Les Univers Viruels de la Finance Viruel Worlds of Finance ierre Devolder 1 Résumé. La mesure neure au risque es devenue une noion cenrale en finance moderne: elle s obien par changemen de mesure de probabilié par rappor à l univers réel donnan ainsi naissance à un univers viruel dans lequel les acifs on ous un rendemen moyen correspondan au aux sans risque. Elle peu égalemen s inerpréer comme un changemen de numéraire: les acifs son exprimés dans une nouvelle monnaie en uniés de ire sans risque. Ce changemen de mesure de probabilié perme la arificaion direce de nombreux insrumens financiers; l applicaion à la arificaion des obligaions zéro-coupons sera donnée à ire d exemple classique. L univers neure au risque ne consiue néanmoins pas une soluion universelle à ous les problèmes de arificaion: nous présenons à ire d exemple les opions sur zéro-coupon où les corrélaions évidenes enre les aux sans risque e les prix des zéro-coupons ne permeen pas l uilisaion praique de la mesure neure au risque. Il convien alors de faire un nouveau changemen d univers e passer de la mesure neure au risque à la mesure forward-neure; cee dernière peu égalemen se définir en erme de nouveau numéraire: les acifs son cee fois exprimés en uniés d un zéro-coupon d échéance fixée. Nous monrons commen ce ouil perme d obenir une formule explicie simple du prix d une opion sur zéro-coupon don par ailleurs la forme ne sera pas sans rappeler la célèbre formule de Black e Scholes uilisée pour les opions sur acions. Absrac. Risk-neural measure is a cenral opic in modern heory of finance; i can be obained by a change of he probabiliy measure wih respec o he real world, creaing so a new universe where all he asses have he same mean reurn equal o he risk free rae. I can be also inerpreed as a change of numéraire: he asses are expressed in a new currency corresponding o he risk free rae. This change of measure gives he possibiliy of direc pricing of many financial producs: he applicaion o he pricing of zero-coupon bonds is given as example. Neverheless he risk-neural universe is no always suiable for all problems of pricing; he case of opion on zero-coupon bonds is given counerexample. The correlaion beween he risk free rae and he price of zero-coupon bonds do no pracically allow o use he echnique of risk-neural measure. We mus hen proceed o a new change of probabiliy measure and go from he risk-neural world o he forward risk-neural 1 AXA Royale Belge, Universié Libre de Bruxelles, Universié Caholique de Louvain, e-mail: pierre.devolder@axa-royalebelge.be world; an inerpreaion can again be given in erms of new currency: he asses are now expressed in uniy of a zero-coupon bond of fixed mauriy. This powerful ool permis o give an explici form of he price of an opion on zero-coupon bond; he form of his price has he same srucure as he classical formula of Black and Scholes for opions on equiy. Mos-clés: mesure neure risque, mesure forward neure, zéro-coupons, opions sur zéro-coupons Keywords: risk-neural measure, forward risk-neural measure, zero-coupon bonds, opions on zero-coupon bonds 1 Inroducion Les echniques acuarielles classiques de calcul des primes son oujours basées sur des raisonnemens d espérance mahémaique des flux acualisés; on peu penser dans ce conexe au calcul radiionnel des primes en assurance vie basé sur un aux d escompe e une able de moralié censée refléer l espérance du risque de moralié. On peu égalemen se référer au calcul de la prime pure en assurance non vie. La jusificaion sous-jacene es bien enendu la référence à la loi des grands nombres, la