CHAPITRE 1 SÉRIES NUMÉRIQUES

CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES. Gééralités Défiitio.. Soit ue suite de ombres réels, o pose : S = u 0 + u +...+ = u k. Etudier la série de terme gééral, c est étudier la suite S. S est appelée suite des sommes partielles de la série. Notatio Ue série de terme gééral est otée ou... Covergece Défiitio..2 Ue série de terme gééral est dite covergete si la suite S est covergete. Das ce cas, la limite de la suite S est appelée somme de la série et o ote : lim S = Ue série qui est pas covergete est dite divergete. E d autres termes, si o otel= lim S o a alors : coverge versl lim S =l ε>0, N N: N N= S l <ε ε>0, N N: N N= l <ε. 0

Exemple.. Série géométrique. Ue série géométrique est ue série dot le terme gééral est de la forme = a.q, a 0. Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est doé par la formule suivate : S = u 0 + u + + = a+a.q+a.q 2 + +a.q = a+q+q 2 + +q a q+ si q = q a+ si q=. O remarque aisi que lim S existe si et seulemet si q <. Das ce cas la série géométrique coverge et o a a.q = a q = a q. 2 Série harmoique. C est la série dot le terme gééral est de la forme = où N. Motros que cette série est pas covergete. Pour cela motros qu elle est pas de Cauchy. E effet, posos S = + 2 + + Alors S 2 S = + 2 + + + + + + 2 + 2 + + = + + +2 + + 2. Or pour tout p N, p, o + p+ 2 et par suite : + 2= + 2. 2+ 2= +2 2...... 2 2= 2 2. Par coséquet S 2 S = 2 2. La suite S est pas de Cauchy, doc divergete. De plus, S est strictemet croissate, o déduit alors que =+. 3 Soit la série de terme gééral = e élémets simples que : = +. D où S = + 2 2 3 + + Comme = = avec. O peut écrire après décompositio + + = + + + = lim S =, otre série est covergete et vaut. Remarque.. Cas complexe Si le terme gééral est complexe = a + ib ; la somme partielle est S = = a + ib = a k + i b k. Alors o a le résultat suivat : coverge a et b sot covergetes. M r AMROUN NOUR-EDDINE. 2 u k

Alors das ce cas là o a le résultat : = a + i b. Propositio.. Soiet et v deux séries, o suppose que ces deux séries e diffèret que par u ombre fii de termes i.e il existe p N tel que pour tout p o a = v alors les deux séries sot de même ature. Soit p, posos : S = u k = u k + T = v k = v k + k=p+ k=p+ u k = S p + v k = T p + k=p+ k=p+ u k. v k. La différece S T = S p T p = c; c état état ue costate idépedate de et p alors : coverge S coverge T coverge v coverge. Remarque..2 La propositio.. permet de dire que les séries sot de même ature mais e cas de covergece, elles ot pas écessairemet la même somme. Corollaire.. O e chage pas la ature d ue série si o lui rajoute ou o lui retrache u ombre fii de termes. Propositio..2 Soit ue série covergete alors lim = 0. La réciproque est fausse. Pososl= = lim S = lim S. S S = u 0 + u + + + u 0 + u + + = et lim S S = lim = lim S lim S = 0. 2 La série harmoique est divergete bie qu elle vérifie lim Remarque..3 La propositio..2 est utile sous sa forme cotraposée lim 0= diverge. O dira que la série est grossièremet divergete. = 0. Propositio..3 Soiet et v deux séries covergetes respectivemet vers u et v. Alors 3 M r AMROUN NOUR-EDDINE.

