Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce chpitre, on introduit une nouvelle notion mthémtique : l intégrtion. Après une première pproche géométrique, l introduction de l notion de primitive permet d élrgir l définition et les possiilités de clcul. Quelques eemples d pplictions sont donnés. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Prérequis A Aires. Aires usuelles On considère des figures dns un pln où une unité de longueur été choisie. On sit clculer les ires déterminées pr différentes figures géométriques : ire d un tringle : se huteur ; ire d un rectngle : longueur lrgeur (remrque : qund un rectngle ur un côté prllèle à l e des ordonnées, on ppeller ce côté l «huteur» du rectngle, et l utre côté ser ppelé s «lrgeur») ; ( petite se + grnde se) huteur ire d un trpèze : ; ire d un disque : π ryon.. Propriétés des ires Voculire Additivité Pour clculer l ire de figures moins simples que les précédentes, on peut décomposer celles-ci en un certin nomre de figures dont on sit clculer l ire. Pr eemple, pour clculer l ire d une surfce délimitée pr un polygone, on peut décomposer celui-ci en un certin nomre de tringles. L somme des ires des tringles donne lors le résultt souhité. L propriété utilisée s ppelle l «dditivité de l ire», elle est énoncée dns l propriété suivnte. On l hitude d ppeler «domines» les ensemles de points du pln dont on clcule les ires. Propriété Si E et E sont deu domines du pln dont l intersection une ire nulle lors l ire de E E est égle à l somme des ires de E et E : Aire( E E)= Aire( E)+ Aire( E). Dns l figure ci-contre : Aire( ABCD)= Aire( ABD)+ Aire( BCD). A B D C Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Inclusion Soit E et E deu domines du pln tels que ( ) ( ) E E lors Aire E A ire E. E E Trnsltion, symétrie Propriété Invrince pr trnsltion E Soit une trnsltion t v et deu domines du pln E et E tels que E soit l imge de E pr l trnsltion t v (c est-à-dire que tous les points du domine E sont otenus pr trnsltion de tous les points du domine E ). Alors les domines E et E ont l même ire : Aire( E)= Aire( E). v E Propriété Invrince pr symétrie Soit s une symétrie ile d e et deu domines du pln E et E tels que E soit l imge de E pr l symétrie s (c est-à-dire que tous les points du domine E sont otenus pr symétrie de tous les points du domine E ). Alors les domines E et E ont l même ire : Aire ( )= ( ). E Aire E E E. Domines, ires et mesures On confond prfois un domine (une surfce) vec une ire, ou une ire vec une de ses mesures. On précise ici pr un eemple l différence entre ces notions. Un domine est un ensemle de points du pln. Des domines, qui sont des ensemles de points différents, sont des domines différents, mis ces domines peuvent voir l même ire comme trois des domines ci-dessous qui ont chcun une ire égle à crreu. 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Mesurer une ire, c est lui ssocier un nomre en utilisnt une ire de référence, l unité. Prenons l eemple d une ire A de m. On peut écrire l églité A = m == cm mis, ien sûr, les nomres et ne sont ps égu. Le nomre est l mesure de l ire A en m et est l mesure de l même ire A vec une utre unité, le cm. Dns cette séquence, les intégrles sont des nomres et ces nomres sont utilisés pour mesurer des ires, l unité étnt souvent ppelée «unité d ire» ce que l on note u.. Il rrive que, quelquefois, on confonde une ire vec une de ses mesures (comme on le fit très souvent pour les ngles et leurs mesures en rdins ou pour les longueurs et leurs mesures). En sciences physiques, pour simplifier l écriture, on écrit souvent les unités seulement à l fin de clculs qui ont porté sur des nomres. B Dérivtion Comme on le verr, les deu notions de dérivtion et d intégrtion sont très liées, on rppelle donc ici les formules essentielles qui doivent être connues.. Fonctions usuelles Fonction f définie Epression de f( ) Epression de f ( ) et dérile sur I f( ) = k, k constnte réelle I = R f ( ) = f( )= I = R f ( ) = ] [ ] [ f( )= I = R * = ; + I = * = ; R + ou f ( ) = f( )= I = R + * = ] ; + [ f = ( ) n f( ) =, n N I = R f ( ) = n n n f( ) = =, n n + I = R * = ; + N R ] [ I = * = ; ] [ ou n n f ( ) = = n n+ f( ) = sin I = R f ( ) = cos f( ) = cos I = R f ( ) = sin f( )= e I = R f ( ) = f( ) = e ] [ f( ) = ln I = R * = ; + + f ( ) = Séquence 7 MA 5 Cned - Acdémie en ligne

. Opértions Dns le tleu ci-dessous, les fonctions u et v sont définies et dérivles sur le même intervlle I, k est un nomre réel ; dns les deu derniers cs, l fonction v ne s nnule ps. Alors l fonction f est dérivle sur le même intervlle I.. Composition Fonction f Fonction dérivée f f = u+ v f = u + v f = uv f = u v + uv f = ku f = ku f = = v f v v u uv f = = uv f v Dns le tleu suivnt, u est dérivle sur un intervlle I et vérifie éventuellement certines conditions. Alors l fonction f est dérivle sur le même intervlle I. Fonction f Fonction dérivée f Remrques éventuelles f : f( ) = g( + ) f : f ( ) = g ( + ) u uu v L fonction g étnt dérivle sur un intervlle J, l fonction f est dérivle en lorsque + pprtient à J. u n où n N * u n = u où n N * n u u nu u n u u nu n = nu' u n+ u u u u ne s nnule ps sur I u ne s nnule ps sur I u est à vleurs strictement positives sur I e u u e u lnu u u u est à vleurs strictement positives sur I 6 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ] A Oectifs du chpitre Dns ce chpitre, on définit l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle en utilisnt les ires et on en étudie les propriétés. B Pour déuter Activité Avec les vitesses et les distnces Un oet se déplce pendnt secondes à l vitesse de m.s -. Quelle distnce -t-il prcourue? Un oet se déplce pendnt secondes. On peut seulement enregistrer les vleurs successives de s vitesse v()à t l instnt t. On otient les vleurs suivntes et on demnde de donner une vleur pprochée de l distnce prcourue. t,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 7 8 9 vt () 9 7,6 6, 4,6,7,7,,8,4,,7,5,4,,, Un oet se déplce pendnt secondes. On peut seulement enregistrer, sur une représenttion grphique, s vitesse v()à t l instnt t. Dns les questions précédentes, des produits d une vitesse pr une durée sont pprus. On interprète ces produits comme des ires de rectngles. En utilisnt cette interpréttion, donner une vleur pprochée de l distnce prcourue pr l oet. v(t) en m.s O i 5 t en secondes Séquence 7 MA 7 Cned - Acdémie en ligne

