonn répons (détails sur fuill séparé) : bonn répons : +,5 mauvais répons : -0,5 abstntion : 0 ) L prssion analtiqu d la réciproqu d 2 st f ( ) f ( ) 2 ( ) 2 f f ( ) 2 f ( ) 2 2) Lim 6 = 0-6 ) Si alors Im f = f ( ) 8 R 0 R R autr solution 0
4) L graphiqu d la fonction f() = 7 + rncontr l a OY au point (0,) (0,7) (,0) autr point 5) L sign d la dérivé d f 4 ) ( st positif négatif f () = 6) 2 = ² 2 ² 7) Si l cofficint d corrélation r ntr 2 variabls statistiqus vaut = 0,95, cla signifi : qu il ist un rlation causal très probabl ntr ls du variabls ; qu ls du variabls sont très fortmnt liés ; qu ls du variabls sont très faiblmnt liés ; aucun d cs réponss 8) La solution d 0 0 st ln log log 0 autr 5 9) Log 00-50 2 5-0 0, 5 0) Lim = 0 2 ) La dérivé d f ( ) ln st égal à 2 ln 2 ln 6 ln 2 ln Bilan d mathématiqu (6GT 4h/sm.) Collèg Saint-Lambrt Décmbr 206 2
2) log 2 ( ) 8 8,585 autr solution ) Si f ( ) log ( 2 ), alors (2) 4 f 2 4 2 4) Si f ( ), alors imf 0,,,. Connaissant l allur ds fonctions d référnc, donn ls valurs suivants : Lim 5 = log 0,5 0,25= log π = log /4 9/6= ln 0 = 4. L graphiqu suivant st-il clui d un fonction ponntill ou logarithm? Qull st la bas? 0 Bilan d mathématiqu (6GT 4h/sm.) Collèg Saint-Lambrt Décmbr 206
5. a) Trac au craon l graphiqu 0 b) Trouv l équation d la tangnt au graphiqu d f ( ) 2 au point d absciss 0. c) Dssin f() t trac la tangnt à f() au point d absciss 0 6. Trouv l domain d f ( ) ln 7. Calcul ls dérivés ds fonctions suivants : ) f() = log 0,5 (2 4 + 7) 2) f() = 4 2 2 ) f() = ( 2 4) 4) f() =. ln 5) f() = 2 Bilan d mathématiqu (6GT 4h/sm.) Collèg Saint-Lambrt Décmbr 206 4
2 èm PARTIE (duré : 40min) CALCULATRICE NON-AUTORISEE! 8. a) A l aid ds manipulations (précis chaqu étap : équation - coordonnés - manipulations graphiqus), idntifi parmi ls graphiqus suivants clui d f ( ) ( 2 ) 0 0 0 0 b) Pourquoi put-on affirmr qu la réciproqu d f sra un fonction? Justifi graphiqumnt. c) Put-on prévoir l domain d ctt réciproqu d) En suivant la procédur vu n class, f? Pourquoi? Détrmin-l. trac n vrt (sur l qustionnair) l graphiqu d ctt réciproqu, l plus précisémnt possibl la réciproqu st-ll un fonction? A quoi pu-tu l voir mathématiqumnt? Bilan d mathématiqu (6GT 4h/sm.) Collèg Saint-Lambrt Décmbr 206 5
) A l aid du graphiqu, complèt sur l qustionnair : i. donn l(s) zéro(s) d f :.. ii. lim f ( ).. iii. qull st la natur (AH-AV-AO) d l asmptot au graphiqu d f?.. iv. donn l équation d l asmptot :. v. traduis l istnc d ctt asmptot n langag d limits:. BONUS Trouv analtiqumnt l équation d la réciproqu. 9. Calcul l plus rapidmnt possibl dom f si f ( ) 4 5 Bilan d mathématiqu (6GT 4h/sm.) Collèg Saint-Lambrt Décmbr 206 6
èm PARTIE (duré : h0) CALCULATRICE AUTORISEE 0. L mur d un habitation st constitué d un couch d béton t d un couch d polstrèn d épaissur variabl (n cm). On a msuré la résistanc thrmiqu R d c mur pour divrss valurs d, t on a obtnu ls résultats suivants : 6. 