couverure d un grand nombre de risques de même naure auorisan le passage à la moyenne Lorsque, pluô que de s inéresser à des risques classiques d assurance, on se ourne vers les risques des marchés financiers e qu on essaie de arifer des produis don l aléa es cee fois indicé sur le chaos des marchés financiers on comprend sans peine que les règles de compensaion enre risques ne jouen plus: les mouvemens financiers son des phénomènes qui ouchen simulanémen ou un marché e ne rouven pas à êre modélisés par la loi des grands nombres. La quesion es alors de savoir quelle méhodologie uiliser dans la arificaion de els risques omniprésens dans le monde financier conemporain e que les acuaires son de plus en plus amenés à inégrer dans leurs préoccupaions. Le résula fondamenal de la finance moderne es que curieusemen on peu oujours uiliser des echniques d espérance mahémaique mais en ayan pris au préalable la précauion de changer la mesure de probabilié du risque considéré. Il s agi donc d une ceraine manière de passer à un univers viruel don les éas du monde son ideniques à ceux du monde réel mais où la mesure de leur probabilié es modifiée. c BELGIAN ACTUARIAL BULLETIN, Vol. 1, No. 1, 21
On comprend donc ainsi l imporance des méhodes de changemen de mesure de probabilié dans la arificaion des insrumens financiers. Elles permeen d exprimer direcemen le prix d un insrumen financier sous la forme d une espérance mahémaique adéquae. Qu il s agisse d opions ou d obligaions, la echnique perme d obenir des formules explicies. On peu cier dans ce cadre, en opion sur acions la célèbre formule de Black e Scholes, ou encore la formule de VASICEK dans la arificaion des zéro-coupons. Un el premier changemen de mesure donne naissance à un premier monde viruel,l univers neure au risque, dans lesquels les insrumens financiers acualisés se comporen comme des maringales. Nous décrirons au paragraphe 2, ce univers neure au risque en nous plaçan dans le cadre d un modèle de zéro-coupons à une variable d éa. Le paragraphe 3 monrera commen cee noion perme de arifer expliciemen la srucure des prix des zéro-coupons dans le cadre du célèbre modèle de Vasicek. Un second changemen de mesure de probabilié se révèle néanmoins uile dans cerains problèmes de arificaion où il y a corrélaion enre le sous-jacen e la srucure des aux d inérê; on inrodui dans ce bu la noion de mesure forward neure, débouchan ainsi sur un second monde viruel, expliciée au paragraphe 4. Le paragraphe 5 monrera commen ce ouil puissan perme de résoudre la arificaion des opions sur zérocoupons, là où la méhode classique neure au risque échoue. 2 L univers neure au risque La noion de mesure neure au risque s es révélée jouer un rôle cenral quoique à première vue caché dans l évaluaion des acifs financiers. Comme son nom le suggère, la noion de mesure neure au risque repose sur deux conceps: celui de mesure: la mesure neure au risque sera une mesure de probabilié pariculière sur l espace de base (Ω, F) censé modéliser les aléas du marché financier. Il s agi donc d une mesure alernaive à la mesure réelle de probabilié, donnan ainsi naissance à un univers viruel où les éas du monde ne son pas modifiés mais où les probabiliés correspondanes en son modifiées. Au niveau mahémaique, la méhode s apparenera à un changemen de mesure de probabilié sur un espace probabilisable (le héorème de GIRSANOV consiuan en l espèce l ouil cenral). celui de neuralié au risque: l univers financier viruel auquel donne naissance la mesure neure au risque es basé sur une neuralié des différens insrumens financiers visà-vis du