Activité Aire sous l prole Cette ctivité propose une générlistion de ce qui été fit dns l eercice de synthèse VI de l séquence. Le pln est muni d un repère orthogonl ( O;i, ) ; l unité d ire qui ser utilisée pour mesurer les ires est l ire du rectngle OIKJ tel que i = OI et = OJ. Soit et deu nomres réels tels que. On se propose de déterminer l mesure I, de l ire sous l coure représentnt l fonction crré sur l intervlle E, [ ; ], c est-à-dire l ire du domine E, limité pr l représenttion grphique de l fonction crré, l e des scisses insi que O i les droites d équtions = et =. Pour cel, on détermine d ord l ire du domine E limité pr l représenttion grphique de l fonction crré, l e des scisses, et l droite d éqution =. On prtge l intervlle ; (où n est un entier [ ] en n intervlles de longueur n y = supérieur à ) sur lesquels on construit n rectngles situés sous l coure et n rectngles contennt E comme l illustre l figure. y = O O /n /n /n 4/n 5/n 6/n (n )/n(n )/n On note u n l mesure de l ire totle des rectngles situés sous l coure et v n l mesure de l ire totle des rectngles contennt le domine E. On otient insi deu suites ( u n ) et ( v n ) encdrnt l mesure I de l ire de E. Ainsi, pour tout n, on : un I vn. n n ) Vérifier que, pour n, un = k et v n = k. n k = n k = n nn ( + )( n+ ) ) En dmettnt que, pour tout n, k = (démontré pr 6 k = récurrence lors de l résolution de l eercice VI de synthèse de l séquence ), en déduire l epression de u n et de v n en fonction de n. c) Clculer l limite de chcune des deu suites et en déduire l vleur de I. Pr nlogie, donner l vleur de l mesure I de l ire du domine E limité pr l représenttion grphique de l fonction crré, l e des scisses et l droite d éqution =. En déduire lors l vleur de I,. 8 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

C Cours. Définition On se propose de générliser l notion d ire à des domines du pln liés à des fonctions. Les fonctions utilisées ici sont des fonctions continues sur des intervlles. Intuitivement, cel signifie que les coures représenttives sont formées d un trit continu, ces coures peuvent lors être utilisées pour limiter des domines dont on mesurer les ires. Le pln est muni d un repère orthogonl ( O;i, ) ; l unité d ire qui ser utilisée pour mesurer les ires est l ire du rectngle OIKJ tel que i = OI et = OJ. On dit qu une fonction f est positive sur un intervlle I si, pour tout de I, f( ) est positif : f( ). y E u Définition Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, [ ] continue et positive sur [ ] ;. On ppelle E le domine du pln limité pr l coure C f représentnt f, l e des scisses et les droites d éqution = et =. On ppelle intégrle de l fonction f sur ; domine E en unités d ire. Ce nomre est noté f ( ) d. [ ] l mesure de l ire du Remrque L ire du domine E s ppelle ussi ire sous l coure. On donc : ire( E ) = f ( ) d u.. Séquence 7 MA 9 Cned - Acdémie en ligne

Eemple Remrques Eemple Et si, sur chque e, l unité de longueur est égle à 5 cm comme dns l ctivité, on ur : ire( E ) = d 5 cm. f ( ) L intégrle de l fonction crré sur [ ; ] est telle que d = 7 comme on l vu dns l ctivité. Ainsi, pr eemple, d =. Le domine E peut ussi être défini pr un système d inéglités : M( ; y) E y f( ). Le nomre f ( ) d se lit «intégrle de à de f () d» ou «somme de à de f () d». Les réels et sont ppelés les ornes de l intégrle. On dit que est une vrile muette. En effet, l définition de «l intégrle de à de l fonction f» ne fit ps intervenir l vrile et on pourrit s en psser, mis il fudrit lors donner un nom à chcune des fonctions utilisées, ce qui serit ien compliqué. On préfère donc donner les fonctions pr leurs epressions, on donne un nom à l vrile mis ce nom n ucune importnce (seuls et, qui désignent les ornes, ne peuvent ps être utilisés). Ainsi d t t y y = d d =. L nottion «d» pour origine l lrgeur des rectngles qui ont été utilisés dns les premiers clculs d pproimtion, cette lrgeur multiplie les vleurs prises pr l fonction (comme on le voit dns l ctivité ). Cette nottion est indispensle qund plusieurs lettres sont utilisées pour définir l epression de l fonction (pr eemple ke ), «d» indique lors nettement quelle est l vrile. Clculer les intégrles : I= dt et J= d t, et étnt des nomres réels tels que. K= ( 5, t + ) dt et L= + d 4 ( 5, t ) t, et étnt des nomres réels tels que. 4 M= t d t. Le pln étnt muni d un repère orthonormé, près voir reconnu l coure C représenttive de l fonction f définie pr f( )= sur [ ; ], clculer N= d. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Solution Remrquons que, dns chque cs, l ire est mesurée vec l unité d ire donnée pr le repère qui peut être orthonormé ou orthogonl. O i L fonction que l on intègre est une fonction constnte, on mesure donc des ires de rectngle et on otient : I= dt = ( ( )) = et J= d t = ( ). F,5 +,5 + G C A 4 B O i D E L intégrle K est l mesure de l ire du tringle ABC : ( K= + d = ( (, ) 4)) 5 t t = ; l intégrle L est l mesure de l ire du 4 trpèze DEFG : + + + + L= (, + ) ( 5, ) ( 5, ) ( 5, 5, + 4)( ) 5t dt = ( ) =. L intégrle M est l mesure de l ire d un domine que l on peut décomposer en deu tringles. En effet, on 5,. Ainsi : si 5, lors = + et si 5, 4 lors =. L coure représenttive de l fonction f définie sur [ ; 4] pr f( )= est représentée ci-contre. Le domine E défini pr 4 est y f( ) colorié ; son ire est égle à l somme des ires des tringles OAB et BCD. On donc : 4 OA OB BC CD M= d = + = 5,, 5 5 t t + = 85,. A O i B C D Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Les points de l coure C sont tels que y =, d où y + = et l coure C est donc un demi-cercle de centre O et de ryon. D où N= d = π = π. O Remrque Dns le cs prticulier où l fonction f est une fonction constnte qui prend l vleur positive λ (cette lettre grecque se prononce «lmd») sur tout l intervlle [ ; ], on f( )d = d ( ) λ =λ cr le domine E est un rectngle dont les côtés mesurent et λ. O i. Propriétés Les ires permettent d otenir les propriétés qui suivent. Propriété Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, Pour tout réel c de l intervlle ;, [ ] continue et positive sur [ ] c ( ) d =. c [ ] f ;. Démonstrtion Le domine E est réduit à un segment dont l ire est de mesure nulle. Propriété Positivité Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, Alors f ( ) d. [ ] continue et positive sur [ ] ;. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Démonstrtion Commentire L mesure d une ire est un nomre réel positif. Cette propriété est ppelée «positivité» de l intégrle, et il suffit de rppeler ce mot qund on utilise cette propriété. Propriété Comprison [ ] continues et posi- Soit f et g deu fonctions définies sur l intervlle ;, tives sur [ ;, telles que f g, c est-à-dire telles que f( ) g( ) pour tout de [ ; ]. Alors f( ) d g( ). d y g f f g ' i y' Démonstrtion Le domine E f défini pr M( ; y) Ef est inclus dns le y f( ) domine E g défini pr M ( ; y ) g E y g( ). D où l inéglité des ires : ire( Ef ) ire( Eg ) et de leurs mesures : f( ) d g( ). d Eemple [ ] permet de trou- L comprison des fonctions crré, et rcine sur ; ver : d d d. y = y = y = y = O i Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Propriété 4 Reltion de Chsles Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, [ ] continue et positive sur [ ] [ ; ], lors Soit c un nomre de l intervlle c f( ) d + f( ) f( ). d = c d ;. y f () f (c) f () c f(t)dt f(t)dt c c Démonstrtion Commentire Cette églité résulte de l dditivité des mesures d ires qui été rppelée en prérequis. Vous vez très prolement remrqué l nlogie vec l reltion vectorielle AC + CB = AB, et vous retiendrez fcilement que cette églité entre des intégrles est ppelée «reltion de Chsles». Cette propriété des ires et des intégrles été utilisée dns le clcul de l intégrle M de l eemple. f Définition L vleur moyenne d une fonction f définie sur l intervlle [ ; ]vec, continue et positive sur ;, [ ] est égle u nomre ft t () d. D A µ i C B Commentire Notons µ cette vleur moyenne. On donc µ= ft ()d t et µ( ) f( t) t. = d Le produit µ( ) peut être interprété comme l mesure de l ire d un rectngle ABCD (il est indiqué sur l figure). Et l dernière églité montre lors que l vleur moyenne de l fonction f sur l intervlle [ ; ] est égle à l huteur AD du rectngle ABCD de se ; [ ] et qui l même ire que le domine E. 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Propriété 5 Inéglités de l moyenne [ ] vec Soit une fonction f définie sur l intervlle ;, continue et positive sur [ ; ], et deu nomres m et M tels que, pour tout de l intervlle [ ; ], on m f( ) M. Alors m µ M, µ étnt le vleur moyenne de l fonction f sur ;. [ ] F M E D µ f C H A O m i G B Démonstrtion On pplique l propriété à l fonction constnte m, à l fonction f et à l fonction constnte M. D où : m ( ) ft ( ) dt M ( ). Et, en divisnt pr qui est strictement positif, on : m ft t M () d, soit m µ M. Commentire Eemple Solution On peut retenir visuellement ces résultts ssez fcilement cr les inéglités m ( ) ft ( ) dt M ( ) sont l trduction de : Aire(ABGH) Aire(ABCD) Aire(ABEF). = [ ] Déterminer l vleur moyenne de l fonction crré sur l intervlle I ;. On : µ = = = t d t 4,. µ = 4, Les ires colorées sont égles. Séquence 7 MA 5 Cned - Acdémie en ligne