. La série + v est covergete et o a + v = + 2. Pour toutα R, la série α est covergete et o a α =α Soit w = + v. O aura : W = w k = u k + v k = u k + lim S + lim T = u+v. 2 Soit t =α. T = α lim S =αu. t k = αt k =α v = u+v. =αu. v k = S + T. Aisi lim W = lim S + T = u k =αs et par suite lim T = lim αs = Défiitio..3 Critère de Cauchy Ue série est dite de Cauchy si la suite des sommes partielles S est de Cauchy. Cela reviet à dire que les propriétés suivates sot équivaletes :. est de Cauchy. 2. S est de Cauchy. 3. ε>0, N N: p, q N p q N= S p S q <ε. 4. ε>0, N N: p, q N p q N= q u k u k <ε 5. ε>0, N N: p, q N p q N= u k <ε k=q+ Propositio..4 Toute série réelle ou complexe de Cauchy est covergete. M r AMROUN NOUR-EDDINE. 4

.2 Séries à termes positifs Défiitio.2. Ue série est dite série à termes positifs si u 0 pour tout N. Remarque.2.. Les séries vérifiat u 0 pour 0 sot aussi appelées séries à termes positifs voir corollaire.. car la ature d ue série e chage pas si o lui retrache u ombre fii de termes. 2. Si ue série est à termes positifs, la suite des sommes partielles S est croissate. E effet, S S = 0 ; d où la propositio : Propositio.2. Soit ue série à termes positifs. coverge S est majorée. Il suffit d appliquer la remarque.2. et de se rappeler que les suites croissates et majorées sot covergetes. Théorème.2. Règle de comparaiso Soiet et v deux séries à termes positifs. O suppose que 0 u v pour tout N. Alors :. v coverge= coverge. 2. diverge= v diverge. v = S = v k = T. Puisque T est ue suite covergete doc majorée alors S est covergete comme état ue suite croissate et majorée, coverge. 2 C est la cotraposée de la première propositio. Ce théorème reste vrai si l iégalité 0 v est réalisée à partir d ue certai ordre p 0, c est à dire v si p 0. Exemple.2. Soit la série si ; o a 0 si 2 2 2 et comme est ue série géométrique 2 de raiso /2, doc covergete, alors la série si est covergete. 2 Théorème.2.2 Règle de comparaiso logarithmique Soit et v deux séries à termes strictemet positifs. O suppose que + v +. Alors v 5 M r AMROUN NOUR-EDDINE.

. v coverge= coverge. 2. diverge= v diverge. + v + +. v v + v + u 0. Ceci implique que u 0 v. Sachat que v v + v v v 0 v 0 u0 coverge alors v coverge et d après le théorème de comparaiso ci-dessus, v 0 coverge. 2 C est la cotraposée de la première propositio. Théorème.2.3 Critère d équivalece Soiet O suppose que lim E effet : et v deux séries à termes strictemet positifs. =l,l 0 et +. Alors les deux séries sot de même ature. v ε>0, N N: N N= lim =l v Pour uεtel que 0<ε<lo a alors l ε< l v. <ε <l+ε pour tout N. O a aussi v l εv < < l+εv pour tout N. Si v coverge alors l+εv coverge et par suite grâce au théorème de comparaiso.2., coverge. 2 Si coverge alors l εv coverge et doc v coverge. Exercice Que se passe-t-il sil=0 oul=+?o a des implicatios mais pas des équivaleces. Exemple.2.2 Soiet les séries et v tels que u = Log + et v 2 =. O a lim = 2 v et comme v est covergete alors, série géométrique de raiso /2<; l est aussi. Exemple.2.3 Soiet les séries et v tels que u = et v = Log +. O a lim =. v La première série état la série harmoique qui est divergete, doc il e est de même de la secode. Remarque.2.2 O remarque ici qu o peut facilemet démotrer la divergece de v. M r AMROUN NOUR-EDDINE. 6