risque; ils se comporeron ous en moyenne comme l acif sans risque. Cee noion peu se développer qu il s agisse de modèles d évaluaion d opion ou de modèles de srucure de aux d inérê. Nous avons choisi ci-dessous d illusrer le concep dans le cadre de la arificaion des obligaions zéro-coupons. Nous nous placerons dans le cadre général d un modèle d arbirage à une variable d éa. Nous définissons les processus sochasiques suivans définis sur l espace de probabilié (Ω, F, ): 1. (, s, ω);, s, s, T, ω Ω, représenan le prix en d une obligaion zéro-coupon échéan à l insan s (c es-à-dire la valeur acuelle en d une unié monéaire payable à l insan fuur s). 2. R(, s, ω);, s, s, T, ω Ω, représenan le processus rendemen au emps de cee obligaion: (, s, ω) = e (s)r(;s,ω) 3. le aux spo défini par: r(, ω) = lim θ R(, + θ, ω) e jouan le rôle de variable d éa explicaive du modèle (aux insanané sans risque). Auremen di, une fois connu ce processus, oue la srucure des prix en découle. Nous pourrons donc écrire: (, s, ω) = (, s, r(, ω)) = (, s, r) Nous supposerons de plus que ce processus spo es soluion d une équaion différenielle sochasique: dr() = f(, r())d + ρ(, r())dw() (1) où w(, ω);, T, ω Ω es un mouvemen brownien sandard; e f e ρ son deux foncions de deux variables réelles. Grâce à la formule de ITO, le processus adme égalemen une différenielle sochasique donnée par: d (, s, r) = (, s, r)µ(, s, r)d (, s, r)σ(, s, r)dw() où 1 µ(, s, r) = (, s, r) + f(, r) r + 1 2 ρ2 (, r) 2 r 2 (, s, r) (3) 1 σ(, s, r) = (, s, r) ρ(, r) (, s, r) r On peu d aure par monrer par un raisonnemen d arbirage que le quoien suivan es indépendan de la maurié du zérocoupon: µ(, s, r) r σ(, s, r) (2) = λ(, r) (4) Cee variable λ es appelée prix du risque de marché. En vue d inroduire la mesure neure au risque, il conviendrai de subsiuer dans l équaion (2) de comporemen du prix du zéro-coupon, au rendemen insanané moyen µ, le aux sans risque r. Tenan compe de la relaion (4) enre µ e r, il vien: d (, s, r) = (, sr)µ(, s, r)d (, s, r)σ(, s, r)dw() = (, s, r) r() + λ(, r)σ(, s, r) d (, s, r)σ(, s, r)dw() = (, s, r)r()d (, s, r)σ(, s, r)(dw() λ(, r)d) 11
Finalemen d = (, s, r)r()d (, s, r)σ(, s, r)dŵ() (5) avec ŵ() = w() λ(u, r)du. Cee dernière relaion d évoluion du prix a la même forme que celle dans le monde réel (cf. comparer (5) e (2) y compris le même coefficien de volailié σ(, s, r) à la différence près que: 1. le aux de rendemen moyen du zéro-coupon es remplacé par le aux sans risque r 2. le nouveau processus de brui w n es hélas plus un mouvemen brownien sous la mesure L inroducion de la mesure neure au risque, noée Q, a précisémen pour obje de ransformer ce processus w es un mouvemen brownien. ar le héorème de Girsanov, on sai que le processus w es un mouvemen brownien sur, T par rappor à la mesure modifiée Q définie par: Q(B) = Ψ(ω)d (ω) (B F) B où Ψ es la variable aléaoire donnée par: ( T Ψ = exp λ(u, r)dw(u) 1 ) T λ 2 (u, r)du 2 On peu en déduire en pariculier que sous Q, ous les zérocoupons on un rendemen moyen équivalen au aux sans risque (aux SOT): d E Q = r()d (7) On peu dire d une manière alernaive que le processus obenu en prenan la valeur acuelle au aux spo du prix du zéro-coupon es une maringale sous Q (c es la raison pour laquelle on parle parfois de mesure maringale). Noons pour ce: (, s) = (, s) exp On a donc par (7) pour s: (6) (8) E Q (, s) = (, s) (9) où EX représenera par abus de noaion l espérance condiionnelle de la variable X par rappor à l informaion disponible à l insan. En pariculier, en prenan = e = s, il vien (, s) = (, s) exp = E Q (s, s) exp = E Q (s, s) exp exp On a donc (, s) = E Q (s, s) exp or (s, s) = 1 (puisqu il s agi de la valeur à maurié d un zéro-coupon) e donc (, s) = E Q exp (1) Cee dernière relaion fondamenale iniie une voie alernaive fondamenale de arificaion des insrumens financiers: elle indique que sous la mesure neure au risque, le prix d un insrumen peu direcemen s obenir comme l espérance mahémaique acualisée de sa valeur fuure. Le passage à la mesure neure au risque peu égalemen s inerpréer comme un changemen de numéraire (changemen d unié monéaire). L applicaion successive des formules (8) e (9) perme de visualiser ce fai: changemen de numéraire (formule (8)): au cours iniial de l obligaion (, s), es subsiué un cours (, s) exprimé en unié de compe d un acif de capialisaion au aux insanané r (placemen coninu au aux spo). maringale (formule (9)): après cee modificaion de numéraire, le changemen de mesure de probabilié condui à la propriéé de maringale. 3 Applicaion à la arificaion des zéro-coupons Monrons sur un exemple de srucure (modèle de Vasicek) commen cee méhodologie perme une arificaion immédiae des zéro-coupons. On s inéressera pour ce au modèle pariculier suivan où le prix du risque de marché es consan e le processus aux spo sui un processus d Ornsein- Uhlenbeck: λ(, r) = λ > (λ R + ) dr() = a(b r())d + ρdw() (11) où a, b e ρ son des consanes réelles sricemen posiives e a représene la force de rappel vers un aux asympoique b. La soluion de l équaion différenielle sochasique (11) peu êre obenue expliciemen. our ce, effecuons le changemen de variable suivan: En différencian, il vien: ϕ() = e a r() dϕ() = e a dr() + ae a r()d = e a a(b r())d + ρdw() + ae a r()d Cee dernière expression auorise une inégraion direce: ϕ() ϕ() = b(e a 1) + ρ e as dw(s) 12
En revenan à la variable iniiale r, on a: r()e a r() = b(e a 1) + ρ e finalemen: e as dw(s) r() = r()e a + b(1 e a ) + ρe a e as dw(s) (12) Cee dernière formule exprime bien le caracère dynamique de la modélisaion: les 2 premiers ermes reflèen une moyenne pondérée, variable dans le emps, enre le aux iniial r() e le aux asympoique b. le roisième erme es la perurbaion aléaoire. Les momens des deux premiers ordres son donnés par: Er() = r()e a + b(1 e a ) Varr() = Var ρe a e as dw(s) = ρ 2 e 2a Var = ρ 2 e 2a e 2as ds e as dw(s) Voyons à présen commen l équaion d évoluion (11) peu s écrire dans l univers neure au risque. Tenan compe de (5) e de la consance de λ dans ce modèle, il vien: ou dr() = a(b r())d + ρdw() = a(b r())d + ρd w() + ρλd dr() = a (b + ρ λa ) r() d + ρd w() (13) La srucure de cee équaion dans l univers neure au risque es comparable à celle dans l univers réel ((13) versus (11)), si ce n es que la consane b devien b + ρ λ a = θ. En pariculier, on peu uiliser la soluion explicie (12) vue précédemmen: ( r() = r()e a + b + ρ λ ) (1 e a ) a (14) + ρe a e as d w(s) Nore objecif, dans ce modèle, es d obenir une forme explicie de la srucure des prix des zéro-coupons. Nous allons pour ce exploier direcemen dans l univers neure au risque la formule de arificaion (1): (, s) = E Q exp Nous nous inéressons à la srucure iniiale (, s) (la méhodologie éan comparable pour un insan d observaion ulérieur). osons pour ce: e Il vien: U(, s) = = U(, s) = B(s) = 1 eas. a r()e au + aθb(u) u + ρ e a(uv) d w(v) du r()e au du + + ρ u aθb(u)du e a(uv) d w(v)du En changean l ordre d inégraion dans la dernière inégrale, on a: U(, s) = (r() θ) + ρ = (r() θ)b(s) + θs + ρ v e au du + θs e a(uv) dud w(v) ea(sv) 1 d w(v) a = (r() θ)b(s) + θs + ρ B(s v)d w(v) en pariculier, U adme une disribuion normale sous la mesure Q. Or, (, s) = E Q expu(, s). La variable U éan disribuée normalemen, la variable expu es disribuée log-normalemen. Or on sai que si X es une variable normale de moyenne a e de variance b 2, la variable Y = expx es disribuée log-normalemen e adme une moyenne donnée par: Il en résule: EY = e a+ 1 2 b2 (, s) = exp E Q U(, s) + 1 2 Var QU(, s) 13