. Clcul pproché d une intégrle d une fonction continue monotone positive ) Encdrement à l ide d un lgorithme On cherche à générliser les méthodes évoquées lors de l ctivité à une fonction continue, positive et monotone. Soit f une fonction continue, monotone et positive sur l intervlle [ ; ]. On note E le domine limité pr l représenttion grphique de l fonction f, l e des scisses et les droites d équtions = et =. On prtge l intervlle [ ; ] en n intervlles de longueur (où n est un n entier supérieur à ) sur lesquels on construit n rectngles situés sous l coure et n rectngles contennt E comme l illustrent les figures ci-dessous. [ ] Cs : f croissnte sur ; +h +h h +h +h h Cs : f décroissnte sur [ ; ] +h +h h +h +h h 6 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

[ ] on note u n l mesure de l ire totle Dns le cs où f est croissnte sur ;, des rectngles situés sous l coure et v n l mesure de l ire totle des rectngles contennt le domine E. On otient insi deu suites ( u n ) et ( v n ) encdrnt l mesure f ( ) d de l ire de E. Ainsi, pour tout n, on : un f( ) d v n. En s ppuynt sur les représenttions grphiques précédentes, on montre que : n n u h f kh f k n = ( ( + ))= + n n et k = k = n n v h f kh f k n = ( ( + ))= + n n. k = k = Lorsque l fonction f est décroissnte sur [ ; ], les suites définies pr les églités précédentes déterminent encore un encdrement de f ( ) d mis leurs rôles sont inversées : pour tout n, vn f( ) d u n. On donc démontré l propriété suivnte. Propriété 6 Soit f une fonction continue, positive et monotone sur un intervlle [ ; ], ( u n ) et ( v n ), les suites définies pr : n n un = ( h f( + kh) ) et vn = ( h f( + kh) ). Alors : k = k = si f est croissnte, on : un f( ) d v n ; si f est décroissnte, on : vn f( ) d u n. Le logiciel Geoger permet fcilement de visuliser ces encdrements de l fçon suivnte. L fonction f est définie sur un intervlle [ ; ]. On crée un curseur n (entier prennt les vleurs de à 5 pr eemple). On entre s=sommeinférieure[ f,,, n] qui nous donne un minornt de f ( ) d otenu en considérnt les rectngles sous l coure. Puis on entre S=SommeSupérieure[ f,,, n] qui nous donne un mornt de f ( ) d otenu en considérnt les rectngles contennt le domine. En ugmentnt n, on otient des encdrements de plus en plus précis de f ( ) d. Séquence 7 MA 7 Cned - Acdémie en ligne

Cette propriété ustifie l lgorithme suivnt qui nous donne des encdrements d intégrles dns le cs où f est positive et monotone. Algoo Csio TI On propose, dns l eercice 4, de modifier cet lgorithme pour otenir un encdrement d mplitude fiée. ) Vleur pprochées à l ide d une clcultrice ou d un logiciel de clcul formel L lgorithme précédent permet d encdrer l vleur d une intégrle, on peut donc en donner une vleur pprochée, en prennt pr eemple u n + v n. À prtir d lgorithmes choisis pour leur efficcité (précision, nomres de ps dns les clculs), les clcultrices et les logiciels de clcul formel donnent des vleurs pprochées d intégrles. Avec une clcultrice TI-8-stts.fr On utilise l touche MATH puis l instruction 9 : fonctintégr. 8 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