E effet o a : k= S = v = Log + + Log + + Log + + +Log + + Log + 2 3 k= 2 3 4 + = Log + Log + Log + +Log + Log 2 2 = log 2 Log +log 3 Log 2+log 4 Log 3+ +log Log +log+ Log =Log+ Log =Log+. Comme lim S = lim Log+=+, o e coclut que la série cosidérée est divergete, il e est doc de même de la série harmoique. Ceci est ue autre démostratio de la divergece de la série harmoique, o verra ue troisième démostratio différete, voir exemple.2.4. Théorème.2.4 Comparaiso avec ue itégrale Soit f : [,+ [ R + ue applicatio cotiue, décroissate et positive. O pose = f pour N. Alors + coverge f x dx existe Remarquos tout d abord la chose suivate : x [, +] x + et comme f est décroissate + = f + f x f =. E itégrat membre à membre o obtiet + + + + dx f x dx dx ou ecore + E sommat membre à membre, o obtiet Fialemet o aboutit à : Démostratio du théorème : S + u Si coverge alors S = tel que pour tout N, S M. D après la remarque ci-dessous, + k= u k+ f x dx S k= + k+ k f x dx. f x dx u k. u k est majorée. Cela veut dire qu il existe M>0 k= + Soit t R +. Posos =[t] la partie etière de t ; t f x dx [t]+ f x dx= + f x dx S M. f x dx S M. O passe à la limite quad t + =, o obtiet Ce qui se traduit par l existece de l itégrale 2 Iversemet, o suppose que l itégrale déduit que + + f x dx. + f x dx M. k= f x dx existe. De la relatio o 7 M r AMROUN NOUR-EDDINE.

+ S + u + f x dx u + + f x dx=c. La suite S état croissate et est majorée par C, elle est doc covergete. La série l est aussi. Remarque.2.3 Le résultat est ecore valable si la foctio f est positive, cotiue et décroissate sur u itervalle [a,+ [ e cosidérat la série f avec 0 a. 0 Exemple.2.4 Cosidéros l applicatio f : [,+ [ R + défiie par f x= x. t t dx=log t et lim x t + x dx=+. Doc diverge. 2 Soit la foctio f : [,+ [ R + défiie par f x=. f est cotiue, décroissate xx+ à vérifier e étudiat la dérivée par exemple et positive. t t t f x dx=log Log ; et comme lim f x dx=log 2<+ ; t+ 2 t + la série est alors covergete. +.2. Séries de Riema Défiitio.2.2 Soitα R. O appelle série de Riema toute série dot le terme gééral est de la forme =, etα R. α Les séries de Riema sot doc des séries à termes positifs. 0 si α>0 Remarquos que lim u = si α=0 + si α<0 O coclut immédiatemet que siα 0, la série de Riema est divergete puisque le terme gééral e ted pas vers 0. Siα=, o obtiet la série harmoique qui est divergete elle aussi. Examios le casα>0,α. Soit la foctio f α : [,+ [ R + défiie par f x= x. f α α est ue foctio positive, cotiue et décroissate car la dérivée f αx= α xα+< 0. t O a f α x dx= t α+ et comme α t + si 0<α< lim f x dx= t + si α> α Propositio.2.2 Ue série de Riema coverge si et seulemet siα>. α M r AMROUN NOUR-EDDINE. 8

Les théorèmes.2.,.2.2 et.2.3 vot ous permettre d étudier beaucoup de séries e les comparat seulemet à ue série géométrique ou ue série de Riema. Propositio.2.3 Règle de Riema Soit ue série à termes positifs.. S il existeα> tel que la suite α soit majorée par u costate M>0 ; alors est covergete. 2. S il existeα tel que la suite α soit miorée par ue costate m>0 ; alors la série est divergete. Par hypothèse α M pour tout N. Alors. Commeα> la série α est covergete et d après le théorème de comparaiso u α coverge. 2 O a α m>0 et doc m α. Le fait que α alors m α diverge et par suite diverge e vertu du théorème de comparaiso. Corollaire.2. Soit ue série à termes positifs. O suppose qu il existeα R tel que lim α =l, l 0 etl +. Les séries et sot de même ature. α lim α =l ε>0, N N: N N= l ε< α <l+ε. Ceci est équivalet à dire l ε < u α < l+ε pour tout etier N. O choisit alors α ε>0 de maière quel ε>0. coverge α> et ceci implique que u α coverge. 2 Si l ε coverge alors coverge et par suite coverge et doc α α α>..2.2 Critère de D Alembert Propositio.2.4 Soit ue série à termes strictemet positifs.. S il existeλ R, 0<λ<tel que + covergete. 2. Si + alors diverge. λpour tout N alors la série est + λ<= λ= λ. Par récurrece o obtiet λ u 0. Puisque 0 < λ <, alors u 0 λ est ue 9 M r AMROUN NOUR-EDDINE.