7.2 4.8 R.92.49.9 a) Sachant qu ls coordonnés du point mon sont (5,875 ;,605), rtrouvr ls valurs manquants. b) Du documnts différnts modélisnt ctt rlation par ls droits d ajustmnt suivants : R = 0,9 + 0,5 R 2 = 0,24 + 0,25 i) Qul documnt présnt l millur ajustmnt, au vu ds donnés? ii) Calcul la droit d ajustmnt par la méthod d Mar.. Soit du variabls statistiqus dont on étudi l lin. i) Qu signifi un cofficint d corrélation linéair d 0,? ii) Cs du variabls puvnt-lls présntr un rlation d dépndanc si l cofficint d corrélation st nul? Epliqu n qulqus mots. 2. Si l cofficint d corrélation r ntr 2 variabls statistiqus vaut r =. Qu pu-tu n déduir? Cla signifi-t-il qu il a un lin d causalité ntr cs du variabls? Epliqu. Discut d la signification du sign négatif d r.. Voici ls résultats du nombr d nuités résrvés dans un ptit hôtl par rapport à la vnt d parapluis au magasin d l hôtl pour différnts mois d l anné : X=Vnt d parapluis Y=Nombr d nuités 9 7 2 5 27 4 24 9 La droit d régrssion a pour équation =,64 + 4, t l cofficint d corrélation linéair vaut r = 0,92. a) Estim l nombr d nuités d l hôtl si 7 parapluis sont vndus c mois-ci. Commnt pu-tu pliqur la différnc avc l nombr d nuités corrspondants dans l tablau? b) Estim l nombr d vnts d parapluis si on vut spérr 0 nuités résrvés c mois-ci. c) Ts prévisions par ct ajustmnt affin sont-lls fiabls? Pourquoi? Bilan d mathématiqu (6GT 4h/sm.) Collèg Saint-Lambrt Décmbr 206 7
4. Parasits mutants Un scintifiqu visit un villag rculé t découvr un étrang maladi qui affct ls villagois qui rssmblnt d plus n plus à ds zombis. Il prélèv un échantillon d sang d un malad t cours pour i) mttr n cultur l parasit t ii) sauvr sa pau! Il stim l nombr d parasits égal à 000 dans l échantillon d départ, mais il rmarqu qu après 5 min, la population d parasits a déjà doublé! Si la population doubl ffctivmnt tous ls quarts d hur, a) Modélis la fonction qui décrit l nombr d parasits n fonction du tmps. b) Combin aura-t-il d parasits après 2h? après h0? c) Combin faudra-t-il d tmps avant d attindr l milliard d parasits? (arrondis au quart d hur près). 5. Importation Au XIX siècl, on importa ds lapins n Australi. Sans prédatur, lur population augmnta rapidmnt comm l montr l tablau suivant On t dmand : Annés Nombr d lapins (n millirs) 865 65 867 2 502 869 962 87 707 208 a) A partir du tablau, d justifir pourquoi un modèl ponntil st adéquat. b) D détrminr un fonction L (t ) qui prim l nombr d lapins t annés après 865. c) Avc la fonction qu tu as détrminé, d calculr l nombr d lapins présnts sur l continnt n 872. 6. RADIOACTIVITE Un substanc radioactiv st un substanc qui prd spontanémnt un parti d sa mass n émttant ds particuls ou ds raonnmnts élctromagnétiqus. On appll dmi-vi ou périod d un substanc radioactiv l tmps nécssair pour qu la moitié d un échantillon donné s désintègr. On sait qu la périod du sodium 24 st d 5 hurs. On dispos d un échantillon d 4 gramms d sodium 24. Combin n rst-t-il après 60 hurs? Après t hurs? 7. Un nouvau vaissau spatial La NASA vut nvor un nouvau vaissau spatial habité sur Mars. On sait qu l énrgi cinétiqu du vaissau vaut : E = 2 mv2. i) On aimrait connaîtr la vitss du vaissau primé n fonction d l énrgi cinétiqu. Qull st ctt prssion? ii) Si la mass du vaissau st d 20 tonns, t qu l énrgi cinétiqu du vaissau n put pas dépassr,4.0 2 J, qull sra la vitss maimal qu put attindr l vaissau? Srs-toi d l prssion défini n i) pour fair l calcul. Bilan d mathématiqu (6GT 4h/sm.) Collèg Saint-Lambrt Décmbr 206 8