L synte est fonctintégr(epression de l fonction, nom de l vrile, orne inférieure, orne supérieure). Voici, pr eemple, le clcul de d : Avec une clcultrice Csio 5+Pro On utilise successivement OPTN CALC d. L synte est ( epression de l fonction, orne inférieure, orne supérieure, tolérnce). Les clculs se font de fçon pprochée et l «tolérnce» permet de choisir une précision plus ou moins grnde. Il est possile de ne ps indiquer l vleur de l tolérnce (l clcultrice utiliser lors 5 ) et de ne ps fermer l prenthèse. Avec un logiciel de clcul formel Voici un écrn otenu vec le logiciel Xcs. L première instruction int(^,) permet d otenir à l deuième ligne une primitive de l fonction donnée pr l epression ^ où l vrile est, il s git Eemple Solution donc de l fonction crré. (Avec l instruction int(k*^,k) l vrile serit k et on otiendrit *k.) 5 L deuième instruction correspond à l intégrle d dont le logiciel donne l vleur : 98. [ ] Construire un tleu de vleurs et l coure de l fonction f définie sur 6 ; pr f( ) = d t. t,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 f( ) = dt.,454,69,96,986,58,86,54,694,747,798 t Séquence 7 MA 9 Cned - Acdémie en ligne

O i Eemple 4 Solution 4. Intégrtion et dérivtion Dns l eemple, on otenu ci-dessus de vleurs pprochées de dt, t 5 6 dt, dt t et t dt. Quel lien peut-on conecturer entre trois de ces t qutre intégrles? 6 On peut conecturer que dt = t t d + dt t, ce qui fit penser u logrithmes népériens. t Or on sit que l fonction ln pour dérivée l fonction inverse Le théorème qui suit est fondmentl. Il permet de relier l intégrtion et l dérivtion, fcilitnt le clcul de eucoup d intégrles. Théorème Soit f une fonction continue et positive sur ;, pr f()d t t est dérivle sur ; [ ] l fonction définie sur [ ; ] [ ] et s fonction dérivée est l fonction f. Remrque On ppeller F l fonction définie sur [ ; ] pr f () t d dt, insi F ( ) = ft ( ) dt. Nottion : on rppelle que dns l écriture F( ) = ft ( ) d t l vrile «t» est muette, on urit pu choisir l nottion F ( )= f où l on voit mieu que l intégrle ne dépend que de f et des ornes et, mis cette nottion n est ps du tout prtique. On utilise donc l nottion F( ) = f( t) d t dns lquelle il est essentiel que l vrile muette soit nommée différemment de l orne qui est l vrile hituelle. Interpréttion géométrique : pr définition de l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ], F ( ) est égle à l mesure de l ire du domine du pln limité pr l coure C f représentnt f, l e des scisses, l droite des points d scisses et l droite des points d scisse. F ( ) =. Démonstrtion Elle est fite dns le cs prticulier d une fonction positive et croissnte sur un intervlle ;. [ ] Dns les utres cs le théorème est dmis. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

On v encdrer le quotient F ( + h) F ( ). f(+h) h f() Cs où h est positif. f L ire du domine colorié est mesurée pr F ( ) = ft ( ) dt. O +h L ire du domine formé i pr l réunion du domine colorié en foncé et du domine colorié en clir est mesurée pr + h F ( + h) = ft ( ) dt. + h + h D près l reltion de Chsles, on ft () dt+ ft () t ft () t, d = d soit + h + h F ( ) + ft ( ) d t= F ( + h) et donc F( + h) F ( ) = ft ( ) t d, ce qui est l mesure de l ire coloriée en clir. [ ] pour tout nomre t de Comme l fonction f est croissnte sur ;, l intervlle [ ; + h] on f( ) f( t) f( + h), et, d près les inéglités de l moyenne où m et M sont remplcés pr f( ) et f( + h), on + h F ( + h) F ( ) f( ) ft ( ) t f ( + h), h d soit f( ) f( + h). h Cs où h est négtif. L ire du domine colorié en foncé est mesurée pr + h F ( + h) = ft ( ) dt. L ire du domine formé pr l réunion du domine colorié en foncé et du domine colorié en clir est mesurée pr F( ) = f( t)d t. f() f(+h) O + h D près l reltion de Chsles, on ft () dt+ ft () t ft () t, d = + h d soit F ( + h) + ft ( ) d t= F ( ) et donc F( + h) F ( ) = ft ( ) t. + h d + h Comme l fonction f est croissnte sur [ ; ] et que h est négtif, pour tout nomre t de l intervlle [ + h; ] on f( + h) f( t) f( ), et donc, d près les inéglités de l moyenne, F ( + h) F ( ) f( + h) ft () t f ( ), ( + h) d soit f( + h) f( ). + h h Ainsi, que h soit positif ou négtif, F ( + h) F ( ) est encdré pr f( ) et h i +h f Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Eemple D Eercice f( + h). Comme l fonction f est continue sur ;, [ ] pout tout de ;. [ ] on lim f( + h) = f( ) h F Et donc, d près le théorème des gendrmes, lim ( + h ) F ( ) = f( ), ce qui h h prouve que l fonction F est dérivle en pour tout de ;, F f. [ ] et que = On rppelle que, dns l ctivité, t dt = pour, et donc ussi F( ) = t dt= pour. On retrouve ien que l fonction F est dérivle si, et que F ( ) = = f( ). De même, dns l eemple 4, on oservé un lien entre dt et l fonction ln dont l fonction dérivée est l fonction inverse. t Les fonctions du type de F vont être étudiées dns le chpitre suivnt. Eercices d pprentissge Le pln est muni d un repère orthonormé. On utilise le résultt t dt = pour. Clculer t dt et, pr des considértions de symétries et d ires, déterminer t d t. En déduire l mesure de l ire du domine situé entre l coure de l fonction crré et l coure de l fonction rcine. y = y = y = O i Eercice Une voiture se déplce sur une route, elle démrre à l instnt t =, puis ccélère de fçon régulière durnt l première heure (c est-à-dire que l on suppose constnte l ccélértion qui est l dérivée de l vitesse). Après une heure de route, s vitesse est lors 8 km.h -. Elle grde cette vitesse durnt les deu heures suivntes puis décélère de fçon régulière pour s rrêter une demi-heure plus trd. Dns un repère orthogonl, représenter l vitesse v du véhicule en fonction du temps. Déterminer l distnce prcourue durnt ce tret insi que l vitesse moyenne du prcours. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Eercice Eercice 4 Eercice 5 On considère une fonction f monotone sur [ ; ] et on reprend l propriété 7, les nottions et l lgorithme qui en découle. ) Montrer que l encdrement vn f() t dt un ouun f() t dt v n (selon le sens de vrition de f ) est d mplitude hf( ) f( ). ) Modifier lors l lgorithme d encdrement construit dns le cours pour que l encdrement de l intégrle otenu it une mplitude inférieure à un nomre d fié. t On veut otenir un encdrement de e dt d mplitude 4. ) Montrer que f : e est monotone sur [ ; ]. t ) En utilisnt l lgorithme, encdrer e dt vec une mplitude inférieure à 4. [ ] pr Quelle est l fonction dérivée de l fonction F définie sur ; d t? t + Même question pour l fonction G définie sur [ ; ] pr d. t Qu oserve-ton? t + [ ] qui Quelle est l reltion eistnt entre F( ) et G( ) pour tout de ; permettit de prévoir ce résultt? Dns cet eercice, les trois premières questions sont des questions à choi multiples (QCM) pour lesquelles trois réponses sont proposées dont une seule est correcte. Dns l qutrième question, on doit dire si l proposition qui est énoncée est vrie ou fusse. Toutes les réponses doivent être ustifiées. Les fonctions qui sont intégrées sont continues et positives sur les intervlles d intégrtion. Si I= f( ) d et J= d 4 f( ), lors f( ) d est égle à : 4 ) + I J ) I + J L vleur moyenne sur [ 4; ] de l fonction f représentée cicontre vut : ) ) c),5. L intégrle I= f( ) d pprtient à l intervlle : ) 7; 9 c) I+ J. [ ] ) [ 9; ] c) [ ] ;. L proposition suivnte est-elle vrie ou fusse? [ ] sont telles que Si deu fonctions f et g continues et positives sur ; f( ) d = g( ) d, lors f( ) = g( ) pour tout de [ ; ]. -4 O i Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Primitives A Oectifs du chpitre À l fin du chpitre, pprît une fonction dont on connît l fonction dérivée. Dns ce chpitre, on définit et on étudie ces fonctions définies pr leurs fonctions dérivées. Dns le chpitre qui suivr, on pourr lors clculer des intégrles. B Activité Activité 4 Activité 5 Pour déuter On considère les fonctions F, G et H définies sur R pr : F ( ) = + 5, G( ) =, et H( ) = + 9999. Déterminer leurs fonctions dérivées. Qu oserve-ton? Les fonctions F, G et H sont-elles égles? ] [ pr Mêmes questions, les fonctions F, G et H étnt définies sur ; + F ( ) =, G ( )= et H 5 ( ) =. On considère les deu fonctions f et F définie sur ;+ F ( ) = ln. Montrer que F = f. ] [ pr f( ) ln Trouver deu fonctions G et H différentes de F, telle que G = H = F. Déterminer une fonction K définie sur ] ;+ [ telle que K f = et ' = et K () =. Trouver une fonction F définie sur R telle que, pour tout réel, F ( ) = f( ) 5 vec f( ) = 6 + +. 5 Même question vec f( )= + sur R. Même question vec f( )= + sur ] ; + [. Soit f l fonction définie sur R pr f( ) = ( + e ). Déterminer deu nomres réels et tels que l fonction F définie sur R pr F( ) = ( + ) e it pour fonction dérivée l fonction f. 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