série géométrique covergete et e vertu du critère de comparaiso, la série coverge. 2 + = + la suite est alors croissate. D où, lim u 0 0 et par suite diverge. Corollaire.2.2 Critère de D Alembert + Sous les mêmes hypothèses que la propositio.2.4, posos lim.l<= coverge. 2.l>= diverge. 3.l=, o e peut rie coclure. Sil<. + lim =l ε>0, N N: N N= l ε< + <l+ε. O choisit das ces coditiosε>0 tel quel+ε< pour que + <l+ε<. La coclusio est ue coséquece de la propositio.2.4. 2 Sil>, o choisitεtel quel ε> et par suite il existe N N tel que pour tout N, o ait + l ε>. D après la propositio.2.4, la série diverge. 3 Cosidéros la série de terme gééral =. C est ue série de Riema covergete carα=2>. lim = lim 2 + 2 + 2=. Soit la série de terme gééral v =,, c est la série harmoique divergete. lim = lim + =. v + v Ces deux exemples illustret bie le fait que lim = apporte aucue iformatio sur la ature de la série. Exemple.2.5 Soit la série de terme gééral =!. + lim = lim + = 0<. La série 0 + est covergete.! =l. 2 Soit la série de terme gééral =!. + + +! + O a lim = lim +! = lim = e>, et par suite la série est divergete. M r AMROUN NOUR-EDDINE. 0

.2.3 Critère de Cauchy Propositio.2.5 Soit ue série à termes positifs.. S il existeλ R, 0<λ<tel que λ alors la série coverge. 2. Si, la série est alors divergete. λ= λ. λ état ue série géométrique covergete 0<λ<, d après le théorème de comparaiso coverge. 2 = = lim et doc diverge. Corollaire.2.3 Critère de Cauchy Sous les mêmes hypothèses de la propositio.2.5, posos lim.l<= coverge. 2.l>= diverge. 3.l= o e peut rie coclure. =l. =l ε>0, N N: N N= l ε< <l+ε ou ecore lim ε>0, N N: N N= l ε < < l+ε. Sil<. O choisitεtel que 0<l+ε<. La série l+ε est alors covergete et par voie de coséquece coverge. 2 Sil>. O choisitεvérifiatl ε>. O aura alors > l ε > ce qui etraîe que lim et par suite la série diverge. 3Le cas oùl=, e doe rie. a : Preos la série harmoique. Cette diverge bie que lim =. b : Soit la série de Riema covergete Exemple.2.6 Soit la série de terme gééral et lim 2 a+ p, avec a>0 et p 0. lim = lim a+ p 2=. Si p=0. lim = a+> et la série diverge. 2 Si p>0, lim = a. La série est covergete pour a< et divergete si a>. M r AMROUN NOUR-EDDINE.

3 Si a=, = + [ = + p] p p p Le terme gééral e ted pas vers zéro, la série est divergete. + si 0<p< e si p= si p> Ue questio se pose maiteat ; peut-o avoir des limites différetes e appliquat les deux critères de d Alembert et celui de Cauchy? La répose est doée par les deux propositios suivates. Propositio.2.6 Soit ue série à termes positifs. Alors si o al =l 2. + lim =l 0 et lim + + =l 2 0 Cosidéros la série de terme gééral v = a. ; où a est u réel positif qu o va préciser. O a v + lim + v + = a lim = al et lim + + v = a lim + = al 2 0. Fixos a strictemet etre l et l 2 alors écessairemet est compris etre al et al 2 ; doc otre série de terme gééral v est covergete suivat u critère et divergete suivat l autre, ce qui est absurde ; d oùl =l 2. Exemple, supposos quel = /2 etl 2 = /5, cosidéros la série de terme gééral v = 4. D où lim + v + v = 4/2=2>et, lim + Propositio.2.7 Soit ue série à termes positifs. Alors O a pas l équivalece. + Soit lim + lim =l= lim v = 4/5= 4 5 < =l =l. Alors pour toutε>0, il existe u etier N N tel que pour tout etier No ait :l ε 2 < + l ε 2 < <l+ ε 2. l ε 2 < 2 <l+ ε 2. <l+ ε. Soit N. 2.... l ε 2 < u N+ <l+ ε u N 2. E faisat le produit membres à membres, o obtiet : M r AMROUN NOUR-EDDINE. 2