Or, on a successivemen: E Q U(, s) = (r() θ)b(s) + θs Var Q U(, s) = Var ρ B(s v)d w(v) = ρ 2 B 2 (s v)dv ( ) 1 e = ρ 2 a(sv) 2 dv a = s ρ2 a 2 + 1 e2as 2 1 eas 2a a = ρ2 2as e 2as 2a 3 + 4e as 3 On a donc finalemen: (, s) = exp E Q U(, s) + 1 2 Var QU(, s) = exp (r() θ)b(s) θs (15) + σ 4a 3 (2as e2as + 4e as 3) On obien donc ainsi expliciemen la srucure des prix dans ce modèle. 4 L univers forward neure L univers neure au risque nous a permis de développer une formule direce de valorisaion des insrumens financiers. D une manière générale, si X es un insrumen financier, la formule (1) nous incie à écrire sous la mesure neure: X() = E Q X(s) exp (16) Cee approche nous a permis avec succès d obenir la forme des prix des zéro-coupons (paragraphe 3). Cee formule (16) peu néanmoins parfois s avérer beaucoup plus difficile à exploier, ou pariculièremen lorsque X(s) devien aléaoire e corrélé à la srucure des aux sans risque r; dans ce cas, on a à calculer une espérance d un produi qui souven en praique se révèle inexploiable. Face à cee difficulé, le passage de l univers risque neure à l univers forward neure perme de conourner le problème; pour ce, il s agi d une ceraine façon de sorir le coefficien d acualisaion de l espérance. Schémaiquemen on a donc: dans l univers neure au risque: prix = espérance(payoff) acualisaion dans l univers forward neure: prix = acualisaion espérance(payoff) Techniquemen, il s agira d opérer un nouveau changemen de probabilié: Q Q f univers réel univers neure au risque univers forward-neure Le coefficien d acualisaion ainsi sori de l espérance doi donc êre un élémen observable à l insan d évaluaion; il ne pourra en pariculier enir compe des aux spos fuurs comme dans l univers neure au risque. Le coefficien d acualisaion naurel auquel on peu penser dans ce conexe sera précisémen donné par la srucure des zéro-coupons. La formule alernaive à la formule (16) dans ce univers forward neure serai donc: X() = (, s)e Qf X(s) (17) Monrons à nouveau dans le cadre du modèle d arbirage à une variable d éa présené au paragraphe 2, commen cee mesure forward neure peu êre inroduie, jusifian ainsi la relaion (17) qui s avérera une voie alernaive adéquae pour des insrumens financiers complexes comme des opions sur zéro-coupons (voir paragraphe 5 ci-dessous). arons pour ce des équaions d évoluion (2) e (5) des prix dans l univers réel e dans l univers neure au risque: e d = µ(, s, r)d σ(, s, r)dw() d = r()d σ(, s, r)d w() Nous avons vu que le passage à l univers neure au risque peu êre synhéisé par la ransformaion du processus prix en un processus prix acualisé défini à parir des aux spos (cf. (8)): (, s) (, s) = (18) exp le processus devenan une maringale sous Q (cf. (9)). luô que d uiliser cee version acualisée du prix à l aide de aux spo, l univers forward neure consise à uiliser une acualisaion par un zéro-coupon d échéance fuure f donnée (avec < f < s). (, s, f) = (, s) (, f) (19) Ce processus représene donc cee fois le prix en d un zéro-coupon de maurié s, exprimé en nombre de pars d un zéro-coupon d échéance inermédiaire f. On consae en pariculier qu il s agi cee fois d une famille à un paramère de ransformées. Il exisera donc auan d univers forward neure que d insan inermédiaire f. Une fois cee ransformaion opérée, voyons si l on peu comme dans la méhodologie risque neure opérer un changemen de mesure de probabilié sous laquelle le processus 14