C Cours. Définition des primitives d une fonction sur un intervlle, eistence Définition Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I. On dit qu une fonction F, définie sur I, est une primitive de l fonction f sur I si : l fonction F est dérivle sur I ; pour tout de I, F ( ) = f( ). Eemples Remrque Rppel Soit f l fonction crré définie sur R. L fonction F définie sur R pr F( )= est une primitive de l fonction crré cr, pour tout réel, on F ( ) =. L fonction ln est une primitive sur ;+ réel strictement positif, on : ln ( ) =. ] [ de l fonction inverse cr, pour tout L fonction F est une primitive de l fonction f sur I si et seulement si f est l fonction dérivée de F sur I. On démontré dns le chpitre que, pour une fonction f continue, positive et croissnte sur un intervlle fermé [ ; ], l fonction définie sur [ ; ] pr f()d t t est dérivle sur [ ; ] et que s fonction dérivée est l fonction f. On dmis cette propriété pour toutes les fonctions continues et positives sur [ ; ]. On otient donc qu une fonction f continue et positive sur un intervlle [ ; ] dmet u moins une primitive sur [ ; ] définie pr f() t dt. Plus générlement, on le théorème qui suit. Théorème Toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives sur cet intervlle. Voici Vii le principe i de l démonstrtion dns le cs d une fonction f définie et continue sur un intervlle fermé [ ; ]. On ne suppose donc plus que l fonction est positive, mis on peut s y rmener. O m i y = g() = f() m g f Séquence 7 MA 5 Cned - Acdémie en ligne

Eemple [ ] dmet un mini- On dmet qu une fonction continue sur un intervlle fermé ; mum m sur [ ; ] (ce qui peut être conecturé à prtir de l représenttion grphique puisque l coure représenttive d une fonction continue sur un intervlle fermé est formée d un trit continu, m est l plus petite ordonnée des points de l coure). [ ] on donc m f t Pour tout t de ;, (), soit f() t m. L fonction g définie sur [ ; ] pr gt () = ft () m est donc une fonction continue et positive sur [ ; ]. Géométriquement, cel correspond à trnslter l coure de f vers le hut pour que tous les points de l nouvelle coure ient une ordonnée positive. On pplique à cette fonction g le théorème du chpitre et on otient que l fonction G définie sur [ ; ] pr g()d t t est dérivle sur [ ; ] et que s fonction dérivée est l fonction g : G = g. Comme f( ) = g( ) + m sur ;, pr : F( ) = G ( ) + m. On F ( ) = G ( ) + m= f( ) pour tout de ; [ ] on considère l fonction F définie sur [ ; ] [ ] donc F est une primitive de f. Le théorème est dmis dns le cs des fonctions définies sur I, I n étnt ps un intervlle fermé et l fonction f pouvnt lors ne ps dmettre de minimum. Les fonctions F, G et H définies sur R pr : F( ) = e + 5, G ( ) = e, et H ( )= e 9999 sont des primitives de l fonction f définie sur R pr f( ) = e.. Propriétés des primitives Dns l eemple précédent, on outé des constntes à l primitive e, pour friquer d utres primitives de l fonction e. L propriété suivnte montre qu il n y ps d utres formes de primitives. Propriété 7 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I, et soit F et G deu de ses primitives. Alors l fonction F G est une fonction constnte sur I. Démonstrtion Pour tout de I, on ( F G) ( ) = F ( ) G ( ) = f( ) f( ) =. L dérivée de l fonction F G est nulle sur l intervlle I donc l fonction F G est une fonction constnte sur I. Propriété 8 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I, et soit F une de ses primitives. Alors l ensemle des primitives de f sur I est égl à l ensemle des fonctions de l forme F + k, où k est une constnte. 6 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Démonstrtion D près l propriété précédente, si G est une utre primitive de f sur I lors F G est une fonction constnte sur I, donc G = F + k. Réciproquement : soit G une fonction telle que G = F + k où k est une constnte. Pour tout de I, F ( ) = f( ) et G( ) = F ( ) + k. Comme k est une constnte, G ( ) = F ( ) + = f( ), donc l fonction G est une primitive de f sur I. Conséquence Eemple 5 Solution D près le théorème et l propriété précédente, on peut déduire que : toute fonction continue sur un intervlle I dmet une infinité de primitives sur I. Donner l ensemle des primitives sur R de l fonction crré. L ensemle des primitives de l fonction crré sur R sont les fonctions F de l forme F( ) = + k, k étnt une constnte. En effet, l fonction est une primitive de l fonction crré. Propriété 9 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I. Soit un élément de I et y un nomre réel. Alors il eiste une et une seule primitive de f sur I qui prend l vleur y en. Démonstrtion Soit F une des primitives de f sur I. On sit que toutes les primitives de f sont de l forme F + k, il suffit donc de chercher k pour que F( ) + k= y. On trouve une solution unique pour k, k = F( ) + y, donc il eiste une et une seule primitive vérifint l condition imposée. Et cette solution G est telle que G( ) = F ( ) F ( ) + y. Eemple 6 Solution Trouver l primitive G de l fonction crré f qui prend l vleur pour =. Remrquons d ord l utilistion de l rticle «l» : en effet l propriété 8 ssure qu il n y qu une fonction qui convient. L fonction G que l on cherche est de l forme G( ) = + k, vérifint G( ) =. Comme G( ) k k 8 5 = + = = k =, l primitive G qui convient 5 est définie pr G( ) =. Séquence 7 MA 7 Cned - Acdémie en ligne