l ε N < u 2 2 un+2 u N+ < l+ ε N. u N+ u N 2 N Après simplificatio o obtiet : u N < u l+ 2 ε N et doc Soitα = u N u N l ε 2 l 2 ε N < < u N l ε 2 N etβ = u N l ε 2 N. < u N l+ 2 ε N. lim α =l ε 2 = N N: N o aitα > l ε ε 2 2 =l ε. lim β =l+ ε 2 = N 2 N: N 2 o aitβ < l+ ε + ε 2 2 =l+ε. Soit N 3 max{n, N, N 2 }. Pour tout N 3 o a : l ε<α < <β <l+ε, ce qui exprime bie que l <ε pour tout N 3 et doc lim =l. Cotre-exemple Soit a>0 et b>0, a b et cosidéros la série défiie par { u2 = a b u 2+ = a + b = +a+ab+a 2 b+a 2 b 2 + a 3 b 2 + a 3 b 3 + Utilisos le critère de Cauchy, o a : { 2 u2 = 2 a b = a 2 b 2= ab si est pair 2+ u 2+ = 2+ a + b = a 2+ + b 2+ ab si est impair D où l o tire, lim = ab. Utilisos le critère de D Alembert : Aisi u 2+ u 2 = a+ b a b = a si est pair u 2+2 u 2+ = a+ b + a + b = b si est impair + lim = { a si est pair b si est impair Doc la limite existe pas. Cette exemple motre bie que le critère de Cauchy est plus "fort" que celui de D Alembert. Exercice : Motrer que pour la série précédete, o a : = +a, pour ab<. ab U autre exemple plus simple est u 2 = 2 et u 2+ = 3, le série est doc : = 2+3+2+3+2+3+2+3+ { + 3/2 si est pair lim = 2/3 si est impair et lim = 3 M r AMROUN NOUR-EDDINE.

.2.4 Critère de Kummer Propositio.2.8 Soit ue série à termes strictemet positifs.. S il existeα> tel que 2. Si u + alors la série diverge. u + α alors la série est covergete. Cas oùα>. Cosidéros la foctio f :R + R + défiie par f x=+x α. So développemet limité à l ordre au voisiage de 0 est doé par : f x= f 0+x f 0! + x 2 f θ x, avec 0<θ x <. 2! f x= αx+ αα+ +θ x α 2 x 2. 2! Pour x= o obtiet : f = α +αα+ +θ 2! α 2 2 α. L hypothèse u + α état équivalete à + α, ous permet d avoir ; + α f = + α + α α = =. + Soit v = alors v α est ue série de Riema covergete. v + α = ; comme + v + et d après le critère de comparaiso logarithmique v + v.2.2, la série est covergete. 2 O suppose que u +. D où + =. Posos w =, 2. w est la série harmoique divergete. De plus w + = +. w D après critère de comparaiso logarithmique.2.2, la série est divergete. Corollaire.2.4 Critère de Raab Soit ue série à termes strictemet positifs. O pose lim u + =l.. Sil> alors la série coverge. 2. Sil< alors la série diverge. 3. Sil=, o e peut rie coclure. O utilise toujours la défiitio de la limite d ue suite quad elle existe : lim u + =l M r AMROUN NOUR-EDDINE. 4

