CHAPITRE 1 : LES NOMBRES COMPEXES : I-Forme algébrique d un nombre complexe : I.1) Définitions : On appelle nombre complexe tout nombre de la forme z=a+ib où a et b sont des nombres réels et où la quantité i vérifie i²=-1. Quand le nombre complexe est écrit sous la forme z=a+ib on parle de la forme algébrique. Le réel a est alors appelé la partie réelle du nombre complexe et s écrit a=re (z), et le réel b est appelé partie imaginaire et est noté b=im (z). L ensemble des nombres complexes est noté C. Remarque : L ensemble des nombres réels est inclus dans l ensemble des nombres complexes. Par exemple, le réel 1 peut s écrire 1+0i. Propriété : Soit deux nombres complexes z=a+ib et z =a +ib, alors z=z² si et seulement si a=a et b=b. I.2) Calculs en écriture algébrique : I.2.1) Addition et produit : Théorème : Soit z=a+ib et z =a +ib deux nombres complexes. Alors: z+z =(a+a )+(b+b )i, z-z =(a-a )+(b-b )i zz =(aa -bb )+i(ab +ba ) Exemple : La forme algébrique du nombre complexe z=(3+i)(5-i) est : z=15-3i+5i+1 z=16+2i I.2.2) Conjugué d un nombre complexe : Définition : Soit z=a+ib un nombre complexe. On appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe, noté z défini par z=a-ib. Exemple : Le conjugué de z=-3-6i est -3+6i. Propriété : Soit deux nombres complexes z=a+ib et z =a-ib. Alors : zz=a²+b² z+z =z+z zz =z.z ( )\= Exemple : = =² = = +i. I.3) Interprétation géométrique : 1
Définition : Le plan étant rapporté à un repère orthonormal (O ; ; ), tout nombre complexe z=a+ib est associé : -Soit à un point M de coordonnées (a ; b) -Soit au vecteur de coordonnées ou du vecteur de coordonnées. M est le point image de z et est le vecteur image de z. Remarque : Le plan complexe est la représentation des nombres complexes sous la forme d un plan. Dans ce plan, l axe des abscisses représente l ensemble des réels et l axe des ordonnées représente l axe des Imaginaires purs. Propriété 1 : Si z=a+ib est l affixe d un point M ((a ;b) du plan, le conjugué du point M (a ;-b) qui est le symétrique de M par rapport à l axe des abscisses. Propriété 2 : Soit A et B deux points d affixes z A et z B dans le plan muni d un repère orthonormal. Alors l affixe z du vecteur est donnée par Z=Z B -Z A. I.4) Calculs sous forme trigonométrique : I.4.1) Produit de deux nombres complexes : Soit z et z deux nombres complexes non nuls, z.z = z. z ; arg(z.z )=arg(z)+arg(z )+2kπ, k appartenant à l ensemble des nombres relatifs (nombres sans virgule). Exemple : Soit z 1 =1+i et z 2 =3i. Ecrire Z=z 1.z 2 sous forme trigonométrique : z 1 =1²+1²= 2 z 2 =0²+3²=3 Donc z =3. 2 Soit Φ 1 un argument de z 1 : cos Φ 1 = = sin Φ 1 = = Donc Φ 1 = Soit Φ 2 un argument de z 2 : cos Φ 2 =0 sin Φ 2 =1 Donc Φ 2 = Soit Φ un argument de Z : Φ= I.4.2) Puissance d un nombre complexe : 2