Conséquence Eemple 7 Solution Un cs prticulier importnt Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I et soit un élément de I. Alors il eiste une et une seule primitive de f sur I qui s nnule en. Il s git de l propriété précédente vec y =. Soit F une des primitives de f sur I. L primitive de f sur I qui s nnule en est l fonction G définie sur I pr G ( ) = F ( ) F ( ). Déterminer l primitive H de l fonction crré qui prend l vleur pour = 5. Une primitive de l fonction crré est l fonction F définie pr F( ) =, donc l primitive H que l on cherche est telle que 5 5 H ( ) = F ( ) F( 5) = =. Propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deu nomres réels de I. Soit F une des primitives de l fonction f sur I. L différence F( ) F ( ) ne dépend ps de l primitive choisie. Démonstrtion Pour prouver que l différence ne dépend ps de l primitive choisie, nous llons choisir deu primitives quelconques et montrer que l différence est l même pour ces deu primitives. Soit F et F deu primitives de f sur I, d près l propriété 8 il eiste lors un nomre réel k tel que, pour tout de I, on : F( ) = F( ) + k. On otient donc : F( ) F( ) = ( F( ) + k) ( F( ) + k) = F( ) F( ). L différence est donc ien l même quelle que soit l primitive F choisie. Eemple Les fonctions G et H des eemples 6 et 7 sont des primitives de l fonction crré sur R. Pour = et =, on : 5 ( ) 5 ( ) G ( ) G ( ) = G( ) G( ) = = = et 5 ( ) ( ) H ( ) H ( ) = H( ) H( ) = 5 = =. 8 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Propriété Primitive et intégrle Soit f une fonction continue et positive sur ; On lors : ft () d t= F ( ) F ( ). [ ] et F une de ses primitives. Eemple Remrque Démonstrtion [ ] pr f()d t t [ ] et s fonction dérivée est l fonction f. Donc l fonction [ ] pr f()d t t À l fin du chpitre, on vu que l fonction définie sur ; est dérivle sur ; définie sur ; est une primitive de l fonction f. Or ft () d t=, donc, d près l propriété 8 et s conséquence, l fonction définie sur [ ; ] pr f()d t t est l primitive de l fonction f qui s nnule en. Et on sit que, si F est une des primitives de f sur I, l primitive de f qui s nnule en est l fonction F( ) F( ), donc on ft () d t= F ( ) F ( ), en prticulier ft () d t= F ( ) F ( ). Une primitive de l fonction crré est l fonction F définie sur R pr F( )= et, dns le chpitre, on ien otenu l églité t dt = vec. D une prt, on vu qu une fonction continue et positive sur un intervlle ; possède des primitives en utilisnt une fonction définie pr une intégrle. D utre prt, l propriété montre qu il est possile de clculer une intégrle si on connît une primitive de l fonction qui est intégrée. Ces deu notions sont donc très liées. Dns ce chpitre, on étudie surtout les primitives, l notion d intégrle ser ensuite pprofondie dns le chpitre 4. [ ]. Primitives des fonctions usuelles, opértions et composition Fonctions usuelles «Déterminer une primitive» est l opértion inverse de «dériver une fonction» : si f est l fonction dérivée de F sur un intervlle I lors F est une primitive de f. Le tleu des dérivées usuelles nous permet lors de dresser le tleu des primitives des fonctions usuelles. Dns ce tleu, k désigne un nomre réel constnt. Séquence 7 MA 9 Cned - Acdémie en ligne

Epression de f( ) sur I I Epression de F( ) sur I f( )= I = R F ( ) = k, k constnte réelle f( )= I = R F( )= + k f( )= + I = * = ; + R R ] [ ou I = * = ; ] [ ] [ F ( )= +k f( )= I = R * = ; + F ( )= + k n f( ) =, n I = R N + n+ F ( )= + k n + n f( ) = =, n N, n n + I = * = ; + R R ] [ ou I = * = ; ] [ F ( ) = n ( n ) n+ + k = + k n + f( ) = cos I = R F ( ) = sin+ k f( ) = sin I = R F ( ) = cos+ k f( )= e I = R F ( )= e + k f( )= + I = R * = ] ; + [ F ( ) = ln+ k Opértions et composition Dns le tleu suivnt, f, g, u, v sont des fonctions continues sur un intervlle I, les fonctions F et G sont des primitives des fonctions f et g sur I. Les nottions α, β,,, désignent des nomres réels. et k désigne une constnte. Ce tleu est otenu à prtir des propriétés de l dérivtion des fonctions otenues pr opértions ou pr composition. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Fonction définie sur I Les primitives sur I Remrques f + g F + G+ k αf αf + k αf + βg αf + βg+ k uu u + k n uu, n N n+ u + k n + v v + k v v = vv n, n N*, n n v u u n+ + k = v + k n ( n ) v n + u + k u e u e u + k u u lnu+ k v ne s nnule ps sur I v ne s nnule ps sur I L forme est l même que n pour uu, n N u est à vleurs strictement positives sur I u est à vleurs strictement positives sur I f( ) = g( + ) F( ) = G( + ) + k Pour chercher des primitives, on dispose donc de tous ces résultts, issus de ce qui est connu sur l dérivtion, et des indictions données pr les énoncés des eercices (comme dns l question de l ctivité 5). Remrque Il eiste des fonctions pour lesquelles on ne peut ps trouver une formule eplicite (utilisnt les fonctions usuelles précédemment rencontrées et les règles opértoires clssiques : ddition, multipliction, composition ) pour les primitives, pr eemple l fonction définie sur R pr e. On rencontrer de tels cs en proilité et en sttistiques dns les séquences 8 et 9, mis, en dehors de ces séquences, on éviter ces cs en Terminle. Dns l prtique des utilisteurs des mthémtiques, ces cs sont fréquents. On peut lors seulement utiliser des intégrles cr on sit que l fonction définie sur [ ; ] pr f()d t t est l primitive de l fonction f qui s nnule en. On fit lors seulement des clculs pprochés d intégrles, mis heureusement les moyens informtiques permettent mintennt des clculs rpides et d une très onne précision. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