ε>0, N N: N N= l ε< u + <l+ε Sil>. O choisitεde maière à avoirl ε=α> pour qu o ait u + α pour N et par suite utiliser le critère de Kummer pour affirmer qu il y a covergece. 2 Sil <. O choisitεtel que 0 < ε l. Das ces coditios, o aura u + <l+ε< pour tout Net doc la série diverge. 3. Le cas oùl=, o e peut rie coclure, voir exercice. Exercice Doer la ature des deux séries de Bertrad suivates. et Log =2 =2 Log 2 Vérifier que das les deux cas, la limite de Raab est..3 Séries à termes quelcoques Le paragraphe précédet était cosacré à l étude des séries à termes positifs et c est das cette partie qu il y a beaucoup de résultats sur la covergece. Das ce paragraphe il sera questio des séries à termes quelcoques..3. Regroupemet des termes Théorème.3. Soit ue série à termes quelcoques et soitϕ :N N ue applicatio strictemet croissate vérifiatϕ0=0. O suppose e plus :. lim = 0. 2. M N tel queϕ+ ϕ Mpour tout N. O cosidère la série v défiie par v = ϕ+ k=ϕ+ Alors les séries et v sot de même ature. Si les séries sot covergetes o a e plus : = Remarque.3. Preos u exemple d applicatio pour compredre les hypothèses de ce théorème. Soitϕ :N Ndéfiie parϕ=2. = O a ϕ+ ϕ=2+2 2=2=Met v = u k. v ϕ+ k=ϕ+ u k = 2+2 k=2+ u k = u 2+ + u 2+2. Ceci doe par exemple v 0 = u + u 2, v = u 3 + u 4 et aisi de suite. O remarque sur cet exemple que les termes sot regroupés 2 par 2. 5 M r AMROUN NOUR-EDDINE.

Notos comme d habitude S et T les suites des sommes partielles respectivemet des séries et v. T = ϕ+ k= v p = v 0 + v + +v = p=0 ϕ k=ϕ0+ u k + ϕ2 k=ϕ+ u k + + ϕ+ k=ϕ+ u k = u k = S ϕ+. Sachat queϕest ue applicatio strictemet croissate, la suite T est alors ue suite extraite de de S. Par coséquet : coverge= S coverge= S ϕ+ coverge= T coverge = v coverge. 2 Si diverge. ϕ état strictemet croissate o aϕ<ϕ+. Doc pour tout etier N, il existe p Ntel queϕp <ϕp+. S S ϕp = u k u ϕp = k=ϕp+ u k. Puisque lim = 0 alors pour toutε>0, il existe N N tel que < ε pour tout N. Pour p assez grad ϕp+ N, o M a S S ϕp = u k u k < ε k=ϕp+ M ϕp ε ϕp+ ϕp ε car o a M k=ϕp+ par hypothèse ϕp + ϕp M. O coclut que lim S S p = 0 et puisque la suite S diverge alors S ϕp diverge et par suite T p diverge car S ϕp = T p. Exemple.3. Soit la série = et soitϕ :N N défiie parϕ=2. v = u 2+ + u 2+2 = 2+ + 2+2 = 2+2+2. Posos w = 2+2+2. ϕ+ k=ϕ+ u k = 2+2 k=2+ w est covergete car w 4 2 et 4 2 covergete. E coclusio : w coverge= w coverge= v coverge= coverge. Théorème.3.2 Critère D Abel Soit ue série à termes quelcoques. O suppose qu il existe deux suites ε et v telles que :. =ε v pour tout. 2. Il existe M>tel que pour tout p, q N p q= 3. = ε ε coverge. k=q v k M. M r AMROUN NOUR-EDDINE. 6 u k = est

4. lim ε = 0. Alors la série coverge. O va motrer que les coditios du théorème impliquet que la série est de Cauchy. Soitε>0 et posos v k si p q V q,p = k=q 0 si p<q Soit + p. V,p V +,p = k=q+ u k = v k k= k=q+ ε k v k = k=+ k=q+ v k = v. D autre part : ε k V k,p V k+,p = ε q+ V q+ V q+2,p +ε q+2 V q+2 V q+3,p +...+ε p V p,p V p+,p = ε q+ V q+,p ε p V p+,p + V q+2,p ε q+2 ε q+ +V q+3,p ε q+3 ε q+2 +...V p,p ε p ε p = ε q+ V q+,p ε p V p+,p + V k,p ε k ε k. k=q+2 Doc u k ε q+ V q+,p + ε p V p+,p + V k,p ε k ε k. k=q+ k=q+2 De plus o a les coséqueces suivates : a lim ε = 0= N N tel que ε ε 3M pour tout N. b La série ε ε coverge doc elle est de Cauchy. Il existe alors N 2 N tel que pour tous p N 2 et q N 2, p q o a ε k ε k+ < ε 3M. k=q+ c v k M pour tous p et q, p q. k=q Soit N=max{N, N 2 }. Pour No a alors k=q+ série est alors de Cauchy, doc covergete. Exemple.3.2 Appliquos ce théorème pour étudier la série l exemple.3.. Soitε = et v =. lim ε = 0 et =M. La série =2 = u k ε 3M M+ ε 3M M+ ε M=ε. La 3M qu o sait qu elle coverge d après = =2 est covergete car 7 M r AMROUN NOUR-EDDINE.