devien une maringale. L équaion d évoluion (5) du prix dans l univers risque neure, peu s écrire: (, s) = (, s) exp σ(u, s, r)d w(u) 1 (2) σ 2 (u, s, r)du 2 Voyons si l on peu obenir la même srucure pour le processus forward (, s, f). On a: (, s, f) = (, s) (, f) = (, s)e σ(u,s,r)d w(u) 1 2 (, f)e σ(u,f,r)d w(u) 1 2 σ2 (u,f,r)du = (, s, f) exp (σ(u, s, r) σ(u, f, r))d w(u) 1 2 (σ 2 (u, s, r) σ 2 (u, f, r))du σ2 (u,s,r)du (21) La relaion (21) diffère de la relaion (2) en ce que le carré de la volailié n apparaî pas dans la dernière inégrale de (21). Modifions donc (21) en ce sens: (, s; f) = = (, s; f) exp (σ(u, s, r) σ(u, f, r))d w(u) 1 σ(u, s, r) σ(u, f, r) 2 du 2 + 1 (2σ 2 (u, f, r) 2σ(u, s, r)σ(u, f, r))du 2 = (, s; f) exp (σ(u, s, r) σ(u, f, r))d w(u) 1 2 σ(u, s, r) σ(u, f, r) 2 du σ(u, f, r)σ(u, s, r) σ(u, f, r)du = (, s; f) exp + σ(u, f, r)du 1 2 (σ(u, s, r) σ(u, f, r))d w(u) (σ(u, s, r) σ(u, f, r)) 2 du (22) La relaion (22) es bien cee fois de la même srucure que (2) e condui naurellemen à un nouveau changemen de mesure de probabilié. osons pour ce: d w f (u) = d w(u) + σ(u, f, r)du (23) = dw(u) λ(u)du + σ(u, f, r)du = dw(u) (λ(u) σ(u, f, r))du On inrodui donc la mesure forward neure Q f sous laquelle cee fois c es le processus w f qui devien un mouvemen brownien. De la relaion (22), il résule que: d (u) = (σ(u, s, r) σ(u, f, r))d w f (u) e le processus es devenu une maringale sous cee mesure forward neure Q f. L équivalen de la relaion (9) obenue en risque neure (propriéé de maringale du prix modifié) devien, pour u v f s: E Qf (v, s; f) u = (u, s; f) En pariculier en prenan u = e v = f, il vien: (, s) (, s; f) = (, f) = E Qf (f, s; f) (f, s) = E Qf (f, f) On a donc finalemen en univers forward neure la forme suivane: (, s) = (, f)e Qf (f, s) (24) Sous la mesure forward neure le prix d un insrumen peu ainsi s obenir comme le produi de l espérance mahémaique non acualisée de sa valeur fuure, par le prix d un zérocoupon. D une manière générale, si on s inéresse à d aures acifs financiers que des zéro-coupons, ayan une équaion d évoluion comparable (dans le monde réel): on pourra écrire: ds S () = µ(, s, r)d σ2 (, s, r)dw(), dans l univers neure au risque ( < f): S(f) S() = E Q exp dans l univers forward neure: (25) S() = (, f)e Qf S(f) (26) Au prix d un nouveau changemen de mesure de probabilié, l univers forward neure perme ainsi d obenir une espérance se révélan souven beaucoup plus simple à calculer. 5 Applicaion à la arificaion des opions sur zéro-coupons On s inéressera comme applicaion à la arificaion d une opion d acha européenne sur une obligaion zéro-coupon. Les noaions seron les suivanes: 15
s = échéance du zéro-coupon f = échéance de l opion sur zéro-coupon (f < s) K = prix d exercice de l opion C() = prix à l insan de l opion ( f), en pariculier: C(f) = ( (f, s) K) +. L uilisaion de la méhodologie risque neure condui à la relaion suivane (cf. (25)). C() = E Q C(f) exp = E Q ( (f, s) K) + exp (27) Les deux processus sous l espérance son ici clairemen corrélés (la srucure des prix des zéro-coupons éan précisémen expliquée par les aux spo!) On es donc bien dans un cas où la mesure risque neure n es pas facilemen uilisable. Nous allons par conre monrer que la méhodologie forward neure perme d obenir une formule explicie, e ce, dans le cas où le processus de volailié σ(, s, r) inervenan dans l équaion d évoluion des prix, ne dépend pas de r: σ(, s, r) = σ(, s) ceci