4. Eemples de recherche de primitives Remrques préliminires Eemple 8 Solution Commentire Eemple 9 Solution Eemple Solution Eemple Solution Pour trouver les primitives, il fut ien connître les formules sur les dérivées. Qund on trouvé une primitive, il est prudent de vérifier le résultt en dérivnt l primitive otenue. Qund on demnde une primitive (et non les primitives), on prend souvent k =. On ne trouver ps touours une formule du cours qui s dpte ectement : il fudr souvent choisir une ou plusieurs constntes multiplictives. On considère l fonction f définie sur R pr f( ) = + +. Trouver une primitive de f sur R. On : f( ) = ( )+ ( ) +, d où F( )= + + sur R (ici, on ne demnde qu une primitive). On dit que et sont des constntes multiplictives. 5 On considère l fonction f définie pr f( )= + sur I= ] ; + [. Donner toutes les primitives de f sur I. On f ( ) = + 5, donc les primitives de f sur I sont les fonctions F telles que F( ) = k, + 5 ( )+ k étnt une constnte (ici on demnde toutes les primitives). + + On considère l fonction f définie sur R pr f( ) = e e. Donner toutes les primitives de f sur I. On reconnît ou on met en évidence l forme u e u + + : f( ) = e ( e ). Donc les primitives de f sur R sont les fonctions F telles que F ( ) = + e e + + k. On considère l fonction f définie sur R pr f( ) = cos sin(5 4 π ). Déterminer l primitive de f qui s nnule en. Comme f( ) = cos+ ( 5sin(5 4 π) ), l primitive cherchée est de l forme 5 F( ) = sin+ k 5 cos(5 4 π ) +, le réel k étnt tel que F( ) =. Or F() = sin + k k k 5 cos(5 4 π ) + = + 5 + = = 5. Donc F( ) = sin + 5 cos(5 4 π) sin 5 = + 5 cos(5 ) 5. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

D Eercices d pprentissge Eercice 6 Eercice 7 Eercice 8 Eercice 9 Eercice Eercice Dns chque cs, déterminer une primitive F de l fonction f sur l intervlle I. 4 f( )= 5 + 4 + sur I = f( )= 5 f( )= sur I = ; ] [ f( )= ( + ) sur I = R + f( )= sur I= ] ; + [ f( ) = cos( ) sur R. + R sur I= ] ; + [ Dns chque cs, sur l intervlle I, déterminer l primitive F de l fonction f telle que F( ) = y. f( )= + I = R = y = ; f( ) = ( ) I = R = y = ; f( )= e I = R = y = 4 ; ] [ f( )= I= ; + = y = ; f( )= I= ] ; + [ = y =. + Les fonctions suivntes sont toutes définies sur R. Pour chcune d elles, donner toutes ses primitives sur R. f( )= e + e + e ( ) f( ) = e f( )= e e + e f( )= + e f( ) =. e + Déterminer toutes les primitives de f sur I. f( ) = cos + sin sur I = R f( ) = cos( + ) sin( 5 4 ) sur I = R sin f( ) = sur I = π cos ; 4. Soit f l fonction définie sur R pr f( ) = e. ( ) Déterminer l fonction dérivée de f et eprimer f( ) en fonction de f ( ). En déduire l epression d une primitive de f. Voici les coures représenttives de qutre fonctions f, f, f et f 4. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

O O 4 O O Des primitives de chcune des fonctions f, f, f et f 4 sont représentées cidessous. Pour chcune des fonctions f, f, f et f 4, indiquer quelle coure représente une de ses primitives. J O I O c d O O 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

Primitives 4A B Activité 6 Activité 7 et intégrles d une fonction continue sur un intervlle Oectifs du chpitre Dns le chpitre, on défini l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ] en utilisnt les ires. L notion de primitive vue u chpitre permet de générliser l définition de l intégrle u fonctions continues de signe quelconque sur un intervlle en conservnt les propriétés déà rencontrées. Pour déuter [ ] et On rppelle l propriété : soit f une fonction continue et positive sur ; F une de ses primitives. On lors : ft () d t= F ( ) F ( ). On considère ici deu fonctions f et g continues et positives sur un intervlle [ ; ]. Soit F une primitive de f sur [ ; ] et G une primitive de g. Démontrer que ( f + g) () t dt = f t t + g t t () d () d. Soit α un nomre réel, montrer que ( αf) () t dt = α f t t () d. Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I. On souhite pouvoir générliser l reltion de Chsles quel que soit l ordre des nomres réels, et c de l intervlle I. c On donc esoin de définir ft ()d t l orne c étnt inférieure à l orne. c Proposer une définition de ft ()d t vec c. Clculer 4 t dt. O i c Démontrer lors que, pour tous les nomres, et c de l intervlle I, on : c f( ) d + f( ) d = f( ) d. c Séquence 7 MA 5 Cned - Acdémie en ligne

C Cours. Intégrle d une fonction continue de signe quelconque Dns le chpitre précédent, on vu que si f est une fonction continue et positive sur [ ; ], ft () d t= F ( ) F ( ). Cette églité v nous servir pour générliser l notion d intégrle à des fonctions qui ne sont ps positives sur I. Définition 4 Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deu nomres réels de I. Soit F une des primitives de l fonction f sur I. On ppelle «intégrle de à de l fonction f» le nomre F( ) F ( ) et on note ft () d t= F ( ) F ( ). Remrques Eemple Solution On rppelle que l fonction f possède une infinité de primitives sur I, mis que l différence F( ) F ( ) ne dépend ps de l primitive choisie. Il n y ps ici de condition sur le signe de f()ni t sur l ordre de et. Bien sûr, dns le cs des fonctions positives sur I et lorsque, les définitions et 4 coïncident grâce u théorème. L différence F( ) F ( ) est souvent notée F() t, entre et». Clculer t π d t ; cost d t. [ ] ce qui se lit «F t () pris L fonction f définie sur R pr f()= t t est continue sur R et une de ses t primitives est l fonction f définie pr F()= t (remrque : l fonction f est une fonction négtive). On : = t = 8 t t = 7 d. On cost dt = [ sint] = sin sinπ= π π ; on remrque ici que l intégrtion se fit de π à, c est l orne située en s du symole d intégrtion qui l plus grnde vleur ; on remrque ussi que l intégrle est nulle mis qu il ne s git ps de l intégrle de l fonction nulle. 6 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