de même ature que la série de Riema. 2 Nous allos étudier u cas particulier de série à termes quelcoques à savoir les séries alterées..3.2 Séries alterées Défiitio.3. O appelle série alterée toute série vérifiat la relatio u.+ 0. Le terme gééral d ue telle série peut-être oté = v ou = + v avec v 0. Das le cas gééral ue série alterée sera souvet otée :. Théorème.3.3 Critère de Leibiz Soit la série alterée ; O suppose que :. La suite est décroissate. 2. lim = 0. Alors la série est covergete. O a e plus : 3. La somme de la série quad elle coverge a le sige du premier terme u p. 4. u 0. 5. u p +. p=+ =p Posos =, doc le premier terme sera positif ; sio o pred = +. Cosidéros la suite des sommes partielles : S = u 0 u + u 2 +. Soiet les deux sous-suites S 2 et S 2+ ; motros qu elles sot adjacetes.. O a effectivemet : S 2+2 S 2 = u 0 u + u 2 + + u 2 u 2+ + u 2+2 u 0 u + u 2 + + u 2 = u 2+ + u 2+2 <0 ; car est décroissate ; doc S 2 est ue suite décroissate. 2. De même o a : S 2+3 S 2+ = u 0 u + u 2 + u 2+ + u 2+2 u 2+3 u 0 u + u 2 + u 2+ = u 2+2 u 2+3 >0 ; car est décroissate ; doc S 2+ est ue suite croissate. 3. O a lim S 2+ S 2 = lim u 2+ =0. S 2 et S 2+ état adjacetes, doc elles sot covergetes et admettet la même limite. D où S est covergete, et par coséquet la série est covergete. M r AMROUN NOUR-EDDINE. 8

4. Supposos la série covergete, o a alors =p = p u p + p+ u p+ + = p u p u p+ + u p+2 u p+3 + u p+4 u p+5 +. } {{ }} {{ }} {{ } =p 0 0 0 La somme a le sige du premier terme. 5. = u 0 u + u 2 u 3 + u 4 + = u 0 u u 2 + u 3 u 4 + = u 0 u 2+ u 2+2. } {{ } Même méthode pour la derière propositio. 0 Exemple.3.3 Soit la HARMONIQUE alterée : + = 2 + 3 4 + 5 6 + 7 =. La valeur absolue du terme gééral est /, qui est le terme d ue suite décroissate et ted vers zéro. La série est doc covergete. 2. Le premier terme est positif, doc la somme est positive. 3. Le premier terme est, doc la somme est iférieure à. 4. O verra plus tard, que cette somme est Log 2, voir cours sur les séries etières. D après la derière propositio du théorème o a par exemple : Log 2 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 O peut vérifier facilemet : Log 2 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 = Log 2 2047 0, 6935 0, 73654= 0, 04339<0. 27720 = Log 2 627 2520 Exercice 2 Démotrer la covergece d ue série alterée, e utilisat directemet le critère d Abel précédet. Exercice 3 Cosidéros la série alterée, ; où u 2 = 2 pour >0 et ; u 2+= pour 0. 2+ 2 = 2 + 3 2 4 + 5 2 6 + 7 2 = Motrer que le terme gééral ted vers zéro, mais la série est divergete. = 9 M r AMROUN NOUR-EDDINE.