Soit z un nombre complexe non nul et n un entier relatif, z n = z n ; arg(z n )=n.arg(z)+2kπ, k appartenant à l ensemble des nombres entiers relatifs. I.4.3) Inverse d un nombre complexe : Soit z un nombre complexe non nul, = ; arg =-arg(z)+2kπ, k appartenant à l ensemble des nombres entiers relatifs. I.4.4) Quotient de deux nombres complexes : Soit z et z deux nombres complexes non nuls, = ; arg =arg(z)-arg(z )+2kπ, k appartenant à l ensemble des entiers relatifs. II-Forme trigonométrique : II.1) Module et argument d un nombre complexe : Définition : Soit (; ; ) un repère orthonormal du plan complexe. Soit z=a+ib un nombre complexe non nul, affixe d un point M du plan. -On appelle module de z, noté z la distance OM -On appelle argument de z, noté arg(z), une mesure quelconque de l angle (; ). Remarques : -Le module d un nombre complexe est un Réel positif. -Le nombre complexe 0 a pour module 0 et n a pas d argument. II.2) Forme trigonométrique : Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z=a+ib. Calcul du module de z : En utilisant Pythagore dans le triangle OMH (H correspond à la base), on obtient OM²=OH²+MH²=a²+b², donc z =²+² Détermination d un argument de z : arg(z)=φ cos Φ= = sin Φ= On a alors z=a+ib =cosφ+.isinφ z = z.(cosφ+i.sinφ). Définition : Un nombre complexe non nul de module ρ et d argument Φ s écrit Z=ρ(cosΦ+i.sinΦ)=[ρ ;Φ]. Cette écriture est appelé forme trigonométrique du nombre complexe z. Exemple : Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe z 1 =1+i : z 1 =²+²=1²+1²= 2. Soit Φ argument de z 1. On a cosφ= = Et Donc Φ=. z 1 = 2 ; sinφ= = 3
Remarque : Si la forme trigonométrique de z est z=[ρ ; Φ], alors la partie réelle de z est a=ρ.cosφ et la partie imaginaire de z b=ρ.sinφ. Exemple : Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z 2 =2 ; : z 2 =2cos +2i.sin z 2 = +i. z 2 = 2+i. 2 Théorème : Soit deux nombres complexes non nuls z=ρ(cosφ+i.sinφ) et z =ρ (cosφ +i.sinφ ), alors z=z si et seulement si ρ=ρ et Φ=Φ +2kπ ; kєz. II.3) Différence de deux nombres complexes : Proposition : Soit ; ; un repère orthonormal du plan complexe. Soit A et B deux points distincts d affixes respectives z A et Z B. Alors on a : AB= Z B -Z A et l angle ; a pour mesure un argument de Z B -Z A. III-Forme exponentielle : III.1) Définition : Définition : Pour tout réel Φ, on pose =cosθ+i.sinθ. Ainsi, tout nombre complexe z non nul s écrit sous la forme ρ. Cette forme est appelée la forme exponentielle de z. Conséquences : =1 ; arg( )=θ. Remarque : Pour déterminer une forme exponentielle d un nombre complexe z, on cherche le module et un argument de z. Exemple : Différentes écritures des nombres complexes z 1 et z 2 : Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle Z 1 =-1+i Z 1 = 2 +. Z 1 = 2 Z 1 = 2 ; Z 2 = 3+ Z 2 =2(cos +i.sin ) Z 2 =2 III.2) Règles de calcul: Le premier intérêt de la notation exponentielle est qu elle vérifie les propriétés des puissances : Propriété : Pour tous θ, θ ЄR, tous ρ, ρ réels positifs, tout n entier naturel, ρe iθ.ρ e iθ =ρ.ρ e i(θ+θ ) =ρ n e inθ = 4
= Pour les calculs de type «somme» ou «différence», on utilisera la forme algébrique. On préfèrera la forme exponentielle pour les calculs de produits et de quotients. Exemple : Soit z 1 = 2 et 2 3 : z 1 z 2 =2 6 z 1 4 =4 = Proposition : = Exemple : = VI-Formules de Moivre et d Euler : VI.1) Formule de Moivre : Rappel : θ un réel, =cosθ+i.sinθ, (cosθ+i.sinθ) n =cos(nθ)+i.sin(nθ) D où n entier naturel, θ réel : (cosθ+i.sinθ) n =cos(nθ)+i.sin(nθ) VI.2) Formule d Euler : cosθ= sinθ= 5