. Propriétés On peut mintennt générliser le théorème à des fonctions dont les vleurs sont de signes quelconques. On en donne un énoncé utilisnt l notion de primitive. Théorème [ ] l fonction G définie sur [ ; ] pr Soit f une fonction continue sur ;, G: G( ) = f( t) d t est l primitive de f qui s nnule en. Démonstrtion Soit F une primitive de f sur [ ; ]. D près l définition 4, on G( ) = F ( ) F ( ). On en déduit que G est dérivle sur [ ; ] et que, pour tout de [ ; ], G ( ) = F ( ) = f( ) et G( ) = F ( ) F ( ) = : G est ien l primitive de f qui s nnule en. Dns les propriétés suivntes, les fonctions sont continues sur un intervlle I, les nomres réels, et c sont dns I, les nomres α et β sont deu réels quelconques. Propriété On : ft () dt= ft () dt. Démonstrtion On pplique l définition 4 et on otient : ft ( ) dt= F ( ) F ( ) = ( F ( ) F ( )) ft ( ) dt. Propriété Linérité de l intégrle On : ( f g ()d t t f()d t t g()d. t t α +β ) =α +β Démonstrtion On procède comme dns l ctivité 6. Dns le chpitre, l définition de l intégrle de à d une fonction positive permis d étlir plusieurs propriétés en utilisnt les propriétés des ires. Nous llons ici retrouver ces propriétés dns le cs générl, le cs prticulier des fonctions positives vous permettnt d en voir une imge géométrique. Propriété 4 On : ft () d t=. Séquence 7 MA 7 Cned - Acdémie en ligne

Propriété 5 Reltion de Chsles c On : f( ) d + f( ) f( ). d = c d Démonstrtion On procède comme dns l ctivité 7. Propriété 6 Positivité Soit f une fonction continue et positive sur l intervlle I. Pour tous nomres et de l intervlle I tels que, on lors : f ( ) d. Démonstrtion L démonstrtion déà été fite dns le chpitre, puisqu on se retrouve dns le cs d une fonction positive. Pour ller plus loin, nous vous proposons ici une deuième démonstrtion pour montrer qu une utre méthode est possile vec l nouvelle définition : comme ft () d t= F ( ) F ( ) où F est une fonction dont l dérivée F = f est à vleurs positives, lors l fonction F est croissnte sur I et F( ) F ( ) est positif cr on supposé que. Remrque L condition est essentielle. Propriété 7 Comprison Soit f et g deu fonctions continues sur un intervlle I et telles que f g, c est-à-dire telles que f( ) g( ) pour tout de I. Soit et dns I tels que, lors f ( ) d g ( ) d. Démonstrtion Méthode : on se rmène u cs précédent et on pplique l propriété de linérité. Comme f( ) g( ) pour tout de I, on ussi g ( ) f ( ) et on pplique l propriété de positivité à l fonction g f, les nomres et vérifint. Donc ( g ( ) f ( )) d. 8 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

D où, d près l linérité, g ( ) d f ( ) d, soit f( ) d g( ). d Remrque Remrque Dns cette propriété ussi l condition est essentielle. Cette propriété ser très utile pour trouver des vleurs pprochées d intégrles de fonctions qu on ne sit ps intégrer mis qu on peut encdrer. Définition 5 [ ] est L vleur moyenne d une fonction f continue sur un intervlle ; égle u nomre ft t () d. Propriété 8 Inéglités de l moyenne [ ] vec Soit une fonction f continue sur l intervlle ;, et deu nomres m et M tels que, pour tout de l intervlle [ ; ], on m f( ) M. Alors m µ M, µ étnt l vleur moyenne de l fonction f sur ;. [ ] Démonstrtion Elle est nlogue à celle fite pour une fonction f positive dns le chpitre.. Clcul et encdrement d intégrles ) Les clculs ects d intégrles sont fits vec les primitives ou en utilisnt les différentes propriétés du cours (linérité, reltion de Chsles ). ) Pour encdrer une intégrle, on utilise l positivité, l propriété de comprison ou les inéglités de l moyenne. Voici un eemple où on encdre l intégrle d une fonction dont on ne connît ps de primitives mis qui est encdrée pr des fonctions polynômes. Séquence 7 MA 9 Cned - Acdémie en ligne

Eemple Solution On considère les fonctions f, g et h définies sur R pr : f( ) =, g ( ) = + h, ( ) = +. + Étlir que pour tout pprtennt à l intervlle [ ; ] on : g ( ) f ( ) h ( ). En déduire un encdrement de l intégrle : f( ) d. Déterminons les vleurs pour lesquelles g ( ) f ( ). On : g ( ) f ( ) + + ( + )( + ) + + + ( + ) ( ). Cette dernière inéglité est touours vérifiée sur [ ; ], d où : pour tout de [ ; ] on : g ( ) f ( ). À présent, pour voir f( ) h( ) : 4 + ( + )( + ) + + soit ( ) touours vérifié sur [ ; ]. Pour tout [ ; ]: g( ) f( ) h( ) Pr l propriété d encdrement, puisque, on : g ( )d f ( )d h ( )d soit : f d ( )d + + d d où + f( )d 4 6 + 4 + d où d c) Ce qui été vu dns le chpitre, à propos des clcultrices et des logiciels de clcul formel, s pplique ussi dns le cs générl des fonctions continues de signes quelconques. 5 6. 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne

5. Utiliser le clcul intégrl pour déterminer une ire ) Aire d un domine limité pr l e des scisses et l coure représenttive d une fonction Pr définition, l ire du domine sous l coure d une fonction continue positive définie sur un intervlle [ ; ] pour mesure ft ()d t en unités d ire. Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, ;. Soit E le domine du pln limité pr l coure f représentnt f, l e des scisses et les droites d éqution = et =. L symétrie ile pr rpport à l e des scisses donne l églité ire( E) = ire( E) = f( ) d u.. où E est l ensemle des points limité pr l coure représentnt l fonction f (qui est positive), l e des scisses et les droites d éqution = et =. [ ] continue et négtive sur [ ] O i E E f f Propriété 9 [ ] L ire du Soit f une fonction définie et continue sur l intervlle ;. domine E limité pr l coure représenttive de f, l e des scisses et les droites d éqution = et = mesure ft () d ten unités d ire. Eemple 4 Solution [ ] en une union d intervlles sur ch- En prtique, on décompose l intervlle ; cun desquels f un signe constnt. [ ] Soit f l fonction définie sur ; pr f( ) =. Déterminer l mesure en unités d ire du domine E limité pr l coure représenttive de f, l e des scisses et les droites d éqution = et =. L fonction f est une fonction du second degré qui deu rcines, et, et dont le coefficient de vut qui est positif. On sit lors que ft () est négtif sur [ ; ] et positif illeurs. L mesure, en unités d ire, de l ire du domine E est donc l intégrle I : I= ft () dt= ft () dt ft () dt+ ft () dt. i Séquence 7 MA 4 Cned - Acdémie en ligne