.4 Séries absolumet covergetes Défiitio.4. Ue série est dite absolumet covergete si la série est covergete. Il est clair que toute série à termes positifs covergete est absolumet covergete. Théorème.4. Toute série absolumet covergete est covergete. La réciproque est fausse. E d autres termes : coverge= coverge. O va prouver que est de Cauchy. Soitε>0 et p, q deux etiers tels que p q. Sp = S q u k u k. Comme la k=q+ k=q+ série coverge, elle est de Cauchy. Il existe alors N N tel que p, q Np q N o a u k = u k <ε. Doc pour p q N, S p S q u k <ε et par k=q+ k=q+ k=q+ suite U est de Cauchy doc covergete et aisi coverge aussi. Remarque.4. O sait que pour tout N, o a iégalité triagulaire. E cas de covergece absolue, cette iégalité est coservée ; à savoir Pour motrer que la réciproque est fausse, il suffit de cosidérer la série qu o = a vu qu elle est covergete mais pas absolumet covergete puisque =. Défiitio.4.2 La série est dite commutativemet covergete, si la série u ϕ est covergete pour toute bijectioϕdendasn. Théorème.4.2 Toute série absolumet covergete est commutativemet covergete. E plus soit la bijectioϕ :N No a :. u ϕ est absolumet covergete. 2. = u ϕ. La démostratio se fera e deux étapes : Etape. M r AMROUN NOUR-EDDINE. 20

O suppose que 0. Alors : covergete absolumet covergete. Soitϕ :N Nue bijectio et posos v = u ϕ. T = v 0 + v + +v = u ϕ0 + u ϕ + +u ϕ Puisque la suite des sommes partielles T est croissate et est majorée par alors T est covergete et o a De même,ϕ est bijective, = v ϕ. v. S = u 0 + u + + = v ϕ 0+ v ϕ + +v ϕ E passat à la limite et sachat que les séries coverget o obtiet Et par coséquet = v.. v. Etape 2. est ue série à termes quelcoques telle que coverge. D après l étape, coverge= v coverge, avec v = u ϕ et o a = v. Posos u + = max{, 0} et u = max{, 0}. O a u + 0, u 0 et = u + u. O a aussi comme coséquece 0 u + et 0 u. Puisque la série est covergete alors et d après le théorème de comparaiso les séries u + et u sot covergetes. = Or et doc u + = u + u = = u + u + ϕ et u = u + u = u. u ϕ, u + ϕ u ϕ = u ϕ = Remarque.4.2 Le théorème précédet cesse d être vrai si la série est seulemet covergete. La série = + est covergete voir l exemple.3.2 mais est pas absolumet covergete. + = 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 + 2 = Regroupos les termes d ue autre faço : 2 M r AMROUN NOUR-EDDINE. v. v.

+ = 2 + 4 3 6 + 8 5 0 + 2 = + 2k+ 22k+ + = v. 22k+2 Où v = 2+ 22+ 22+2 = 2+ 2 22+2 = 2 2+. 2+2 v = [ + 2 2 3 ] + = 4 +. 2 = E réorgaisat autremet la somme de cette série covergete, o a obteu ue série covergete mais pas de même somme. Cela est dû au fait que l additio d ue ifiité de termes est pas écessairemet commutative. Cette même série, e regroupat ses termes d ue autre faço, o peut avoir ue série divergete, trouver u exemple d u tel regroupemet. U bel exemple de série covergete et o commutativemet covergete. Soit le série alterée + Log +. = Il s agit d ue série alterée et le terme Log + décroît vers zéro, ce qui assure la covergece de la série doée. O a : + Log + + = + Log = + [Log+ Log ] = = = = [Log 2 Log ] [Log 3 Log 2]+[Log 4 Log 3] [Log 5 Log 4]+ = 2[Log 2 Log 3+Log 4 Log 5+ ]=2 Log. la série aisi obteue est grossièremet divergete, puisque le terme gééral e ted pas vers zéro. Il est facile de vérifier que la série est pas absolumet covergete. = Remarque.4.3 O a motré que pour les séries à termes positifs, si les termes sot équivalets à l ifii, alors les deux séries sot de même ature. Il e est rie pour les séries à termes quelcoques : Exemple, = + et v = 3/4. lim =, facile à vérifier. v 2. est divergete car, = = 3/4=+.; mais v, est covergete. = M r AMROUN NOUR-EDDINE. 22