permean d assurer une propriéé de normalié. On exploiera bien sûr pour ce la formule direce (26): C() = (, f)e Qf ( (f, s) K) + = (, f)e Qf ( (f, s; f) K) + = (, f)e Qf ( (f, s; f) (, s; f) K )+ (, s; f) (, s; f) Le coefficien (, s; f) éan observable en, peu sorir de l espérance. Noons d aure par: Il vien: K 1 = K (, s; f) χ(, f) = (f, s; f) (, s; f) C() = (, f) (, s; f)e Qf (χ(, f) K1 ) + (, s) = (, f) (, f) E Q f (χ(, f) K1 ) + = (, s) K 1 (x K 1 )df (x) (28) où F es la foncion de répariion de la variable χ(, f) sous la mesure Q f. Or de la relaion (22), on a: (f, s; f) = (, s; f) exp 1 2 (σ(u, s) σ(u, f)) 2 du (σ(u, s) σ(u, f))d w f (u) La variable χ(, f) = (f,s;f) = exp(ψ) adme donc sous la (,s;f) mesure Q f une disribuion log-normale de paramères: a = EΨ = 1 2 b 2 = VarΨ = Var = (σ(u, s) σ(u, f)) 2 du (29) (σ(u, s) σ(u, f))d w f (u) (σ(u, s) σ(u, f)) 2 du no. = v 2 (, f) (3) (e ce, puisque σ es supposé non aléaoire c es-à-dire indépendan de r). On peu alors calculer expliciemen (28): e C() = (, s) xdf (x) K 1 K 1 = (, s)i 1 I 2 K 1 F (x) = Q f χ(, f) x ( ) ln x a = Φ b df (x) où Φ es la foncion de répariion d une normale cenrée réduie. ln xa osons y = b e donc x = e a e yb Il vien: K 2 = y(k 1 ) = ln K 1 a b I 1 = xdf (x) = e a e yb 1 e y2 2 dy K 1 K 2 2π = e a 1 yb e ( 2 ) 2 e b2 2 dy K 2 2π = 1 Φ(K 2 b) = Φ(b K 2 ), puisque a + b2 2 =, e I 2 = K 1 df (x) K 1 = K 1 K 2 dφ(y) = K 1 Φ(K 2 ) 16
Finalemen on a: C() = (, s)φ(b K 2 ) K 1 Φ(K 2 ) K = (, s)φ(b K 2 ) (, s) (, s; f) Φ(K 2) soi: K = (, s)φ(b K 2 ) (, s) (, s) (, f)φ(k 2) C() = (, s)φ(c 1 ) K (, f)φ(c 2 ) (31) où C 1 e C 2 son 2 consanes données par: C 1 = b K 2 = v(, f) ln K 1 + 1 2 v2 (, f) v(, f) = 1 2 v(, f) + ln( (, s; f)/k) v(, f) = 1 1 v(, f) + 2 v(, f) ln ( (, s) (, f)k C 2 = C 1 v(, f) = 1 ( ) 1 (, s) v(, f) + 2 v(, f) ln (, f)k (v(, f) éan défini en (3)). Il es inéressan de comparer la relaion ainsi obenue à la célèbre formule de Black Scholes de arificaion d opion sur acions: opion sur zéro-coupon (formule (31)): C() = (, s)φ(c 1 ) K (, f)φ(c 2 ) (32) ) opion sur acion (Black e Scholes): C() = S()Φ(d 1 ) Ke r(f) Φ(d 2 ) (33) Le passage de (33) à (32) semble naurel: le sous-jacen de ype acion S es remplacé par le sousjacen obligaaire (, s) le faceur d acualisaion e r(f) enre l insan d observaion e le erme de l opion es remplacé par un zéro-coupon enre ces 2 insans. 6 Conclusion La méhodologie de changemen de mesure de probabilié perme donc de arifer les risques financiers à l insar des risques classiques par uilisaion d une espérance acualisée des flux générés. Le choix adéqua du changemen de mesure es bien sûr crucial comme l a monré le cas d opions sur zéro-coupons; en ermes financiers, cee modificaion de la mesure de probabilié peu s inerpréer comme un changemen de monnaie. REFERENCES 1 N.H. Bingham, R.Kiessel. "Risk neural valuaion - pricing and hedging of financial derivaives". Springer Finance, 1998, Springer. 2. Devolder. "Finance sochasique". Ediions de l ULB, 1993, Bruxelles. 3 D. Duffie. "Securiy markes - sochasic models". Academic press, 1988. 4 H. Geman, N. El Kaoui, J.C. Roche. "Changes of numeraire, change of probabiliy measure and opion pricing". J.Appl.rob. 32, 1995. 5 J. Ingersoll. "Theory of financial decision making". Rowman and Lilefield, 1987. 6 F. Quiard inon. "Marché des capiaux e héorie financière". Economica, duexième édiion, 1998. 7 R-A. Dana, M. Jean-Blanc-icque. "Marchés Financiers en emps coninu: valorisaion e équilibre", Economica, 1998. 8 M. Musiela, M. Rukowski. "Maringale Mehods in Financial Modelling". Springer, 1997. 17